Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В 1952 году А. Гротендик х доказал следующую важную теорему: если X - счетно компактное пространство и М — относительно счетное компактное подмножество пространства СР(Х) непрерывных вещественных функций на X в топологии поточечной сходимости, то замыкание подмножества М в СР(Х) — компакт. Впоследствии многие авторы (J.D. Pryce 2, R. Haydon 3, М. О. Асадов, Н. В. Величко 4, А. В. Архангельский 5| fi) обобщали теорему Гротенднка и получили ряд теорем, имеющих следующую структуру: если пространство А' принадлежит некоторому классу пространств V и М С СР(Х) в каком-либо смысле ограничено в СР{Х), то М — компакт.
Для унификации доказательств разнообразных обобщений теоремы Гротенднка А. В. Архангельский 7 ввел общее понятие располо-
![Gr] Grothendieck A- Criteres de compaciticite dans les fonctionnels genereaux // Amer. J. Math. 1952. 74. - P. 168-186.
2fPr] Pryce J.0., A device of R.J. Whitley's applied to pointwtse compactness in spaces of continuous functions /I Proc. London Math. Soc. 1971. 23. N 3. - P. 532-546.
3[Ha] Haydon R., Compactness in C,(T) and applications // Publ. Depart. Math. Lyon 1972. Э. Nl.-P. 105-113.
4[AB] Лсанов M.O., Величко II.В. Компактные множества в Ct(X) // Comment. Math. Univ. Carol. 1981.22.-P. 255-266.
5[APj Архангельский А.В. Пространства функций в топологии поточечной сходимости и компакты // УМН. 1984. 39. N 5. - С. 11-50.
6[Аг] Arhangcl'skit A.V. Он a theorem of Grothendieck in Cp-theory // Top. Appl. 1997. 80. - P. 21-42.
7[Ap] Архангельский А.В. Топологические пространства функций -М.: 11зд-во МГУ, 1989. -224с.
жения множества М С X в пространстве X. Под свойством расположения понимается такое свойство, которым может обладать подпространство М по отношению ко всему пространству X. Если такое свойство Р имеет место для пары М, X, мы говорим, что М Р-расположено в X.
В диссертации предлагается общий подход к изучению свойств расположения топологических пространств. Всякое свойство расположения Р естественным образом порождает топологическое свойство Р-полноты.
Рассматриваемые в диссертации пространства считаем тихоновскими, если точно не указаны предположения об отделимости.
Пространство X называется Р-полным, если для любого Р-распо-ложенного в X подпространства М С X его замыкание М в X компактно. Мы исследуем, в частности, поведение топологических свойств типа Р-полноты при компактных отображениях.
Полученные результаты представляют интерес для Ср-теории — во-первых, в связи с тем, что они открывают общий подход к получению утверждений типа теоремы Гротендика, и во-вторых, в силу двойственности, которой в Ср-теории связаны вложения и непрерывные отображения топологических пространств.
Свойство расположения "М относительно счетно компактно в X обозначается через РЖк- В этой терминологии теорему Гротендика можно сформулировать следующим образом: если X - - счетно компактное пространство, то СР{Х) — Роск-полное пространство. Обобщения теоремы Гротендика имеют следующий вид: если V — некоторый класс пространств и Р — некоторое свойство расположения, то СР(Х) — (наследственно) Р-полное пространство для X Є V.
Напомним определения еще нескольких свойств расположения под-
>.
пространства М в пространстве X:
Р0 — каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена на М (ограниченность);
Р„ — замыкание множества М в X — псевдокомпактное пространство (псевдокомпактное расположение);
Роек — Для каждого бесконечного множества А С М в Л' есть предельная точка (относительная счетная компактность);
Рск — существует счетно компактное подмножество S в X, содержащее М.
Введенная терминология позволяет сформулировать наиболее важные результаты из раздела Ср-теоріш, посвященного обобщениям теоремы Гротендика.
Если X — счетно компактное пространство, то СР(Х) — Р„-полное пространство [АВ].
Если X — ^-пространство, то СР(Х) — Р0-полное пространство [АВ].
Если X — пространство счетной тесноты, то СР{Х) — Р„-полное пространство [Ар].
Если X — счетно компактное пространство, то СР(Х) — наследственно Рп-полное пространство [Аг].
Если X - псевдокомпактное пространство, то СР(Х) — наследственно Рмк-полное пространство [Аг].
Если X — линделефово Е-пространство, то СР(Х) — наследственно Роск-полное пространство [Аг].
Используя общее понятие расположения, А. В. Архангельский [Ар] доказал утверждение типа теоремы Гротендика. Автор 8 развил под-
8[Де] Дельгадильо Х.П. Замкнутые вложения функциональных пространств в произведения пространств и теорема Гротендяка // Пест. Моск. ув-та. Сер. I. Математика, механика. 2000. N 5. - С. 9-12.
ход, предложенный А. В. Архангельским.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследовать свойства свойств расположения, Р-полных пространств и классов Р-полных пространств. Изучить операции над свойствами расположения. Доказать ряд теорем типа теоремы Гротендика.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
-
Построены несколько операций над свойствами расположения, при применении которых сохраняются наиболее важные свойства расположения.
-
Найден набор условий для класса пространств Р, который влечет заключение теоремы Гиллмана-Джерисона 9: если пространство X отображается непрерывным компактным отображением на пространство Y и М Є V для каждого М С Y, то X Є V (см. теорему 2.1.5).
-
Показано, что для наиболее важных свойств расположения Р для класса Р-полных пространств выполняется заключение теоремы Гиллмана-Джерисона (см. теорему 2.2.3).
-
Охарактеризованы классы пространств, которые реализуются как классы Р-полных пространств для "хороших" свойств расположения (см. теоремы 2.2.9 и 2.2.12).
-
Для нескольких пар (/С, Р) классов пространств доказано, что если X Є /С, Y Є Р и / : X -» Y — непрерывное отображение, то / — М-факторное отображение. Если, кроме того, / -- компактное отображение, то X является компактом (см. теорему 2.3.9).
-
Доказано, что если Р — непрерывно инвариантное монотонное
S{GJ] Gilltnan L. and Jerison M. Rings of continuous functions. -N.-Y.: Springer-Verlag, 1976.
свойство расположения, М. — покрытие пространства X, которое сильно функционально порождает X, и СР(М) Р-полно для каждого М Є М, то СР(Х) Р-полно (см. теорему 3.2.2).
-
Для наиболее важных свойств расположения Р доказано, что если У С У = X и СР(.ЛГ) наследственно Р-полно, то СР(Х) наследственно Р-полно (см. следствие 3.2.5).
-
Доказано, что если X линделефово S-пространство и плотность X мала (меньше малого кардинала р), то СР(Х) — наследственно Р-полное пространство, т.е. любое псевдокомпактнос подпространство СР[Х) — компакт (см. теорему 3.2.10).
-
Пространство раздельно непрерывных функций на произведении X х У в топологии поточечной сходимости естественным образом замкнуто вкладывается в Cp(X)Y х CF(Y)X (см. теорему 3.3.2).
10. Если для счетно компактных пространств X и У произведение
X х У пссвдокомпактно, то СР(Х xY) — наследственно Р„-полнос
пространство.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы общей топологии, теории множеств и Ср-теории.
АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре им. П.С. Александрова механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, XIII Международной летней конференции по общей топологии и ее приложениям (1998 г., Мехико).
ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации изложено в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
г.
СТРУКТУРА И ОБЬВМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 9 параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем диссертации 76 стр.
