Введение к работе
Актуальность темы исследования. Под математическим моделированием различных процессов и объектов понимается изучение их на математических моделях. Важным элементом процесса формирования решения поставленных задач является информатизация науки на основе внедрения вычислительной техники, основ информационных технологий, производства универсальных и проблемно ориентированных программных средств и алгоритмов для ЭВМ различного назначения.
Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, синтетический аппарат которой имеет инженерную направленность, служит базой для разработки методов геометрического моделирования объектов различной природы и структуры, а также химических, физических, технологических, экономических и социальных процессов.
Начертательная геометрия на современном этапе вплотную подошла к исследованию многомерных многообразий различных структур, которые, как оказалось, лежат в глубинных основах многочисленных процессов.
Целью математического (геометрического) моделирования является определение оптимальных условий протекания изучаемого процесса, управления им на основе математической модели и перенос результатов на объект.
Математическое (геометрическое) моделирование всегда стремилось соответствовать задачам технологии. От простых расчетов геометрических размеров деталей механизмов и машин до определения необходимых соотношений компонентов, вступающих в реакции между собой веществ - таков диапазон различных известных методов моделирования.
В современном научно-техническом прогрессе отчетливо наблюдается эволюция технологических процессов, направленных от простых механических обработок природных материалов с известными свойствами к синтезу многочисленных материалов с наперед заданными свойствами, которыми не обладают материалы природные, полимеры и композиты, сплавы и т. д.
Особый интерес представляют теоретические работы специалистов в области физико-химического анализа многокомпонентных систем: Н. С. Курнакова, В. П. Радищева, А. Т. Бергмана, Н. С. Домбровской, А. И. Бегунова, Д. В. Ген-дина, Н. А. Корчевина, Ф. К. Шмидта и др.
Теоретические результаты, полученные в работах известных специалистов в области начертательной геометрии — К. И. Валькова, В. Я. Волкова, И. Н. Джапаридзе, Г. С. Иванова, И. И. Котова, Д. Ф. Кучкаровой, В. Е. Михайленко, Б. Н. Нурмуханова, В. А. Осипова, В. М. Найдыша, В. Н. Первиковой, 3. С, Ско-пеца, А. М. Тевлина, С. А. Фролова, П. В. Филиппова, Н. Ф. Четверухина, В. Ю. Юркова, В. И. Якунина, О. А. Графского, Н. С. Гумена, В. Г. Ли, В. В. Мартынова, В. В. Найханова, В. Е. Турлапова и многих других, нашли широкое применение при решении различных задач науки и техники.
Решение задачи моделирования технических поверхностей в начертательной геометрии реализуется путем отображения исследуемой поверхности на плоскость или хорошо изученную поверхность.
В методе двух изображений, в общем случае, алгебраическая поверхность
моделируется многозначным соответствием, что затрудняет исследование
свойств поверхности, инцидентных ей линий, особых точек й т. д. у
В методе двух изображений только плоскость и поверхности п — го порядка моноидального типа с двумя и более (и — 1) — кратными точками, в две из которых помещаются центры проецирования, моделируются взаимно однозначными соответствиями, что существенно облегчает исследование свойств моделируемых поверхностей. Замена проецирования связками прямых проецированием конгруэнциями и комплексами кривых (прямых) приводит к моделированию значительного класса поверхностей, основой которых является теория кремо-новых преобразований.
Прикладная значимость кремоновых преобразований плоскости и трехмерного пространства показана в работах И. С. Джапаридзе, Г. С. Иванова, А. Л. Подгорного, 3. А. Скопеца и их учеников.
При этом в качестве аппарата проецирования используются лишь связки и конгруэнции прямых, что дает возможность моделирования поверхностей, несущих каркасы кривых только второго порядка.
Моделирование же поверхностей на основе криволинейного проецирования, когда вспомогательное проецирование выполняется пучками кривых, позволяет моделировать моноидальные поверхности, несущие каркасы кривых линий
а"порядка V>2. Однако исследований в этом направлении проведено недостаточно.
Все обобщения аппарата проецирования в основном решают прямую задачу начертательной геометрии: данную поверхность (кривую) подбором соответствующего аппарата проецирования отобразить на плоскость взаимно однозначным соответствием.
Решение обратной задачи, когда по модели и аппарату проецирования требуется сконструировать поверхность, несущую каркасы кривых второго порядка, посвящено немного работ. Но отсутствуют работы такого плана, когда по данной модели конструируется моноидальная поверхность, несущая каркасы кривых высших порядков. Поверхности моноидального типа имеют многочисленные области приложений, что следует из ниже полученных результатов.
Свойства поверхностей во многом определяются свойствами их линий, по
этому конструирование кривых линий представляет важную компоненту слож
ной задачи конструирования поверхностей. .
Конструирование технических кривых линий сводится к построению кривых, сопрягающих точки заданного дискретного массива с выполнением некоторого набора краевых условий (фиксированных касательных, асимптотических направлений, кругов кривизны и т. д.).
На современном этапе технические кривые в большинстве случаев представляются в виде составных обводов определенного порядка гладкости, для чего используется большой набор функций (алгебраических, трансцендентных).
Применение нелинейных преобразований для конструирования кривых позволяет получать широкий класс алгебраических кривых, моделируемых взаимно однозначными соответствиями, отличающихся разнообразием своих характеристик, особенностей и соответственно расширяют класс моноидальных поверхностей, несущих в качестве каркасов рациональные алгебраические кривые.
Кроме того, существование непосредственной зависимости свойств конструируемой кривой от аппарата отображения, расположения кривой относительно плоскости проекций и аппарата отображения дает возможность прогнозировать свойства конструируемой кривой до ее непосредственного получения.
Технические поверхности по аналогии с техническими кривыми аппроксимируются отсеками рациональных алгебраических поверхностей или обводами различного порядка гладкости, составленными из отсеков указанных поверхностей. Для решения этой задачи необходимо в первую очередь научиться решать прямую задачу: по данной поверхности (двум поверхностям) изучить все простые кривые, плоские и пространствомные, найти особые точки и кривые (построить модели линии пересечения или касания определенного порядка гладкости двух поверхностей).
В современной науке и технике все большее значение приобретают зависимости многих переменных, изучаемые теоретическим и опытным путем.
Устанавливаемая зависимость многих переменных может быть представлена в виде моделирующей ее многомерной геометрической фигуры.
При решении ряда многопараметрических задач целью является конструи
рование гиперповерхностей, моделирующих те или иные технологические про
цессы, зависимости «состав - свойство» и т. д. В основном получаемая модель
многофакторных зависимостей невозможно представить многомерным обво
дом, отвечающим требованиям функционального назначения, расчета, ввода в
ЭВМ и др. '
В качестве составляющих обводов целесообразно выбирать рациональные моноидальные гиперповерхности, которые легко параметризуются и являются простыми в формализации, что позволяет составлять программы и решать прикладные задачи с использованием компьютерной техники.
Определенный интерес в этом плане представляет собой получение гиперповерхностей с помощью нелинейных преобразований.
На основе выше изложенного определены цели диссертационного исследования.
Цель работы. Разработка методов конструирования многомерных моноидальных поверхностей, заданных дискретным множеством экспериментальных точек, как теоретической основы для определения многофакторных зависимостей, применяемых при синтезе новых современных материалов, решении сложных экологических проблем, моделировании химико-технологических производственных процессов и технических систем.
Поставленная цель потребовала решения следующих теоретических и прикладных задач:
исследовать конструктивно-прикладные вопросы моделирования кривых и многомерных моноидальных поверхностей в классическом и обобщенном методах двух изображений взаимно однозначными соответствиями;
разработать теоретическую базу конструирования гладких многомерных обводов;
разработать геометрические основы практически удобных и реализуемых на ЭВМ способов моделирования многопараметрических объектов и процессов в физико-химическом анализе многокомпонентных систем и других областях техники и технологии;'
- на основе разработанных методов моделирования поверхностей моно-
идального типа применить их к моделированию химически реагирующих и не-
реагирующих мфжду собой веществ многокомпонентных систем;
применить разработанные методы к прогнозированию экспериментальных исследований, позволяющих направлять и увеличивать выход продукции химических реакций, получать новые вещества и материалы;
применить разработанные методы к конструированию технических систем;
применить разработанные методы конструирования моноидальных гиперповерхностей к решению задач активизации эвристического мышления студентов в виде научно-методического авторского спецкурса «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многоком- -понентных системах».
Методы выполнения работы. Решение задач, поставленных в работе, базируется на методах алгебраической, проективной, исчислительной и начертательной геометрий, при этом используются как синтетические, так и аналитические методы. Они основаны на использовании нелинейных способов отображения пространства, связанных с криволинейным проецированием алгебраических кривых а" порядка V > 2. При решении прикладных задач выясняется их геометрическая сущность и устанавливается связь с теоретическими исследованиями выполненными в работе. Разработанные алгоритмы программно реализованы на алгоритмическом языке и отлажены на ЭВМ.
Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов подтверждается доказательствами и сравнениями с известными теоретическими результатами, решением конкретных, технических и технологических задач, внедрениями в реальное проектирование.
Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость работы заключается в том, что в диссертации для моделирования и конструирования кривых и поверхностей взаимно однозначными соответствиями предложены методы моделирования и конструирования рациональных алгебраических кривых и многомерных моноидальных поверхностей:
установлены зависимости характеристик моделей и аппаратов проецирования;
разработан метод моделирования двух поверхностей, базирующийся на криволинейном проецировании, доказана теорема о существовании слабоинвариантной кривой, являющейся моделью линии пересечения поверхностей, ко-
торая при распадении обеспечивает соприкосновение поверхностей определенного порядка гладкости;
- создана теоретическая база нового подхода к конструированию гладких
многомерных обводов, смежные, составляющие которых моделируются на
плоскости изображения в обобщенном методе двух изображений центральными
кремоновыми инволюциями и общим центром;
-разработаны методики конструирования моноидальных гиперповерхностей
инцидентных связке и пучку гиперплоскостей, для чего доказана соответст
вующая теорема; -
на основе разработанных методик в применении к моделированию химических и технологических процессов установлена возможность моделировать химические процессы реагирующих и нереагирующих между собой веществ;
разработанные методы криволинейного проецирования применены к моделированию технических систем;
разработан авторский спецкурс «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах», обеспеченный научно-методическими пособиями.
Практическая ценность выполненного исследования заключается в разработке методик конструирования моделей, алгоритмов и программ расчета алгебраических моноидальных гиперповерхностей с целью моделирования многомерных функциональных зависимостей. В частности, решены следующие задачи, имеющие значимость для начертательной геометрии и инженерной графики:
1) предложена методика моделирования алгебраических моноидальных
многомерных поверхностей, несущих каркасы кривых а" порядка V 2:2, на основе криволинейного проецирования и конструирования из их отсеков гладких двумерных обводов, состоящих из попарно соприкасающихся смежных составляющих;
-
разработаны математические модели многофакторных экономических зависимостей, которые заложены в основу пакета прикладных программ, а также программы расчета уравнений моноидальных гиперповерхностей, зарегистрированной в отраслевом фонде алгоритмов и программ;
-
разработаны математические модели химических многокомпонентных зависимостей «состав-свойство»;
-
выполнено конструирование технических систем на основе математического моделирования;
На защиту выносится:
метод моделирования рациональных алгебраических кривых высших порядков и многомерных моноидальных поверхностей, несущих каркасы кривых высших порядков, при криволинейном проецировании на плоскости взаимно однозначными соответствиями;
зависимости характеристик моделей и аппарата криволинейного проецирования;
метод моделирования двух поверхностей, базирующий на криволинейном проецировании;
теорема о существовании слабоинвариантной кривой — модели линии пересечения двух поверхностей;
способ конструирования двух поверхностей на основе криволинейного проецирования;
теоретическая база конструирования гладких двумерных обводов, смежные составляющие которых моделируются на плоскости изображений в обобщенном методе двух изображений центральными кремоновыми инволюциями с общим центром;
методики конструирования гиперповерхностей моноидального. типа инцидентных связке и пучку гиперплоскостей;
методики моделирования химических и технологических процессов реагирующих и нереагирующих между собой веществ;
методики .моделирования технических систем на базе криволинейного проецирования;!' '
авторский спецкурс «Математическое моделирование многофакторных и многопараметических процессов в многокомпонентных системах».
Реализация результатов исследования. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на предприятиях химической промышленности (Иркутской области) в виде режимных карт, позволяющих повысить выход продукции: ректификации метилхлорсиланов, производства эпихлоргидрина, получения тетраэтоксисилана, гексилацетоуксусно-го эфира, этила бромистого технического и др.
Получены модели и выполнена оптимизация, технологических процессов (гидрогенизации сапропелита, очистки сточных вод от тяжелых металлов (ртути, меди, цинка, ртути, свинца и др.)), водоподготовки на ИТЭЦ и др. Результаты исследований использовались в учебном процессе Иркутского государственного технического университета в виде авторского спецкурса «Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах», оснащенного курсом лекций, практических занятий, сборником задач, лабораторным практикумом, пакетами прикладных программ.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на всероссийских конференциях: «Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для народного хозяйства» (Ленинград, 1984); «Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации» (Москва, 1985); «Автоматизация проектирования машин, оборудования, приборов и технологических процессов в машиностроении» (Устинов, 1986); «Геометрическое моделирование в авиационном проектировании» (Киев, 1987); «Перспективы развития химических технологий» (Иркутск, 1994);
на всероссийских семинарах: «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 1994-2006); «Нейроинформатика и ее приложения»; (Красноярск, 1999, 2001, 2003); «Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири» (Иркутск, 2002, 2004).
на Всесибирском Конгрессе женщин — математиков, посвященном дню рождения С. В. Ковалевской (Красноярск, 2000, 2002, 2004,2006);
на региональных конференциях: « Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири» (Иркутск, 1994, 2003).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 99 научных работ, включая одну монографию; Из совместных работ в диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем -377 страниц, в том числе 50 рисунков, 61 таблица. Библиографический список содержит 254 наименования, 30 приложений.
