Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Отображения я р -мерных поверхностей, содержащих соответствующие конгруэнтные семейства линий в Е у, 16
I. Основные уравнения, определяющие отображения 16
2. Отображения о поверхностей в Е3 , содержащих по два соответственно конгруэнтных семейства линий 26
3. Некоторые частные случаи отображений о поверхностей в Е 3 , 31
4. О соответствии конгруэнции прямых при отображении о поверхностей в Е 3 45
ГЛАВА 2. Отображения Q р- мерных поверхностей в th... 62
I. Основные уравнения и свойства, определяющие отображения О в Е и 62
2. Отображения о поверхностей в Е3 74
3. О контруэнциях, образованных прямыми репера ,
Френе, для линий на гиперповерхностях вЕи...85
ГЛАВА 3. Отображения Qe в Е и 98
1. Определение отображений Q B С„ Теоремы существования отображений Qe в Ен 98
2. Необходимые и достаточные условия существования отображений Егорова в t 3 107
3. О соответствии конгруэнции прямых при отображении
4. Частные случаи отображений 119
Литература
- Отображения о поверхностей в Е3 , содержащих по два соответственно конгруэнтных семейства линий
- О соответствии конгруэнции прямых при отображении о поверхностей в Е 3
- О контруэнциях, образованных прямыми репера
- Необходимые и достаточные условия существования отображений Егорова в t 3
Отображения о поверхностей в Е3 , содержащих по два соответственно конгруэнтных семейства линий
Рассмотрим на поверхности V два семейства 2. и2.2 линий 01 и lt . Потребуем, чтобы при отображении линий Покажем, что наличие на поверхности \ Двух семейств 2L± И Х линий, соответственно конгруэнтных семействам 2_1 и Иг. линий на поверхности V , вцделяет специальный класс пар различных поверхностей ( VL , V4 ), существующий с произволом S± = Ю. Для доказательства этого утверждения отнесем поверхность V к ортонормироваиному реперу І М , бс \ - первого порядка, % - вектор нормали поверхности V2 . Используя результаты, полученные в I, можно записать для семейства 21i линий и семейства 21 z ( Q =0) следующую систему уравнений: причем cL (- d) - угол мевду касательным вектором к линии її ( їг ) семейства 2Г, ( 2Гг) и вектором є в точке П \ Отнесем поверхность V, к ортонормшюванному реперу первого порядка, 3 ьектор нормали к поверх — . , ности V в точке М . Для семейства 2І± и 2-г линий YA ( 9 = 0) и Jfi ( ь2 = 0 ) выполняется система уравнений, аналогичная системе уравнений (I.2.I.), которая, учитывая условия конгруэнтности соответствующих семейств линий, примет вид:
Условия соответствия конгруэнтных семейств линий запишем в виде: При переходе к системе уравнений Пфаффа первые два уравнения системы (1.2.3) примут вид:
Так как формы uJ и tJ линейно независимы, то для форм и и 0 выполняются уравнения (I.I.I7), а для форм 2 и S? выполняются следующие уравнения: Аналогичные уравнения можно записать дал форм 0 , Q ,Ьс
Рассмотрим уравнения системы (1.2.4) и подставим в них выражения для форм , тогда получим: Подставляя в третье и четвертое уравнения системы (1.2.3) выражения на формы 52 , Q , Р nQ , учитывая уравнения (1.2.6), получим: Из уравнений (1.2.6) при условиях (1.2.7) получим:
Дифференцируя внешним образом уравнения (1.2.8), получим: Подставляя в квадратичные уравнения (1.2.9) выражения на СЗА из систем (I.2.I.) и (1.2.2.), получим два соотношения на коэффициенты:
Из уравнении (I.2.10) мошю выразить, например, коэффицнен-ты ., и и подставить в уравнения системы (1.2.2). Из седьмого и восьмого уравнений системы (І.2.І) и аналогичных уравнений системы (1.2.2) выразшл коэффициенты CL , В , а и .
Учитывая все сказанное выше о выражении на коэффициен-ты рассмотрим из систем уравнений (I.2.I) и (1.2.2) следующие уравнения:
В результате продолжения системы уравнений получим восемь уравнений на коэффициенты, из которых можно выразить, на /V /V /\ Лч „_ Пример, КОЭффИЦИеИТЫ С-н у t-іх. ; и і/ Сь і А А Л через коэффициенты % %, % , % }Х Х s ft , J3" , г Ргг Подставляя в уравнения (1.2.13) выражения на ко эффициенты , гч , 1 Л1 с% Сг, с-» с и дифференцируя внешним образом шесть уравнений системы (1.2.13) и оставшиеся четыре уравнения систем (I.2.I) и (1.2.2), которые содержат формы , получим систему, состоящую из десяти внешних дифференциальных уравнений с десятью неизвестными формами: CTj (JPM.J С\Рг я гг Щл Я% ( $г К ; 6 19 ДЄСЯТОГО ПОрЯД ка отличен от нуля, а, значит, произвол существования пар различных поверхностей ( \Д і V )» содержащих по два со-ответствующих конгруэнтных семейства линий,равен Su = 10, что и требовалось доказать.
При доказательстве считалось, что А и ft не равіш нулю. Если j d (или j\) равен нулю, то получатся особые решения, которые определяют линейчатые поверхности. В качестве примера, рассмотрим цилиндрические поверхности. Пусть семейство 2. ± линий у± - семейство прямолинейных образующих, а направляющие щілиндрическои поверхности, получеш-ше в результате пересечения поверхности пучком параллельных плоскостей, образуют второе семейство 212 линий J( Меняя угол наклона семейства образующих к плоскости, содержащей линию Vt семейства 21 » получим класс цилиндрических поверхностей, каждая из которых содержит два семейства . линий, соответственно конгруэнтных семействам 21 х и Z"a линий Хіїї Yx
Вообще, если имеются две конгруэнтные поверхности, то ясно, что для любых двух семейств линий на одной поверхности всегда найдутся два соответственно конгруэнтных семейства на другой поверхности. Но кроме конгруэнтных поверхностей имеются еще пары различных поверхностей, существующие с произволом 10 функций одного аргумента и различные линейчатые поверхности, содержащие два семейства линий, соответственно конгруэнтных двум семействам линий на другой поверхности.
Исключая перечисленные выше классы поверхностей, можно сформулировать для всех оставшихся поверхностей следующее утверждение: задание двух семейств (задание кривизны, кручения, как функций длин дуг), вообще говоря, делает поверхность жесткой (однозначно определяет с точностью до положения в пространстве). Поэтому переходим к рассмотре-нию отображений Q : Vx —& Vj. с заданием одного семейства линий на поверхности V2 .
О соответствии конгруэнции прямых при отображении о поверхностей в Е 3
Из первого уравнения системы (1.3.25) следует, что коэффициент f равен отношению вьпіужденньїх кривизн линий кон-груэнтных семейств Z nZ Б соответствующих точках, что и требовалось доказать.
Учитывая условия (1.3.25) и дифференцируя внешним образом систему уравнешш (I.I.27), (1.3.2) и (1.3.4), получим, что пары поверхностей ( ]/г , Уг ), содержащие конгруэнтные семейства 2L ж 21 линий и у которых линии кривизны, не совпадающие с линиями семейств 51 и 21 соответствуют, существуют с произволом st =9.
Особые решения получим при выполнении условий (1.3.23). Если потребовать, чтобы при отображении Q выполнялись одновременно условия (1.3.23) и (1.3.25), то в рассматривав-мом случае получим, что поверхности У2. и \4 будут конгруэнтными. Рассмотрим случаи б).
Отнесем поверхность 4.(4.) к ортонормированному реперу X М , ес) ( і М , 6L \ ) - первого порядка и е/ ( є, ) - касательный вектор к линии семейства 21 ( 21 ) в точке П ( П ). Для семейства 21 ( 21 ) выполняется система уравнений (I.I.27) ((1.3.2)). Условия соответствия и равенство дифференциалов длин дуг линий семейств 21 и 21 примут вид (1.3.4). Условия того, что соответствующие конгруэнтные семейства 21 и 21 являются семействами линий кривизны, можно записать в виде:
Рассматривая систему уравнений (I.I.27), (1.3.2) и (1.3.4) при условиях (1.3.26), получим, что пары поверхностей ( V , V ), содержащие соответствующие конгруэнтные семейства 2. и2. линий кривизны, существуют с произволом sx = 9. Особые решения получим при выполнении условии (1.3.23). Если потребовать, чтобы при отображении о выполнялись одновременно условия (1.3.23) и (1.3.26), то в рассматривав-мом случае получим, что поверхности \ и Y будут конгруэнтными.
Потребуем, чтобы при отображении О геодезические -линии на поверхностях vz и VL соответствовали. Так же как и в п. 3 и в п. 4 возможны два случая: а) соответствующие конгруэнтные семейства 21 и .21 линий не являются семействами геодезических линий; б) соответствующие конгруэнтные семейства 21 и 21 линий являются семействами геодезических линий.
Рассмотрим случай а). Отнесем поверхность VL ( \4. ) к ортонормированному реперу \ \\ , ё \ ( { И , сї ) - перво-го порядка и є ( - ) - касательный вектор к линии се-мейства 21 ( 21 ) в точке П ( п ). Пусть касательный единичный вектор о к геодезической линии в точке м обра-зует с вектором , угол [6 . Тогда Cf можно представить в виде:
Из выражения (1.3.27) следует, что геодезическое семейство линий на Vj. определяется уравнением: (1.3.28) енцируя. уравнение (1.3.27), получим: Так как dl? коллинеарен ё , то уравнение, определяющее геодезические линии на V2 , имеет вид: (ofjWuA,1) (-svnj + j bo. (1.3.30) Аналогичное уравнение запишем для геодезических линий на Vz : С d p-f иЗ ")л (- Vhjb с JbОЗ7") = О. (1.3.31)
Из уравнений (1.3.30) и (1.3.31) условие соответствия се-мейств геодезических линий на поверхностях Vj. и Vz примет вид: (- Ъ +IKJ u}) (ofi Co cnfi и)2-) = О. (1.3.32) Уравнение (1.3.32), переходя к уравнениям Пфаффа, примет вид: -fc nJbcO + eoSjbC) = (-Vi Jbu)1 . &ъ&и)Х) _ (1.3.33) Используя уравнения (1.3.4), из уравнения (1.3.33) получим: Из первого уравнения (1.3.34) следует, что коэффициент \ равен отношению синусов углов р и (Ь .
Из системы уравнений (I.I.24), (1.3.2) и (1.3.7) при условиях (1.3.30), (1.3.31) и (1.3.34) получим, что на произвольной поверхности V2 с произволом Sd = 7 найдутся семейства 21 линий, допускающие отобраЕение Q при условии соответствия СЄМЕЙСТВ геодезических линий на поверхностях
О контруэнциях, образованных прямыми репера
Для того, чтобы в соответствующих точках лшшй конгруэнтных семейств с параллельными касательны-ми угол между нормалями поверхностей V2 и V, был постоянен вдоль каждой линии семейств необходимо и достаточно, чтобы у линий таких семейств вынужденные кривизны в соответствующих точках были равны, то есть:
Для доказательства теоремы отнесем поверхность V ( V2 ) к ортонормированному реперу первого порядка, касательный вектор к линии Для семейства Z_ ( 2И ) линий выполняется система уравнений (I.I.27) ((1.3.2)), а условие соответствия и равенство дифференциалов длин дуг линий семейств -и 21 примут вид (1.3.4). Разложим векторы базиса {eL.j по векторам базиса {ё}) , учитывая условие параллельности касательных, получим:
Дифференцируя уравнения (2.2,13), используя формулы инфи-нитезимального перемещения реперов \У1 ,ес\ и \У\ , е. / (I.I.I2), получим:
Дифференцируя уравнения системы (2.2.14) внешним образом, убеждаемся, что первые три уравнения вполне интегрируемы, а четвертое уравнение примет вид:
Для доказательства необходимого условия теоремы под-ставим в уравнение (2.2.15) разложения форм г и и)х из уравнений (I.I.27) и (1.3.2) и, учитывая условие (2.2.II), получим справедливость равенства (2.2.12). Для доказательства достаточного условия рассмотрим уравнение, выражающее форму и) через формы 2 и с/р в системе уравнений (2.2.14).. Так как выполняется условие (2.2.12), то получим справедливость условия (2.2.II), что и требовалось доказать.
Рассмотрим систему, состоящую из уравнений (I.I.24), (1.3.2), (1.3.7), при условии равенства вынужденных кривизн в соответствующих точках линий конгруэнтных семейств. Получим, что на произвольной поверхности vz найдутся с произволом $А = 3 семейства И линий, допускающие отображения о , при условии, что для каждой пары ( V, , V ) в соот Х \/ ветствующих точках угол между нормалями к поверхностям чг и Vz вдоль линий семейств Z- ж постоянен.
Случай 2. Рассмотрим поверхность vz и семейство J (гс) поверхностей \lz . Так как каждая пара ( V2 , у ) находится в отображении Qz и соответствующие точки принадлежат прямой ( М , е ), то относительно репера { И , ес \ - первого порядка, sf - касательный вектор к линии J 2_ Vg имеет место система уравнений (2.1.20) (при р = 2, с = 1,2,3).
Потребуем, чтобы вектор е был единичным, то есть сохранялось постоянным расстояние между двумя соответствующими точками поверхностей V2 и \ с S ( гс ). Имеет место равенство:
Учитывая уравнения (2.1.19) и (2.1.22), уравнение (2.2.16) можно записать в виде: Дифференцируя уравнение (2.2.17) внешним образом, получим: Учитывая уравнения (2.1.24), получшл, что уравнение (2.2.18) вполне интегрируемо. Из уравнений системы (2.1.20) ( р =2, с =1,2,3) при условии (2.2.17) следует, что для данной поверхности Уг и фиксированного на ней произвольного се-меиства 2L. линии, вектор е определяется с произволом
Случай 3. Рассмотрим поверхность V2 и семейство b(u) поверхностей \/г . Так как каждая пара находится в отображении 0 и соответствующие точки П Уг и П Уг с Ь ( ьи ) принадлежат прямой ( м , ё ), то имеет место система уравнений (2.1.20) ," ( р = 2, і =1,2, 3). Потребуем, чтобы вектор е был ортогонален вектору -ё -- касательному вектору к линии в точке П v2,
Если для поверхностей Vz и Ух с S ( -) вектор е ортогонален касательному вектору к линии V семейства JL , то он будет коллинеарен вектору бинормали tj и семейство X. линий У будет плоским.
Необходимые и достаточные условия существования отображений Егорова в t 3
Если поверхности Vz и Уг с S ( ic) такие, что каждая пара ( Уг , Vz ) находится в отображении 0_ , то для каждой прямой ( м , в ) фокусы конгру-энций главных нормалей К - и г\»( it. ) к линиям конгруэнтных семейств 2. и X будут принадлежать кривой второго порядка. Уравнение (2.3.18), где переменными являются х и U- , определяет кривую второго порядка.
Потребуем, чтобы кривая, определяемая уравнением (2.3.18), распалась на пару прямых. Условие распадения данной кривой на пару прямых имеет вид: Из уравнения (2.3.19) получим два условия распадения кри - 93 вой, определяемой уравнением (2.3.18), на пару прямых:
Если выполняется условие (2.3.20) (линии У семейства Ц--плоские), то в этом случае фокусы конгруэнции главных нор малей Кг и К- ( ъи ) для каждой прямой ( И , ё? ) бу-дут принадлежать прямым, определяемым относительно репера [И і , 2 J уравнениями:
Заметим, что прямая, определяемая уравнением (2.3.22) будет параллельна ( М , е ), причем каждая семейства 2_ будет являться эвольвентой для соответствующего ребра возврата фокальной поверхности. Если выполняется условие (2.3.21), то в этом случае фокусы конгруэнции главных нормалей К »и г\з ( 1л. ) будут принадлежать прямым, оп-ределяемым относительно репера \ И , в5 , С Г уравнениягли:
Если поверхности \4 и с S ( ) такие, что каждая пара ( V , Vt ) находится в отображении $z и для каждой прямой ( п , е ) кривая, содержащая фокусы конгруэнции главных нормалей, распадается на па - 94 -ру прямых, то нормали фокальных поверхностей будут параллельными вдоль одной из этих прямых.
Доказательство теоремы. Так как вектор dF коллииеарен вектору zz и ортогонален вектору нормали к фокальной поверхности - иГ , то имеет место следующее уравнение:
Векторы нормалей фокальных поверхностей будут параллельны в точках прямой, содержащей фокусы, когда угол J не будет зависеть от -и- . В случае, когда выполняется условие (2.3.20), прямая, вдоль которой нормали К будут параллельны, определяется уравнением (2.3,23),и в этом случае вектор нормали и, совпадает с вектором бинормали с3 , так как из уравнения (2.3.29) при условии (2.3.20) получим, что J3 равен нулю. В случае, когда выполняется условие (2.3.21), прямая, вдоль которой будут параллельны нормали, определяется уравнением (2.3.24),и в этом случае вектор нормали ортогонален вектору е . Покажем это.
Сравнивая уравнения (2.3.32) с уравнением (2.3.28), получим, что вектор к ортогонален we. . в) Рассмотрим конгруэнции бинормалей К и Kf ( to ) к линиям конгруэнтных семейств ZCVZH2- V2.CS(1C ). Аналогично тому, как были получены результаты для конгру-энций главных нормалей и Kf ( ), получим, что для конгруэшщй бинормалей К и К= ( t - ) будет справедливо
Если поверхности V, и V С S ( гь ) такие, что каждая пара ( V , Vt ) находится в отображении 9 , то для каждой прямой ( П , е ) фокусы конгруэнции бинормалей К и K=f ( ) к линиям конгруэнтных семейств 2 и I будут принадлежать кривой второго порядка.
Назовем отображением Егорова в с н такое отображение Q : Vp -» Vp при котором нормальные плоскости /Vb_n( // ) И «У, ( п ) к поверхностям Vp и Vp можно определить одними и теми же уравнениями относительно реперов Френе (МД^ и ІМДІ.» (і=А,—,") в соответствующих точках линий конгруэнт-ных семейств 21е Vp и X с Vp . Иными словами, если совместить некоторыми движениями соответствующие кривые конгруэнтных семейств, то требуется, чтобы в соответствующих точках совпадали нормальные плоскости поверхностей Vp и VI
В дальнейшем отображения Егорова будем обозначать QB , а о нормальных плоскостях, удовлетворяющих требовашш, сформулированному выше, будем говорить, что они имеют одинаковое расположение относительно реперов Френе. Так как в соответствующих точках нормальные плоскости №.-р( м ) и ]Vh (М) к поверхностям Vp и Vp можно определить одними и теми же уравнениями относительно реперов Френе, то в направляющих векторных пространствах нормальных плоскостей найдутся такие базисы iftjjii 1 ^>i"( Jb = I,..., *t- р ), что векторы этих базисов, тлеющие одинаковые индексы, будут иметь соответственно одинаковые координаты относительно базисов it.f и реперов Френе. Этот факт в дальнейшем будем использовать для доказательства теоремы существования.
В 2 этой главы будет показано, что введенные таким образом отображения совпадают с отображениями, рассмотренными Д.Ф.Егоровым в работе Г 6 ] для поверхностей в Еъ . В работе [6] Д.Ф.Егоров показал, что на произвольной поверхности Vz в F3 наїздутся с произволом s± = 5 семейства линий, допускающие отображения Q .
