Содержание к диссертации
Введение
1. Разделягоїцис примеры 14
2. Рассматриваемые обобщения и паракомпактность 33
3. ИнвариаЕПНые свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности 47
Литература 57
- Разделягоїцис примеры
- Рассматриваемые обобщения и паракомпактность
- ИнвариаЕПНые свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности
Введение к работе
В 1924 году П.С. Александров опубликовал небольшую статью "О множествах первого класса и абстрактных пространствах" (см. [1]). Помимо основного результата — критерия полноты сепарабельных метрических пространств — Павел Сергеевич ввел в этой работе понятие локально конечного покрытия (семейство 7 называется локально конечным, если у каждой точки х Є X найдется окрестность 0(х) , пересекающаяся с конечным числом элементов семейства 7 ) Этому понятию суждено было сыграть важную роль в топологии. Так, в 1944 году Дьедонне определяет класс паракомпактных пространств, в ЛЕобое открытое покрытие которых можно вписать локально конечное открытое покрытие, и доказывает паракомпактность сепарабельных метрических пространств (фактически это было сделано в [1]). Чуть позже Стоуну [38j удается значительно усилить этот результат: любое метрическое пространство паракомпактіЕО (теорема Стоуна). А в 1951 году Нагата, Смирнов и Бинг (см. [18]) независимо доказывают один из первых общих метризационных критериев: в регулярных пространствах метризуемость равносильна существованию а -локально конечной базы. Семейство множеств -у является а -локально конечным ( а - Т*, где V — некоторое топологическое свойство), если 7 можно представить в виде счетного объединения 7 = U{7n : п Є N} семейств, каждое из которых локально коеієчно (обладает свойством V ).
Введение
Начало систематическому изучению паракомпактных пространств было положено работами Майкла [29]-[31]. Он впервые использует консервативные семейства, для которых объединение и оператор замыкания перестановочны. Семейство подмножеств {Ра '. а Є А) называется консервативным, если для всякого подмножества индексов В С_ А , выполняется:
U ра = и к.
Нетрудно заметить, что любое локально конечное семейство консервативно. Майклу также принадлежат несколько теорем, которые в совокупности дают один из самых эффективных критериев паракомпактности.
Теорема (Майкл, [29]-[31]) 0.1. Для каждого регулярного пространства следу-ющие условия эквивалентны;
Пространство X паракомпактно.
В као/сдое открытое покрытие пространства X можно вписать открытое а -локально конечное покрытие.
В као/сдое открытое покрытие пространства X можно вписать локально конечное покрытие (произвольными мноо/сествами).
4- В каждое открытое покрытие пространства X моэ/сно вписать замкнутое локально конечное покрытие.
5. В као/сдое открытое покрытие пространства X люжно вписать консервативное покрытие (произвольными мноо/сествами).
Другой попыткой ослабления локальной конечности было введение Аренсом и Дугупжи в 1950 году точечно конечных систем (система 7 подмножеств топологического пространства X называется точечно конечной, если каждая точка х X принадлежит только конечному числу элементов 7) и слабо паракомпактных пространств, в каждое открытое покрытие которых можно вписать точечно конечное от-
Введение
крытое покрытие. В 1955 году независимо в работах Майкла [32] и Нагами [35] было установлено, что паракомпакты (т.е. хаусдорфовы паракомпактные пространства) — это в точности коллективно нормальные слабо паракомпактные пространства. Коллективно нормальными называются пространства, в которых любые дискретные семейства замкнутых множеств можно разделить дискретными же семействами отрытых множеств. Б свою очередь, семейство 7 подмножеств пространства X называется дискретным семейством, если у каждой точки х 6 X найдется окрестность 0(х) , пересекающаяся не более чем с одним элементом семейства -у .
Более поздними обобщениями локально конечных семейств стали слабо дискретные семейства и d-семейства, введенные соответственно А.В. Архангельским [7j и H.B. Величко [11] в 70-е годы. Семейство 7 — Wo. ' а Є А} называется слабо дискретным, если при ха Є lfa множество {ха : а Є А} дискретно в X . Семейство 7 = {Ua ' а Є А} называется d~семейством (f-семейством), если при Fa С Ua, где Fa — произвольное дискретное в X (соответственно, конечное) множество, объединение U{Fa : а Є А} дискретно в X . Множество D называется дискретным, в X , если любое его подмножество замкнуто в X, Нетрудно заметить, что дискретность D в X равносильна дискретности в X семейства одноточечных множеств 1 {х} : х Є D \ . В [7] можно найти следующие два утверждения.
Лемма 0.2. Если в любое открытое покрытие пространства X можно вписать слабо дискретное покрытие, то можно вписать и дизъюнктное слабо дискретное покрытие.
Теорема 0.3. Любое дизъюнктное слабо дискретное семейство q-npocmpancmea X является локально конечным.
Пространство X называется g-простраиством, если для любой точки х Є X найдется последовательность окрестностей Оп(х) точки х со следующим свойством; если х„ ЄОп{х), и хі Ф Xj при і ф j , то последовательность {хп ; п Є N} имеет предельную точку в X.
Введение
Используя понятия слабо дискретного, / и d семейств, можно определить следующие классы пространств.
Определение 0.4. Пространство называется d-паракомпактным (слабо-d-napa-компактным), если в каждое его открытое покрытие можно вписать d -покрытие (слабо дискретное покрытие) произвольными множествами. Пространство называется силъно-/-параколтактным(/-паракомпактпым, слабо-f-паракомпактным), если в каждое его открытое покрытие можно вписать d -покрытие ( / -покрытие, слабо дискретное покрытие) открытыми множествами.
Понятие d -паракомпактности было введено Н.В. Величко в [11]. В этой же работе построен пример d -паракомпактиого, не паракомпактиого пространства и доказано сохранение d -паракомпактности слабо замкнутыми отображениями в сторону образа. При этом непрерывное отображение / : X —* Y называется слабо замкнутым, если /(D) дискретно в Y для любого дискретного в X множества D . Название слабо- d -паракомпактных пространств было предложено Н.Н. Яковлевым, / -семейства и оставшиеся типы паракомпактности определены автором этой работы.
Завершая обзор различных типов семейств и связанных с ними обобщений понятия паракомпактности, нельзя не упомянуть об исследованиях С. Недева и Г. Крида. Изучая симметризусмыо пространства, С.Недев в [13] доказал следующую теорему.
Теорема 0.5. В любое открытое покрытие симметризуемого пространства можно вписать и -слабо дискретное покрытие.
Г. Крид в [20] усилил этот результат, доказав, что в любое открытое покрытие симметризуемого пространства можно вписать а -дискретное покрытие. Пространства с таким свойством называются субпаракомпактпыми. К ним, в частности, относятся и все пространства с и -дискретной сетью. Следовательно, симметризуемые, субпаракомпактные, а также пространства с а -дискретной сетью содержатся в классе а - d -паракомпактных пространств (в любое открытое покрытие которых можно вписать а - d -покрытие произвольными множествами).
Введение
Основной целью настоящей работы является систематическое изучение классов пространств из определения 0.4. Эта общая проблема естественным образом распадается на следующие три задачи.
I. Как связаны между собой пространства из определения 0.4? Можно ли их раз
личить в пространствах с "сильными" аксиомами отделимости (например, в классе
регулярных пространств)?
II. Какие условия достаточны для совпадения этих типов паракомпактности с
паракомпактностью (линделефовостыо, компактЕгостыо)?
Напомним, что пространства, из любого открытого покрытия которых можно выделить счетное подпокрытие, называются финально-компактными. Линделефовы пространства — это регулярные финально-компактные пространства. Моритой [33] было доказано, что каждое линделефово пространство паракомпактпо.
III. Насколько устойчивы топологические свойства из определения 0.4 относи
тельно основных топологических операций; при переходе к подпространству; при
переходе к образу или прообразу при различных типах непрерывных отображений?
Настоящая работа состоит из трех глав, каждая из которых содержит решение задач I-III.
В первой главе доказано, что обобщения паракомпактности из определения 0.4 различаются даже в классе тихоновских пространств. Кроме того, построены примеры, отличающие эти обобщения от паракомпактности и слабой паракомпактности. К основным результатам этой главы можно отнести следующие две теоремы.
Теорема 1.1. Существует вполне регулярное сепарабельное d -паракомпакт-пое пространство X счетного псевдохарактера, не являющееся ни слабо параком-пактпъш, ни слабо- f -паракомпактнилі пространством.
Теорема 1.2. Существует вполне регулярное слабо паракомшктное, сильно-f -паракомпактное пространство счетной тесноты, которое не является параком-пактнъш пространством.
Введение
Напомним, что в Ті -пространстве X псевдобазой, в точке х. называется произвольное семейство Вх окрестностей точки х со свойством Г\ВХ — {х} . Минимум мощностей пссвдобаз в точке х называется псевдохарактером в точке х и обозначается через ф(х, X) . Лсевдохарактером пространства X называется кардинал ip(X) = sup{ifi(x, X) : х X} . Теснотой пространства X называется наименьший бесконечный кардинал t(X) со следующим свойством: для любых х Є X и АС. X из условия х Є А следует существование такого Б С А , что х Є В и мощность множества В не превосходит t(X) .
Теорема 1.1 усиливает результат, полученный Н.В. Величко в [11]. Дело в том, что в классе регулярных сепарабельных пространств многие из "традиционных" обобщений паракомпактности (например, слабая паракомпактность, металинделефовость и др.) совпадают с линделефовостыо. Поэтому пространство из теоремы 1.1 указывает на отличие d -паракомпактности сразу от всех таких обобщений. Теорема 0.3 не переносится пи па пространства со счетной теснотой, ни на пространства счетного псевдохарактера, даже если потребовать открытости от элементов почти дизъюнктного семейства. Это следует как раз из теоремы 1.2 и следствия 1.5. В этом следствии модификацией примера Бинга удалось построить совершенно нормальное сильно- / -паракомпактное, не паракомпактное пространство.
Вторая глава посвящена поиску классов пространств, в которых свойства из определения 0.4 зЕївивалсптньї паракомпактности. К таким классам пространств относятся, помимо q -пространств, пространства Фреше-Урысона (теорема 2.9), специальный подкласс fc-пространств (теорема 2,11). Напомним, что пространство X называется пространством Фреше-Урысона, если для любого АСІ и всякой точки х А найдется последовательность {хп} С А , сходящаяся к х . Пространства Фреше-Урысона составляют подкласс А:-пространств, которые определяются так: пространство X является к -пространством, если произвольное F замкнуто в X тогда и только тогда, когда F Л К замкнуто в любом компакте К С X . В классе
Введение
линейных топологических пространств удалось доказать, что все свойства определения 0.4 и паракомпактность равносильны. Этот результат можно считать основным результатом второй главы.
Теорема 2.15. Пусть X — линейно упорядоченное топологи*ієское пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
X — слабо- d -паракомпактиое пространство.
X — паракомпакт.
Во второй главе также доказано совпадение в классе слабо- d -паракомпактных пространств числа Липделефа и экстента (теорема 2.18). Экстентом пространства X называется такой наименьший бесконечный кардинал г , что мощность каждого замкнутого дискретного подпространства пространства X не превосходит т . Числом Линделефа пространства X называется такой наименьший бесконечный кардинал г , что из каждого открытого покрытия пространства X можно выбрать открытое подпокрытие мощности не больше г . Среди следствий теоремы 2.18 отметим следующий важный результат.
Теорема 2.23. В классе счетно компактных пространств слабая- d -паракомпактность и компактность эквивалентны.
В заключительной главе исследуются инвариантные свойства классов пространств из определения 0,4. В частности, доказан следующий неожиданный результат.
Теорема 3.6. Пусть X — сильно-f-паракомпактиое (f -паракомпактиое, слабо- f -паракомпактиое) не слабо паракомпактиое пространство u W{(a1q + 1) — = N U {и0} — сходящаяся последовательность. Тогда тихоновское произведение Y = X х W(ua + 1) не является слабо- f -паракомпактным пространством.
Таким образом, часть пространств из определения 0.4 не выдерживают умножения даже на сходящуюся последовательность. Но в классе слабо паракомпактпых пространств ситуация меняется.
Введение
Теорема 3.9. Прообраз при совершенном отображении слабо параколтактно-го пространства, являющегося сильно- f -паракомпактным, (f -паракомпактным) пространством, также будет слабо паракомпактным сильно- f -паракомпактпым ( f -паракомпактным) пространством.
Из последних двух теорем получается критерий инвариантности сильной- / -па-ракомпактпоси и / -паракомпактности при умножении на бесконечный компакт: эти свойства сохраняются тогда и только тогда, когда пространство слабо паракомпакт-но.
Кроме этого, в третьей главе удалось доказать сохранение d -паракомпактности совершенными отображениями в сторону прообраза (теорема 3.12). Это утверждение вместе с уже упомянутой теоремой о сохранении d -паракомпактности слабо замкнутыми отображениями {см. [11]) указывают на то, что класс d -паракомпактных пространств совершенен (т.е. инвариантен относительно совершенных отображений как в сторону образа, так и в сторону прообраза).
Основные результаты диссертации опубликованы в [3]-[4] и [1б]-[17], а также докладывались на топологическом семинаре МГУ (см. [5]) и неоднократно — на семинаре сектора топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Н.В.Величко за пристальное внимание к работе, а также Н.Н.Яковлеву за постановку задач и блестяще прочитанный курс по общей топологии в конце 80-х годов на математико-мехаиическом факультете УрГУ. Помощь полезным обсуждением результатов и своим дружеским расположением оказали активные участники топологического семинара ИММ УрО РАН: М.И. Альперин, И.Б, Казакова, С.Э. Но-хрин, А.В. Осипов, Д.С. Охезип, М.А. Патракеев, Е.Г. Пыткеев и М.А. Филатова. Отдельное спасибо Ирине Казаковой, чей художественный талант и опыт работы с графическим пакетом CorelDraw были использованы при изображении диаграммы 1 (Гл. 1) и всех рисунков диссертации.
Разделягоїцис примеры
Любое локально конечное семейство является d -семейством, которое, в свою очередь, является / -семейством (определения даны на стр. 5). Последнее всегда слабо дискретно. Поэтому имеют место следующие включения: паракомпактность = сильная-f-паракомпактность = f-паракомпактпость = слабая-ї-паракомпакт-ность = слабая-с!-паракомпактность; сильная-f-паракомпактность = d-napa-компактность = слабая-сі-паракомпактіюсть. Обратные включения в общем случае не верны. В конце этой главы помещена схема (диаграмма 1, стр. 32), на которой сплошные стрелки означают включение одного класса пространств в другой класс, штриховые стрелки — существование "контрпримера", т.е. пространства, отделяющего один вид обобщения паракомпактности от другого. Для удобства рядом со стрелками указана аксиома отделимости и ДОПОЛНИТЄЛЬЕІЬІЄ топологические свойства, которым удовлетворяет "контрпример", а в скобках — номер утверждения, в котором это пространство построено. Ниже приводятся примеры пространств, необходимые для различия понятий из определения 0.4 между собой, а также отличающих их от паракомпактности и слабой паракомпактности. При доказательстве некоторых свойств этих пространств, оказы- Разделяющие примеры вается полезным понятие d-точки (введенное в [11]). Точку х топологического пространства X называют d-точкой, если найдется бесконечное подмножество АСІ, имеющее точку х единственной предельной точкой. Другими словами, существует такое дискретное в подпространстве Х\{х} множество А , что х Є А . Начнем с двух примеров, отделяющих самые сильные из рассматриваемых обобщений от паракомпактности. Теорема 1.1. Существует вполне регулярное сепарабельное d -паракомпактное пространство X счетного псевдохарактера, не являющееся ни слабо паракомпакт-ным, ни слабо- / -паракомпактным пространством. Доказательство. Обо- значим через Пусть Y = ZiRi , Rj = К для всех г Є N. К пространству У добавим множество попарно различных точек М = {р(а) : а Є А} и положим X = Y U М .
Базу окрестностей произвольного добавленного элемента р(а) будут составлять множества следующего вида (рис. 1): Fi = USi-Jo &j], {[%,%]} — дискретное семейство отрезков в Шг и Проверим регулярность X только в точке р(а) Коллективная нормальность вещественной прямой позволяет построить для каждого г Є N дискретное семейство {(cj,dj) : [a,j,bj] С (cj,dj),j є N} с условием Yl jLii j cj) Обозначив через F/ объединение и 1г[с, ] , получим, что замыкание окрестности U — O(p(a),o0,F/) содержится в V = О(р(а),ао)-р) Теперь уже нетрудно доказать, что X вполне регулярно. Снова, выполнение этой аксиомы отделимости достаточно проверить только в точке р(а) . Обозначим через Ki = U ПЖ и L% = Rj\V" — замкнутые дизъюнктные подмножества МІ . По теореме Титце-Урысона для каждого г Є N найдется такая непрерывная функция ft : R — R , что !І{КІ) С {0} и fi(Li) С {1} . Тогда функция F : X —+ IR , определенная следующим образом: является непрерывной функцией и удовлетворяет условиям: F\p(a)) = 0 и F(X\V) С {1} . Таким образом, X — вполне регулярное пространство. Подпространство Y всюду плотно в X и является счетным объединением сепа-рабельных пространств, поэтому X также сепарабельно. Докажем, что X — d -паракомпактное пространство. Сначала заметим, что множество {р(а),а Є А] дискретно в X . Кроме того, р(а) не является d -точкой, т.е. не существует такого множества D С X , что р(а) — единственная предельная точка множества D . Действительно, каждый дискрет D в У счетен и может быть представлен в виде D = U- Д , где Д —дискрет в М4. Поэтому СМр(а),оо. А) является окрестностью точки р(а), не пересекающейся с D . Далее, в произвольное открытое покрытие 7 пространства X впишем покрытие -у = 7i U і {р{а)} :а Є А , где її — {U} — открытое локально-конечное покрытие открытого паракомпактного подпространства У . Пусть множество F(U) Q U Є 7і дискретно в X . Тогда из локальной конечности 7і получаем дискретность Li{F(U) ; U Є 7і} в Y, а значит, ив Разделяющие примеры 17 X . Объединение двух дискретных множеств U{F(U) : U 6 71} и \ {р(а)} а Є А? дискретно в X, поэтому покрытие 7 является d -покрытием. Из теоремы Тигце-Урысона [14] следует, что пространство X не удовлетворяет аксиоме отделимости Тд, поскольку сепарабельно и содержит несчетное дискретное подпространство. Поэтому X не паракомпактЕго. Известно (см. [10]), что в сепа-рабельных регулярных пространствах слабая паракомпактность, паракомпактность, сильная паракомпактность и липделефовость эквивалентны.
Таким образом, построенное пространство не является слабо паракомпактиым. Поскольку вещественную прямую можно покрыть счетным числом отрезков, каждая точка р{а) является G$ -точкой. Значит, псевдохарактср X счетсн. Осталось доказать, что X — не слабо-/ -паракомпактное пространство. Зафиксируем счетное множество В С Y , всюду плотное в X , и открытое покрытие 7 пространства X , не содержащее счетного подпокрытия. Докажем, что в j нельзя вписать открытое слабо дискретное покрытие. Предположим противное, такое покрытие 7i нашлось. В силу несчетности 7і і найдется точка XQ Є В , принадлежащая бесконечному числу элементов 71 Поскольку в точке хо существует счетная база, из доказательства теоремы 2.1 следует, что х0 может принадлежать только конечному числу элементов 7і Это приводит к противоречию с выбором точки хо и завершает доказательство теоремы. Пространство, удовлетворяющее условию следующей теоремы строится па основе примера плоскости Тихонова [39]. Каждая точка некоторого всюду плотного подмножества тихоновой плоскости была заменена вещественной прямой, и, естественно, были переопределены окрестности точек предельных ребер тихоновой плоскости. Теорема 1.2. Существует вполне регулярное слабо паракомпактное, сильно- f -паракомпактное пространство счетной тесноты, которое не является паракомпактиым пространством. Доказательство. Пусть К — вещественная прямая, наделенная естественной топологией, и т — лебегова мера па R . Рассмотрим Т — семейство всех замкнутых Разделяющие примеры подмножеств пространства Ш ограниченной меры. Семейство Т обладает следующими свойствами: (а) Т замкнуто относительно конечных объединений; (б) для каждого F Є Т найдется F\ Є Т , что F С Int F\ ; (в) для любого дискретного подмножества D С Ш существует F Є Т такое, что D С Int F . Свойство (а) следует из свойств меры и свойств замкнутых множеств. Проверим (б) и (в). Пусть F Є Т , тогда существует открытое множество 0(F) такое, что F С 0(F) и ml 0(F) J m(F) + 1 . Используя нормальность R , найдем такую окрестность Oi(F) , что FC01(F)C01(F) С 0(F). Покажем, что F\ = 0\(F) -- искомое множество. Из включения Oi(F) С 0(F) сле- дует, что мера 0\(F) ограничена, кроме того, F С 0\(F) С IntO\(F) . Пусть D -дискретное множество в Ж . Из коллективной нормальности Ж и условия m(D) = О следует, что найдется дискретное семейство открытых множеств Л со свойством D С [J А и m([JA) 1 . Тогда множество (J Л является искомым.
Рассматриваемые обобщения и паракомпактность
Из результатов предыдущей главы следует, что рассматриваемые обобщения паракомпактности, паракомпактность, слабая паракомпактность различаются в классах топологических пространств с довольно сильными аксиомами отделимости: вполне регулярных и совершенно нормальных пространствах. Основной задачей этой главы является нахождение достаточных условий для того, чтобы свойства семейств подмножеств пространства типа слабой дискретности влекли их локальную конечность или консервативность. Показано, что если в любое открытое покрытие пространства с достаточно хорошими локальными свойствами можно вписать слабо дискретное покрытие, то можно вписать и консервативное покрытие. К таким "хорошим" пространствам относятся q -пространства, пространства Фрешс-Урысона, линейно упорядоченные пространства. Исследуется также вопрос о том, как ведет себя слабая дискретность в суслинских, к -пространствах, пространствах со счетным экстентом. Расслштриваемые обобщения и паракомпактность Теорема 2.1. Если в каждое открытое покрытие q -пространства X можно вписать открытое слабо дискретное покрытие, то молено вписать и открытое локально конечное покрытие. Доказательство. Пусть U — произвольное открытое покрытие X и V = {V} — вписаЕзное в него открытое слабо дискретное покрытие. Покажем, что семейство V локально конечно в любой неизолированной точке х Є X . Предположим противное. Тогда для некоторой неизолированной точки х Є X любая ее окрестность пересекается с бесконечным числом элементов У . Пусть {Оп(х) : п Є N} — семейство окрестностей точки х из определения q -пространства. Построим по индукции последовательность {хп : п Є N} . В качестве х\ выберем любую точку из Vi П Oi(x)\{a;} , где V\ V и V\ П Оі{х)\{х) ф 0 . Пусть выбраны различные xi,...,xn и Vi,..., Vn Є V так, что Х{ Є V Г\ОІ(Х)\{Х} для любого і п . Выберем хп+і .
Поскольку х — неизолированная точка, а множество {х\, - ., хТІ} замкнуто в X и не содержит точки х , множество 0(х) = Оп+і(х)\{хі,.. .,хп} является бесконечной окрестностью х и по предположению пересекается с бесконечным числом элементов V . Следовательно, найдется отличный от ранее выбранных Vn+i Є V , который пересекается с 0(х)\{х} , В качестве xn+i возьмем любую точку из этого пересечения. Последовательность попарно различных элементов {ХІ : і N} имеет предельную точку в X , что противоречит слабой дискретности покрытия V . Рассмотрим теперь множество А = {х X : х — изолированная и принадлежит бесконечному числу элементов V} . Это множество замкнуто в X , поскольку любая точка х Є А\А была бы неизолированной точкой не локальной конечности семейства V . Таким образом, искомым локально конечным покрытием пространства X будет V = {V\A : V Є V} U {{я} : х Є л}. Теорема доказана. Непосредственным следствием предыдущей теоремы является Рассматриваемые обобщения и паракомпактность Следствие 2.2. Пусть пространство X является q -пространством. Тогда следующие условия эквивалентны: 1. X — паракомпактное пространство; 2. X — сильно- / -паракомпактное пространство; 3. X — / -паракомпактное пространство; 4- X — слабо- f -паракомпактное пространство. Это следствие не допускает обобщения на случай слабо- d -паракомпактных пространств. Пример, подтверждающий это утверждение, строится в следующей теореме. Теорема 2.3. Существует хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности, d -паракомпактное, но не слабо- / -паракомпактное пространство. Доказательство. Пусть Y — U i({Vn : п Є N}U{0})x{i} - подпространство евклидовой плоскости. В качестве X рассмотрим множество У U {(0,0)} . Сохранив топологию на Y , зададим базу окрестностей точки (0,0) с помощью множеств вида Построенное пространство X удовлетворяет ак сиоме Хаусдорфа. Однако, точка (0,0) и замкну- Рис. 5 тое множество {(0, г) : і Є N} не отделимы окрестностями. Поэтому X нерегулярно и, по следствию 2.2, не слабо- / -паракомпактно. С другой стороны, в любое открытое покрытие X можно вписать d -покрытие вида Л]иЛ2иЛз , где Лі = ОЛ (0, 0) J , Рассматриваемые обобщения и паракомпактность 36 для подходящего fcN; Дг = і Сч (0, і)] : 1 г fc, гЄ , состоящее из подходя щих окрестностей первых (к — 1) -ой точек вертикального ребра; наконец, семейства одноточечных множеств . Осталось отметить, что характер в каждой точке пространства X счетеи. Теорема доказана. В регулярных пространствах ситуация меняется. Из теоремы 0.1 и теоремы 0.3 вытекает Следстние 2.4. В регулярных q -пространствах слабая d -паракомпактность и паракомпактность совпадают. Теорема 2.3 указывает также на существенность условия регулярности пространства X в следствии 2.4. В теореме 2.1 указан способ, позволяющий превратить любое открытое слабо дискретное семейство в открытое локально конечное семейство с тем же телом. Этот способ также сохраняет отношение "быть вписанным". Поэтому теорема 2.1 и эквивалентность условий (1) и (2) теоремы 0.1 влекут справедливость следующего утверждения. Следствие 2.5. В регулярних q -пространствах а-слабая-J -паракомпактность и паракомпактность совпадают. На и—d -паракомпактные пространства этот результат не распространяется.
Так, пространство известного примера Хита [25] (модификация плоскости Немыцкого) вполне регулярно, с первой аксиомой счетности, с и -дискретной сетью (значит, и а — і-паракомпактно), но не нормально. Легко видеть, что класс q -пространств содержит все локально компактные пространства. Действительно, если множество О [х] компактно в X для некоторой окрестности О(х) точки х , то требуемой последовательностью окрестностей точки х является семейство {Оп(х) : Оп(х) = 0(х),п N} . Поэтому верно следующее утверждение. Рассматриваемые обобщения и паракомпактность Следствие 2.6. Наследственно слабо- d -паракомпактпый компакт является наследственно паракомпактным. Известно, что если паракомпактность наследуется открытыми подмножествами произвольного пространства X , то X наследственно паракомпактно. Действительно, если А С X и Ы = {U} — покрытие А открытыми в А , то W — UV открыто в X , где V = {V(U) : V(U) открыто в X,U = V(U) П A, U Є V}. В V впишем V — открытое локально конечное покрытие W . Тогда семейство Ц = {У П А : V V} будет искомым покрытием А. А так как любое открытое подпространство компакта локально компактно, то следствие 2.6 вытекает из следствия 2.4. В следующих двух результатах используется более слабая форма наследования топологических свойств. Определение. X является точечно- Р -пространством, где Р — некоторое топологическое свойство, если Х\{а;} обладает свойством Р для любого х Є X , В [36] была доказана Теорема 2.7. Если компакт X является точечно-металинделефовым, то X — пространство Фреше-Урысона. Из предыдущих теоремы и следствия 2.4 вытекает Следствие 2.8, Если компакт X является точечно-слабо- d -паракомпактным, то X — пространство Фреше-Урысона. В пространствах Фреше-Урысона удалось доказать следующую теорему. Теорема 2.9. Любое слабо дискретное семейство подмножеств пространства Фреше-Урысона консервативно. Доказательство. Пусть X — пространство Фреше-Урысона. Предположим противное, т.е. существует нсконсервативное слабо дискретное семейство 14 — {U} . То- Рассматриваемые обобщения и паракомпактность гда существует такое подсемейство VCW, что A=\ju\\ju?es. Выберем произвольный элемент х є А . Поскольку х Є (J U , найдется после- uev довательность {хп : п Є N} С J 7 , сходящаяся к х . Так как х {J U , то uev t/ev пересечение {х„ : п Є N}nU конечно для любого U Є V . Поэтому можно выбрать подпоследовательность {хПк : к Є N} , различные элементы которой принадлежат различным U Є V.
ИнвариаЕПНые свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности
В этой главе рассмотрим вопросы, связанные с сохранением рассматриваемых обобщений паракомпактности относительно основных топологических операциях и при переходе к образу при непрерывных отображениях. Договоримся об удобном сокращении: будем использовать сочетание "введенные свойства", когда речь идет сразу обо всех классах пространств диаграммы из введения (за исключением паракомпактности и слабой паракомпактности, инвариантные свойства которых хороню изучены — см., например, [14]). Начнем с результата, которым мы уже успели воспользоваться в предыдущей главе. Теорема 3.1. Введение свойства сохраняются замкнутыми подпространствами. Доказательство. Ограничимся случаем сильно- / -паракомпактного пространства X . Пусть F — замкнутое подпространство X и U — произвольное покрытие F открытыми в F множествами. Для каждого 7 Є W найдем такое открытое в X Ипвариаптные свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности 48 множество V(U) , что V(U)r\F = U . В покрытие V = {V{U) : U Є U}\J{X\F} пространства X впишем открытое покрытие V , удовлетворяющее свойству d . Тогда искомым покрытием подпространства F будет семейство Ы — {V П F; V Є V } . Учитывая, что дискретное в F множество дискретно также и в X , а пересечение с F дискретного в X множества дискретно в F , для Ы легко проверить определение семейства со свойством d . Теорема доказана. Следующую простую теорему приведем без доказательства. Теорема 3.2. Сумма ф Ха пространств Ха обладает одним из введенных свойств тогда и только тогда, когда каждое Ха обладает этим свойством. Введенные свойства не мультипликативны. Теорема 3.3. Существует наследственно паракомпактнос прстранство, квадрат которого не слабо- d -паракомпактен. Доказательство. Известно, что прямая Зоргенфрея К является наследственно линделефовым пространством ([14], 3.8.14). Пространство К2 содержит в качестве замкнутого подпространства пространство X = {(х, у) : х+у 0} , которое с первой аксиомой счетности и не нормально. Из теоремы 3.1 и следствия 2.4 заключаем, что К2 не является слабо- d -паракомпактным пространством. Теорема доказана. Введенные свойства не сохраняются даже при умножении на сепарабельное мет-ризуемое пространство. Пространство из примера Майкла ([14], 5.1.32) получается произведением наследственно паракомпактного пространства на метризуемое пространство.
Это пространство с первой аксиомой счетности, не нормальное и, согласно следствию 2.4, не слабо- d -паракомпактно. Далее исследуется вопрос о сохранении введенных свойств различными типами отображений. Сразу же заметим, что введенные свойства не являются инвариантами открытых и факторных отображений. Пространство всех счетных ординалов W(wi) с порядковой топологией локально компактно, локально метризуемо и является открытым образом локально компактного метризуемого пространства ([34], Инвариантные свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности 49 Тп. 3). Это некомпактное счетно компактное пространство и, согласно теореме 2.23, не слабо- d -паракомпактно. Другим интересным примером является пример слабо паракомпакгного пространства Пикслея-Роя (см. теорему 1.12). Обладая равномерной базой, согласно теореме А.В. Архангельского (см. [б]), это пространство является открытым бикомпактным образом метризуемого пространства. Но оно не слабо- d -паракомпактно по теореме 1.12. Определение [11]. Отображение д пространства X на пространство Y называется слабо замкнутъш, если для всякого дискретного в X множества F , образ g(F) дискретен в У . Следующий результат доказан Н.В. Величко в [11]. Теорема ([11]) 3.4. Слабо залтиутый образ d -паракомпактиого пространства является d -паракомпакт шлі пространством. Аналогичный результат справедлив и для слабо- d -паракомпактных пространств. Остальные из введенных свойств слабо замкнутыми отображениями не сохраняются. Усилим топологию на пространстве X , построенного в теореме 1.1, добавив в качестве открытых множеств все множества вида {р(а)} , где а А . В результате получим паракомпакт Х\ . Тождественное отображение Хі на X является слабо замкнутым отображением. В то же время X не является даже слабо- / -паракомпактеным пространством. Однако справедлив следующий результат. Теорема 3.5. Слабая- f -паракомпактность, f -паракомпактность, сильная- f -паракомпактность сохраняются слабо замкнутыми открытыми отображениями. Доказательство. Пусть д — открытое слабо замкнутое отображение сильно-/ -паракомпактного пространства X на Y. Рассмотрим произвольное открытое покрытие 14 пространства У. В покрытие {д г{11) : U eU} пространства X впишем открытое покрытие V = {V : а Є А} со свойством d . Очевидно, что открытое семейство U = {д{Уа) а С А} вписано в U и покрывает Y.
Проверим, что W удовлетворяет свойству d. Пусть для любого а А множества Fa дискретны в Y Инвариантные свойства рассматриваемых обобщений паракомпактности 50 и - а Я у{Уа) Выберем произвольную точку х{у) Є д 1{у) Уа Для каждого у Fa . Из непрерывности / сразу следует дискретность множества Ga = {х(у) : у Є Fa} в X . Кроме того, Ga С V , Поэтому множество U Ga дискретно в X , а множе-ство U Fa дискретно в Y . Аналогично доказывается сохранение в сторону образа слабой- / -паракомпактности и / -паракомпактности слабо замкнутыми открытыми отображениями. Теорема доказана. Сохраняются ли введенные свойства при совершенных отображениях в сторону прообраза? В общем случае положительный ответ на этот вопрос удастся получить только для d -паракомпактпых пространств. Теорема 3.6. Пусть X — сильно- f -паракомпактное ( f -паракомпактное, слабо-f -паракомпактное) не слабо паракомпактное пространство и W(OJQ + 1) = = N U { о} — сходящаяся последовательность. Тогда тихоновское произведение У = 1х W(wo + 1) не является слабо- / -паракомпактиым пространством. Доказательство. Поскольку X не слабо паракомпактно, существует открытое покрытие Ы пространства X , в которое нельзя вписать точечно конечное открытое покрытие. Покажем, что в открытое покрытие V = {K (U) : U 14} пространства Y , где ТТХ — проекция на X , нельзя вписать слабо дискретное открытое покрытие. Предположим противное и обозначим через W слабо дискретное открытое покрытие, вписанное в V . Кроме того, для любого х Є X через W(x) будем обозначать множество всех элементов покрытия W , содержащих точку (х,и0) . Тогда W(x) конечно для каждого х є X . Иначе можно было выбрать по точке из каждого элемента бесконечного множества {W П ({х} х W{un + 1)) : W Є W(s)} и получить последовательность, сходящуюся к (х, шо) Таким образом, семейство W = {WflX х {и0} : W Є W} является точечно конечным покрытием X х {ш0} . Поэтому W = {кх(А) AeW } — точечно конечное открытое покрытие пространства X , вписанное в U . Получили противоречие с выбором покрытия U . Теорема доказана. Инвариантные свойства рассматриваємтлх обобщений паракомпактности 51 Следствие 3.7. Сильная- f -паракомпактность, / -паракомпактность и слабая-f -паракомпактность не инвариантны в сторону прообраза при открытых совершенных отображениях. Доказательство. Проекция ТЇХ ИЗ предыдущей теоремы, как проекция вдоль компакта, является открытым и совершенным отображением (см. [14]). Домножим пространства, построенные в теореме 1.10 или в следствии 1.6 (они не слабо па-ракомпактны), на сходящуюся последовательность. Получим, согласно предыдущей теореме, не слабо- / -паракомпактные пространства. Следствие доказано. В классе слабо паракомпактных пространств ситуация меняется к лучшему.
