Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Изучение аппроксимативных свойств методов приближения, по строенных на базе рядов Фурье с помощью модификаций модулей не прерывности 13
1. Точечные оценки скорости сходимо сти рядов, сопряженных с тригоно метрическими рядами Фурье 21
2. Оценки в метрике L1(T) скорости сходимости, тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними 34
3. Оценки полунорм разности сумм Фейера и Абеля—Пуассона периодиче ских суммируемых функций 48
4. О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера 64
Глава II. Модифицированные модули не прерывности 79
Введение 79
1. Оценки модифицированных модулей непрерывности через обычные модули непрерывности 80
2. Модули непрерывности, построенные на основе формул численного дифференцирования 84
Глава III. Оценки снизу наилучших приближений и модулей непрерывности суммируемых функций через их коэффициенты Фурье 87
Введение 87
1. Оценки в одномерном случае 91
2. Оценки в многомерном случае 98
Литература 101
Оглавление 103
- Оценки в метрике L1(T) скорости сходимости, тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними
- О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера
- Модули непрерывности, построенные на основе формул численного дифференцирования
- Оценки в многомерном случае
Введение к работе
Актуальность темы. В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристику структурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристики структурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература. Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, и структурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. В этом случае оказывается, что в качестве характеристики структурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности, удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие. Изучению этого круга вопросов посвящена глава I.
В главе II изучаются модификации модулей непрерывности, основанных на суммах довольно общего вида (модифицированных разностях)
5^ akf(x + akt), подчиненных условиям
>fcai=0 i = 0...m-l, 5>fcaj^0.
Такая проблематика восходит к работам С. Н. Вернштейна (1947, 1948), где введены с помощью модифицированных разностей, аналогичных описанным выше, некоторые обобщения классов Липшица:
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I 3 БИБЛИОТЕКА ]
специальные однородные классы. С. Н. Бернштейном были установлены прямые и обратные теоремы приближения функций, принадлежащих специальным однородным классам, а также выяснены условия, при которых различные специальные однородные классы эквивалентны между собой, а также эквивалентны классам Липшица.
В главе III изучается связь между структурными свойствами функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье: рассматриваются оценки сверху значений полунорм, определенных через коэффициенты Фурье, в метрике L1 (Т). Этой тематике посвящен ряд работ. История вопроса подробно изложена С. А. Теляковским (1994).
Таким образом, представляется актуальным исследовать связь между модифицированными характеристиками структурных свойств и точностью аппроксимации периодических функций.
Цель работы.
1. Получить оценки сверху величины типа
\Sn(f,x)-f(X,7C/n)\
в терминах модулей непрерывности первообразных, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразные.
-
Исследовать сходимость рядов Фурье и сходимость рядов, сопряженных с рядами Фурье с использованием модулей непрерывности первообразных в метрике Хг1(Т).
-
Получить двусторонние оценки полунорм разности сумм Фейе-ра и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций в терминах модулей непрерывности третьего порядка первообразных и модулей непрерывности второго порядка сумм Абеля—Пуассона.
- 4. Определить главный член уклонения функции Стеклова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона. Оценить соответствующие остатки через модули непрерывности первообразных или модули непрерывности функций Стеклова.
-
Изучить модифицированные разности довольно общего вида, аналогичные рассмотренным С. Н. Бернштейном в связи со специальными однородными классами, и соответствующие им модули непрерывности.
-
Исследовать связь между структурными свойствами периодических суммируемых функций и скоростью убывания их коэффи-
циентов Фурье с использованием модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике Ьг(Т).
Методика исследования. Используются результаты и техника теории аппроксимации функций и теории тригонометрических рядов Фурье.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены новые оценки для отклонений сумм Фурье, сопряженных сумм Фурье, а также для коэффициентов Фурье, установлены двусторонние оценки полунорм разности сумм Фейе-ра и Абеля—Пуассона, выделен главный член уклонения функции Стеклова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона, исследованы новые модификации модулей непрерывности.
Достоверность результатов, обеспечивается использованием общеизвестных положений и методов анализа. Все основные положения диссертации представлены в виде теорем и сопровождаются подробными доказательствами.
Теоретическая значимость. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории аппроксимации функций и теории рядов Фурье, в частности в прямых и обратных теоремах теории аппроксимации и их модификациях, а также при изучении сходимости различных методов приближения.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при исследовании различных вопросов теории приближения функций и гармонического анализа.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей.
На зашиту выносятся следующие результаты.
1. Получены оценки сверху для величин типа
|ЗД,х)-/>,7г/п)|
в терминах модулей непрерывности первообразных, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразные.
2. Получены результаты относительно сходимости рядов Фурье и
сходимости рядов, сопряженных с рядами Фурье, в метрике L (Т).
Оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных. Как следствие из полученных результатов вытекают аналоги в метрике 1г1(Т) признаков Дини—Липшица, Жордана, Юнга.
3. Установлены двусторонние оценки полунорм разности сумм
Фейера и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций.
Неравенства получены в терминах модулей непрерывности третьего
порядка первообразных и модулей непрерывности второго порядка
сумм Абеля—Пуассона. В первом случае оценки сверху и снизу
совпадают (с точностью до постоянных) для функций принадлежа
щих наиболее важным классам функций, а во втором — для каждой
индивидуальной функции.
4. Выделен главный член уклонения функции Стеклова первого
порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона. Оценки соответству
ющих остатков ведутся в терминах модулей непрерывности перво
образных или модулей непрерывности функций Стеклова. Во вто
ром случае удается получить двусторонние оценки, причем оценки
сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных для каждой
индивидуальной функции.
-
Рассмотрены модифицированные разности довольно общего вида. Показано, что модули непрерывности, соответствующие введенным обобщенным разностям, оцениваются сверху и снизу через обычные модули непрерывности. Таким образом, если не принимать во внимание постоянные, то классы функций, определяемые модифицированными модулями непрерывности, совпадают с классами функций, определяемыми обычными модулями непрерывности.
-
Установлены оценки снизу модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике 1/1(Т) периодических суммируемых функций через их коэффициенты Фурье. Установлены многомерные аналоги полученных неравенств.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно
Апробация работы. Все основные результаты диссертации докладывались на С.-Петербургском межвузовском семинаре по конструктивной теории функций под рук. проф. Г. И. Натансона (ноябрь 1998 г., апрель 1999 г., октябрь 1999 г., февраль 2000 г., декабрь 2000 г., апрель 2001 г., ноябрь 2001 г., март 2002 г.), а также на международной научно-теоретической конфереции "V Царскосельские чтения" (апрель 2001 г.).
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 5 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав (первая глава включает в себя введение и четыре параграфа, вторая и третья — введение и два параграфа каждая), списка литературы из 29 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.
Оценки в метрике L1(T) скорости сходимости, тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними
Пусть dn(t) = ft Dn(u)du. Через afcn, 1 к п, и Акт 1 к п — 1, обозначим взятые в порядке возрастания нули функций dn и сп соответственно, лежащие в промежутке (0,7г). Кроме того, положим а0п = fion — 0, an+in = f3nn = 7Г, ап = aln, /3n = /?ln, Afcn = [o!fen,afe+in], i?fcn = [ Ьі +іп] В данном параграфе установлены две теоремы о сходимости рядов Фурье (теорема 1) и о сходимости рядов, сопряженных с рядами Фурье (теорема 2) в метрике L1(T). Оценки ведутся в терминах первообразных, применяется техника, связанная с использованием корней функций dn и сп. Как следствие получены аналоги в метрике L1(T) признаков Дини— Липшица и Жордана. Следующая оценка нормы отклонения функции Стеклова второго порядка через модуль непрерывности второго порядка функции / хорошо известна. Лемма 1.2.1(см., например, [11, с.109]). Пусть f Є Ь1(Т), h 0. Тогда Нам понадобится следующее утверждение носящее технический характер. Действительно, Из приведенных выкладок следует и второе утверждение леммы. В дальнейшем нам потребуется тот факт, что функцию / можно приблизить в метрике Ll(T) полиномом первой степени с точностью до модуля непрерывности второго порядка данной функции /. В предыдущем параграфе, в случае равномерного приближения, использовался аналогичный результат, причем функция приближалась ее интерполяционным полиномом первой степени (лемма 1.1). В случае оценок в метрике L1 (Т) отклонение интерполяционного полинома первой степени не оценивается через модуль непрерывности второго порядка. Однако нужное неравенство можно получить, если изменить аппарат приближения. Пусть / : К - R, h = = , положим В качестве приближения возьмем производную интерполяционного полинома второй степени первообразной P K{f 1\t). Точнее, нам понадобится следующее утверждение. Лемма 1.2.3. Пусть f Є Ll(T),t Е К, h= . Тогда іМ;1 ) где Откуда легко видеть, что образом, мы имеем Оценим Д. Используя неравенство 2 — 2a — /г З/і и теорему Фубини, получаем
Оценивая аналогично остальные слагаемые, получаем С учетом равенства (8), отсюда имеем В 5maxcj2(7-, ( ) Мі Лемма доказана. Лемма 1.2.4. Пусть / Є {Т), h О, t Є [0,h]. Тогда ІІт.(,71}( ) - ,2(7. ,0)1 2(7(- (0) )1 Доказательство. Очевидно имеем Используя равенство (7) и лемму 1, получаем функция 7Іі () — четная, имеем откуда следует оценка следующие свойства ядер Dn и Сп. Лемма 1.2.5(см., например [10, с.36]). При п Є N функ-ция(іп(і) на каждом интервале (2(к — 1)тг/(2п + 1), 2ктг/(2п + 1)) имеет единственный простой нуль ctkn, больший , чем (2к — 1)7г/(2п + 1) , где к = 1,..., п. Лемма 1.2.9. Пусть п - 1 Є N, укп = ((2к - 1)тг)/(2п + 1). Тогда функция сп на каждом интервале (укп,Ук+іп) имеет еДИНСТВеННЫЙ ПРОСТОЙ НуЛЬ flkn, где к = 1,... ,п — 1. Доказательство. Имеем Кроме того, ясно, что signjFi_i = — sign і7;. Следовательно sign.cn(ykn) = sign cos for = (—l)fc. Заметим, что yfcn, где к — l,...,n + l, суть корни с п на отрезке [0,7г]. Поскольку на концах каждого интервала (уктУк+ы) функция сп принимает значения разных знаков, производная с п обращается в нуль только в точках укп, к = 1,... , п + 1, и меняет в них знак, значит в каждом интервале (укп, Ук+іп) функция сп имеет единственный простой нуль. В самом деле, используя неравенство Cn(i) 1/(2), получаем В дальнейшем, в случае, когда п фиксировано и нет опасности недоразумений, букву п в обозначениях опускаем. Так, например, пишем Afc,a вместо Afcn,an соответственно. Воспользовавшись леммой 5, получаем Интегрируя по частям, имеем at Чтобы оценить Ni, достаточно сопоставить теорему 1 и очевидное неравенство Используя свойства функций Стеклова, получаем оценку для N2: Сопоставив следствие 1, лемму 1 и неравенства получаем следующую оценку: Следствие 1.2.2. Пусть / Є LX(T), п Є N. Тогда Неравенство (9) известно (см., например [26]). Пусть / Є (Т), Полагаем где верхняя грань берется по всем разбиениям вида (10). Следуя работе Ф. Морица и А. X. Сидцики [26], будем говорить, что V(/, T)i есть вариация функции / в метрике L1(T). Обозначим через V(T)x множество функций / Є L1 (Т), таких, что V(/,T)l 00. Как следствие теоремы 1 получим аналог признака Жор-дана в метрике L1(T).
О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера
В 4 рассматривается задача по определению главного члена уклонения функции Стеклова первого порядка Sh,i{f) от сумм Фейера и Абеля—Пуассона функции /. Оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных или модулей непрерывности функций Стеклова. Во втором случае удается получить двустороннюю оценку, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных. Следующая теорема аналогична теореме 3.2. Теорема 1.4.1(см. [11, с. 105, 9 с. 203]). Пусть г Є N, h 0, полунорма Р Є А, функционал Ф : С(Т) — R+ таков, что ф(полунорма Р Є А. Тогда Доказательство. Как известно (см., например, [3, с. 368]), для Є (—7г,7г) справедливо разложение Остается воспользоваться теоремой 3.6: Остается оценить первое слагаемое. Для этого покажем, что, если Т Є Нп, то Применим полученное неравенство к 5«д(/) — Un(f) Є Нп : тг Для оценки /і достаточно применить неравенство P(crm(/)) Р(/). Оценивая J2 нужно воспользоваться, кроме того, теоремой 3.1 и неравенством 0 (/,) 4Р(/). Итак, что и требовалось доказать. Установим второе неравенство. Пусть / Є С(Т), положим Ясно, что Фі — полуаддитивный функционал в С(Т). Проверим, что Фі(/) CP(f). С учетом теоремы 3.1, имеем »оо Остается оценить /2 и Із- Используя неравенства 02(/,/») 4Р(/), P(am(f)) P(f) и лемму 2, получаем искомую оценку. Покажем теперь, что, если Г Є Нп, то и лемму 2 получаем нужное неравенство для /з- Для оценки 1\ и І2 достаточно сослаться на лемму 2. Итак, условия теоремы 3.2 выполнены и для всех / Є С(Т) мы имеем i(/KCu;2(/, ). Чтобы получить нужную оценку для / Є L1(T) применим последнее неравенство к 5 д(/) Є С(Т). Докажем третье неравенство. Пусть снова / Є С(Т), положим Ясно, что Ф2 — полуаддитивный функционал в С(Т). Проверим, что $2(/) С-Р(/)- С учетом теоремы 3.1, имеем тг Ясно, что /і CnP(f). Используя теорему 3.4 и неравенство P rnif)) P{f), получаем Наконец, опираясь на свойства модуля непрерывности, оцениваем Согласно лемме 1 Легко видеть, что Опираясь на неравенство u;4(/, t) 4Р(/(4)), получаем Итак, условия теоремы 3.2 выполнены и для всех / Є С(Т) мы имеем Чтобы получить нужную оценку для / Є L1(T) применим последнее неравенство к /(_1) є С(Т). Замечание 1.4.1. Пусть / Є Ьг(Т), h О, полунорма РеА. Тогда Доказательство основано на методе "тест-функций". Положим Тогда, опираясь на свойства модулей непрерывности и функций Стеклова несложно получить оценки По теореме 1 для всех / Є С(Т) мы имеем
Завершаем доказательство применяя последнее неравенство к /(-1), где/ Є (Т). При доказательстве теоремы 3 нам потребуются следующие оценки тригонометрических полиномов. Лемма / + 9) $(/) + $Ы Щ и любых f,ge С(Т). Тогда, если то для любой f Є С(Т) имеет место неравенство Лемма 1.4.1 (см. [11, с. 232]). Пусть m Є N, 0 г 2m, Г Є Я. Тогда Лемма 1.4.2. Пусть п Є N, Г Є Нп, полунорма Р Є А. Тогда Доказательство. Как известно (см., например, [3, с. 368]), для Є (—7г,7г) справедливо разложение Остается воспользоваться теоремой 3.6: Остается оценить первое слагаемое. Для этого покажем, что, если Т Є Нп, то Применим полученное неравенство к 5«д(/) — Un(f) Є Нп : тг Для оценки /і достаточно применить неравенство P(crm(/)) Р(/). Оценивая J2 нужно воспользоваться, кроме того, теоремой 3.1 и неравенством 0 (/,) 4Р(/). Итак, что и требовалось доказать. Установим второе неравенство. Пусть / Є С(Т), положим Ясно, что Фі — полуаддитивный функционал в С(Т). Проверим, что Фі(/) CP(f). С учетом теоремы 3.1, имеем »оо Остается оценить /2 и Із- Используя неравенства 02(/,/») 4Р(/), P(am(f)) P(f) и лемму 2, получаем искомую оценку. Покажем теперь, что, если Г Є Нп, то и лемму 2 получаем нужное неравенство для /з- Для оценки 1\ и І2 достаточно сослаться на лемму 2. Итак, условия теоремы 3.2 выполнены и для всех / Є С(Т) мы имеем i(/KCu;2(/, ). Чтобы получить нужную оценку для / Є L1(T) применим последнее неравенство к 5 д(/) Є С(Т). Докажем третье неравенство. Пусть снова / Є С(Т), положим Ясно, что Ф2 — полуаддитивный функционал в С(Т). Проверим, что $2(/) С-Р(/)- С учетом теоремы 3.1, имеем тг Ясно, что /і CnP(f). Используя теорему 3.4 и неравенство P rnif)) P{f), получаем Наконец, опираясь на свойства модуля непрерывности, оцениваем Согласно лемме 1 Легко видеть, что Опираясь на неравенство u;4(/, t) 4Р(/(4)), получаем Итак, условия теоремы 3.2 выполнены и для всех / Є С(Т) мы имеем Чтобы получить нужную оценку для / Є L1(T) применим последнее неравенство к /(_1) є С(Т). Замечание 1.4.1. Пусть / Є Ьг(Т), h О, полунорма РеА. Тогда Доказательство основано на методе "тест-функций". Положим Тогда, опираясь на свойства модулей непрерывности и функций Стеклова несложно получить оценки По теореме 1 для всех / Є С(Т) мы имеем Завершаем доказательство применяя последнее неравенство к /(-1), где/ Є (Т). При доказательстве теоремы 3 нам потребуются следующие оценки тригонометрических полиномов. Лемма 1.4.3(см. [9, с.282]). Пусть Г Є Я, а О, полунорма Р Є А. Тогда Теорема 1.4.3. Пусть f Є Ь1(Т), а О, полунорма Р Є А. Тогда имеют место оценки Доказательство. Установим первую оценку. Пусть / Є С(Т), положим Ясно, что Фі — полуаддитивный функционал в С(Т). Проверим, что Фі(/) Р(/). С учетом теоремы 3.1, имеем Ясно, что Аналогичные оценки для 12 и /з следуют из леммы 3.2. Покажем, что для любого Г Є Н выполнена оценка Согласно лемме 1
Модули непрерывности, построенные на основе формул численного дифференцирования
Усилив ряд предшествующих результатов, С. А. Теляков-ский установил следующую оценку снизу модуля непрерывности ujr(f,h)i через коэффициенты Фурье a,k(f) и bk(f) (см. [21]). Пусть если s нечетно, ( s + 1, если s нечетно, если s четно, І з, если s четно. { Ь-ы, Тогда для произвольной / Є 1/1(Т) имеет место неравенство (/.a. wfitO HE \ fc=l ч fc=l kV2bk(f) п J к В работе С. А. Теляковского [21] содержится следующий более общий результат. Пусть a = {dk{f)} и Ь — {&&(/)} — структурными свойствами периодических суммируемых функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье. Оценки ведутся в терминах модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике LX(T). В качестве следствия получены оценки (1) и (2). Установлены многомерные аналоги полученных неравенств. Мы будем использовать следующие обозначения. Если г 0, к Є Z+, то через () будем обозначать коэффициенты в разложении (1+г)г по степеням z при \z\ 1, то есть (l+z)r = оо ik)zk- Пусть ж,/г Є Ш, г О, положим fc=0 Если / Є Ь1(Т), то модуль непрерывности дробного порядка г в метрике Z/1(T), а также модуль непрерывности дробного порядка г относительно наилучшего приближения En(-)i определяются равенствами (см. [28]) — сумма Валле-Пуссена функции /. При п,т Є N, т п положим В многомерном случае нам потребуются следующие дополнительные обозначения. В дальнейшем О = (0,...,0) Є Rp,l = (1,...,1) Є Rp, если x Є Rp, то хк — к-я координата х, то єсть х = (#і,...,жр); если х,у Є Rp и ни одна координата у не равна нулю, то f- = [т і ітг) \ если с Є R, у Є Rp и ни одна координата yk не равна нулю, то = с1; если а; Є Кр,г Є Rp, то жг = х\г .. .Жрр, если a,6 Є Rp, то запись a 6 означает, что a , 6 при всех к от 1 до р; [а : 6] = {х Є Zp : а ж 6}. Через LX(TP) будем обозначать пространство 27г-периодических по каждой переменной суммируемых на [-7г,7г]р функций с нормой Ц/ІІ1 = _Ж ]Р 1/1 Пусть / Е LJ(Tp), к Zp, тогда При п Є Z+ полагаем Нп — множество тригонометрических полиномов р переменных порядка не выше n, En(f)i = Если / Є L1(TP), то /( х) означает любую первообразную функции /. Если {Urkfpk} — семейство операторов, действующих на функцию одной переменной, то оператор иГ)р при г,/3 6 Ш? действует на функцию р переменных по формуле причем к-й оператор UVh,pk действует на свой аргумент по к-Ш переменной.
Пусть h Є Щ_, f Є L1(TP), тогда модуль непрерывности порядка г, а также модуль непрерывности последовательности косинус- и синус-коэффициентов Фурье функции /. Для последовательности d = {dk} обозначим dk it s. Данная глава посвящена изучению связи между структурными свойствами периодических суммируемых функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье. Оценки ведутся в терминах модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике LX(T). В качестве следствия получены оценки (1) и (2). Установлены многомерные аналоги полученных неравенств. Мы будем использовать следующие обозначения. Если г 0, к Є Z+, то через () будем обозначать коэффициенты в разложении (1+г)г по степеням z при \z\ 1, то есть (l+z)r = оо ik)zk- Пусть ж,/г Є Ш, г О, положим fc=0 Если / Є Ь1(Т), то модуль непрерывности дробного порядка г в метрике Z/1(T), а также модуль непрерывности дробного порядка г относительно наилучшего приближения En(-)i определяются равенствами (см. [28]) — сумма Валле-Пуссена функции /. При п,т Є N, т п положим В многомерном случае нам потребуются следующие дополнительные обозначения. В дальнейшем О = (0,...,0) Є Rp,l = (1,...,1) Є Rp, если x Є Rp, то хк — к-я координата х, то єсть х = (#і,...,жр); если х,у Є Rp и ни одна координата у не равна нулю, то f- = [т і ітг) \ если с Є R, у Є Rp и ни одна координата yk не равна нулю, то = с1; если а; Є Кр,г Є Rp, то жг = х\г .. .Жрр, если a,6 Є Rp, то запись a 6 означает, что a , 6 при всех к от 1 до р; [а : 6] = {х Є Zp : а ж 6}. Через LX(TP) будем обозначать пространство 27г-периодических по каждой переменной суммируемых на [-7г,7г]р функций с нормой Ц/ІІ1 = _Ж ]Р 1/1 Пусть / Е LJ(Tp), к Zp, тогда При п Є Z+ полагаем Нп — множество тригонометрических полиномов р переменных порядка не выше n, En(f)i = Если / Є L1(TP), то /( х) означает любую первообразную функции /. Если {Urkfpk} — семейство операторов, действующих на функцию одной переменной, то оператор иГ)р при г,/3 6 Ш? действует на функцию р переменных по формуле причем к-й оператор UVh,pk действует на свой аргумент по к-Ш переменной. Пусть h Є Щ_, f Є L1(TP), тогда модуль непрерывности порядка г, а также модуль непрерывности порядка г относительно наилучшего приближения Еп{-)\ определяются равенствами ur{f,h)1= sup )[(/)i, Vr(f,h)En(.)t= sup En(St(f))1. Полунормы класса А определяются аналогично одномерному случаю. р Если ra,n е№, m n, t Є Ер, то An m(t) = П .т,- ); i=i ЄСЛИ т,П Є ZJ., ТО /П;Г7г = /Пі,ті X X ІПр,тр, ГДЄ /ni mi = [-т,- : т,] \ [ щ + 1 : п, - 1].
Оценки в многомерном случае
В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристику структурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристики структурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература (см., например, [9, 23]). Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, и структурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. При этом оказывается, что в качестве характеристики структурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие. Изучению этого круга вопросов посвящена глава I. Сделаем краткий обзор полученных здесь результатов. Пусть / принадлежит L1 (Т) — пространству 2тт-периодических суммиру Как известно, сопряженная функция /() = lim/ o/(% ) является "естественной" суммой ряда (2). В случае если f(x) существует, то /(ж,7г/п) будет сходится к f(x) и из признака сходимости для 0П(/, ж) получается признак сходимости для сопряженного ряда. Соответственно, представляют интерес оценки величины 0П(/, х) через различные характеристики структурных свойств функции /. В частности, отталкиваясь от классического признака Юнга сходимости сопряженного ряда, Ф. Морицем [25] были получены оценки Dn(/, х) для ограниченной / Є Xі(Т) в терминах колебаний функции f(x -М) — f(x — t) на подходящих подинтервалах, а также в терминах вариаций функции f(x + t) — f(x — t) в случае, если / имеет ограниченную вариацию. Нашей основной задачей было получение соответствующих оценок в терминах модулей непрерывности первообразной функции /, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразную. Такая проблематика подсказана результатами В. В. Жука [10].
С другой стороны, в работах Ф. Морица [25] и Ф. Морица и А. Сиддики [26] содержатся оценки в метрике L1(T) величин аналогичные описанным выше. Объединяя оба подхода, нам удалось получить две теоремы, приведенные в 2, где величины оцениваются сверху через интегральные модули непрерывности первообразной функции /. Центральное место в главе I занимают параграфы 3 и 4. Пусть С(Т) — пространство 27г-периодических непрерывных на Ш. функций с нормой / = тах/(), Р — полунор ма в С(Т) инвариантная относительно сдвига и мажорируемая нормой «, wr{f,h) — модуль непрерывности порядка г в пространствах С(Т) относительно полунормы Р. Если a 0, nGN, / єЬх(Т),то Известно [9, с. 262], что для / Є С(Т) отклонения сумм Фейера P(f — тп_1(/)) оцениваются сверху и снизу через величину где 5(/ -1))— функция, сопряженная к /(-1). Аналогичные оценки получены и для сумм Абеля—Пуассона (/) Функции / Є С(Т) [9, с.277]. С другой стороны было установлено [9, с.283], что если / Є С(Т), а Є (О, Г], то имеет место оценка В первой теореме оценки получены посредством модуля непрерывности третьего порядка первообразной функции /, во второй — посредством модуля непрерывности второго порядка суммы Абеля—Пуассона В первой теореме оценки сверху и снизу совпадают (с точностью до постоянных) для функций принадлежащих наиболее важным классам функций, а во второй — для каждой индивидуальной функции. В 4 рассматривается задача по определению главного члена уклонения функции Стек лова первого порядка Sh,\{f) от сумм Фейера и Абеля—Пуассона функции /. Задача найти главный член уклонения функции / от метода приближения Un{f) впервые была решена Е. В. Воронов-ской [5] для приближения дважды дифференцируемых функций полиномами Бернштейна. Для периодических функций таких, что ct 2(/, h) . Ch, М. Заманский (см. [29, 8]) показал, что отклонение функции / от ее сумм Фейера можно представить в виде В 4 получено ряд результатов такого типа для отклонений функций Стеклова первого порядка от сумм Абеля— Пуассона и Фейера, причем оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных или модулей непрерывности функций Стеклова первого порядка. Во втором случае удается получить двустороннюю оценку, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных. В главе I рассматривались некоторые обобщения модулей непрерывности функции / : модули непрерывности первообразной / -1), функции Стеклова первого порядка Sh,i(f), суммы Абеля—Пуассона CPj. (/). Эти модификации получают-ся как композиция обычных модулей непрерывности и соответствующих аппаратов приближения. В главе II изучаются модификации модулей непрерывности, основанные на суммах довольно общего вида (модифицированных разностях)
