Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Комплексное отображение Абеля-Якоби 16
1.1. Компактные римановы поверхности 16
1.2. Симметрические произведения 21
1.3. Дивизоры и линейные расслоения на римановой поверхности 23
1.4. Отображение Абеля-Якоби и его степени 30
1.5. Слои кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей 34
Глава 2. Вещественное отображение Абеля-Якобй 40
2.1. Вещественная структура на комплексных геометрических объектах 40
2.2. Вещественные римановы поверхности 46
2.3. Симметрические произведения пространств с инволюцией 51
2.4. Кратное отображение Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей 55
2.5. Гиперэллиптические поверхности рода 2 и 3
Заключение 72
Литература 76
- Дивизоры и линейные расслоения на римановой поверхности
- Слои кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей
- Вещественная структура на комплексных геометрических объектах
- Кратное отображение Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей
Введение к работе
Диссертация посвящена геометрии вещественных алгебраических кривых. Исторически вначале рассматривались именно такие кривые. Однако незамкнутость поля вещественных чисел порождает некоторые трудности в разработке этой темы. С другой стороны, комплексные алгебраические кривые, благодаря замкнутости поля комплексных чисел, были изучены более подробно. Одним из методов изучения комплексных алгебраических кривых является отображение Абеля-Якоби. Это отображение возникло вначале в рамках анализа в связи с изучением эллиптических и абелевых функций, которые, в свою очередь, возникли из эллиптических и абелевых интегралов. В дальнейшем природа возникновения отображения Абеля-Якоби была фактически забыта, хотя классическое его определение по-прежнему дается через интегралы. Чтобы связать тему диссертации с предыдущими исследованиями, мы вернемся к истокам возникновения отображения Абеля-Якоби из интегралов от алгебраических функций.
Рассмотрим интегралы вида
PW dx, (1)
v/QW
где Q(x) — многочлен с вещественными коэффициентами без кратных корней степени 2d 6, а Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами степени d — 2. Ограничение, накладываемое на степень многочлена Р(х), обусловлено методами, применяемыми для изучения этих интегралов. Если интеграл (1) комплексифицировать, т.е. считать, что переменная х комплексная, то задача изучения этого интеграла упрощается благодаря рассмотрению римановой поверхности S, заданной уравнением у2 = Q(x). Тогда мы можем заменить неопределенный интеграл (1) на криволинейный
интеграл
J
Р(х)
У
Г(Р)
dx + C, (2)
с переменным верхним пределом по кривой Т(р) на римановой поверхности 5, соединяющей фиксированную точку ро Є S с переменной точкой р Є S
(см. рис. 1.) Если добавить к римановой поверхности S С С2 на бесконечности две точки, то она будет представлять собой с точки зрения топологии сферу с д = d — 1 ручками (см. рис. 2).
Рис. 1. Рис. 2.
Эта поверхность, с индуцированной на ней комплексно аналитической структурой, называется компактной гиперэллиптической поверхностью рода д, мы будем обозначать ее также через S. Комплексные интегралы вида (2) на римановой поверхности S изучались в XIX веке.
Рассмотрим теперь базисные интегралы вида (2)
x
/- dx, І — dx,..., I У J У J
„d-2
dx. (3)
У
Г(р) Г(р) Гір)
Они задают отображение ц : S — С5, определяемое с помощью равенства
flip) — \ I dx, \ —dx,..., I dx).
ГІР)
\ J У J У J У Tip)
ГІР)
Это отображение является многозначным, так как интегралы (3) зависят от формы кривой Г(р), соединяющей точки ро,р. Чтобы избавиться от многозначности отображения /х поступают следующим образом.
Если заменить кривую Г(р) на другую кривую Г(р), также соединяющую точки ро, р, то каждый из интегралов (3) будет отличаться на интеграл по замкнутой кривой а = Г(р) — Т(р) с началом и концом в точке ро (см. рис. 3).
Рис. 3. Рис. 4.
Обозначим через Л множество векторов в С9
О - dx, I — dx,...,/ dx), а У JaV J а У „d-2
где а — произвольная кривая на 5 с началом и концом в точке р$. Множество Л является дискретной подгруппой ранга 2д абелевой группы С5, и она называется решеткой периодов голоморфных 1-форм —,..., х J (см. рис. 4, случай g = 1). Тогда факторгруппа J = С5/Л является комплексным тором и называется якобианом, или многообразием Якоби римановой поверхности S. Теперь мы можем рассмотреть однозначное отображение ц : S — J, которое и называется отображением Абеля-Якоби. Таким образом, изучение интегралов вида (2) заменяется исследованием отображения Абеля-Якоби /л : S — J.
В XIX, XX веках оно было глубоко изучено, в частности, было показано, что в случае, когда g 1 оно является вложением. Это отображение перебрасывает мостик между геометрией алгебраической кривой и теорией абелевых многообразий. Глобальная теорема Торелли (см. [1]) показывает, что замена алгебраической кривой на ее многообразие Якоби полностью описывает геометрию исходной кривой.
Если теперь коэффициенты многочлена Q(x) вещественные, то операции комплексного сопряжения в С2, С5 определяют соответственно инволюции
т : S —» S , в : J — J, множества неподвижных точек которых обозначаются через б (К), J (Ж) и называются множествами вещественных точек соответственно римановой поверхности S и многообразия Якоби J. В этом случае отображение Абеля-Якоби задает отображение множеств вещественных точек /J, : 5 (Ж) — • J (К), исследование которого заменяет изучение интегралов вида (1). Множество вещественных точек 5(E) представляет собой объединение замкнутых кривых (овалов), число которых равно половине числа вещественных решений уравнения Q(x) = О (см. рис. 5, на котором указаны решения этого уравнения и знаки многочлена Q(x) при д = 1). Множество вещественных точек многообразия Якоби J (Ж) является компактной коммутативной группой Ли, строение которой изучил Комес-сатти [10]. Он показал, что она изоморфна группе Т9 х (Z/2) , где Т9 — -мерный вещественный тор, а число п равно d—1, если уравнение Q(x) = 0 имеет 2d вещественных решений. Следовательно, множество вещественных точек J (Ж) состоит из 2d_1 компонент связности. В.А. Красновым было показано, что при отображении вещественных точек д : S(M.) — J (Ж) разные овалы кривой S (Ж) отображаются в разные компоненты связности группы J (Ж) (см. [8, 9]).
- ґ і- s— г А—А4
Рис.5.
Дальнейшее изучение интегралов вида (2) связано с кратным отображе ниєм Абеля-Якоби к-ой симметрической степени римановои поверхности
S
ц(к) . S(k) _ j (4)
которое определяется равенством
v{k)(p\, ,Рк) = /І(РІ) + • • • + МР ) Исследование кратного отображения Абеля-Якоби заменяет изучение сумм интегралов вида (2)
Г Р(х) , Г Р(х) , /СЛ
/ - - + ...+ / — -dx, (5)
J У J У
Гі тк
где Гі,..., Г& — некоторые кривые на S, которое проводил Абель, а затем применил Якоби для обращения гиперэллиптических интегралов. Скажем несколько слов об этой задаче Якоби. В случае, когда 2d = 6, обращение гиперэллиптических интегралов
х
dx f xdx
X X
Г dx Г
J х/Ш) иЪ1
U U
приводит к четырежды периодическим функциям х(и\) и х{щ)-, поведение которых показалось Якоби абсурдным. Эта позиция Якоби справедлива, если рассматривать только однозначные аналитические функции, но в его время не было точного определения аналитической функции, в частности, не было понимания функции как отображения области на область. Отрицание возможности обращения гиперэллиптического интеграла заставило Якоби искать выход в другом направлении. Он строит две суммы
Хі х2
Г dx Г
dx
= щ
и
Х\ Х2
/xdx С
о 7Ш+/ VW)
Х\ Х2
xdx
и рассматривает симметрические функции Жі+яг и х± -хч верхних пределов. Эти функции являются четырежды периодическими в обычном смысле (и,
В ЧаСТНОСТИ, ОДНОЗНаЧНЫМи) ФУНКЦИЯМИ ДВуХ ПеремеННЫХ Щ И Щ С современной точки зрения подход Якоби к задаче обращения гиперэллиптического интеграла (2) содержится в утверждении: если д — род римановой поверхности S, то отображение ц™ : S — J является бимероморфным отображением, а поэтому обладает обратным мероморф-ным отображением. Не менее интересным оказывается рассмотрение кратного отображения Абеля-Якоби при к д. Свойства этого отображения оказались тесно связаны с линейными системами дивизоров на кривой. В частности, с помощью этого отображения получается тета-дивизор на многообразии Якоби, который исторически определялся с помощью тета-функ-ций. Особые точки тета-дивизора играют важную роль в описании специальных линейных систем на кривой. В силу интересных свойств и обширной области применения как в теории римановых поверхностей, так и в других разделах математики, кратное отображение Абеля-Якоби /л : S — • J привлекло внимание многих ученых и было глубоко изучено. Соответствующие результаты изложены в разных работах, и в частности, в монографиях Ф. Гриффитса , Дж. Харриса [1], Р. Ганнинга [11], Д. Мамфорда [13].
Предположим теперь, что коэффициенты многочлена Q(x) вещественные, тогда имеет место кратное отображение Абеля-Якоби на множестве вещественных точек
/i(fc) : S(R) -ч J(R). (6)
Изучению этого отображения при к д в случае, когда риманова поверхность S гиперэллиптическая, и посвящена настоящая работа. Данная тема представляет интерес с точки зрения анализа, как геометрический подход к изучению гиперэллиптических интегралов вида (1), которые исторически рассматривались с вещественными коэффициентами. С другой стороны, эта тема интересна для вещественной алгебраической геометрии. Так как кратное отображение Абеля-Якоби было одним из основных инструментов изучения комплексных алгебраических кривых, то оно должно быть полезным для изучения вещественных алгебраических кривых.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 77 страниц, библиография — названий. Диссертация также содержит 6 рисунков.
Первая глава работы содержит предварительные сведения, необходимые для формулировки и доказательства результатов исследования кратного отображения Абеля-Якоби (6). Здесь приведены известные факты, касающиеся компактных римановых поверхностей, симметрического произведения компактной римановой поверхности S, дивизоров и линейных расслоений на ней, а также структуры комплексного кратного отображения Абеля-Якоби (4). Заметим, что нам не удалось найти достаточно подробного описания слоев отображения (4) для случая гиперэллиптических римановых поверхностей, поэтому выяснению этого вопроса посвящен последний пункт первой главы. Прежде, чем сформулировать соответствующий результат, введем некоторые обозначения.
Пусть Wk — образ симметрического произведения S по действию отображения ц . Для каждой точки а Є Wk назовем слоем кратного отображения Абеля-Якоби множество точек (/І )_1(О;) Є S k . Так как поверхность S — гиперэллиптическая, то каноническое отображение
lK:S СР9 \
действующее по правилу
ри- (o;i(p),...,o;5(p)),
является двулистным накрытием рациональной кривой, разветвленным в 2д 4- 2 точках. Тогда рассмотрим на поверхности S инволюцию j : S — • S, переставляющую листы этого накрытия, она называется гиперэллиптической инволюцией. Обозначим через iS подмножество точек из
S(k)
вида Pi + j{Pi) + • • • + Pi + j{pi) +Рш + • • • +Pk-i, где I = О,..., [] и [] — целая часть числа . Тогда оказывается справедливой следующая
Теорема 1. Пусть S — гиперэллиптическая риманова поверхность рода д. Тогда отображение
м( ) : sW - wk
является бирациональным при к д и удовлетворяет следующим свойствам:
1) Отображение
,, ) : 0« - Wk
является вложением.
2) Образ отображения
A (fc) : iSW -+ Wk
равен iiik-2l){0S{k 2l)) + Iqo, где q0 = А (І(РО))-5j Отображение
p : tSW-+ k-2l\QS ) + lq0
является локально тривиальным расслоением со слоем СР1.
Во второй главе диссертации применяются описанные выше факты для изучения вещественного отображения (6). Сначала описывается структура этого отображения для гиперэллиптических римановых поверхностей произвольного рода g 2. Затем, в качестве иллюстрации, нами рассматриваются частные случаи: g = 2 и 3. Заметим, что причиной ограничения исследований гиперэллиптическими поверхностями является то обстоятельство, что кратное отображение Абеля-Якоби устроено более просто на такого типа поверхностях.
Рассмотрим подпространство іБ(Ж) симметрического произведения S(M.)(k\ состоящее из точек вида р\ + j{p\) + ... + pi + j(pi) + Pi+i + ,..+
Pk-i, где j : 5 (Ж) —» S(Ж) — гиперэллиптическая инволюция. Так как подпространство симметрического квадрата 5(Ж) 2\ состоящее из точек р + j(p), совпадает с факторпространством S(M)/j, то /5(Ж) можно отождествить с прямым произведением (S(R)/j) х o J (R)( -2/).
Отметим, что каноническое отображение 1к может иметь вещественные точки ветвления, причем их число всегда четно. Пусть 1к имеет 2га (1 + 1) вещественных точек ветвления. Выберем в качестве ро одну из них. Тогда множество вещественных точек 5(Ж) топологически отождествляется с несвязной суммой т стандартных окружностей х2+у2 = 1, причем на каждой из них инволюция j действует по правилу j(x, у) = (х, —у). Обозначим эту стандартную окружность с такой инволюций через Е. Тогда факторпространство E/j гомеоморфно диаметру D этой окружности. Произведение х ... х D 1™) будем обозначать через ГДЄ «і О,..., гт 0, причем считается, что если в произведении
D{k) х ... х DM х ... х D{im)
степень ir равна нулю, то сомножитель D отсутствует в этом произведении. Аналогично, произведение oS Х ... XQ E(fcm) будем обозначать через
oE(felv..,fem)_ Тогда
подпространство jS(R) симметрического произведения
S(R) топологически отождествляется с несвязной суммой
ТТ _)( b-i m) Х ]( 1»-Лп)
ii+...+t m=/
К\ "і- • • • "т « ль=К и справедлива следующая
Теорема 2. Пусть каноническое отображение 1к • S —ї С имеет 2га (1 т д + 1) вещественных точек ветвления. Тогда отображение
V{k) : S(R) fc) - Wt(R) при А; удовлетворяет свойствам:
1) Отображение
/i(fc) : oS - m) _ Wk(R) (h + ... + km = k)
является вложением.
2) Образ отображения
li{k) : D(, 1 - ™) x 0s( i."., m) _ Wfc(R),
где ii + ... + im = I, k1 + ... + km = k-2l, равен -20( 1,-A»)).
3) Отображение
где г і + .. .-him = І, к\-\-...-{-кт = к — 211 является проекцией, стягивающей
множество 1)( ь»., т) х 6 в точку ц(к 21\Ь) множества (&_2Z)(05](feb",fem) В случае, когда каноническое отображение 1к не имеет вещественных точек ветвления, имеется две возможности. Если множество вещественных точек 5(Ж) не пусто, то оно состоит из одной компоненты связности при g четном, в противном случае оно состоит из двух компонент связности.
В первом случае множество 5 (К) отождествляется со стандартной окружностью Е, на которой инволюция j : S 4 S действует отражением относительно оси Ох. Множество iS(R)W отождествляется с прямым произведением ( ) х 0S fc_2 и имеет место следурщая
Теорема 3. Пусть каноническое отображение 1к • S — С не имеет вещественных точек ветвления и пусть род g поверхности S четен. Тогда
отображение
при к g удовлетворяет свойствам:
1) Отображение
является вложением.
2) Образ отображения
ji : E(Z) х 0Е(&-2/) -» W (R)
вен /і( -я)(0Е( -а)) + /ад, где q0 = /І(І(РО))-5j Отображение
/ : Е х 0S - /i(fc-2/)(0E(fc-2/)) + /ад
является проекцией, стягивающей множество Yr х b в точку b+lqo множества / - (оЕ -2 )) + /ад.
Во втором случае множество вещественных точек S(R) отождествляется с несвязной суммой двух стандартных окружностей Ei,E2, причем инволюция j : 5(R) — • S(Ж) переставляет их друг с другом. Множество точек {р + J{P)} С Ei х Е2 образуют диагональ А тора Ei х Е2 = Ei х Ei, если мы отождествим Е2 с Ei с помощью инволюции j : Ei — • Е2. Поэтому
множество /5(R) топологически отождествляется с несвязной суммой
Ц д(0 х оЕ( іЛ)
kt+k2=k-2l
и справедлива
Теорема 4. Пусть каноническое отображение 1к S — С не имеет вещественных точек ветвления и пусть род g поверхности S нечетный. Тогда отображение
/х : S(R) -+ Wfe(M)
при k g удовлетворяет свойствам:
1) Отображение
р(к) . оЕ(кг,к2) _+ Щ(Щ ( + k2 = k)
является вложением.
2) Образ отображения
№ : А(0 х 0Е( ) _ wfc(R)
равен -20(0( ъ 2)) + /д0, где кг +к2 = к-21 и q0 = ji(j(po)).
3) Отображение
№ : А(/) х o {klM) - /i(fe-2/)(oS(fcl fc2)) + / Й,
где k\ + / = &, является проекцией, стягивающей множество Д х Ь в
точку Ъ + Iqo множества -2 (oS 1,fe ) + Несформулированные результаты требуют некоторого пояснения в силу громоздкости проводимых построений. Поэтому в этой главе рассматриваются также два геометрически наглядных частных случая для гиперэллиптических римановых поверхностей рода 2 и 3.
Заключительная часть диссертации является своего рода первой попыткой исследования отображения ji : S (Ж) — J (Ж) для негиперэллип-тических римановых поверхностей, и может рассматриваться как дополнение к основной теме диссертации. Здесь это отображение изучается для негиперэллиптической поверхности S рода g = 3 и только для к 3. Ограничение на род поверхности связан с тем, что полно изучено кратное отображение Абеля-Якоби на множестве комплексных точек только для рода 3. Заметим, что каждая риманова поверхность рода 2 является гиперэллиптической .
По теме диссертации подготовлено 5 научных статей [3, 4, 5, 6, 7]. Кроме того, результаты исследований докладывались на Всероссийской научной конференции, посвященной 200 - летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также на семинаре по алгебраической геометрии при Ярославском педагогическом университете им. К.Д. Ушинского.
Дивизоры и линейные расслоения на римановой поверхности
Эта позиция Якоби справедлива, если рассматривать только однозначные аналитические функции, но в его время не было точного определения аналитической функции, в частности, не было понимания функции как отображения области на область. Отрицание возможности обращения гиперэллиптического интеграла заставило Якоби искать выход в другом направлении. Он строит две суммы и рассматривает симметрические функции Жі+яг и х± -хч верхних пределов. Эти функции являются четырежды периодическими в обычном смысле (и,
В частности, однозначными) функциями двух переменных Щ И Щ С современной точки зрения подход Якоби к задаче обращения гиперэллиптического интеграла (2) содержится в утверждении: если д — род римановой поверхности S, то отображение ц : S — J является бимероморфным отображением, а поэтому обладает обратным мероморф-ным отображением. Не менее интересным оказывается рассмотрение кратного отображения Абеля-Якоби при к д. Свойства этого отображения оказались тесно связаны с линейными системами дивизоров на кривой. В частности, с помощью этого отображения получается тета-дивизор на многообразии Якоби, который исторически определялся с помощью тета-функ-ций. Особые точки тета-дивизора играют важную роль в описании специальных линейных систем на кривой. В силу интересных свойств и обширной области применения как в теории римановых поверхностей, так и в других разделах математики, кратное отображение Абеля-Якоби /л : S — J привлекло внимание многих ученых и было глубоко изучено. Соответствующие результаты изложены в разных работах, и в частности, в монографиях Ф. Гриффитса , Дж. Харриса [1], Р. Ганнинга [11], Д. Мамфорда [13].
Предположим теперь, что коэффициенты многочлена Q(x) вещественные, тогда имеет место кратное отображение Абеля-Якоби на множестве вещественных точек
Изучению этого отображения при к д в случае, когда риманова поверхность S гиперэллиптическая, и посвящена настоящая работа. Данная тема представляет интерес с точки зрения анализа, как геометрический подход к изучению гиперэллиптических интегралов вида (1), которые исторически рассматривались с вещественными коэффициентами. С другой стороны, эта тема интересна для вещественной алгебраической геометрии. Так как кратное отображение Абеля-Якоби было одним из основных инструментов изучения комплексных алгебраических кривых, то оно должно быть полезным для изучения вещественных алгебраических кривых.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 77 страниц, библиография — 13 названий. Диссертация также содержит 6 рисунков.
Первая глава работы содержит предварительные сведения, необходимые для формулировки и доказательства результатов исследования кратного отображения Абеля-Якоби (6). Здесь приведены известные факты, касающиеся компактных римановых поверхностей, симметрического произведения компактной римановой поверхности S, дивизоров и линейных расслоений на ней, а также структуры комплексного кратного отображения Абеля-Якоби (4). Заметим, что нам не удалось найти достаточно подробного описания слоев отображения (4) для случая гиперэллиптических римановых поверхностей, поэтому выяснению этого вопроса посвящен последний пункт первой главы. Прежде, чем сформулировать соответствующий результат, введем некоторые обозначения.
Пусть Wk — образ симметрического произведения S по действию отображения ц . Для каждой точки а Є Wk назовем слоем кратного отображения Абеля-Якоби множество точек (/І )_1(О;) Є S k . Так как поверхность S — гиперэллиптическая, то каноническое отображение является двулистным накрытием рациональной кривой, разветвленным в 2д 4- 2 точках. Тогда рассмотрим на поверхности S инволюцию j : S — S, переставляющую листы этого накрытия, она называется гиперэллиптической инволюцией. Обозначим через iS подмножество точек из Теорема 1. Пусть S — гиперэллиптическая риманова поверхность рода д. Тогда отображение является бирациональным при к д и удовлетворяет следующим свойствам:
Во второй главе диссертации применяются описанные выше факты для изучения вещественного отображения (6). Сначала описывается структура этого отображения для гиперэллиптических римановых поверхностей произвольного рода g 2. Затем, в качестве иллюстрации, нами рассматриваются частные случаи: g = 2 и 3. Заметим, что причиной ограничения исследований гиперэллиптическими поверхностями является то обстоятельство, что кратное отображение Абеля-Якоби устроено более просто на такого типа поверхностях.
Рассмотрим подпространство іБ(Ж) симметрического произведения S(M.)(k\ состоящее из точек вида р\ + j{p\) + ... + pi + j(pi) + Pi+i + ,..+ Pk-i, где j : 5 (Ж) —» S(Ж) — гиперэллиптическая инволюция. Так как подпространство симметрического квадрата 5(Ж) 2\ состоящее из точек р + j(p), совпадает с факторпространством S(M)/j, то /5(Ж) можно отождествить с прямым произведением (S(R)/j) х o J (R)( -2/). Отметим, что каноническое отображение 1к может иметь вещественные точки ветвления, причем их число всегда четно. Пусть 1к имеет 2га (1 + 1) вещественных точек ветвления. Выберем в качестве ро одну из них. Тогда множество вещественных точек 5(Ж) топологически отождест вляется с несвязной суммой т стандартных окружностей х2+у2 = 1, причем на каждой из них инволюция j действует по правилу j(x, у) = (х, —у). Обозначим эту стандартную окружность с такой инволюций через Е. Тогда факторпространство E/j гомеоморфно диаметру D этой окружности.
Слои кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей
Точку из симметрического произведения S мы будем обозначать через pi + ... +pfc, где ръ ... ,рк Є S. В качестве полезного примера, необходимого нам в дальнейшем, вычислим симметрическое произведение (СР1) . Будем рассуждать следующим образом. Поставим в соответствие любой точке проективной прямой СР1 с точностью до пропорциональности линейную однородную форму, т.е. Любой точке из (СР1) поставим в соответствие (с точностью до пропорциональности) произведение п линейных однородных форм, т.е.
Если зафиксировать любую точку из пространства (СР1) , то мы получим определенный набор (е?о, di,..., dn), который отождествим с точкой проективного пространства СРП. Таким образом, для каждого набора коэффициентов ZQ, а{, а, а\,..., ад, а" находится определенная точка из СРп. Сделаем замену z = z\/zo, тогда в последнем соответствии мы получаем неоднородный многочлен п-ой степени: ]Р drzr. Возвращаясь к поднятому вопросу, можно сказать, что (СР1) гомеоморфно множеству таких точек пространства СРП, которые есть коэффициенты многочленов, разложимых на линейные множители. Осталось заметить, что любой многочлен степени п разложим на линейные множители над полем комплексных чисел С, т.е. имеет п корней (не обязательно различных). Поэтому симметрическое произведение (СР1) ) гомеоморфно проективному пространству СР\
Для исследования кратного отображения Абеля-Якоби нам понадобятся некоторые известные факты из теории дивизоров и комплексных линейных расслоений на компактной римановой поверхности S. Главным образом нас будет интересовать связь комплексных линейных расслоений с дивизорами, а также голоморфные и мероморфные сечения этих расслоений.
Определение 1 Л. Дивизором, на компактной римановой поверхности S называется (формальная) целочисленная линейная комбинация ее точек Для любой мероморфной функции / на римановой поверхности S можно следующим образом определить ее дивизор (/) где pi,...., рк — нули, #1,..., qi — полюса функции /, ordPif — порядок функции /, равный кратности нуля этой функции в точке pi, ordqjf — порядок функции /, равный кратности полюса функции / в точке qj. Дивизоры мероморфных функций называются главными. Заметим, что для любого нуля pi функции / имеет место неравенство ordp J 0 и для любого полюса qj функции / справедливо неравенство ordqjf О, причем эти порядки связаны следующим образом. Отметим также, что для любого полюса q мероморфной функции / имеет место равенство Множество дивизоров на компактной римановой поверхности S образуют абелеву группу Div(S), нулем которой является пустой дивизор. Так, например, для двух мероморфных на S функций / и g оказывается справедливым равенство дивизоров (/ g) = (/) + (д). Определение 1.5. Степенью deg D дивизора D вида (4) называется число Степень дивизора является гомоморфизмом группы дивизоров Div(S) в кольцо целых чисел Z (см. [1], с.144-145, а также 158). Ядром этого гомоморфизма является множество всех главных дивизоров поверхности S. Два дивизора Di,D i Є Div(S) называются линейно эквивалентными, обозначается ?i Di, если их разность есть главный дивизор. Очевидно, что линейно эквивалентные дивизоры имеют одинаковую степень. Назовем далее дивизор D = kipi эффективным, если все / 0; мы будем запи i сывать это следующим образом: D 0. Аналогично дивизору мероморфной функции можно определить дивизор-(ш) любой мероморфной 1-формы ш. А именно, каждая такая форма задается локально в любой карте Ua выражением f(za)dza, где za — локальный параметр в Ua, причем нули и полюса мероморфной функции / не зависят от выбора этого параметра. Назовем дивизором мероморфной формы ш в карте Ua дивизор (/) функции / = f(za); таким образом, (а;) = (/) в Ua. Заметим далее, что дивизоры можно описать также в терминах теории пучков. Пусть Л4 — мультипликативный пучок ростков мероморфных функций на поверхности 5, не равных на ней тождественно нулю, а О — его подпучок ростков не обращающихся в нуль голоморфных функций. Тогда дивизор D на S — это глобальное сечение факторпучка Л4 /0 . Имеет место отождествление которое в действительности является гомоморфизмом (см. [1], с. 145-146). Действительно, глобальное сечение {/а} пучка Л4 /0 задается открытым покрытием {Uа] поверхности S и такими мероморфными функциями /а, не равными тождественно нулю на /а.
Вещественная структура на комплексных геометрических объектах
Пусть V — комплексное векторное пространство, тогда вещественной структурой на V называется антилинейная инволюция на V. Это означает, что задано отображение в : V - V, удовлетворяющее условиям: Множество неподвижных точек инволюции в будем обозначать через Vе, элементы этого множества будем называть вещественными векторами. Множество вещественных векторов Vе является вещественным векторным пространством и равно ядру вещественного линейного отображения 0 — 1 : V — V. Рассмотрим множество векторов iVe, где і Є С — мнимая единица. Это множество состоит из векторов v Є V, удовлетворяющих условию 0(v) = —v. Оно равно ядру вещественного линейного отображения в + 1 : V — V. Векторы из этого пространства называются мнимыми векторами. Из равенства следует, что имеет место разложение V в прямую сумму V = Vе iVe. Оно показывает, что комплексное векторное пространство V является комплек-сификацией вещественного векторного пространства Vе, т.е. выполняется равенство V = Vе 8 ж С, причем инволюция в совпадает с операцией комплексного сопряжения. Заметим также, что выполняются равенства причем базис вещественного векторного пространства Vе является базисом комплексного векторного пространства V.
Пусть М — комплексно аналитическое многообразие, тогда вещественной структурой на М называется антиголоморфная инволюция на V. Это означает, что задано отображение т : М — М, удовлетворяющее условиям: 1) если / Є О(U) — голоморфная функция на открытом множестве / С М, то/от — антиголоморфная функция на т_1(/);
Множество неподвижных точек инволюции г будем обозначать через Мг, элементы этого множества будем называть вещественными точками. Множество вещественных точек МТ может быть пустым. В случае, когда Мт ф 0 множество вещественных точек может состоят из нескольких компонент связности, даже если многообразие М связное. Каждая компонента связности множества вещественных точек Мт является вещественно аналитическим многообразием, размерность которого равна dimM. Действительно, если р Є Мг, то дифференциал в = dr : ТрМ — ТРМ инволюции г определяет вещественную структуру на касательном пространстве ТРМ. Векторное пространство вещественных векторов (ТрМ)е имеет размерность dimM и является касательным пространством к множеству Мт. Поэтому Мт является вещественно аналитическим подмногообразием многообразия М размерности dim М.
Комплексно аналитическое многообразие с фиксированной вещественной структурой будем называть вещественным голоморфным многообразием. В качестве примера таких многообразий рассмотрим вещественные алгебраические многообразия. Начнем с аффинных многообразий. Каждое такое /і(жі,..., хп),..., fm(xi,..., хп) — многочлены с вещественными коэффициентами. Эта система уравнений определяет множество вещественных решений Х(Ж) С Iя. В аналитической геометрии множество Х(Ш) С Шп и называют вещественным алгебраическим многообразием. Но при таком определении приходится вводить мнимые геометрические фигуры, так как множество Х(Ш) С Жп может быть пустым. Например, говорится, что уравнение х2+у2+1 = О определяет мнимую окружность, поэтому ситуация как в физике: материя исчезла, остались только уравнения. Проблема решается с помощью комплексного языка. Нужно рассматривать множество комплексных решений Х(С) С Сп системы уравнений X. Тогда уравнение х2 + у2 + 1 = 0 определит риманову поверхность в С2 = Ж4. В общем случае будем предполагать, что алгебраическое множество Х(С) не имеет особых точек, тогда оно является комплексно аналитическим подмногообразием Сп. Так как у нас уравнения с вещественными коэффициентами, то если точка z Є Сп принадлежит Х(С), то комплексно сопряженная точка z тоже принадлежит Х( С). Поэтому на множестве комплексных решений определена инволюция комплексного сопряжения
Множество вещественных точек Х(К) состоит из неподвижных точек для этой инволюции, т.е. выполняется равенство Х(М) = Х(С)Г. Инволюция т : Х(С) - Х() антиголоморфна, поэтому пара (Х(С),т) образует вещественное голоморфное многообразие.
Аналогично мы можем рассмотреть проективные вещественные алгебраические многообразия. Каждое такое многообразие задается системой однородных уравнений с вещественными коэффициентами
Кратное отображение Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей
Сделаем несколько замечаний по поводу симметрических произведений произвольного топологического пространства X.
Остановимся прежде всего на случае, когда пространство X гомеоморфно стандартной окружности. Тогда Х будет гомеоморфно n-кратному произведению окружности. Выясним структуру последнего произведения. Можно показать, в частности, что симметрический квадрат окружности будет листом Мебиуса, а симметрический куб — дополнением РР3 до полнотория.
Вычислим сначала симметрический куб окружности S1. Будем использовать гомеоморфизм S1 ШР1. Подставим в соответствие любой точке пространства ШР1 с точностью до пропорциональности линейную однородную форму, т.е. Если зафиксировать любую точку из пространства (RP1) 3), мы получим определенный набор (do, d\,d2,d$), который отождествим с точкой пространства RP3. Таким образом, для каждого набора коэффициентов ао, а\, bo, Ь\, со, с\ находится определенная точка из RP3. Сделаем замену t — х\/хо, тогда в соответствии (8) мы получаем неодно з родный многочлен третьей степени: 2 drtr. Возвращаясь к поднятому вопросу, можно поэтому сказать, что (51) представляет собой множество таких точек пространства RP3, которые есть коэффициенты многочленов, разложимых на линейные множители с вещественными коэффициентами, т.е. имеющих действительные корни. Очевидно, что является подмножеством RP3, так как не все мно гочлены третьей степени имеют только вещественные корни, т.е. разложимы на вещественные множители. Возможен случай, когда такой многочлен имеет один вещественный и два комплексно сопряженных корня. Исключая из пространства ЖР3 множество точек, соответствующих этому случаю, получаем Рассмотрим отдельно случай многочленов третьей степени, имеющих два комплексно сопряженных корня. Пусть (а, Ь, Ь) — корни многочлена третьей степени с действительными коэффициентами. Эта тройка определяется точкой а ЖР1 и парой чисел (6,6) Є С = СР1. Мы должны считать, что пара (6, Ъ) эквивалентна паре (В, b). Поэтому множество таких пар совпадает с факторпространством С/г, где г — комплексное сопряжение. Это фактор-пространство гомеоморфно диску D2. Поэтому множество точек из ЖР3, задающих многочлены, у которых один корень вещественный и два корня комплексных, гомеоморфно ЖР1 X D2 S1 х D2. Следовательно, множество топологически отождествляется с множеством ЖР3/(51 х D2), которое мы будем обозначать далее через Vі. Аналогичные рассуждения, проведенные для (51)(2) , приводят к выводу, что это множество топологически отождествляется с листом Мебиуса, который мы обозначим через М2. В этом случае из пространства ЖР2 выкидывается диск D2, соответствующий множеству квадратных многочленов, у каждого из которых два комплексно сопряженных корня. Отметим, что приведенные вычисления хороши только для маленьких симметрических степеней окружности и в более общем случае представляют большую сложность. Однако Мортоном было показано (см. [12]), что п-кратное симметрическое произведение окружности имеет структуру топологического многообразия с краем. Его рассуждения строились следующим образом. Пусть Е — стандартная окружность, заданная уравнением х2+у2 = 1. Определим накрывающее отображение е : К — Е, задаваемое формулой e(t) = e2mt. Отображение Еп — Е, действующее по правилу инвариантно относительно действия группы Gn и, таким образом, мы можем рассмотреть отображение симметрической степени Е(") - Е. Оно является расслоением над окружностью со слоем Е0 — пространством неупорядоченных п-ок точек на окружности с произведением 1. Пусть Дп_1 — (п — 1) - мерный симплекс, определяемый как множество точек {(xh ...,xn):xi ... xn xi + l,xi + ... + xn = 0}. Мортоном было построено отображение ф : Дп_1 — Е0 , действующее по правилу ф(хъ ..., хп) = е(хх) + ... + е(хп), которое является гомеоморфизмом. Таким образом, Т№ является расслоением на диски над окружностью. При четных п оно оказывается неориен-тируемым расслоением, при нечетном п — ориентируемым (тривиальным) расслоением. Пусть теперь на произвольном топологическом пространстве X определена инволюция j : X — X. Обозначим через [] наибольшее целое число, не превосходящее . Рассмотрим подмножество iX (О I [п/2]) симметрического произведения Х п\ состоящее из точек вида р\ + j(pi) + ... + Pi + j(pi) + Яі + + 4n-2h гДе ни Дна паРа точек qit,qi2 не связана на X инволюцией j, т.е. ни для одной пары точек &х, ( Є X не выполняется равенство fti =І(фа) Заметим, что каждая точка множества {р + j(p)} С Х определяется как неупорядоченная пара точек (р, j(p)) из X, следовательно, множество таких пар совпадает с факторпространством X/j. Тогда множество [Х является образом отображения-вложения
