Содержание к диссертации
Введение
1 Веса на коммутативных полугруппах 14
1.1 Веса на полугруппах 15
1.2 Полные полугруппы 21
1.3 Теоремы о продолжении 25
1.4 Относительный спектр 30
1.5 Полухарактеры 34
1.6 Вполне упорядоченные полугруппы 36
2 Инвариантные алгебры 42
2.1 Необходимые сведения 42
2.2 Идемпотенты в Ms 51
2.3 Полиномиальные расширения инвариантных алгебр 57
2.4 Внутренние автоморфизмы инвариантных алгебр функций . 75
3 Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций 81
3.1 Дефекты полугрупп 81
3.2 Теорема Радо и инвариантные алгебры 89
3.3 Теорема Римана для инвариантных алгебр 94
Литература 98
- Полные полугруппы
- Вполне упорядоченные полугруппы
- Полиномиальные расширения инвариантных алгебр
- Теорема Радо и инвариантные алгебры
Введение к работе
Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.
Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра) и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic function"(см.[30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти - периодических аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.
На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. Л. Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Золотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], А. Л. Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].
Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра As, которая строится следующим образом.
Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого а Є Г, х° соответствующий характер группы G. Обозначим через а нормированную меру Хаара группы G и через LX{G, da) - пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / Є Ll(G,da) представляется в виде формального ряда Фурье
ОЄГ
где
G
- а - тый коэффициент Фурье функции /. Множество
Sp/ = {a€r:c{ 0}
называется спектром функции /. Пусть S такая подполугруппа группы Г, что 0 Є S и S + (-S) = Г. Основным объектом исследования является алгебра As, состоящая из всех тех непрерывных функций / Є C(G), спектр которых содержится в S. Естественно, что между свойствами полутруппы S и свойствами алгебры As существует тесная связь.
Например, пространство максимальных идеалов алгебры As совпадает с множеством Ms - полухарактеров полугруппы S, т. е. таких отображений т из полугруппы S в единичный диск D комплексной плоскости С, что
т(а + 6) = т(а) • т(Ь) и га(0) = 1.
Пусть S - коммутативная аддитивная полутруппа с сокращением, то есть
из условия a + b = а + с следует b = с. Предположим, что полугруппа
S содержит единичный элемент 0 5. Отметим, что существует тесная
связь между полухарактерами полугруппы S и весами на S, т.е. такими
отображениями
i/:S-+ [0, со], 1/(0)==0.
что
v(a + 6) = i/(a) + 1/(6)
для всех а,Ь Є S. Вес называется конечным, если г/(а) оо для всех а Є S и двузначным, если
г/: 5 -» {0, оо}.
Множество всех весов W(S) - полутруппа с единичным и нулевым элементом. Определим на полугруппе S псевдопорядок: а - Ь, если существует такой элемент с Є 5, что а + с = 6. Его можно расширить до псевдопорядка на группе Г5, порожденной полугруппой S: а - 6, если Ь — а Є S. Если для любых Ь Є Ts и а Є 5, найдется такое положительное
число п Є Z+, зависящее от 6 и а, что 6 - па, то говорят, что S задает архимедов порядок на IV Пусть Н - некоторая подполугруппа полугруппы S, предположим 0 Є Я.
Данная работа состоит из трёх глав и списка литературы.
Глава 1, состоит из шести параграфов. В ней особое внимание уделяется следующим трем задачам.
a) При каких условиях данный вес v Є W(H) можно продолжить до веса на 5?
b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы каждый вес из W(H) продолжался бы до веса на S, в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на 5?
c) Пусть WV(S) - подмножество в W(S), состоящее из всех продолжений веса v є W(H). Для каждого Ь Є S описать множество
7„(Ь) = {/І(Ь) : /І Є W„(S)} - относительный спектр элемента b.
Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения приводится новое доказательство критерия продолжения заданного веса с подполугруппы на всю полугруппу (задача а), предложенный А. Н. Шерстневым (см.[45]), а также сформулировано условие на подполугруппу Н, при котором каждый вес из W(H) расширяется до веса на S (см.[16] ).
Основываясь на указанных выше работах в § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 1. ДЛЯ того,чтобы каоюдое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы Н до веса на полугруппе S было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого а Є S существует b Є Н такое, что а - Ь.
Отметим, что теорема 1 вместе с одним из результатов С. А. Григоряна дает ответ на задачу Ь). В этом же параграфе дается описание относительного спектра элементов полугруппы S.
Результаты предыдущих параграфов используется в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.
В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема
Теорема 2. Пусть Ts -группа, порожденная полугруппой S. Предположим, что полугруппа S задает архимедов порядок на Vs. Тогда
a) полугруппа двузначных весов W S) на S состоит из одного элемента;
b) полугруппа конечных весов WQ(S) на S изоморфна R+;
c)W(S) = Woo{S)UW0(S).
Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы вир- множествами алгебры А$. Напомним, что множество F С G называется мноо/сеством пика для алгебры As, если существует такая функция / 6 As, что f(a) = 1 для любого а Є F и /( ) 1 для а Є G\F. Множество называется р -множеством, если оно является пересечением множеств пика. Подполугруппа Н полугруппы S называется полной в 5, если
Н = Тн П 5,
где Гя = Н + (-Н) - подгруппа группы Г. Для подполугруппы Н полугруппы S пусть
Я-1 -{a G: ха(«) = 1 для всех а Є Я}.
Аналогично для замкнутой подгруппы Go С G пусть
GQ — {а Є S : ха(а) = 1 для всех а Є G0}.
Очевидно, Я С (Я )х и Я = (Я Г - тогда и только тогда, когда Я -полная в S полугруппа. Подобным образом Go = (GQ) тогда и только тогда , когда GQ - р - множество для алгебры As, т. е. Go - пересечение множеств пика для алгебры As. Следующая теорема устанавливает связь между полугруппами группы Gup- множествами для алгебры As Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы S и теми подгруппами группы G, которые являются р-множествами для алгебры As.
Множество полухарактеров
Ms = {т : S - • D : га(0) = 1, т(а + Ь) = т(а) • т(Ь)}
полугруппы 5, является полутруппой относительно операции умножения:
(mim2)(a) = mi(a)m2(a).
Элемент m Є Ms называется идемпотентом, если га2 = т. Множество идемпотентов Ids подполугруппа полугруппы Ms. Пусть Ps — множество всех тех подгрупп Go группы G, которые являются р -множеством для алгебры As, и сужение AS\G0 алгебры As на Go является антисимметричной алгеброй, т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Ps можно определить структуру полугруппы,
если Gb G2 Є Ps, то Gi П G2 Є Ps.
Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ids « Ps В §3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра As является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры А, если В = A[b\,... ,Ьп] алгебра полиномов от &i,...,6n с коэффициентами из А. Пусть K(G) -категория равномерных алгебр на компактной группе G. Алгебра А называется полиномиально замкнутой , если у А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории K(G). Существует связь между полиномиально замкнутыми As алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами S. Подгруппа S называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия
па Є S, а Є Г, п Є N следует а Є S.
Основной результат §3 - следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть S алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и card Ids °°. Тогда As - полиномиально замкнута.
В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры As. Вообще говоря, группа автоморфизмов алгебры As достаточно широка. Хорошо известно, что группа автоморфизмов диск -алгебры совпадает с группой Мёбиуса,т .е. группой всех преобразований Мёбиуса.
В группе автоморфизмов алгебры As есть подгруппа , которая определяется парой (сг, ск), где a : S — S - полугрупповой изоморфизм, а а Є G. Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа S задает полный архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры As внутренние (см.[30]).
Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса - Зингера.
Теорема 6. Пусть S такая полугруппа, что существует полухарактер т Є Ms удовлетворяющий неравенству
О \т(а)\ 1, а€ S,a=j0.
Предположим, card Ids — 2. Тогда либо полугруппа S изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел Z+, либо все автоморфизмы алгебры As внутренние.
Последняя глава посвящена изучению аналитических свойств множества Ms.
Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Арене - Зингер распространили некоторые свойства диск -алгебры на алгебру As. В работе де Лью и Гликсберга (см.[40]) были обобщены классические теоремы Фату и Рудина ([12] стр 116, 118). В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полугруппы S и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.
Гл. 3 состоит из трех параграфов. В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы.
Рассмотрим три вида расширения полугруппы S
Sw = {а ЄТ : па Є S для всех п Na Є Z+}, здесь число Na зависит от элемента а € Г;
Ss = {а Є Г : па Є S для некоторого п Є Z+},
Sx - семейство тех элементов а Є Г, для которых найдется такое 6 Є 5, что
а+6е5и
\m(a + b)/m(b)\ 1,
если га Є Ms\{m Є Ms : m{b) = 0}. Очевидно,
Sw С Ss С Sx.
Определим четыре алгебры функции на группе G: 5R(5), U(Sw), (Ss) и Э?(5Х), каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, S\y, Ss и Sx.
Слабым дефектом полутруппы S называется число wdeiS -размерность алгебры 92(5 ) как модуля над ().
Дефектом полугруппы S называется число defS - модульная размерность $l(Ss) над Щвцг) Сильным дефектом полутруппы S называется число s def S - модульная размерность алгебры ЩЗХ) над 3ft(Ss).
Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры А обозначим через МА пространство её максимальных идеалов и ЗА границу Шилова этой алгебры. Пусть U открытое множество в МА, И Ац - равномерное замыкание сужения гельфандовского представления А на U. Непрерывная функция / на U С МА называется А - голоморфной, если для любой точки х Є U найдется такая окрестность V(x Є V С V С U), что сужение / на V принадлежит Ау. Множество всех А - голоморфных функций на U — образуют алгебру OA(U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов МА, если каждая функция / Є А, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества МА тождественно обращается в нуль на Мд.
Приведем основную теорему § 1.
Теорема 7. Пусть Sa = 5 + Z+a - полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом a € Г. Msa — Ms тогда и только тогда, когда а Є Sw Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D аналитична на множестве int D\N(f), где N(f) - множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре Az+. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое место занимает следующая теорема Гликсберга (см. [33])
Теорема 8 (Гликсберг). Пусть А — равномерная алгебра и f — непрерывная функция на МА, являющаяся А - аналитической на множестве MA\f l(0). Тогда M[Aj] = МА и d[A,f] = дА, где [A,f] — равномерная алгебра, порожденная функциями f и функциями из А, и дА — граница Шилова алгебры А.
Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на МА И А- аналитическая на MA\N(/) принадлежит алгебре А.
Основной результат § 2 следующий.
Теорема 9. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда w def 5 = 0.
Равномерная алгебра называется целозамкнутой на МА, если каждая непрерывная на МА функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида
принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие w def S = 0 является критерием целозамкнутости алгебры As (теорема 3.2.3).
Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Римана, если для любой функции рЕД N(g)f)dA = 0, каждая непрерывная А - голоморфная и ограниченная на MA\N(g) функция продолжается до функции из А.
Очевидно, что если А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема
Теорема 10. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S,m е.
wdef S + def S + sdeiS = 0.
Полные полугруппы
Пусть теперь S - аддитивная полугруппа с сокращением, содержащая единичный элемент О Є S. Каждую такую полугруппу можно вложить в некоторую группу IV Существуют различные способы построения группы IV Самый простой из них метод, предложенный Гротендиком для построения .ff-групп. Определим на декартовом произведении S х S естественную полугрупповую структуру Единичным элементом образованной полугруппы будет элемент (0,0) Є S х S. На полугруппе S х S введём отношение эквивалентности: (a, b) (d, с), если а 4- с = b + d. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения на полугруппе S х S и есть группа Ts-Формально группу Г можно представить в виде Аналогично, через Тн будем обозначать группу, порождённую полугруппой Н. Отметим, что если полутруппа Н является подполугруппой полугруппы 5, то Г# — подгруппа группы IV По определению, пополнением Н в S называется полугруппа Н Полугруппа Н в S называется полной в S, если Н = Н . Как будет видно далее, в теории продолжения весов полные полутруппы играют особенную роль. Пусть Н — полная в S полугруппа. С помощью веса v : Н — [0, оо] представим полугруппу S в виде объединения S = S+\JS-, где Лемма 1.2.1. Пусть Н — полная полугруппа в S. Тогда Доказательство, а) и Ь) — непосредственно следуют из определения множества S+. с) Допустим противное. Пусть 6 Є Н и существует d G S такие, что b + d = а Є Щ. Отсюда d = a—b Є ГяП-S. Так как Н — полная полугруппа в S, имеем что d Є Н. Но это невозможно, поскольку Н и Щ не пересекаются и Н — идеал в Я. Лемма 1.2.2. Пусть Н — полная в S полугруппа. Тогда a) S+ — полная алгебраически замкнутая полугруппа в S; b) Щ полная полугруппа в S+ и 5; c) алгебраические замыкания полугрупп Н и Щ в S являются полными полугруппами в S; d) если полугруппа Н алгебраически замкнута в S, то алгебраически замкнута полугруппа Щ. Доказательство, а) Если b S такой элемент, что b = а — с, где а, с Є S+, то b 4- с = а Є S+. Следовательно, b Є S+ в силу леммы 1.2.1 а), алгебраическая замкнутость полугруппы S+ очевидна. Действительно, если па Є S+, и S+ П _ = 0, 5_ — идеал, то о S+. b) Пусть b = а — с S, а, с Є Щ. Тогда из полноты полугруппы Н в S следует, что &#иа = 6 + с.
Так как а Є Щ получим b Є Щ c) Пусть N(H) — алгебраическое замыкание в S полугруппы Н и b = а —су где b Є S,a,cG N(H). Тогда 6+c = а Є N(H). Существует такое целое число п Є Z+, что па, пс Є Я. Следовательно, пЬ + пс = па Є Я. Отсюда пЬ Є Я и 6 Є ЛГ(Я). Аналогично доказывается, что N(HQ) — полная полугруппа в 5. с) очевидно. Можно показать, что полугруппа S алгебраически замкнута в S и её пополнение совпадает с S. Теорема 1.2.1. Пусть Я — полная подполугруппа полугруппы S. Тогда каждый вес v Є W(H) можно продолжить до веса на S. Доказательство. Разобьём доказательство теоремы на два этапа. Сначала продолжим вес v с Щ до веса на S+, а потом продолжим с S+ до веса на полугруппе S. Не теряя общности можно предположить, что Я — алгебраически замкнутая полная в S полутруппа. Пусть Ъ Б+\Щ. Покажем, что группа Г# + 1Ь изоморфна прямой сумме Тщ ф Z. Пусть a + nb = d + mb, п т, a,d Є Гя . Тогда а — d = kb Є S. По лемме 1.2.2 a) kb Є Щ. Отсюда 6 Щ. Пришли к противоречию. Таким образом, группа Гя# + Ш) изоморфна прямой сумме Тщ ф Z. Продолжим вес v : Я — [0, со) до аддитивной функции і/0 : Г## — Е, Определим отображение г : Тщ Л-ЪЬ — Г ф Z, Г = (Г#0"), полагая т(а + nft) = ( (а), п). Так как Г# + ЪЬ есть прямая сумма групп Тщ и Z6, отображение г является сюрьективным групповым гомоморфизмом. Рассмотрим две полугруппы Нь — {Тщ + ЪЬ) П S и »% = т(Нь). По построению полугруппа Я& — полная в 5, 5& содержит элемент (0,1) как образ элемента Ь, и пересечение Sb с группой совпадает с полугруппой (щ(Щ),0). По лемме 1.1.5 существует вес который есть продолжение тривиального веса Суперпозиция г] = /л о г — вес на #ь, сужение которого на #о совпадает с весом v. Таким образом, вес v : Щ — [0, сю] можно продолжить до веса т] на полной полугруппе Щ и, следовательно, на её алгебраическое замыкание. Пусть b Є S+. Тогда b + d = а є #о для некоторых rf Є 5+ и а Є #о. Поэтому d Є Щ. Следовательно, т. е. вес 7] на #ь в случае, когда 6 Є -9+ является конечным весом. Для завершения первого этапа доказательства рассмотрим всевозможные пары { (Hj, Vi) }ІЄІ, где Щ — полная алгебраически замкнутая полугруппа в S+, содержащая Щ, а щ — продолжение веса v на Щ. На множестве пар {(Щ, vi) }ІЄ/ введём частичный порядок если НІ с / и сужение веса i на Щ есть вес і/,-. Пусть {(Hj, Vj) }jj — линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества { (Щ, Ui) }$ =/. Тогда — полная алгебраически замкнутая полугруппа в5+и индуктивный предел весов
Вполне упорядоченные полугруппы
Естественный порядок, определённый выше, на полутруппе S отражает свойство самой полугруппы. Особое место в теории полугрупп занимают вполне упорядоченные полугруппы. Таким полугруппам присущи многие свойства полугруппы неотрицательных чисел. Напомним, что на S задан псевдопоесли даже S вполне упорядоченная полугруппа. На группе Г$ можно задать и другой порядок: a - b, если для некоторого с Є S элементы а 4- с и b + с принадлежат 5иа + сч6 + с. Так как группа Г$ порождена полугруппой S, то для любых а, Ь Г$ всегда найдётся такое с Є 5, что а + с,Ь + с S. Поэтому, если на S задан порядок, то этот порядок можно, приведённым выше способом, продолжить до полного порядка на Г , и в этом случае Ts = Tg U (—Г), где — полугруппа положительных элементов. На некоторых группах полный порядок является архимедовым порядком. Примерами таких групп служат группы целых, рациональных и вещественных чисел. Существуют группы, на которых можно определить полный порядок, но нет архимедова порядка. Примером может служить группа МфМи, наконец, на единичной окружности 51 нельзя ввести ни архимедов, ни полный порядок. Между порядками на группе Ts и конечными весами на полугруппе S существует тесная связь. Каждый конечный вес v Є Wo(S) продолжается до аддитивной функции і/0 : Ts — К и а - Ь если v(a) v(b). Вес v Є Wo(S) задает полный порядок на Г# тогда и только тогда, когда из условия 1/(а) = v{b) следует, что а = Ь. Очевиднорядок - , если из а - b следует, что существует такое с Є S, что Ь — аЛ-с. Если Gs — { 0 }, то псевдопорядок превращается в порядок, т. е. из условий а - Ь и Ь - а следует, что а = 6. Если для любых а,Ь Є S выполняется а - Ь либо 6 - а, то говорят, что на S определён полный порядок. Полный порядок называется архимедовым, если для любых а,Ь Є S, а ф найдётся такое положительное число п Z+, что Ь - па. Замечание. На полугруппе может существовать порядок, отличный от естественного. Например, если S = Z+ ф Z+, то любое иррациональное число а 0 определяет вложение На полугруппе можно ввести а-порядок: (п,т) - (l,k), если ра((п, т)) ра({1, к)). Этот порядок отличен от естественного порядка -(п, га) - (I, /с), если п /, т к. a-порядок на S индуцируется естественным порядком с полугруппы Если а — рациональное число, то полугруппа Га содержит группу, состоящую из пар Пусть Г$ — группа, порождённая полутруппой S. На группе Ts можно ввести порядок с помощью порядка на S:
При таком задании порядка группа Г$, вообще говоря, не будет вполне упорядоченной, если даже S вполне упорядоченная полугруппа. На группе Г$ можно задать и другой порядок: a - b, если для некоторого с Є S элементы а 4- с и b + с принадлежат 5иа + сч6 + с. Так как группа Г$ порождена полугруппой S, то для любых а, Ь Г$ всегда найдётся такое с Є 5, что а + с,Ь + с S. Поэтому, если на S задан порядок, то этот порядок можно, приведённым выше способом, продолжить до полного порядка на Г , и в этом случае Ts = Tg U (—Г), где — полугруппа положительных элементов. На некоторых группах полный порядок является архимедовым порядком. Примерами таких групп служат группы целых, рациональных и вещественных чисел. Существуют группы, на которых можно определить полный порядок, но нет архимедова порядка. Примером может служить группа МфМи, наконец, на единичной окружности 51 нельзя ввести ни архимедов, ни полный порядок. Между порядками на группе Ts и конечными весами на полугруппе S существует тесная связь. Каждый конечный вес v Є Wo(S) продолжается до аддитивной функции і/0 : Ts — К и а - Ь если v(a) v(b). Вес v Є Wo(S) задает полный порядок на Г# тогда и только тогда, когда из условия 1/(а) = v{b) следует, что а = Ь. Очевидно, в этом случае есть вложение и порядок, определённый весом v на Г$, является архимедовым. Лемма 1.6.1 (Коммутативный вариант теоремы Гёделя о вложении). Пусть на группе Ts задан полный архимедов порядок, тогда существует вложение Ts — Л&. Доказательство. Пусть i/ : Tg — [0,00), Tg = {а Є Т : 0- а} — нетривиальный вес, и для некоторого а Є Г справедливо В силу архимедовости порядка, для любого Ь Г$, Ь Ф 0 найдётся такое число т Є Z+, что 6 - ma. Отсюда т. е. v є Wo (5). С другой стороны и, следовательно, і/(Ь) 0- Поэтому v : Г — М+ есть вложение и это вложение расширяется до вложения
Полиномиальные расширения инвариантных алгебр
Пусть А — коммутативная алгебра. Через A[z\, z if...,z будем обозначать алгебру полиномов над А от коммутирующих неизвестных zi,Z2,.-.-,zn. Пусть А С В - две алгебры. Говорят, что В - полиномиальное расширение алгебры А, если найдутся такие элементы bi,02,..- ,Ьт Є В, что В = А[ЪъЬ2,...,Ьт]. Пусть К(Х) - категория равномерных алгебр на компакте X. Напомним, что подалгебра А алгебры С(Х) всех непрерывных функций на X называется равномерной, если она содержит константы, разделяет точки множества X и замкнута в sup — норме. Алгебра А Є К(Х) называется полиномиально замкнутой в К{Х), если у нее нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории К(Х), т. е., если равномерная алгебра В на X является полиномиальным расширением алгебры А, то В = А. Пусть K(G) - категория равномерных алгебр на группе G. В данном параграфе приводятся условия, при которых равномерная алгебра на G является полиномиально замкнутой в категории K(G). Пусть А - коммутативная банахова алгебра с единицей и Р(х) = хп + aixn l + 4- ап некоторый унитарный полином с коэффициентами из А от неизвестного х. На алгебре полиномов А[х] введем норму: Фактор алгебра А\р] = А[х]/р(х) А[х] алгебры А[х] по идеалу р(х) А[х] будет в фактор - норме банаховой алгеброй. Приведенная конструкция называется расширением Аренса -Гофмана алгебры А с помощью полинома р(х) (см. [28]). Пусть МА - пространство максимальных идеалов алгебры А. Пространство максимальных идеалов алгебры А\р] можно отождествить с множеством: естественная проекция п : К А — МА, {l,z) = 7 — конечнолистное накрытие, граница Шилова алгебры А\р] совпадает с множеством ж 1(дА) (дА — граница Шилова алгебры А). Приведенная выше конструкция допускает обобщение. Пусть Фактор алгебра A[pi...pn] = A[xi...xn]/J алгебры А[хі...хп] по идеалу J = pi(xi)A[xi... хп] Ч h Pn(#n);4[#i . #„], наделённая фактор нормой называется расширением Аренса-Гофмана алгебры А с помощью полиномов р\(х\),р2(#2)?- ,Рп{хп)- Как и в случае одного переменного, алгебра А]р\... рп] — банахова алгебра в фактор норме, пространство максимальных идеалов алгебры А\р\.. ,рп] есть компакт К А = {(7, z) Є МАхСп : +7( ) +-" + а = = ,..., »)}, естественная проекция 7г: .ЙГ — МА — конечнолистное накрытие, граница Шилова алгебры А\р\ ...рп] совпадает с множеством п 1(дА). Следующее утверждение сформулировано без доказательства в работе [15]. Лемма 2.3.1. Пусть А С В — банаховы алгебры с общей единицей. Предположим, что В = А[Ь\... 6„] — полиномиальное расширение алгебры А. Тогда существует расширение Аренса-Гофмана А\р\... рп] и сюрьективный гомоморфизм сужение которого на А является тождественным отображением.
aДоказательство. Алгебру полиномов A[xi,X2,... ,хп] над А можно представить в виде где Ak — пространство полиномов от х\,Х2,---,хп, степень которых не превосходит числа /с, т. е. Каждое А , /с = 1,2,... — банахово пространство в норме Определим линейное отображение cpk : Ак — В, Пусть р (А ) = Bfc. Тогда, очевидно, \\ірк\\ = 1 и В = J Вк. По теореме Бэра о категориях, при некотором / линейное пространство Вко будет множеством второй категории в В. Так как Ако — банахово пространство, по теореме об открытом отображении (см. [23], с. 58) Вко = В. Таким образом, В — конечно порожденный Л-модуль и, следовательно (см. [21], стр. 268 — 269 ), для порождающих элементов bi,b2,...,bn В найдутся такие унитальные полиномы Pi ( 1) 2( 2)5 ,Рп(хп) с коэффициентами из А, что С помощью полиномов pi( 1), 2( 2),-- iPnipn) определим норму на А\х\,Х2,..-,хп], полагая Определим сюрьективный гомоморфизм р : A[xi,X2,...,xn] — - В следующим образом: Поэтому сюръективный гомоморфизм р порождает сюръективный гомоморфизм Говорят, что алгебра В является целым расширением алгебры А С В, если для любого b Є В найдётся такой унитальный полином Теорема 2.3.1. Пусть банахова алгебра В есть полиномиальное расширение алгебры А С В. Предположим, что А и В имеют общую единицу. Тогда: a) каждый мультипликативный функционал на А продолжается до мультипликативного функционала на В; b) естественное вложение і : А —+ В порождает конечнолистное накрытие п : Мв — Мд пространства максимальных идеалов алгебры В на А. Доказательство, а) Из леммы 2.3.1 следует, что В — целое расширение алгебры А. Поэтому каждый простой идеал алгебры А содержится в ЯР простом идеале алгебры В (см. [21], с. 274). В частности, каждый максимальный идеал алгебры А содержится в некотором максимальном идеале алгебры В. Отсюда каждый мультипликативный функционал алгебры А продолжается до мультипликативного функционала алгебры В. Ъ) Коммутативная диаграмма "Под накрытием в данной теореме подразумеваем сюрьективное отображение, прообраз которого в каждой точке есть конечное множество. т где ii,i2 — вложение, порождает коммутативную диаграмму пространств максимальных идеалов где рц — отображение дуальное к еро, а 7Гі и 7Гг — сюрьективные Так как щ — сюрьективный гомоморфизм, отображение /?Q вложение, имеем где card 7rf 1(m) — мощность множества 7гг 1(ш). а Для дальнейшего нам необходим следующий простой факт из теории функций комплексного переменного. Пусть U — односвязная область в С с кусочно- гладкой границей и А = A(U) — некоторая алгебра непрерывных функций на U и аналитических на 7. Обозначим через Д) сужение алгебры А на некоторую дугу 7 С дії. Пусть /о такая непрерывная функция на 7, что на 7- Перед нами стоит задача найти условия, при которых функцию /о можно продолжить до непрерывной на U функции аналитической в U. Для этого рассмотрим такой полином: где сужение дк Є А на 7 совпадает с д. Предположим, что дискриминант полинома р(х) не равен тождественно нулю на U. Пусть А\р] — расширение алгебры А с помощью этого полинома и Пусть 7Г : Мр — U — проекция на первую координату. Множество Мр — риманова поверхность с границей. Проекция х : Мр — С на вторую координату есть непрерывная на Мр, аналитическая над 7r_1(int?7) = int Мр функция. Поэтому каждый элемент из А\р] определяет непрерывную функцию на Мр, аналитическую в int Мр. Для идеала / С А\р] пусть h(I) — ядро, т. е. множество тех точек из Мр, в которых все функции из / обращаются в нуль. Лемма 2.3.2. Для того, чтобы функцию /0 мооюно было расширить до функции, непрерывной на U и аналитической в U, достаточно, чтобы существовал такой идеал І в А\р], что a) сужение отображения 7Г : Мр — U на множестве Е = h(I) П 7Г_1(7) есть гомеоморфизм между Е и 7/ b) сужение проекции х: Мр — С на множество Е есть /0О7Г (Хв = /0О7Г). Замечание. Если предположить, что A = A(U) — алгебра всех непрерывных функций на U аналитических в int С/, то условия а) и Ь) являются необходимыми. Доказательство. Пусть выполняются условия а) и Ь). Так как дискриминант полинома р(х) тождественно не равен нулю на /, по теореме
Теорема Радо и инвариантные алгебры
В этом и следующем параграфах будем отождествлять алгебру А с её представлением Гельфанда. Известная теорема Радо для диск-алгебры утверждает, что если непрерывная на D функция f(z) аналитична на множестве int D\N(f), где N(f) множество нулей фунуции /, то / аналитична на всем int D. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое место занимает теорема Гликсберга (см. [33]). Теорема. Пусть А - равномерная алгебра, и / - непрерывная функция на Мд, являющаяся А - аналитической на множестве Л/д\/_1(0). Тогда M[A,f] = MA И д[А, /] = дА, где [А, /] - равномерная алгебра, порожденная функцией / и функциями из А. Говорят, что равномерная алгебра А удовлетворяет свойствам Радо, если каждая функция / непрерывная на Мд и А - аналитическая на MA\N(f) принадлежит А. Примером алгебры, обладающей свойством Радо, является диск -алгебра. С другой стороны, подалгебра Лі диск -алгебры А%+, состоящая из всех функций, производная которых обращается в 0 1 D в нуль, не обладает свойством Радо. Доказательство следующего утверждения опирается на следующей хорошо известный факт из теории равномерных алгебр: если каждое замкнутое подмножество F компактного множества X является множеством пика для равномерной алгебры А на X, тогда А = С(Х). Теорема 3.2.1. Пусть А равномерная алгебра на отрезке [0,1] и MA = [0,1]. Если А обладает свойством Радо, то А = С[0,1]. Доказательство. В силу теоремы Росси о локальных множествах пика граница Шилова алгебры А совпадает с множеством [0,1]. Пусть 0 to t\ 1 две точки пика для алгебры А, и /о, Д - функции достигающие пика в точках to и t\ соответственно. Рассмотрим функцию /о(і), если t t0 g(t) = { 1, если t0 t ti Д(), если ti t. Очевидно, g(t) достигает пика на отрезке to t t\n функция является A - аналитичной на множестве [0,1]\[о i] (N(f) = [o3 i]) Поскольку алгебра А обладает свойством Радо, то f(t) Є Ли следовательно g(t) є А. Так как дА = [0,1], то множество точек пика алгебры А всюду плотно в [0,1]. Следовательно, для любых о і найдется такая последовательность хп to,xn — to и уп t\,yn —» t\, что хп,уп точки пика и [хп, уп] - множество пика для алгебры А.
Поэтому и [to, h] множество пика для А. Поскольку каждое замкнутое множество в [0,1] есть пересечение отрезков вида [to, t\], то А = С[0,1]. Для инвариантных равномерных алгебр порожденных некоторой подгруппой S, обладание свойством Радо эквивалентно условию wdefS = 0. Теорема 3.2.2. Алгебра As удовлетворяет свойствам Радо тогда и только тогда, когда wdef S = О, т .е. Sw = S. Доказательство. Пусть As обладает свойством Радо и а Є S\y- Тогда Msa = Ms, и, следовательно, ха является непрерывной функцией на Ms. Если т Ms\N(xa), то найдется окрестность U полухарактера т такая, что U С U С Ms\N(xa)- Так как существует число N 0 такое, что па Є S для всех п N и x(n+1) является А - аналитической на U, то Xа = (п+1)а/хпо является А - аналитической на U. Следовательно, %а А -аналитическая функция на Ms\N(xa). Поскольку As обладает свойством Радо, функция ха принадлежит алгебре As- Отсюда а Є S и S = Sw, т .е. wdeiS = 0. Обратно: предположим, что wdefS = 0.Покажем, что алгебра As обладает свойством Радо. Пусть / - непрерывная функция на Ms, А - аналитична на Ms\N(f). Пусть для любого а Є G,fa - сдвиг функции / на а. Очевидно fa также является непрерывной на Ms функцией, А - аналитической на Ms\N(fa). Пусть [As, faii- / „] - равномерная алгебра порожденная функциями fai,..., fan и алгеброй А. По приведенной выше теореме Гликсберга пространство максимальных идеалов алгебры [Д$,/а1] совпадает с Ms. Поэтому пространство максимальных идеалов алгебры [As, fan fa2] также совпадает с Ms. Продолжая этот процесс, получим, что пространство максимальных идеалов алгебры [As,/в1,.. ,/ „] есть Ms- Семейство равномерных алгебр {Л }. ,где каждое Aj имеет вид [As, fai,- /aJ, а\..., ап Є G, образует частично упорядоченное множество по вложению. Пусть { .г}ІЄІ некоторое линейно упорядоченное подмножество множества {Aj} . j.Тогда замыкание есть равномерная алгебра, и её пространство максимальных идеалов есть М$, так как пространство максимальных идеалов каждой алгебры Aj есть Ms- Действительно, если т є Ms, тогда т расширяется до мультипликативного функционала на \J АІ, И m(/) / для любого ш f Є (J АІ. Поэтому т расширяется до мультипликативного функционала ІЄІ на Аі. Обратное очевидно. Рассмотрим теперь семейство алгебр вида [Л/, /а1,... ,/ „,] Применяя предложенный выше процесс, получим равномерную алгебру , содержащую алгебру Аі, пространство максимальных идеалов которой есть Ms-В конечном счете мы строим некоторую алгебру В, инвариантную относительно сдвигов, содержащую алгебру А и функцию / такую, что её пространство максимальных идеалов есть Ms- Каждая инвариантная относительно сдвигов равномерная алгебра В на группе G имеет вид где К - подполугруппа группы Г. Поскольку А С В и Мв = Мк то Мк = Ms. А так как W — def S = 0, получим Sw = S (см. Теорему 3.1.1.), отсюда А = В,т . е. f Є А. Теорема доказана. Укажем на одно из применений теоремы 3.2.2. Равномерная алгебра А называется целозамкнутой на МА, если каждая непрерывная функция на МА, удовлетворяющая полиномиальному уравнениию вида
