Введение к работе
1.1 Актуальность темы
Центральным из вопросов, расмотренных в работе, явля
ется вопрос о гомологичео-..a размерностях алгебр С(П)
всех непрерывных функций на хаусдорфовом компактном
пространстве. Этот вопрос, который, несмотря на кажу
щуюся простоту, оказался весьма трудным, в теории ба
наховых алгебр рассматривается давно [1], [2], [3]. 1
Лаже для случая, когда П = [0,1], значение глобальной
гомологической размерности С(П) неизвестно (обсуждение
см.[1], [2], ). В работе А. Я. Хелемского [4] 2 содер
жится первый результат по вопросу о глобальных размер
ностях алгебр С(П) - приведен пример непроективного мак
симального идеала в такой алгебре. В качестве П было
взято пространство трапсфинйтных чисел вплоть до пер
вого несчетного с порядковой топологией. Продолжением
этой работы был критерий проективности идеалов в С(П)
А. Я. Хелемского'[5]. 3 В настоящей работе мы рас
сматриваем другой важный класс модулей над полинор-
мированными алгебрами непрерывных функций - а именно,
- . __
1. Хелемский А.Я.Гомология в банаховых и полинормированных
алгебрах.
. М.: Изд-во МГУ, 1986.
-
Dales Н.С Automatic continuity: & survey. -Bull. London Math. Soc.,1978, v. 10, p. 129-183.
-
MoranW. The'global dimension of C(K).
3. London Math. Soc, Se'r.2,1978, v. 17, p. 321-329.
M. Хелемский Д.Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сб., 81(121), нр. 3, 1970, 430-444,
35. Хелемский А.Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебре С(0). Докл. АН СССР, 1970, т. 195, нр. 6, 1286-1289.
С(А')-модули С(М), где М С А', и устанавливаем критерий проективности для большого класса таких модулей. Опираясь на работу А. Я. Хелемского [4], У.Моран получил оценку снизу для гомологических размерностей максимальных идеалов алгебр всех непрерывных функций на компактах, состоящих также из трансфинитных чисел с порядковой топологией. Им была построена последовательность алгебр С(ПП) и их максимальных идеалов /„, для которых dhc(n,)In > п 4, а также компакт О, содержащий все П„, и максимальный идеал / В алгебре С(П), такой, что dhc(n)I — со- В дальнейшем, с помощью новых идей, был получен пример максимального идеала в C(Q), гомологическая размерность которого равна единице (А. Н. Кри-чевец [6] 5). В работе А. Н. Кричевца [7] 6 были построены компакты П„, для которых глобальная гомологическая размерность С(ПП) равна 2п. Известно также р' что гомологическая размерность С(П), раїлю как и любой другой функциональной банаховой алгебры, не может равняться единице.
Основной причиной затруднений, возникающих при вычислении гомологических размерностей, является сложное строение проективного тензорного произведения алгебр С(П) (так называемых алгебр Варопулоса). Это обстоятельство, в частности, явилось одних» из побудительных мотивов для
43дссь'и ниже примяты следующие обозначения: (dh) dh - (строгая) гомологическая размерность модуля; {dm)dm - малая (строгал) глобальная гомологическая размерность алгебры, т.е. верхны-ал грань (строгих) гомологических размерностей неприводимых модулей; (djj)dg~ (строгая) глобальная гомологическая размерность алгебры, т.е. верхняя грань (строгих) гомологических размерностей всех модулей над алгеброй; [db)db - (строгал) биразмерность алгебри, т.е. (строгая) гомологическая размерность алгебры, рассмотренной как бимодуль над собой. Все эти понятия точно определяются в главе 2.
56. Кричевец А.II. О связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Бестник МГУ, матем., механ., пр. 2, 1981, 55-58.
*7. Кричевец А.Н. О гомологической размерности алгебры С(П). Депонировано в ВИНИТИ, нр. 9012-138G.
автора настоящей работы рассмотреть некоторый класс банаховых алгебр - так называемые строгие банаховы алгебры, гомологии в них, и С(П) как строгую банахову алгебру. В теории строгих банаховых алгебр, т.е. теории с инъективным тензорным произведением, введенным А. Гро-тендиком, произведение алгебр С(П) имеет куда более естественное устройство.
Интерес к строгим алгебрам возник достаточно давно. Определение строгой банаховой алгебры было дано в работе Н. Варопулоса [8] 7 (в ней использовалось название инъектив-нал). В работе [8] Н. Варопулос доказал, что коммутативные строгие алгебры суть фактор-алгебры равномерных и рассмотрел с этой точки зрения некоторые конкретные банаховы алгебры.
1.2 Цель работы
Основная цель этой работы - изучение гомологических свойств алгебр всех непрерывных функций на топологическом пространстве X. Для различных классов X эти алгебры будут изучатся в рамках общей теории банаховых алгебр, теории полинормированных алгебр, но в еще большей степени в рамках теории так называемых строгих алгебр.Главные результаты группируются вокруг следующих тем:
запас строгих алгебр и модулей гомология в них - сходство и различия с ("традиционной) гомологической теорией общих банаховых алгебр;
гомологические характеристики алгебры C(Q) как строгой алгебры;
- гомологические свойства. С(Х) как полинормированной алгебры.
т8. Varopoulo» N.Th. Some remarks on Q-algebras. Aim. but. Fourier (Grenoble) 22, 4(1972), 1-11.
1.3 Общая методика исследования
В работе применяются методы гомологической теории банаховых алгебр, некоторые топологические результаты, методы и теоремы функционального анализа.
1.4 Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
-
Построена гомологическая теория строгих алгебр.
-
Обсуждены некоторые общие конструкции, сохраняющие строгость.
-
Показана строгость или не строгость некоторых классических алгебр анализа.
-
Доказан критерий равенства единице строгой бираз-мерности С(П), где О - компакт.
-
Исследован вопрос о проективности полинормирован-иых С(Л')- модулей С(М), где М С X, в теориях по-линормиропанных и строгих полинормированных алгебр.
Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по гомологической теории топологических алгебр и модулей. Некоторые примеры, иллюстрирующие возможные приложения полученных результатов, даны в самой работе (например, применение одной из полученных теорем к задаче о расщепимости расширений).
Результаты диссертации докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ, руково-
димого А. Я. Хелемским, а также на семинаре, проводившемся проф, Дейлсом (Англия) и А. Я. Хелемским во время пребывания проф. Дейлса в СССР.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых помещен в конце автореферата.
1.8 СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ
