Введение к работе
Актуальность темы. Теория ассоциативных алгебр с тождествами
(Р/-алгебр) является важнейшим разделом современной теории колец. Одним из наиболее значительных событий в теории РІ-алгебр в последние десятилетия XX века стало положительное решение А. Р. Кемером [5] знаменитой проблемы Шпехта для алгебр над полями нулевой характеристики. Теория Т-пространств, являясь составной частью теории РІ-алгебр, начала активно развиваться сравнительно недавно, около 15 лет назад. Понятие Т-пространства было введено А. В. Гришиным [2],[3] в связи с близкими к проблеме Шпехта вопросами, и явилось обобщением понятия Т-идеала. За последние годы был получен целый ряд результатов, касающихся как самих Т-пространств, так и приложений этой теории к решению других вопросов для алгебр с тождествами, в первую очередь, к проблеме конечной базируемости Т-идеалов.
Пусть К — коммутативно-ассоциативное кольцо с 1, А — свободная ассоциативная Т-алгебра (без единицы или с единицей) счетного ранга со свободными порождающими Х\,Х2,- (для обозначения которых мы также иногда будем использовать символы х,у и z). Элемент v = v(xi,..., xn) А называется полиномиальным тождеством, или просто тождеством, ассоциативной )К-алгебры G, если v(gi,...,gn) = 0 для любых Зь -і 9п Є G. В этом случае выражение V = О также называют тождеством алгебры G. Если {vt \ t Є П} — произвольное, но фиксированное множество тождеств, то класс всех ассоциативных К-алгебр, удовлетворяющих одновременно всем тождествам Vt (t Є Q), называется многообразием. Многообразие называется конечнобазируемъш, если оно может быть определено конечным множеством тождеств, и неконечнобазируе-мым в противном случае.
Идеал V свободной алгебры А называется Т-идеалом, если V — вполне характеристический идеал в А, го есть если a(V) С V для любого эндоморфизма а алгебры А. Хорошо известно, что между множеством всех многообразий ассоциативных К-алгебр и множеством всех Т-идеалов алгебры А существует естественное взаимнооднозначное соответствие. Многообразие V ассоциативных К-алгебр является конечнобазируемым тогда и только тогда, когда соответствующий ему Т-идеал V конечнопорожден (как Т-идеал). Если V — многообразие ассоциативных К-алгебр, V — соответствующий этому многообразию Т-идеал в Л, то факторалгебра A/V спорождающими Xi + V, х% + V,... называется свободной алгеброй (счетного ранга) многообразия V или относительно свободной-ассоциативной
алгеброй. Следуя [2],[3], К-подмодуль U в относительно свободной алгебре A/V назовем Т-пррстранством, если U — вполне характеристический подмодуль, то есть a(U) С U для любого эндоморфизма а алгебры A/V. Т-пространство назовем ограниченным, если оно порождено элементами, степень вхождения в которые любого порождающего не превосходит некоторого фиксированного натурального числа N.
В течение нескольких десятилетий оставалась открытой знаменитая проблема Шпехта (первоначально поставленная в [6] в случае, когда К — поле рациональных чисел): верно ли, что каждое многообразие ассоциативных алгебр над полем К конечнобазируемо? Или, эквивалентно: верно ли, что каждый Т-идеал свободной К-алгебры А счетного ранга конечнопорожден как Т-идеал? Естественным обобщением этой проблемы является проблема Мальцева о существовании неконечнобазируемых многообразий ассоциативных колец. Если К — произвольное поле характеристики 0, то проблема Шпехта имеет положительное решение, это было доказано А. Р. Кемером [5] в середине 80-х годов. С другой стороны, недавно А. Я. Белов [1], А. В. Гришин [4] и В. В. Щиголев [7] показали, что над полем простой характеристики р (над полем характеристики 2 в [4]) ответ на вопрос Шпехта отрицательный. Ими были построены примеры Г-идеалов в алгебре А, не являющихся конечнопорожденными. Тем самым было получено и решение проблемы Мальцева.
Оказалось, что между проблемой Шпехта и вопросом о существовании неконечнопорожденных Т-пространств в свободных алгебрах многообразий существует тесная связь. В каждой из работ [1], [4], [7] было построено свое неконечнобазируемое многообразие, отличное от построенных в двух других работах, однако в каждой из этих работ при построении такого неконечнобазируемого многообразия решающую роль играло неконечнопорожденное Т-пространство в некоторой относительно свободной ассоциативной алгебре. Позднее другими авторами были приведены другие примеры неконечнопорожденных Т-идеалов, однако при построении всех этих примеров также использовались неконсчнопорожденные Т-пространства.
А. В. Гришин первым начал систематически изучать Т-пространства, прежде всего с точки зрения их конечной порожденности. Им был построен первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем положительной характеристики. Именно, А. В. Гришин [4] доказал, что Т-пространство, порожденное элементами х\... х\ (п Є N) над произвольным полем характеристики 2, не является копечнопорожденным как
Т-пространство, причем оказалось, что данное утверждение будет верным и по модулю близкого к коммутативности тождества [[х, y],z] = О (здесь [х,у] = ху — ух), а также, если .оассматривать алгебры без единицы, то и по модулю тождества х4 = 0. Примеры неконечнопорож-денных Т-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В. В. Щиголевым в [8]. В частности, им было доказано, что Т-пространство, порожденное элементами $~ а^~ [х^хг] ... :х^я-\^гп [*й>-11 х2п\ (п Є N) в алгебре с единицей над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2, не является конечнопорож-денным, причем данное утверждение будет верным и по модулю тождества [[x,y],z] = 0, а также, если рассмотреть данное Т-пространство, как Т-пространство в подалгебре без единицы, то и по модулю тождества хр — 0. Также В. В. Щиголевым были построены примеры неконеч-нопорожденного Т-пространства, порожденного мономомами, над бесконечным полем характеристики р > 2, а также неконечнопорожденного Т-пространства, порожденного элементами, зависящими от двух порождающих. Впоследствии В. В. Щиголевым [9] был построек целый ряд примеров неконечнопорожденных Т-пространств над произвольным полем характеристики р > О, в частности, им был предложен способ обобщения ранее полученных результатов со случая бесконечного поля на случай произвольного поля путем рассмотрения Т-пространств с дополнительным условием замкнутости относительно взятия полиоднородных компонент.
Отметим, что в случае поля положительной характеристики до недавнего времени почти не имелось результатов в положительном направлении. Исключением можно считать результат А. В. Гришина о конечной порожденное Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов над бесконечным полем. С другой стороны, недавно В. В. Щиголев доказал, что если основное кольцо К есть поле характеристики нуль, то в свободной ассоциативной К-алгебре все Т-пространства конечнопорождены. В то же время, упомянутыми выше авторами были исследованы некоторые экстремальные свойства Т-пространств над полями положительной характеристики и кольцами, связанные с конечной порожденностью.
Заметим, что помимо свободных алгебр счетного ранга можно рассматривать и свободные алгебры конечного и несчетного рангов. В случае конечного ранга (так называемый локальный случай) ситуация для Т-пространств и Т-идеалов существенно различается. В. В. Щиголевым [8] были построены примеры неконечнопорожденных Т-пространств в
2-порожденной алгебре. С другой стороны, все Т-идеалы в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга конечпопорождеиы, этот результат был доказан А. Р. Кемером для случая бесконечного поля и позднее распространен А. Я. Беловым на случай произвольного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца с 1.
Многообразие V ассоциативных алгебр называется шпехтовым, если все его подмногообразия конечнобазируемы (включая и само многообразие V). Минимальные неконечнобазируемые многообразия — это неконеч-нобазируемые многообразия, все собственные подмногообразия которых конечнобазируемы. Такие минимальные многообразия называются также почти конечнобазируемыми, почти шпехтовыми ИЛИ предельными. Отметим, что предельные многообразия в некотором смысле представляют собой границу между шпехтовыми и нешпехтовыми многообразиями. Соответственно, Т-идеал / в свободной ассоциативной алгебре А называется почти конечнопорожденным или предельным, если / является максимальным неконечнопорожденным Т-идеалом. С помощью леммы Цорна легко доказать, что если в свободной алгебре существуют неко-нечнопорожденные Т-идеалы, то существуют и максимальные неконеч-нопорожденные, то есть предельные, Т-идеалы. Ни одного конкретного примера такого Т-идеала (и многообразия), однако, неизвестно. Отметим, что вопрос о примерах предельных многообразий возникает для различных универсальных алгебр. Вопрос о построении примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полем К простой характеристики на данный момент представляется актуальной и (по-видимому) очень трудной проблемой. Интересен также вопрос о количестве таких многообразий.
Т-пространство U в относительно свободной ассоциативной алгебре A/V называется почти конечнопорожденным или предельным, если U является максимальным неконечнопорожденным Т-пространством, то есть если оно не является конечнопорожденным, но всякое Т-пространство в A/V, содержащее U как собственное подмножество, конечнопорожде-по. Предельные Т-пространства, таким образом, представляют собой границу между конечнопорожденными и неконечнопорожденными Т-прост-ранствами. Как следует из леммы Цорна, если в относительно свободной алгебре существуют неконечнопорожденные Т-пространства, то существуют и максимальные неконечнопорожденные, то есть предельные, Т-пространства. Нахождение примеров предельных Т-пространств, представляет интерес как для самой теории Т-пространств, так и с точки
зрения проблемы построения примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики.
Цель работы. Задача диссертации заключается в изучении свойств многообразий ассоциативных алгебр, связанных с конечной порожденно-стью Т-пространств в свободных алгебрах этих многообразий, и построении примеров предельных Т-пространств.
Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории ассоциативных алгебр, а также метод вполне предупорядо-ченных множеств.
Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем:
Доказана конечная базируемость Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов над произвольным нетеровым кольцом.
Доказана конечная базируемость ограниченных Т-пространств в свободных алгебрах, удовлетворяющих тождеству [zj, хг]-. .-[^n-i, Х2„] = О, а также конечная базируемость Т-пространств в нильалгебрах с тем же тождеством над произвольным нетеровым кольцом.
Доказана минимальность многообразия ассоциативных алгебр, заданного тождествами [[х,у],z] = 0 и х = 0, если р = 2, и \[х, у], z] = 0 и хр = 0, если р > 2, где р — характеристика основного поля, с точки зрения наличия неконечнопорожденных Т-пространств в свободной алгебре. (Этот результат получен совместно с А. Н. Красильниковым).
Получены примеры предельных Т-пространств в относительно свободных алгебрах, а также в свободной ассоциативной алгебре над произвольным полем положительной характеристики.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории многобразий ассоциативных алгебр.
Апробация работы. Результаты диссертации-докладывались на IV
международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященной 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова (Тула, 2001 г.); международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С. Н. Черникова (Екатеринбург, 2002 г.); международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург,
2002 г.); V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.); 10-й международной конференции "Группы и групповые кольца"(Устрон, Польша, 2003 г.); международной конференции "Алгебры, модули и кольца"(Лиссабон, Португалия, 2003 г.), а также на научных семинарах по теории колец и модулей (руководители — проф. А .В. Михалев, проф. В. Н. Латышев, проф. В. А. Артамонов), по теории групп (руководитель — проф. А. Л. Шмель-кин) кафедры высшей алгебры МГУ, и на научном семинаре кафедры алгебры МПГУ
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и
