Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В геометрии поверхностей в евклидовом пространстве исторически выделились как самостоятельные теории два основных направления: теория выпуклых поверхностей,-, несущих метрику положительной кривизны и теория седловых поверхностен. Последние в размерности объемлющего пространства три имеют отрицательную кривизну, а в большей размерности имеют отрицательше секционные кривизны в некоторых двумерных направлениях.
Теория поверхностей.отрицательной кривизны берет свое начало с работы Й.Адамара*. где рассматривались вопроси топологического строения и внешнего диаметра таких поверхностей. С тех пор вопросам, сопряженным с теорией седловых поверхностей, уделяли внимание ряд исследователей, такие как Д.Гильберт, Н.В.Ефимов, Э.Р.Розендорн, А.Л.Вернер и др.
Исследования А.Л.Вернера*'3 посвящены изучению седловых поверхностей со взаимно однозначным сферическим отображением и сужающихся седловых поверхностей. Здесь приведена классификация сферически однолистных поверхностей отрицательной кривизны, которая включает описание таких поверхностей па их топологическому типу и по характеру уходов на бесконечность. В случае, когда сед-ловая сферически однолистная поверхность гокеоморфна цилиндру и н имеет рог, ее расположение в пространство и другие внешнегео-кэтрическиэ свойства изучены в достаточной степени, однако остальные случаи требуют отдельного исследования.
* Hadanard Jf. J. oath, pures ot appl. б (1898), 'А.Л.Вернер. Ыатем. сб. 74:2(1967), 75:1(1868) "А,Л.Вернэр. СиЗ. наг. журнал 11:1(1970).
В семидесятых годах встала проблема обобщения результатов теории поверхностей отрицательной кривизны в Е9 на случай гиперповерхностей в пространстве большего числа измерений и на случай поверхностей с большей коразмерностью. Часть вопросов рассматривалась В.Е.Подрайон*. Ю.Г.Крячковш3'", Г.Я.Еерельманом7и еще рядом авторов. Тем не менее количество вопросов, требуюших своего разрешения, остается большим.
В настоящей диссертации рассмотрены некоторые. вноиквгео-котрическиэ свойства седловых поверхностей, которые, как представляется автору, позволяет сдэлать шаги к решению некоторых открытых вопросов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить влияние внепнегеометрических условий, таких, как седлообразность. строгая седлообразность, особенности сферического изображения на внутреннюю геокетрия поверхности, в частности ва поведение ее уходящих областей.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации широко используются методы отсечения горбушек, разработанные А.Л.Вернером, изучение особенностей полей направленна на поверхности, а такш методы дифференциальной геометрии поверхностей.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы следующие:
I). Разработаны методы построения гиперповерхностей в Е" нетривиального топологического типа, имеющих невырожденную вторую
4В.Е.Подран. Укр. геом. сборник. 1878, вып.22. "Ю.Т.Крячков. Совреаешая геометрия. Л. 1981. Ю.Г.Крячков.. Исследования по теории ринановых многообразна и их погружений. Л. 1985,
7Г.Я.ПереЛЬМЗН. Препринт ЛОМИ АН СССР. Л. 1888.
квздратичнуга форму!.
2). Введен класс а-полувьшуклых поверхностей и сферическое изображение нерегулярных гитарповерхностеа в ЕГ. Классифицированы а-полувыпуклые сздловые поверхности, имеющие взаимно однозначное факторное сферическое, отображение. Изучено строение сфзрического образа для произвольной точки такой поверхности.
3). Введено понятие индекса изолированной нерегулярной точки па поверхности отрицательной кривизны в Е3. Для случая специального задания поверхности сделана оценка сверху, величины та:сого индекса при условии, что точка - седловая.
4). Изучены внешнегоометрические свойства седгового рога в Е" - граница сферического и грассманова' образа такого рога, ого предельный цилиндр и его образ при проективных преобразованиях.
5). Доказана невозможность строго седлового рога в Е* в некотором специальном задании с однозначной проекцией на 2-плоскость в направлении 2-плоскости, содэркащея направление рога.
6). Приведен пример строго седлового рога в Е*, не допускающего явного задания над 2-плоскостью.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти приложения в дифференциальной геокетріш подмногообразий евклидова пространства и других пространственных форм "в целой".
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ, Результаты диссертации обсуидалксь на кафедральных согшзарэх кафедры геометрии РГПУ кивни А. И. Герцена и кафедры кат. анализа и геометрій Поморского государственного педагогического университета ' (г. Архангельск), Первый параграф опубликован в .меивузавскоіг сборнике "Задачи геометрии п целом .для погрукюшшх многообразий". По вопросам диссертации были сделаны
доклады на їх всесоюзной геометрической конференции в г. Кишиневе, на международной научной конференции "Лобачевский .и современная геометрия" 1992г. в г. Казани, на Ломоносовских чтениях 1991 и 1992 г. в г.Архангельске, а также на Герценовских чтениях в РГПУ г. С.Петербург.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах ill -15).
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, включающего 25 найменований. Полный объем диссертации - 89 страниц.
