Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Замкнутые идеалы и точечные производные в D -алгебрах
1. Замкнутые идеалы и точечные производные в алгебрах Липшица 23
2. Пространства Зигмунда и многочлены наилучшего приближения 27
3. Замкнутые примарные. идеалы в алгебрах Зигмунда. 31
4. Точечные производные в алгебрах Зигмунда и их приложения 36
5. Следы обобщенных пространств Зигмунда на произвольных замкнутых множествах 41
6. Специальная лемма о продолжении для пространства Зигмунда функций одной переменной . 43
7. D -алгебры 48
8. Спектральный синтез идеалов в D -алгебрах 51
Глава 2. Замкнутые идеалы в алгебрах Соболева
0. Обозначения и соглашения 57
1. Некоторые вспомогательные утверждения . 58
2. Когда пространство Соболева - алгебра 61
3. Локальные свойства алгебр Соболева 63
4. Спектральный синтез идеалов в алгебрах Соболева 68
5. Некоторые обобщения 73
6. Спектральный синтез идеалов в алгебрах 74
Глава 3. Геометрическое описание замкнутых идеалов в алгебрах дифференцируемых функций двух переменных
0. Постановка задачи, предварительные замечания и обозначения 80
I. Замкнутые идеалы в С (її.) ,jQ.cR 83
2. Замкнутые идеалы в С СЛ) ,J1CR 87
Литература 125
Указатель обозначений 130
Содержание 132
- Пространства Зигмунда и многочлены наилучшего приближения
- Специальная лемма о продолжении для пространства Зигмунда функций одной переменной
- Некоторые вспомогательные утверждения
- Постановка задачи, предварительные замечания и обозначения
Пространства Зигмунда и многочлены наилучшего приближения
Важнейшим из них является теорема П.Мальявена C38D об от-сутствии спектрального синтеза идеалов в алгебре ил (/ преобразований Фурье суммируемых функций на локально компактной, но не компактной абелевой группе; (з (норма на Ссе) определяется как L1 -норма функциш - оригинала). Отсутствие синтеза идеалов в алгебре L±(6) равносильно существованию замкнутых, подмножеств G г не являющихся множествами синтеза, и обусловлено в первую очередь "нелокальностью" нормы. Теорема 3, напротив, дает неизвестные ранее нетривиальные примеры "локальных"" алгебр без свойства синтеза идеалов. Одновременно она позволяет получить исчерпывающий ответ на вопрос о том, для каких алгебр Соболева имеются множества, не являющиеся множествами синтеза (интересный, конечно, только при га= 0). Полный пет речень алгебр Соболева с этим свойством приведен в 4 главы 2. Здесь мы отметим, что простейшими: среди них. являются алгебры Wp (R) , 1 р 2 . Из доказательства теоремы 3 следует, что пример множества "не; - синтеза"7 доставляет любой компакт, лежащий в (П. - 1)-мерной гиперплоскости, в R и имеющий там положительную мару Лебега. Пусть ж - топологическая алгебра функций на; пространстве X , обладающая свойством спектрального синтеза идеалов. Для исчерпывающего описания замкнутых идеалов в Jt необходимо описать все. наборы {.I cWeX замкнутых примарних идеалов в точках из X (или, для алгебр, локальная размерность которых конечна, наборы э:Х иДеалов в J )» являющиеся наборами примарных компонент (или локализаций) некоторого (замкнутого) идеала алгебры Jb. Для алгебр Ст(-Ю , i -cRri , эта задача была поставлена Х.Уит-ни Й?] . Наборы примарных компонент, идеалов в С (Л) , равно как и соответствующие им наборы локализаций, мы будем называть наборами: Уитни. Глава 3 диссертации посвящена задаче Уитни. В ней дается для некоторых значений Ш и її конструктивное геометрическое описание замкнутых идеалов в С (Л.) в терминах их наборов Уитни. Под "конструктивным описанием" понимается однозначное; сопоставление, каждому идеалу (или набору Уитни) конечной упорядоченной совокупности, параметров, лишенных "скрытых зависимостей" в том смысле, что каждый из них выбирается произвольно в своей области определения, зависящей только от значений предшествующих ему параметров И: геометрических свойств спектра идеала. При пг = 0 и произвольном, п , а также при П = 1 и произвольном юг такие описания могут быть, легко получены. Решению задачи Уитни в случае m = Г посвящена работа Э.Фил лоя [28] . в ней (отдельно для п - 2 и произвольного /г ) при ведено некоторое неконструктивное описание наборов Уитни: {Цх Х_о. в алгебрах: , в терминах (взаимного) располо жения идеалов L как подпространств К В I главы 3 дается законченное конструктивное описание замкнутых идеалов в алгебрах С (Л) , _Лс R . приведенные там рассуждения включают в себя все относящиеся к случаю /г = 2 результаты из [28] и существенно упрощают их доказательства. В 2 исследуется случай пг= 2, П= 2. Доказанные там утверждения приводят при некотором условиж технического характе ра на множество 5 к конструктивному описанию замкнутых идеалов в алгебрах , со спектром ї . При Yi 2 для описания замкнутых идеалов в необходимо знание; для замкнутых в л множеств 6"полей Хн+р-Ьі (х\ хе , "линеаризованных паратингентов порядка m " С 30 J , геометрическое описание которых сложно уже при уп- I и неизвестно при гп 1. В случае же кг = 2 можно ограничиться их более простыми, аналогами. Результаты, изложенные в диссертации, содержатся в работах автора. 11Ы-Ю1 , и [32], [333. Коротко об обозначениях. Каждое вводимое обозначение действует, если не оговорено противное, от момента его введения до конца диссертации. Некоторые общематематические символы используются без специального их введения. Список основных обозначений приведен в конца диссертации ; те из них, которые определены в тексте, снабжены номером страницы, на которой дается их определение. Утверждения и формулы в работе пронумерованы внутри: каждой главы. Номер утверждения или формулы (группы формул) имеет вид (і . і ), где і порядковый номер параграфа в данной главе, а і -номер утверждения (или формулы) внутри параграфа. При ссылке на утверждение или формулу внутри одной главы номер главы не указывается. Тот же. принцип нумерации и. ссылок действует и. в приложении. Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.А.Брудному за поддержку, постоянное внимание к работе и ценные советы. Я благодарен также В.И Буренкову, В.М.Еольдщтейну, EJUEopn-ну, В.Г.Мазье, Н.К.Никольскому, В.П.Хавину и П.А.Шварцману за полезное; обсуждение вопросов, изложенных, в диссертации.
Специальная лемма о продолжении для пространства Зигмунда функций одной переменной
Еавенство (8.3) достаточно проверить в том случае, когда О а . « Если дбГ=0 или % 5 = G , то оно, очевидно, вы-полнено. Если а&ФО,& , то положим Ч — 3r . тогда 5Г = Яі 3-і + о2, где IMH! И и, ввиду (8.2), А« +Я = 11 11 =1 # Заметим также, что поскольку (I/jp)1 - подмодуль ( F/jF) , то 6 , ( /jF) . Так как б - крайняя точка, замкнутого единичного шара. B(J/J) И Я1 0, то необходимо = 6 , то есть 46 ІІ46ІІ6Г , что и доказывает (8.3).
Легко проверить, что Я является ненулевым, линейным мультипликативным функционалом на . Следовательно, найдется точка х F , такая что A(g)= ) при всех аєЛр» Лемма, доказана. Замечание. Для алгебр Липшица лемма 8.1 была установлена Вальбруком в И 5] , а ее доказательство является абстрактным аналогом, соответствующего рассуждения из 45]. Отметим, что в алгебрах Липшица фактор-норма на F/jF совпадает с нормой, порожденной преобразованием dp (поэтому последнее, оказывается ненужным) , а свойство jTp - выпуклости для фактор-нормы вытекает из того, что llllF = A/F() = /V/ ф ] j MF/JF . Функционалы H3(MF/J) , обладающие свойством (8.1), будем называть, следуя Вальбруку, локальными функционалами: в точке х . Оказывается, локальные функционалы в D -алгебрах являются следами точечных производных. Пусть Л - D -алгебра, F - замкнутое подмножество X . Функционал X\f JF) является локальным в точке ос F тогдаІ и только тогда, когда существует точечная производная D алгебры в точке эс , такая что Доказательство. Если D 2).,,., хе F , то функционалT( F/jFJ f определяемый равенством (8.4), очевидно, локален в точке ос . Покажем обратное. Цусть Т - локальный функционал в точке ос F , Не умаляя общности, можно считать, что lit 11 = 4 .В силу произведенной перенормировки отображение йг : F/j_ С(Кр) является изометрией, поэтому Тар - линейный функционал на некотором подпространстве в С(Кр) , по норме равный I. По теорема Хана-Банаха его можно продолжить с сохранением нормы до линейного функционала на- Следовательно, существует конечная регулярная борелевская мера м M(KF) , такая что 1ч(Кр)=1 Заметим, что Ipl {{o]j)=Of так как в противном случае из (8.5) следовало бы, что т1 1 -1 1((0 1 . Отображение :KF\{o}- F, определяемое равенством ТГрСК ЧсЯ,) ={х , oc F , непрерывно. Отсюда легко выводится, что формула уЕ=/м(К) t где К р = Ц_ К ос , определяет неотрицательную регулярную боре-левскую меру на F , такую что J/(F) в 4 . Цусть И - произвольная открытая в F окрестность точки ос. Тогда li-li ПF t гда множество II открыто в X , Ввиду регуляр ности алгебры найдется функция , такая что Ji JXVU Так как алгебра Jt обладает свойством обращения, то функция pTI—J" принадлежит Jt. Обозначим fi ее сужение на. F. Тогда &6jF, &C )=4»F\tt- и MBF6 - ПОЛОЖИМ =ІНІ. Имеем V = 4T+&T = Av, поскольку из локальности: % в точке ос следует, что а Г = «COf =0 . Таким образом, при всех = II \ II У( Ю , откуда lit U(U) . Это означает в силу регулярности меры \) , что \\ С\\ V(№) . Так как ІІТЦ = У (FJ = 1, то = . Поэтому Т( )= J (WJpCD) при. всех f Jp. Осталось, заметить, что правая часть последнего равенства определяет точечную производную на в точке ос . Лемма, доказана. Сформулируем основной результат первой главы. Теорема. 8.3. Во всякой V -алгебре имеет место спектральный синтез идеалов. Доказательство. Цусть -алгебра, I - замкнутый идеал в Ж со спектром, г Обозначим через 21 множество всех крайних то чек замкнутого единичного шара пространства \j-ljp) . Каждому функционалу Сэ2. отвечает, согласно леммам 8.1 и 8.2, точечная производная D алгебры Л в точке сс F , такая чтоб( )=0 при всех . Из теоремы Крейна-Мильмана следует, что е X тогда- и только тогда, когда для всех G ZI. Шэтому Заметим, что \)$ (ОлМ г - замкнутый примарний идеал, алгебры Jb в точке ос и, следовательно, D AH 1. , Таким образом, 1=( СD OMM )) nMF э( 1х6)пМр Д Поскольку обратное включение Jc (\ 1 очевидно, то I= \.I х -xeF ХЄРВ 7 было показано, что алгебра Зигмунда. Л является D -алгеброй. Поэтому из теоремы 8.3 следует Теорема 8.4. Л Stat.
Некоторые вспомогательные утверждения
Отметим, что. в проведенных выше оценках была неоднократно использована локальная конечность покрытий- vU:} и tv J. Считая d 1 , получим окончательно Так как ЙПЫУ(\ЛК)— 0 при сі—»-О , то при некотором а Функции і »tf 4 ... »if ґ равны нулю на К Последовательно применяя предложение 1.3 к производным этих функций, получим, что 4 )=0 ПРИ п.в. Х К . Следовательно, ф - II .
Итак, лемма 4.1 справедлива при всех i- 0,1,..., А/ . Тем самым теорема доказана. Следствие- I. При К-і и Kl 2 , рЖ для всякого замкнутого множества ECR положим 7 L+ WO D if(x)=0 при эсЁ, Ш i"i j Из теоремы о спектральном, синтезе вытекает, что Е аЕ Е Совпадение идеалов J и ї при р /а было установлено В.И Буренковым. [У] Описание множеств JE = 2)(Rn\E) (замыкание берется в Wp ) при 1 р оо и любих Z и /г ,когда пространство Wp может, вообще говоря, ужа не являться алгеброй, содержится в работах [34], [35] и L3 6], Следствие 2. Для того, чтобы всякое замкнутое подмножество R было множеством.спектрального синтеза для алгебры Wp , необходимо и достаточно, чтобы ъ — i .В случае Иг 4 уже одноточечное множество не является множеством синтеза для алгебры Wp . В слу-чае же. nrL= 0 множества "не-синтеза" для алгебры Wp существуют при, (и только при) П ,2 , I-К , l p Tw и П Л $П-1,
Из доказательства теоремы 4.1 следует, что t г -1 ример такого множества доставляет любой компакт, лежащий в (д-1)-мерной гиперплоскости в R и имеющий тамі положительную меру Лебега. Все; приведенные выше, утверждения полностью переносятся на банаховы алгебры Wp (Д) . Функции из пространства Wp(Jl) можно считать продолженными нулем вне -О. , тогда алгебра Wp (Л) совпадает с идеалом J$n\ji в Wp (R ). Поэтому специальных доказательств для случая алгебр Wp (&-) полученные результаты не требуют.
Наряду с нормированными алгебрами рассмот рим аналогичные; им локально выпуклые, алгебры Привлечение алгебр такого типа представляется даже, более естественным, при изучении примарных идеалов, точечных производных и свойства спектрального синтеза идеалов, чем их нормированных аналогов, поскольку функциональная природа указанных локально выпуклых алгебр в большей степени: соответствует локальному характеру изучаемых, понятий. Напомним, что Х.Уитни Й?] доказал теорему о спектральном синтезе идеалов для алгебр С Ч-Ю . Точно так же все результаты 2-4 переносятся с очевидными изменениями на алгебры
Рассмотрим еще. пространство Соболева Wp = Wp ...хУ/р вектор-функций со значениями: в К , снабженное нормой i. \\ = = H J , f=0fi . fj. При: р А ир=-=1 оно является модулем, над, Wp относительно покомпонентного умножения. Для tx =Tx І модуля А п - л n,, , где ТЛ -(Тэс и — І ос к). Совершенно аналогично, тому, как это было сделано в скалярном случае, показывается, что при (и только при) \гп = (г і для любого зам. — / Т "Г кнутого подглодуля Гс WD имеется представление. Таким, образом, при. п-1 и при. ft 2 , р 1г для модуля вектор-функций Wp (а также для модулей имеет место теорема о спектральном синтезе подмодулей. Заметим, что- всякий идеал в комплексной алгебре Соболева можно рассматривать как подмодуль, соответствующего модуля соболевских вектор-функций со значениями в R (обратное, конечно, неверно). Отсюда: следует теорема о спектральном синтезе идеалов для комплексных алгебр
В следующем, параграфе будет доказано утверждение, из которого следует,. что при її-1 теорема о спектральном синтезе идеалов в алгебрах Соболева, переносится на случай Р=оо. Важную роль в доказательстве утверждения, вынесенного в заглавие параграфа:, будет играть следующее, присущее только случаю 11=1 обстоятельство. Предложение 6.1. Цусть Е - подмножество 1р- &1 , Е -множество его предельных точек, ё С "Ч ]) и %\с -О . Тогда. (К)Е, 50, 1&к т.
Доказательство, цусть 0с Е . Существует последовательность точек{зСрірду Е , таких что ЭСрфас, хр - ос . Не ограничивая общности, можно предположить, что она. монотонна; пусть, например, ос± зсг ... Хр ... Сс . При, любом р по теореме Ролля существует точка х(зСр,эСп+1) і Для которой ( )=0 . Таким образом, .. .. зс. Поскольку агр—»а: , то (эс)=0. Применяя проведенное; рассуждение к последовательности {хр }PIW найдем, что ( )=0 и т.д. Предложение доказано. Предложение 6.2. Цусть Е - компактное подмножество метрического пространства СУ, р) и {1 ,...,1 )- открытое покрытие множества Е . Тогда существует число Г 0 , обладающее следующим свойством: любое множество ее j , такое что ottam 5" и е г\ Е Ф 0 , целиком содержится в некотором, элементе покрытия.
Доказательство. Предположим противное. Тогда, для каждого г (W найдутся множество к с У , такое что cilam. у- и ЦФНІ НИ при каком 6 , и точка эс С пЕ . Ввиду компактности множества Е можно считать, что XK- DC, Х Е . Пусть 10 таково, 4Toxel(t.0. Тогда при некотором ґ 0 B(x h)c . Возьмем число 1г0(М с таким расчетом, чтобы g- и р(хпоізс) : Для любой точки у е j ty,x) jX , ) +j (Xn0эх Лдтвйв+ + Г.
Постановка задачи, предварительные замечания и обозначения
В работе; Уитни [ 7] доказана теорема о спектральном синтезе идеалов, утверждающая, что для всякого замкнутого идеала І в алгебра Ст(-#.) , -Г2С R , I = 0 Іх . В этой же работе Уитни
выдвинул, задачу описания всех совокупностей Лэс эсеИ edLjl0B в Ал і которые являются наборами локализаций некоторого идеала в С (-&). Такие наборы (равно как и соответствующие им наборы замкнутых примарных идеалов в С \М-) ) мы будем называть наборами Уитни.
Настоящая глава посвящена конструктивному геометрическому описанию замкнутых идеалов в терминах их наборов Уитни в алгебрах, при m = 1,2. Под, "конструктивным, описанием" понимается однозначное сопоставление каждому идеалу (или набору Уитни) конечной упорядоченной совокупности, параметров, лишенных "скрытых зависимостей" в том смысле, что каждый из них выбирается произвольно в своей области определения, зависящей только от значений предшествующих ему параметров и геометрических свойств спектра идеала.
Проиллюстрируем сказанное описанием идеалов при УП-0 и при Yl-1. В алгебрах С(Л) (m = о) всякий замкнутый идеал, 1 однозначно определяется своим спектром. При этом в качестве о можно взять любое замкнутое в 12 подмножество (а-П можно считать дажа произвольным локально компактным хаусдорфовым пространством). Рассмотрим алгебры Ст(-&) ,ilcR 0г= I). Легко проверить, что всякий собственный идеал і в алгебре А$ полиномов от 2 имеет вид б г A ! ,О К т, тогда отвечающий ему замкнутый примарный идеал в точках I ={?fC v- )t с0 }. Если (oC_Q_ , ІЄ Ст(&) ж . . 0 , то согласно предложению 6.1 из главы 2 w =0, І К Ш . Поэтому всякий замкнутый идеал. I может быть описан набором параметров 5Г , (5 ,(5 ,..., (5- 1-4 , гдеСҐ - произвольное замкнутое ъИ. множество, а бГ ,...,(Г0 -произвольные дизъюнктные подмножества 50 , при этом .При fn l, YiZ Z задача описания идеалов становится значительно интереснее и труднее. Случаю m = І, ГЪ 2 посвящена работа Э.Филлоя [28]. В ней дается некоторое неконструктивное описание наборов Уитни {b - flB терминах (взаимного) расположения идеалов Ід. как подпространств К В I настоящей главы приведено исчерпывающее конструктивное описание замкнутых идеалов в алгебрах С В 2 рассмотрен случай ул.- 2, и = 2. Доказанные там утверждения приводят, при некотором условии технического характера на множество 6 , к конструктивному описанию замкнутых идеалов- в со спектром о . Условимся о следующих обозначениях. Если I - идеал в С u(2),!2cR f то црИ І к пг полагаем 5"КШ -{зсІ1 D ( )=0 при JL\ c для всех f 1} . Если ercR 1, то при Хв обозначим K fc) множество прямых, предельных для хп-х при х х, х бб » х1Фас , и. L -Cx) (в 281 ,ЕЗОІ употребляется символ. p"ta 00 ) - множество прямых, предельных для х1-х2 при -хл$х2- х. ; 0( , х2 Є (Г ; х х . Очевидно, что К Ск) и L te) - непустые замкнутые подмножества RP и К Сх-Эс/ СФ. Элементы множества L Cx) будем, называть касательными, прямыми, множества э в точке х . Символ l l будет обозначать мощность множества, a .(-,-) -[ острый) уголі между векторами или прямыми в R . Отметим., что спектром, идеала в С СО.) может быть любое замкнутое в _П множество б . Более того, какие бы идеалы і сД вж задать в изолированных точках ос множества б f существует такой идеал I в С С-Щ, что э(I)-б и 1 = 1 х , х 5 0 . Действительно, возьмем при каждом хе функцию равную нулю в окрестности; множества 6" и такую, что "j?x(0-l, а, при, х б возьмем. А/- , функций таких, что 35 )-0, кх равны нулю в, окрестности бЛ ос} р =-1,...,/ , и {Т 4х}р= - базис j . Ясно, что идеал, порожденный семейством 3 всех указанных, функций, обладает требуемыми, свойствами. Вяжа, неоднократно понадобится также; следующее простое замечание. Если 5Гс RK, у.е о , ЮбЬ ОД, lfjl = l и функция eCX-fi-) равна нулю на ЄГ , то D" f( ) 0 . В частности, если множество Lg-C ) содержит, п, линейно независимых векторов, то Действительно, для данного n L te) существуют последовательности: {хк."!г и {ч- точек из 6 , такие что х . Ф. Начнем, с описания замкнутых примарных идеалов в алгебре С400-), J2-CR . Цусть Ia- замкнутый примарний идеал в точке авЛ. Ввиду того, что2)(-ПлМ)сТ, всякий функционал [С СІ2)] аннулирующий Ia , имеет вид f=ty a+2I&J) l Ta ,7oR H7«.--- tyi)R Следовательно, Так как 1а совпадает, с пересечением ядер конечного числа таких функционалов, то при Bcex/ L}, где L - подпространство в К . Наоборот, всякое множество такого вида является, очевидно, замкнутым, примарным. идеалом в точке (К . Таким образом, при Kl=j? замкнутые примарные идеалы в точке а. Є Л могут быть-лишь, следующего вида:
