Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Вспомогательные понятия, соглашения и обсуждения 8
1.2 Формулировки основных результатов для круга 10
1.3 Иллюстрации основных результатов для ограниченной области Q 12
2 Доказательство теоремы неединственности 1.1 для круга 14
2.1 Применение мер и функций Йенсена 14
2.2 Лемма сравнения 16
2.3 Доказательство теоремы неединственности 1.1 . 18
3 Меры и функции Йенсена и "гашение" роста субгармонической функции 25
4 Вспомогательные понятия и результаты 32
4.1 Энтропия линейной связности 32
4.2 Элементарные оценки с расстоянием Харнака 36
4.3 Гармоническая мера, функция Грина, выметание и оценки интегралов 38
4.4 Звезды подмножеств и выметание 41
4.5 Вспомогательные оценки интегралов через расщепление мер 45
5 Подготовительная теорема для алгебр 48
6 Снова об энтропии линейной связности 52
6.1 Энтропия линейной связности и семейства подмножеств ; 52
6.2 Энтропия линейной связности, вздутия и звезды подмножеств 56
6.3 Энтропия линейной связности, диаметр и сегментальная оболочка подмножества . 62
6.4 Энтропия линейной связности и системы положительных весов 66
7 Теоремы неединственности и устойчивости для ограниченных областей 70
7.1 Теорема неединственности для алгебр,
задаваемых положительными весами 70
7.2 Теоремы устойчивости для последовательностей неединственности 73
7.3 Теоремы неединственности и устойчивости для классов функций в круге
с радиальной системой весов 76
Список литературы 84
- Формулировки основных результатов для круга
- Лемма сравнения
- Гармоническая мера, функция Грина, выметание и оценки интегралов
- Энтропия линейной связности, вздутия и звезды подмножеств
Введение к работе
Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю> = {z Є С: |г| < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в D функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры СВ. Шведенко [1], А.Б. Александрова [2], X. Хеден-мальма [3], П. Колвела [4] и на наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографию А. Джрбашяна и Ф. А. Ша-мояна [5] и результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [6], [7], существенно развившего исследования М. М. Джрбашяна, и Ч. Горови-ца [8] (алгебры функций умеренного "степенного" и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [9], Е. Беллера и Ч. Горовица [10], [11], К. Сейпа [13], [12], X. Бруны и X. Массанеды [14], Д. Льюкинга [15] (алгебры и пространства функций медленного "логарифмического" роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.
Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге О или в ограниченной области ПсС является подмножеством (подпоследовательностью) нулей для заданной алгебры голоморфных функций в D или в Г1{ выделяемой ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант.
Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ъ, то пишем "/ = b на А"; в противном случае — "/ ф Ь на А".
Последовательности точек А = {Ап} на П всегда предполагаются не имеющими предельных точек в Г2, если не оговорено противное. Кроме того, к последовательностям точек А нам будет удобно добавлять также условную "последовательность", состоящую из всех точек области П, повторяющихся счетное число раз. Последнее обстоятельство связано с тем, что такую условную "последовательность" удобно и естественно рас- сматривать как в точности нулевое множество голоморфной функции, тождественно равной нулю на Q. Для такой условной "последовательности" пишем Л = +оо.
Пусть / — голоморфная в области Q функция.
Последовательность нулей Zero/ функции f ф О определяется как последовательность, в которой каждая точка Л Є Сі повторяется ревно столько раз, какова кратность нуля функции / в этой точке Л; если / = 0, то Zero/ — это та самая условная "последовательность" = +сс на Сі. По одной из классических теорем Вейерштрасса для каждого последовательности Л в Сі существует голоморфная в С1 функция /д с последовательностью нулей Zero/д = Л.
Последовательность ЛвП называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(Л) = 0), если последовательность Zero/ включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т. е. число повторений каждой точки Л Є Сі в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.
Пусть Я — некоторый класс голоморфных функций в С1, а Л — последовательность в С1. Если существует функция / Є Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Я. Если существует функция / =?= 0 из Я, для которой Л — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для Н.
Каждая последовательность нулей Л ф +оо для Я является подпоследовательностью нулей для Я. Обратное весьма часто оказывется неверным (см., к примеру работы Ф. А. Шамояна [6], [7]).
Последовательность Л = +со не является подпоследовательностью нулей ни для какого класса голоморфных функций.
Если класс Я — линейное пространство над С или над полем вещественных чисел R, то подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я, а в противном случае Л — последовательность единственности для Н.
Через Н(С1) обозначаем линейное пространство над полем С всех голоморфных в области QcC функций /.
Через SH(Cl) обозначаем класс всех субгармонических функций в области С1 С С, включая в него и функцию и = —со на Cl; SH+(Cl) — подкласс всех положительных функций из SH(Cl).
Пусть СР — семейство функций из SH(Cl), не содержащее функцию = —со, которое далее называем системой весов на Cl, а функции из 7 — весовыми, или весами.
Рассматривается следующий тип весовых алгебр. Если система весов 7 на Q обладает свойством (А) для любых р\ Є У и Р2 Є СР и для любых постоянных С\,с2 > О найдутся функция рз Є У и постоянные Сі, Со > 0 такие, что max{clPl(z),c2p2{z)} ^ Cxp3(z) + C2, z Є fi, (1.1) то класс голоморфных в Г2 функций /, удовлетворяющих оценке log|/(5)|^/P/(2) + B/, :efi, (1.2) где А/ и В/ — строго положительные постоянные, а р/ — некоторая функция из У, образует алгебру, которую обозначаем далее через Ау>(С1). Действительно, если f,g Є Ау(1), т.е. вместе с (1.2) справедлива оценка l0g|g,Bg > 0, то по условию (А), примененному к функциям pi = pf и р2 = рд и постоянным Сі = А/ и с-2 = Ад, получаем оценки log \f + g\ < log(|/| + Iff I) ^ max{log|/|,logM} + log2 < тах{Л/р/ + В/, Аэрэ + Д,} + log2 5 max{A/p/, AgPg} + max{Bf, Bg} + log2 ^ Cip + C2 для некоторого веса p Є У и постоянных Сі,С2 > О, т.е. класс A?(Q) замкнут относительно сложения.
Очевидно, а/ Є Ау(1) для любого а Є С, т. е. класс А
Наконец, при условии (А) log|/p| ^2max{log|/|,log|$|} ^ 2 max{Afpf + Bf, Адрд + Вд} < 2 тах{Л/р/, Адрд} + 2 тах{В/, Вд) ^ Cip + С2 для некоторой функции р У и постоянных Ci,C2 > 0, т.е. класс Ау замкнут и относительно умножения.
Отметим, что если все функции из класса О5 положительны, то выполнение условия (А) достаточно проверить при сі = с2 = 1.
Если р SH+(Cl) и система весов СР имеет специальный вид {ср: се К, 0< с<+оо}, (1.3) то условие (А) выполнено автоматически и алгебру A
В настоящей диссертации даются достаточные условия, при которых последовательность Л из Г2 является подпоследовательностью нулей именно для классов (алгебр) вида Лу(Г2) или, менее общо, A?(Q) в случаях, когда Q = D — единичный круг или О, — ограниченная область. Для последнего случая результаты несколько менее общие, поскольку приходится учитывать уже геометрию самой области Q. В частности, в отличие от случая круга, рассматриваются только положительные системы весов СР.
Во всех известных нам описаниях (под-)последовательностей нулей для различных весовых классов типа Ау(В) система весов СР предполагалась состоящей из положительных радиальных функций, т. е. зависящих только от \z\, z Є В. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга снимаются.
Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность Л — последовательность (не-)единственности для некоторого весового пространства. Нередко подпоследовательность нулей для класса функций не является последовательностью нулей для этого класса. Особенно велика вероятность этого, если весовой класс определяется нерадиальными по существу весами. Все это актуализирует, наряду с изучением последовательностей нулей, исследование и собственно подпоследовательностей нулей для весовых классов.
Основные результаты статьи новы уже для алгебр А?3 (В) даже только с радиальными весами достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями последовательностей нулей для таких алгебр с более или менее конкретным весом р. Сравнительный анализ последнего дан в заключительном подразделе .7.3.
Формулировки основных результатов для круга
Для функции R(t), определенной на интервале [0,1), полагаем й ) = я(п г) /? 1 Є[0,1), (1.5) где а+ == тах{а,0}. Основной результат статьи, анонсированный в несколько более слабой форме на международной конференции в 2000 году в Уфе [43] и на VI Казанской летней школе-конференции в 2003 году [48], а в окончательной форме доказанный в нашей работе [51], —
Теорема 1.1 (неединственности для круга). Пусть 7 — система непрерывных субгармонических функций в D, удовлетворяющих условию (А), R(t) — убывающая строго положительная непрерывная функция на [0,1) такая, что для некоторого числа (3 1/2 Д( ) /?(1 - t) при р \ , 0 t 1, (1.6а) Я( ) \ (1 - t) при р = і 0 t 1. (1.6b)
Если для системы 7 выполнены два условия: (R) для любой функции р Є У найдутся функция р\ Є У и постоянные Оі,С2 0 такие, что при некотором t0 1 1 С2ж -J p{z + Rp(\z\)eie)de ClPl(z) + C2, t0 \z\ l; (1.7) (S) для любой функции pi Є У и постоянной С 0 найдутся функция Рч Є 7 и постоянные Ci, ( 0 такие, что при некотором 0 1 в каждой точщ z, \z\ to, для некоторого числа а (зависящего от z), О а 1 — \z\, выполнена оценка sup Pi(O + Clog- ClP200+C2, o N l, (1.8) С-г«т о и при этом для некоторой системы {Dk}, к = 1,2,... непересекающихся борелевских множеств выполнены соотношения limsup 1, 1 4 = sup{2 : z Є Dk} — 1, (1.9) а также последовательность Л С Ufc-Dfc для некоторой функции р Є "У удовлетворяет условию limsup ) \ оо, (1.10) где vv — леера Рисса функции р, то Л — последовательность неединственности для алгебры A?(D).
Выполнение условий (R) и (S) требуется лишь при t, близких к 1. Поэтому в теореме неединственности, вообще говоря, достаточно считать убывающую строго положительную фунісцию R(t) определенной лишь на некотором интервале [ ,1), 0 tf 1. В этом случае можно продолжить ее на весь интервал [0,1) с сохранением условия (1.6), полагая R(t) = R(t ) при 0 t t . Тогда, в силу непрерывности функций из У, увеличивая, если это необходимо, постоянную Сі 0 в (1.7) и (1.8), условия (R) и (S) также можно считать выполненными при всех z Є Ш с продолженной на весь интервал [0,1) функцией R(t). Условия (1.9) и (1.10) также сохраняются ввиду их асимптотического характера.
Отметим также, что условие (1.6) обеспечивает (см. лемма 2.2, оценка (2.26)) то, что z + Rp{\z\)eie Є D для всех z О, т.е. левая часть в (1.7) определена при всех 2 Є В.
Доказательство теоремы неединственности следует схеме доказательства аналогичных результатов для алгебр и пространств целых функций из [18, Теорема 3.1] (см. также элементы этой схемы в [19]).
Несколько ослабляя теорему неединственности, два условия (R) и (S) можно объединить в одно. Следствие 1.1 (неединственности для круга). Пусть функция R(t) такая сисе, как в теореме неединственности. Если система У непрерывных субгармонических положительных функций удовлетворяет условию (RS) для любой функции р Є 7 найдутся функция р\ Є У и постоянные С\,С2 0 такие, что при некотором to 1 sup p(C)+log—-— ClPl(2) + C2, t0 N l, (1.11) - КД/»(И) Я/НИ) и при этом для некоторой системы {Dk}, к = 1,2,..., непересекающихся борелевских множеств выполнено соотношение (1.9), а для последовательности Л С UfcDfc — условие (1.10), то Л — последовательность неединственности для алгебры Ay(D).
Действительно, из условия (RS) условие (R) следует очевидным образом. Условие (S) получаем применением несколько раз условия (RS) при о- = a(z) = Rp(\z\).
Проиллюстрируем основные результаты диссертации о последовательностях неединственности и их устойчивости в существенно упрощенной и ослабленной форме для частных случаев весовых алгебр в ограниченной выпуклой области О,. На весовые функции р Є SH(Q.) с мерой Рисса ир будем накладывать ограничения вида If2 / 1 \ s jf ,(z+edi (z,«J) d»+lag(l + 5i5K5i5) M )+C, (1.12) где b и С — постоянные, не зависящие от точки гЙ.
Теорема 1.2 (неединственности для выпуклой области). Пусть ПсС — ограниченная выпуклая область, a {Sk}, k = 1,2,..., — семейство борелевских попарно непересекающихся предкомпактных подмножеств из О. и каждый компакт в Q пересекается лишь с конечным числом подмножеств Sk. Кроме того, пусть последовательность Л включена в объединении UfcLiSfc. Тогда (Ui) если p Є SH+(Q) и существуют числа є, 0 є 1, и о, С О, при которых выполнено (1.12), а также .. diamSfc , Л(ь) limsup ———— гг +оо и hmsup—т—4- +00, (1.13) mo Л — последовательность неединственности для алгебры Л2(Г2). Утверждения (Uі) этой теоремы неединственности — очень простое следствие теоремы 7.1 (см. замечания после ее доказательства). В теоремах устойчивости будет иметь значение подходящая нумерация последовательностей точек в области О, и, соответственно, нулей голоморфных функций в области. Теорема 1.3 (устойчивости). Пусть А = {Afc} и Г = {fk}, к = 1,2,..., — последовательности из ограниченной выпуклой области Г2 без предельных точек в Q. Тогда (Si) если ,. [Afc - 7fc , lim sup р г- +оо fc- oo min{dist(Afc,5f2),dist(7fc,9fi)} и функция р такая же, как в (Ui), то Л и Г могут быть последовательностями единственности для А(0,) лишь одновременно. Утверждение (Si) этой теоремы устойчивости — простое очевидное следствие теоремы 7.2.
Конец доказательства обозначается символом ("жирная" точка). Но завершение доказательства (например, леммы), входящего как составная часть в доказательство другого утверждения, отмечается символом о (пока еще "дырявая" точка). Ссылка на номер формулы или утверждения над знаком (не-)равенства, включения и т. п. означает, что при переходе к правой части этого выражения применялись, в частности, и отмеченная формула или утверждение.
Лемма сравнения
Результаты этого раздела, являющиеся первым шагом в реализации применяемого в статье метода выметания, доказаны в статье Л. Ю. Че-редниковой [46]. Нам будут необходимы обобщения понятий мер и функций Иенсена, а также их свойств, применявшихся в предыдущем разделе только для единичного круга В.
Всюду ниже Q — область в С. Не умаляя общности, предполагаем, что О Є П.
Пространство непрерывных функций на Г2, обозначаем, как обычно, через С(Г2). Множество всех локально интегрируемых по мере Лебега т функций в П со значениями в расширенной числовой прямой [—со, +оо] обозначаем как Цос(0,).
Открытый круг радиуса t 0 с центром в точке z Є С обозначаем через D(z, t). При этом D{t) = D{0, t), t 0.
Через M+(f2) обозначаем класс всех положительных борелевских мер (І на области Q, supp /І — носитель меры /І. Класс всех положительных абсолютно непрерывных относительно меры Лебега т мер из М+(Г2) обозначаем через АЖ+(І).
Для функции и Є SH(Q), и ф —оо, как и во введениии, ии — мера Рисса этой функции, и наоборот, для и Є М+(Г2) функция ии — субгармоническая функция с мерой Рисса и, которая всегда существует и единственна с точностью до гармонического слагаемого [25].
Для доказательства основного результата этого раздела (теорема 3.1) нам потребуются некоторые понятия и утверждения из [16], [17], [21], [26]-[28] и их развитие. Сформулируем их здесь только для конуса SH{fy.
Определение 3.1. Мера ц Є M+(Q) с компактным носителем в Q называется мерой Иенсена в Q (для 0 Є П), если для любой субгармонической в 17 функции и выполнено неравенство и(0) [ udti. (3.1)
Класс всех мер Иенсена в Q обозначаем через J0 ( ) Частные случаи меры Йенсена — сужение т на круг D(r) s Q меры Лебега т, нормированное условием m ( (r)) = 1, и мера длины дуги s на окружности dD(r) с нормировкой s [dD(r)) = 1. Более широкий (но не исчерпывающий) класс примеров мер Йенсена поставляют гармонические меры ио(0, ) для подобласти D (s П, 0 6 D, в точке 0. Очевидно, меры Йенсена — вероятностные, и если 0 А С П , где ГУ — область в С, то JQ(Q,) С JQ(Q. ).
Мера Йенсена \х в области Q для 0 Є П — частный случай выметания, а именно: выметание меры Дирака 5о, т. е. единичной массы, сосредоточенной в точке 0 Є П относительно конуса SH(Q,). С учетом этого можно сформулировать необходимый в дальнейшем частный случай2 результата из [22, теорема 7.1]:
Теорема 3.1. Пусть Q — область в С, 0 Є fi, F Є Цос(0,). Если —оо inf { І Fdpi: /І Є Jb(fi) П ЛМ+(П)} , (3.2) mo для любой функции г 6 C{Q), удовлетворяющей условию О r(z) dist(z, Ш), г fi, (3.3) найдется функция v S77(f2), которая удовлетворяет неравенству v(z) F(r) (z) = [ F(z + С) dm(r(2)) (С), г Є П, (3.4) JD{T(Z)) и гармоническая в некоторой окрестности нуля.
В [22, теорема 7.1] доказано лишь, что можно выбрать v ф —оо. Легко преобразовать функцию v так, чтобы соотношение (3.4) сохранилось, а функция v оказалась гармонической в некоторой окрестности нуля. Для этого заметим, что по условию непрерывности функции г и ввиду локальной интегрируемости функции F построенная по правилу (3.4) функция F непрерывна в Г2. Используя гармоническое продолжение функции v внутрь некоторого достаточно малого крута с центром в нуле , т.е. выметание функции v из этого круга (см. определение (4.18) ниже), а затем вычитая из нее достаточно большую положительную постоянную, получим требуемую функцию V.
2В [22, теорема 7.1] следует отождествить М2 с С, переобозначить область G как Г2 и выбрать в качестве выпуклого конуса Н и меры v соответственно конус Sff (П) и меру Дирака 5Q.
Определение 3.2. Пусть и — мера Йенсена в С1. Потенциалом меры /z будем называть функцию МО = / log \z - С dfi(z) - log ICI. (3.5) В [16, предложение 1.4], [21, предложение 3.3], [22, лемма 8.1] для од-носвязной области, а в [29, Предложение 1.2] для произвольной области С1 приведено следующее обобщение формулы Пуассона-Йенсена:
Предложение 3.1. Пусть и Є JQ(CI). ДЛЯ любой субгармонической в области Сі С С, О Є Сі, функции и с мерой Рисса Хи при условии и(0) ф —со имеет место равенство [udn= J Vlxd\u + u(0), (3.6) Jn Jn где Vp — потенциал меры Иенсена и. Определение 3.3. Субгармоническую вП\ {0} функцию V называем функцией Иенсена в С1 (для точки 0), если выполнены три условия: (1) существует такой компакт К С Сі, что V{z) = 0 для z Є Сі \ К; (2) V(z) - log + 0(1) при z - 0; (3) У(О 0приСЕС\{0}. Класс всех функций Йенсена в Сі обозначаем через PJ0(Cl).
В частности, любая продолженная функция Грина 7D(0, Z), Z Є С, для области D (ё Cl с полюсом в точке 0 (см. [25]) принадлежит классу PJQ(Cl). Нетрадиционные примеры функций Йенсена, отличных от функций Грина, можно найти, например, в [16].
Отображение, действующее по правилу и — V , задает биекцию всех мер из Jo(Q) на класс PJo(Cl) (для точки 0). При этом мера Рисса в С \ {0} функции Йенсена V совпадает с сужением на С \ {0} меры Йенсена д, для которой V = Vp — потенциал меры \i (см. [16, предложение 4.1], [22, лемма 8.3] для односвязных и [29, теорема двойственности] для произвольных областей).
В основе нашего дальнейшего исследования последовательностей неединственности — следующая общая теорема 3.2, которая является вариацией утверждений из [16, основная теорема], [21, теорема 1.3], [17, теорема 1] и дает в терминах мер Йенсена достаточные условия возможности "погасить" рост субгармонической функции и в О. путем сложения ее с функцией вида log/i, где h Є Н(П), h ф 0. Некоторое уточнение этих утверждений для одномерного случая достигается в основном за счет равномерной оценки решения 5-задачи из работы О. В. Епифанова [30]. Важное отличие от отмеченных выше утверждений в том, что в правой части оценки (3.8) вместо точной верхней грани функции М по некоторым кругам переменного радиуса стоит усреднение этой функции по кругам и окружностям. Это может оказаться принципиальным улучшением в случае, когда функция М гармоническая на некоторых участках в Q.
Гармоническая мера, функция Грина, выметание и оценки интегралов
Используемая ниже терминология большей частью согласована с [36, гл. V]. Пусть ft — область в С, D- семейство подмножеств в ft. Граница дЪ семейства Ъ — объединение границ в ft всех подмножеств из D.
Семейство D называется отделенным от точки 2ЄЙ, если суще ствует открытая окрестность этой точки в ft, не пересекающаяся ни с од ним из подмножеств из D. Семейство Т называется локально конечным в ft, если для любой точки z Є ft существует ее открытая окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом подмножеств из Ъ. Очевидно, из условия локальной конечности семейства в нашей ситуации следует, что это семейство содержит не более чем счетное число элементов, а каждое предкомпактное подмножество в ft пересекается лишь с конеч ным числом подмножеств из этого семейства [36, задача 38]. Проиндек сированное семейство7 D = {Dk}, k = 1,2,..., комбинаторно вписано в проиндексированное же семейство V = {D k}, к = 1,2,..., если Dk С D k для каждого индекса к = 1,2, Определение 4.2. Семейство областей Т , включенных в область ft, будем называть подходящим для ft, если выполнены следующие три условия: (1) любая область из Ъ предкомпактна в ft; (2) семейство областей D локально конечно; (3) каждая область из семейства D квадрируема (относительно меры Лебега т), т.е. m(dD) = 0 для всех D Є 2). 7В проиндексированной семействе не обязательно все элементы попарно различны.
Из условий (2)-(3) следует, что граница дТ подходящего для ft семейства областей D имеют лебегову меру нуль. Попутно отметим, что для каждого локально конечного семейства Е = {Sk}, к — 1,2,..., подмножеств Sk ft, семейство компактов Е = {Sk} в ft локально конечно [36, задача 37] и нетрудно построить подходящее семейство областей Ъ = {Dk} в ft, в которое семейство Е комбинаторно вписано. Звездой подмножества Л С ft относительно семейства D называется подмножество ДА) = U {D Є Ъ : А П D ф 0 } С ft. (4.26) Звездой точки z Є ft относительно Ъ является подмножество D.(z) = 2 ,({г}) =и{ЄІ : zeD}cn. . (4.27)
При этом семейство D = {D (z): z Є ft } будем называть семейством звезд семейства Deft. Очевидно, семейство звезд D семейства областей Deft также есть семейство областей и наследует свойство отделен-ности от заданной точки. Кроме того, легко видеть, что для подходящего семейства Ъ (a) граница дЪ семейства звезд # имеют лебегову меру нуль; (b) для каждого z Є ft звезда T (.z) предкомпактна в ft; (c) семейство звезд Ф локально постоянно вне границы дЪ семейства D, т. е. для любой точки z Є ft \ дЪ найдется такая ее окрестность в ft, что звезды всех точек из этой окрестности относительно семейства D совпадают.
Пусть ?„( ;) (ги, С) — значение в точке (по второй перменной) продолженной функции Грина области 22 (С), если звезда 2 (С) — непустое множество, и 5гк,(с)(ЭД) С) = 0 в противном случае.
Предложение 4.1. Пусть Ъ = (} — подходящее семейство областей в области ft и и — мера с носителем в одном из Dk, й р ф —со — субгармоническая функция в ft. Тогда {интеграл по пустому множеству равен нулю) [ ймоКОЖ/ "). С eft, (4.28) и Jtfjj ,)() измеримы и локально интегрируемые по мере Лебега т вС1. То же самое верно по любой абсолютно непрерывной относительно т мере Иенсена р,. .
Доказательство. По свойствам (Ь)-(с) семейства звезд D подходящего семейства областей D нетрудно видеть, что интеграл (4.28) как функция от С, fi является локально супергармонической функцией вне границы дЪ семейства областей D, поскольку функция Грина 5.()(1 С) является таковой. Отсюда интеграл (4.28) — измеримая и локально интегрируемая по мере Лебега т функция от , так как т(дЪ) = 0. По свойствам (Ь)-(с) семейства звезд !D подходящего семейства областей Т) нетрудно видеть, что функция Jtfj tQ(С) от Є fi — локально субгармоническая вне границы дЪ семейства областей D. В частности, она измеримая и локально интегрируемая по мере Лебега тп функция от , так как гп(дЪ) = 0. Последнее заключение о мерах Йенсена очевидно.
Звездой с ядром подмножества А С VL относительно семейства Ъ называем подмножество ЩА\ = A U 2 ,(Л) = Аи(и{Деї):АП) 0})сП. (4.29) Если А не пересекается ни с одним из подмножеств семейства Ф, то по определению (4.26) Т (А) = 0, но D [A] = А по определению (4.29).
В случае, когда в (4.29) множество А — одноточечное множество {z} или круг D(z, t), введем для звезд с ядром таких множеств относительно семейства Ъ сокращенные обозначения ад = Ъ.[{г}] = {z} иЗД ЯЛ .0 = D.[( , )], (4.30)
Пусть функция г на О, удовлетворяет условию (3.3). Для подмножества А области Q полагаем (ср. с (4.2)) Ar = U{D{z,r{z)):zeA} (4.31) — r-вздутие множества А в Q, которое в случае связного множества А ввиду условия (3.3) является подобластью в Q. Далее в этом параграфе рассматривается только подходящее семейство областей Ъ в области Г2.
Предложение 4.2. Для функций r,r0 : Q — Ж, удовлетворяющих условию (3.3), для z Є О. при r(z) : TQ{Z) и D(z,t) (si Q справедливо неравенство №)rW W,t)ro ( ), p Є Sff(П). (4.32)
В силу включения (D [z, t))r С (2) [г,і))Г при r(z) г0(.г) это предложение сразу следует из принципа подчинения (4.19) для выметания. Для приведения оценок к более компактному виду далее потребуется
Предложение 4.3. Пусть непрерывная в области Q функция г удовлетворяет условию (3.3) up Є SH(Cl). Тогда оценки P(r)( ) l,.«,)r( ), (4.33а) K(2+H))(r,( V MrW (4.33b) выполнены при всех z Є Г2 и 0 t dist(z, dQ). Доказательство. По построению выметания (4.18) правая часть в неравенстве (4.33а) — гармоническая мажоранта субгармонической функции р в области (D,[z, )) , включающей в себя круг D(z, r(z)). Следовательно, усреднение (3.4) по кругу D(z, r(z)) функции р и правой части (4.33а) дает (4.33а).
Энтропия линейной связности, вздутия и звезды подмножеств
Приступим к доказательство предложения 6.9. Пусть р = р0 Є У. По условию (D0) можно рекуррентно подобрать последовательность полооюительных субгармонических функций {рк} С 7 и положительных чисел Ск так, что выполнены неравенства 1 г — J pk{z + єоІф)еів) d6 pk+l{z) + Cfc+i, zeQ, (6.39) при к = 0,1, — По неравенству о среднем по окружности для субгармонических функций неравенства (6.39) содержат в себе и более слабые неравенства Pk(z) Pk+i(z)+Ck+u 2 6П, к = 0,1,.... (6.40)
Пусть z, w Є S, (5;ГІ) /, и по лемме 6.1 выбрана последовательность кругов D(k,d) ft, центры которых С,к удовлетворяют условию (D1), радиус d определен равенством (6.34), а ограничение на их количество задается неравенством (6.35). Положим Нк = Э щ, d), где в правой части стоит гармоническое продолжение10 субгармонической функции Рк внутрь круга Dfa+i, d), к = 0,1,..., п. В силу положительности веса рк его гармоническое продолжение Нк также положительно в круге D(0t+i,d) и, учитывая условие — Cfe+il d/2 из (D1), по неравенству Харнака [32, теорема 1.3.1] для положительных гармонических в D(k+i,d) функций Нк получаем рк(Ск) #fe(G) - щ нк(ск+1) = з — J pfe(cfc+1 + dei9) de при всех к = 0,1,..., п. Отсюда, согласно выбору радиуса d в (6.34), (6.34) I г2т (6.39) Pfe(Cfc) Z J Pk{Ck+i+edn{Ck+l)eie)de 3(pfe+1(Cfc+1) + Cfe+1) при каждом к = 0,..., п. Последовательное применение к+1 раз последней оценки, начиная с А; = 0, дает оценку п+1 п+1 p{z)=p0(Co) 3n+Vn+i(Cn+i)+Y,tCk = 3n+v«+iH+Y,3kk- -41) fc=l fc=l 100бозначение согласовано с обозначением (4.18) выметания субгармонической функции.
Положим N = [2(/ +1)2 max{ І/є, 4( +1)}] — целая часть правой- части неравенства (6.35), т.е. п N. Из (6.41), применяя в случае п N последовательно N—n раз, начиная с к = п+1, неравенства (6.40), получаем N+l \ п+1 к=п+2 / к=\ р(г) 3"+1 ( pN+l(w) +Y,C4 + Е3" к=\ N+l 3N+lpN+l(w) + Y,3kCk. (6.42) fc=l Из условия (6.39) на построение функций {р и чисел {Ck} и согласно выбору числа N видно, что выбор функции рлг+і Є О5 и постоянной N+l С = ЗкСк к=\ в (6.42) при фиксированной функции р обусловлен исключительно значениями чисел е и / и не зависит ни от выбора подмножества S С Г2, когда (S;Q) I, ни от выбора пары точек z,w Є S. Следовательно, (6.42) влечет за собой оценку supp(z) inf З рлг+іИ + С (6.43) zS w s для любого S С ft, удовлетворяющего условию (S; ft) I. Наконец, применение условия (А) не более, чем раз, позволяет по функции PN+I найти функцию р Є З5 и постоянную С", с которыми справедливо неравенство (А) 3jV+W+iH = PN+i{w) + ---+Pff+i(w\ p{w) + С", wett. (6.44) 3N+1 раз Выбор функции р и числа С" определяется исключительно функцией PN+I И значением номера N, т.е. в конечном итоге также только функцией р и значениями чисел є и I. Неравенства (6.43)-(6.44) при С = С + С" дают (6.33). Теоремы неединственности и устойчивости для ограниченных областей
Теорема неединственности для алгебр, задаваемых положительными весами
Теорема 7.1 (неединственности). Пусть система весов 7 С SH+(Q.) в области ПёС удовлетворяет условию (А) и условию (LDo) существует число є, 0 є 1, при котором для любой функции р Є СР найдутся функция р\ Є З5 и постоянная С\, для которых при всех z Є О. 1 Г2 / 1 \ -у + ( ) + (1 + --) (2:)-+ . (7.1) Пусть S = {5} — локально конечное семейство борелевских предком-пактных подмножеств Sk в Q, к = 1,2,..., удовлетворяющее условию11 lim sup i{Sk; П) +оо (7.2) к— оо шш одному из четырех условий (Sdl)-(Sd4) предложения 6.8. Ъш ?ля последовательности А на Q найдется функция р Є У, при которой выполнено условие (RS) для jwepw пл, определенной в (1.4), м меры Рисса ир функции р при некотором их представлении в виде сумм положительных мер (ср. с (5.1)) ОО 00 fc=l ik=l где Л — juepa с компактным носителем в О, и меры Х к\щ сосредоточены на Sk, к = 1,2,..., выполнено соотношение lim sup —,fc. +oo, (7.4) А (&) fc oo u$,k)(Sk)
Это условие совпадает с (6.14). По поводу энтропии линейной связности (Sk; О) см. (4.4). то Л — подпоследовательность неединственности для алгебры Ay(ft).
Доказательство. При условии (7.2), совпадающем с (6.14), по предложению 6.2, а при выполнении одного из четырех условий (Sdl)-(Sd4) предложения 6.8 по предложению 6.8 семейство Е можно комбинаторно вписать в некоторое подходящее для ft семейство областей Т = {Дь}, для которого имеют место соотношения (6.15). Первое из них — соотношение (6.15S) — совпадает с условием (5.2d) подготовительной теоремы 5.1 для алгебр. Условия (7.4) и (7.3) доказываемой теоремы влекут за собой выполнение условия (5.2s) и соглашений (і)-(ііі) той же подготовительной теоремы, если в в качестве субгармонической функции и рассмотреть функцию logl/ді, где Д ф О — некоторая голоморфная в ft функция с последовательностью нулей Zero/A = Л, положив Хи = пд, y(k) = vy.
