Содержание к диссертации
Введение
Часть I. Общая теория 21
Глава 1. Литературный обзор 22
1.1. Введение в математико-демографические модели воспроизводства популяции 22
1.2. Репродуктивный потенциал (р. Фишер) 27
1.3. Потенциал роста, популяционная инерция (п. Венсан, н. Кейфитц) 40
1.4. Капитализированная стоимость будущих доходов (у. Фарр) и жизненный потенциал (л. Херш) 46
1.5. Работы по теории показателей ішстабильности (ш. Тулджапуркар, си. Пирожков, a.m. Рубинов, н.е. Чистякова, р. Шоен, я. Ким) 49
1.6. Выводы и заключения к главе 1 51
Глава 2. Демографические потенциалы в классической модели замкнутого однородного однополого населения 53
2.1. Дискретная популяционная модель 53
2.2. Непрерывная популяционная модель 56
2.3. Генеалогические линии и генеалогическая диаграмма. Об интерпретации понятия демографического потенциала в условиях простого воспроизводства населения 67
2.4. Об обобщении репродуктивного потенциала р.а. Фишера 74
2.5. Демографический потенциал и потенциал роста. Об обобщении понятия потенциала роста венсана-кейфитца 78
Глава 3. Демографические потенциалы в произвольной модели воспроизводства населения 82
3.1. Модель открытого неоднородного населения без механического перемешивания 82
3.2. Модель неоднородного открытого населения с механическим перемешиванием 89
3.3. Демографические потенциалы в моделях воспроизводства с переменными, отличными от возраста 92
3.4. Непрерывная модель воспроизводства населения общего вида 94
глава 4. Экономико-демографические потенциалы. Приведенный жизненный потенциал 113
4.1. Приведенные демографические потенциалы. Приведенный жизненный потенциал 113
4.2. Экономико-демографические потенциалы 122
4.3. Ресурсный потенциал. Эколого-демографический потенциал 128
4.4. Приведенные демографические потенциалы в модели неоднородного открытого населения 132
4.5. Половозрастная потенциальная пирамида 135
Глава 5. Свойства демографических и приведенных демографических потенциалов 138 5.1. Свойства демографических потенциалов 138
5.1.1 общие свойства 138
5.1.2 устойчивость демографических потенциалов 145
5.1.2.1 устойчивость к изменению параметров 145
5.1.2.2 эргодичность 149
5.2. Свойства приведенных демографических потенциалов 165
Глава 6. Модель воспроизводства демографического потенциала. Приложения в спектральном анализе и теории эргодичности 173
6.1. Дискретная популяционная модель 173
6.2. Непрерывная популяционная модель 190
Глава 7. Монотонные показатели сходимости возрастных структур 198
7.1. Дискретная популяционная модель 198
7.1.1. Показатели стабилизации возрастной структуры в условиях постоянного режима воспроизводства 198
7.1.2. Показатели сближения возрастной структуры реальных населений в условиях постоянного режима воспроизводства 203
7.1.3. Показатели сближения возрастной структуры реальных населений в условиях переменного режима воспроизводства 204
7.2. Непрерывная популяционная модель 207
7.3. Приложения монотонных показателей близости возрастных структур209
7.3.1. Коэффициенты и индексы инстабилыюсти 210
7.3.2. Приложения к анализу воспроизводства неоднородного населения 214
7.3.3. Приложения в косвенном демографическом анализе 215
7.4. О нерлсіііііримости класса монотонных показателей инстабилыгости217
Часть ii. Приложения демографических потенциалов 221
Глава 8. Анализ статистики движения населения. Составление и Мониторинг демографических индексов 222
8.1. Вклад в воспроизводство населения составляющих его движения 222
8.2. Роль компонент смертности в воспроизводстве населения 224
8.3. Миграция как фактор воспроизводства населения 226
8.4. Составление и мониторинг демографических индексов 228
8.4.1. Однополое население 228
8.4.1.1. Общий потенциал населения в абсолютных единицах 228
8.4.1.2. Обобщенный репродуктивный потенциал населения 229
8.4.1.3. Скорректированный потенциал в текущих единицах 229
8.4.1.4. Средний потенциал в 230
8.4.1.5. Монотонные показатели сходимости возрастных структур 230
8.4.1.6. Анализ демографических потерь и роли компенсаторных процессов с использованием демографических индексов, построенных на основе демографических потенциалов 231
8.4.2. Потенциал двуполого населения 232
Глава 9. Прогностическая значимость демографических потенциалов. Приложение к расчету потенциала роста 235
9.1. Прогностическая значимость демографических потенциалов 235
9.2. Приложения к оцениванию потенциала роста 236
9.3. Интервальное моделирование среднего потенциала стабильного населения и потенциала роста 240 глава і0. Анализ аномалий структуры смертности в период социального кризиса 255 глава 11. Приложение к оцениванию коэффициента лотки 259
Глава 12. Агрегированные модели динамики численности населения и иных демографических индексов. Моделирование демографического перехода 265
глава 13. Приложение к исследованию демографической истории и перспектив воспроизводства населения россии в 1897-2100 гг. 273
Глава 14. Анализ возможностей демографической политики. Оценка Результативности демографической политики 281
14.1. Анализ оптимальных стратегий восстановления емографических Потерь россии 281
14.1.1. Модель оптимальной политики поощрения рождаемости и снижения детской смертности 283
14.1.2. Анализ чувствительности результатов моделирования к вариации достижимого прироста численности младшей возрастной группы. Пределы достижимости целей демографической политики 288
14.1.3. Модель оптимальной политики поощрения иммиграции 290
14.1.4. Анализ чувствительности результатов моделирования к вариации допустимой доли дополнительно привлекаемых мигрантов в демографическом потенциале населения. Пределы достижимости целей демографической политики294
14.1.5. Сочетание мер политики поощрения рождаемости с политикой по привлечению иммигрантов 296
14.2. Показатели эффективности демографической политики 300
14.2.1. Традиционные показатели 300
14.2.2. Приложение концепции демографического потенциала к разработке
Системы демографического мониторинга и контроля 302
Глава 15. Ретроспективные расчеты иоиуляционной динамики. Моделирование популяционной динамики с учетом миграции. Приложение к исследованию динамки иммиграции в сша 307
15.1. Агрегированная модель популяционной динамики открытого населения, ретроспективные расчеты. 307
15.2. Исследование истории воспроизводства населения сша 311
Приложения 319
Список литературы
- Репродуктивный потенциал (р. Фишер)
- Генеалогические линии и генеалогическая диаграмма. Об интерпретации понятия демографического потенциала в условиях простого воспроизводства населения
- Демографические потенциалы в моделях воспроизводства с переменными, отличными от возраста
- Приведенные демографические потенциалы в модели неоднородного открытого населения
Введение к работе
При исследовании систем со сложной структурой плодотворно изучение скрытых возможностей, заложенного в их внутренней структуре потенциала (от греч. чистая возможность, скрытая сила). Ярким примером тому является потенциальная энергия механической системы, скрытая в ее пространственной структуре. Плодотворным оказывается такой подход и при исследовании биологических, социальных и экономических систем [1], которые сложны по своей структуре [2, 3, 4, 5, 6]. Не случайно термин «потенциал» в различных трактовках получил широкое распространение в моделях биологических, социальных и экономических наук.
Начиная с середины XIX - начала XX веков, в научный оборот были введены различные «потенциалы», отражающие разные аспекты демографической системы (см. литературный обзор в главе 1). Несмотря на множество работ, концепции потенциальной демографии не были обобщены на случай меняющихся во времени повозрастных показателей рождаемости и смертности. Наибольший интерес привлекли концепции репродуктивного потенциала и потенциала роста. Однако, попытки обобщения этих концепций оказались неудачными, ввиду ограниченности использовавшихся моделей и ошибок в постановке и математической разработке. Не была так же решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая уже давно [7].
Это обуславливает актуальность настоящей работы по обобщению понятий потенциальной демографии для популяционных моделей общего вида. Автор работы в свое время пришел к концепции демографического потенциала [8, 9, 10, 11, 12, 13], близкой к концепции репродуктивного потенциала Р.А.Фишера. Разработка концепции изначально велась независимо, и удалось получить ряд новых результатов и обобщений, в т.ч. относящихся к другим концепциям потенциальной демографии.
К концепции демографического потенциала ведет несколько путей. С некоторой условностью можно определить потенциал на микроуровне, как нечто присущее отдельному человеку. В рамках традиционных популяционных моделей можно рассмотреть потенциалы среднего человека определённой возрастно-социальной группы, рассчитываемые исходя из целей анализа и принимаемых гипотез о популяционной динамике. Несмотря на многообразие целей исследования народонаселения и сложность демографических моделей, т.н. свойство эргодичности, характерное для демографических систем, позволяет сконструировать общий измеритель демографической ценности в случае, когда целью анализа является исследование перспектив роста населения. Это свойство гласит, что как бы ни отличались структуры двух групп населения, с течением времени различия будут стираться, если показатели воспроизводства в будущем будут одни и те же у обеих групп. Оно показано Лоткой [14] для асимптотически стабильного населения, а Коулом [15] и Лопесом [16] для населения с меняющимся во времени режимом воспроизводства. Доказательство можно найти у Артура [17, 18], см. так же работу Кохена [19].
Идея заключается в том, что, хотя нельзя считать равноценными представителей различных возрастно-социальных групп, можно сопоставлять друг с другом ценности («потенциалы») двух одновременно сосуществующих групп населения с одинаковыми возрастно-социальной структурой и демографическими показателями. Если в основу понятия потенциала положить величину, являющуюся однородной функцией первого порядка (напр., аддитивной) относительно численностей подгрупп населения. В этом случае потенциалы вышеуказанных групп населения будут соотноситься как численности этих населений. Поскольку, согласно свойства эргодичности, возрастные структуры потомств популяций, следующих одному и тому же режиму воспроизводства, асимптотически одинаковы, демографические потенциалы исходных популяций можно соизмерить, используя асимптотику отношения численности их потомств. Таким образом, можно предложить следующее общее определение демографического потенциала, отражающего долгосрочный демографический эффект.
Пусть Na(t) - численность потомства особи/популяции а к моменту времени t. Тогда демографические потенциалы са определяются так, что с =шЩ. (І) cb Nb(t) Несмотря на простоту, определение (і) весьма общее, и может использоваться в самых разных контекстах математической демографии и биологии, поскольку свойство эргодичности, лежащее в его основе, является одним из наиболее универсальных свойств популяционной динамики.
При учёте потомства может возникнуть проблема двойного счёта - его можно отнести как к потенциалу отца, так и к потенциалу матери, но делать и то, и другое разом нельзя, т.к. потомства будут учтены дважды. Эта проблема решается при использовании традиционных однополых моделей воспроизводства. При этом потенциал будущего потомства приписывается прародителю используемого в модели пола. Помимо отсутствия двойного счёта, этот подход обладает рядом преимуществ. Во-первых, однополые демографические модели развиты, обеспечены информационной базой, точны и широко используются на практике. Во-вторых, расчёт потенциалов наиболее прост в рамках однополых моделей, многие результаты могут быть получены аналитически. В-третьих, на основе оценок, полученных для однополых моделей, можно построить потенциалы, отвечающие самым различным целям анализа. В частности, можно построить потенциалы, учитывающие двуполую структуру населения. Учитывая отмеченные обстоятельства, разработка концепции демографического потенциала в настоящей работе ведется в рамках однополых моделей. Напомним в связи с этим, что однополость традиционной популяциоиной модели не предполагает игнорирования двуполости популяции. Хотя основой модели является модель воспроизводства «ведущего» пола (как правило, женского), на основе этой модели так же разрабатывается модель динамики численности другого пола - на основе соотношения полов при рождении, которое в человеческой популяции довольно стабильно.
Учет возможностей, потенциально заложенных в ожидаемом потомстве важен и в ряде экономических задач. Так, изучая рынок товаров для детей, следует учесть не только число сегодня живущих детей, но и предполагаемую численность новых поколений, которые, проходя через детские возраста, составят целевой сегмент компании. Необходимость учёта будущих потомков возникает и в других контекстах: экологических, социальных, военно-политических и прочих. Эти задачи так же предлагается решать на основе разработки специальных показателей, отражающих относительный вклад людей различного статуса, с учетом как их собственной роли, так и роли их ожидаемого в будущем потомства.
Альтернативный подход к разработке концепции демографического потенциала связан с анализом демографических процессов на макроуровне. При этом надо отметить, что из-за сложности демографической системы, при исследовании агрегированных демографических и связанных с ними экономических показателей необходимо учитывать внутренне присущую им динамику. Эта динамика обусловлена эффектом последействия, характерным для процесса воспроизводства населения: так, наблюдаемое число рождений зависит не только от сложившегося уровня рождаемости, но и от того, сколько было рождений примерно 25-30 лет тому назад и от показателей смертности и миграции за эти годы, поскольку эти факторы определяют численность родительских контингентов.
Отмеченная особенность приводит к неадекватности агрегированных популяционных моделей и сложности моделей, адекватных реальной структуре исследуемого населения. Традиционный подход к учету структурных особенностей демографических систем восходит к работам А. Лотки [14, 20] и заключается в анализе громоздких популяционных моделей, явно учитывающих возрастные особенности рождаемости и смертности. К примеру, т.н. модель передвижки, используемая в демографическом прогнозировании, описывает динамику примерно двухсот показателей численности и структуры населения на основе двухсот показателей смертности, тридцати показателей рождаемости и двухсот показателей миграции на каждый год прогноза. Агрегированные модели, быть может за исключением некогда популярных моделей с логистической динамикой [21, 22], не получили распространения в демографическом моделировании из-за неадекватности в долгосрочном плане динамике численности населения произвольной возрастной структуры.
Поэтому для целей анализа популяционной динамики полезно искать такие агрегированные показатели (демографические потенциалы), динамика которых достаточно проста, какой бы ни была структура населения по возрасту или иным показателям, интересующим исследователя (как только что было отмечено, численность населения для этих целей не подходит). В такой постановке концепция демографического потенциала родственна концепции энергии в физике: если нет процессов, не учтенных в модели динамики системы, если она замкнута, то ее общая энергия должна быть постоянной. Изменение энергии говорит о том, что изучаемая система испытывает взаимодействие с внешним миром. Демографический потенциал тоже можно подобрать так, чтобы он был постоянен, если воспроизводство населения идет согласно построенной модели. Это легко согласуется с (і), поскольку, общая асимптотическая относительная численность потомства всего населения не может зависеть от времени. Впрочем, в силу особенностей популяционной динамики, иногда удобней подбирать потенциал так, чтобы его динамика была отличной от константы.
Формально демографический потенциал на макроуровне можно определить как показатель, который удовлетворяет некоторым наперед заданным аксиоматическим требованиям в отсутствие внешних воздействий, нарушающих режим воспроизводства населения. Как показано в работе, оба подхода - основанные как на моделях микроуровня, так и на аксиоматических требованиях к потенциалу на макроуровне - приводят в итоге к одним и тем же показателям.
Концепция демографического потенциала оказалась плодотворной, и ее разработка привела к обобщениям концепций потенциальной демографии и ряду полезных агрегированных моделей популяционной динамики, показавших свою работоспособность на тестовых примерах и в практических приложениях. С единых позиций удалось подойти ко всем концепциям, составляющим потенциальную демографию, - т.е. решить вышеупомянутую задачу, давно еще выдвинутую в отечественной литературе.
В частности, удалось получить новые результаты по развитию и обобщению понятий потенциальной демографии [8, 10, 11, 13, 23, 24], по теории эргодичности демографических моделей [8, 10, 11, 25, 26, 27], по теории монотонной сходимости возрастных структур населений [10, 11, 13, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34], по теории демографического прогнозирования [8, 10, 11, 12, 26, 27], по спектральной теории популяционных моделей [10, 11, 26, 27], по теории демографической динамики в условиях изменения графика деторождения [10, 11, 13, 23, 35, 36]. Применение результатов разработки теории демографического потенциала сыграло ключевую роль в решении таких задач, как исследование истории и перспектив воспроизводства населения России [10, 11, 12], анализ оптимальных стратегий преодоления депопуляции населения России [10, 11, 37, 38, 39], исследование демографических потерь депортированных народов СССР [11, 40, 41, 42], реконструкция показателей иммиграции в США [10, 11, 43, 44], исследование расово-этнических особенностей воспроизводства населения США [10, 11, 30]. На основе теории демографического потенциала были предложены новые методы мониторинга последствий социально-экономических кризисов для смертности [11, 45], новые методы анализа роли миграции как фактора воспроизводства и замещения населения, на основе чего разработана теория стабильного населения с учетом миграции [11, 46, 47], новые методы мониторинга воспроизводства населения, пригодные для целей демографической политики в условиях изменения уровня и возрастной структуры показателей воспроизводства [48, 49, 50], новые методы агрегированного демографического моделирования и прогнозирования [8, 10, 11, 12, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 51, 52, 53].
Таким образом, актуальность настоящей работы связана с необходимостью разработки общего подхода к понятиям потенциальной демографии, обобщения их на случай популяционной модели общего вида, без традиционно использовавшихся ограничений типа постоянства режима воспроизводства и замкнутости населения относительно миграции; обусловлена большим интересом к разработке новых методов демографического анализа и моделирования. Этот интерес особенно велик в связи с последним развитием демографической ситуации в России и большим интересом к проблемам народонаселения в мире.
Целью настоящей работы является разработка теории демографических потенциалов для динамических популяционных моделей общего вида и приложений к задачам теоретической и прикладной математической демографии, тесно связанным с проблематикой потенциальной демографии.
Для решения поставленной цели решаются следующие задачи:
1) разработка, исследование свойств и областей приложения демографических потенциалов на основе вклада в отдалённое потомство в рамках традиционной популяционной модели, с переменным, вообще говоря, режимом воспроизводства;
2) обобщение понятия репродуктивного потенциала (Р.А. Фишер) на случай произвольной динамики показателей воспроизводства;
3) разработка единого аксиоматического подхода к различным понятиям потенциальной демографии (демографический потенциал, репродуктивный потенциал, жизненный потенциал и др.);
4) разработка концепции демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции;
5) разработка концепции демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста;
6) разработка операторной популяционной модели общего вида и концепции демографического потенциала и исследование их свойств с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности;
7) обобщение и разработка понятия потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц) на основе понятия демографического потенциала на случай популяционной модели общего вида;
8) разработка, обобщение и исследование свойств понятий потенциальной демографии в узком смысле (капитализированная стоимость будущих доходов, жизненный потенциал, трудовой потенциал; У. Фарр, Л Херш) на основе единого аксиоматического подхода:
- разработка, исследование свойств и областей приложения приведенного жизненного потенциала на основе вклада в формирование человеко-лет, которые будут прожиты изучаемым населением,
- разработка, исследование свойств и областей приложения конъюнктурных потенциалов на основе вклада в формирование доходов компаний,
- разработка, исследование свойств и областей приложения ресурсных потенциалов на основе вклада в расходование дефицитного ресурса,
- разработка, исследование свойств и областей приложения экологических потенциалов на основе вклада в истощение и загрязнение окружающей среды,
- разработка, исследование свойств и областей приложения трудовых потенциалов на основе вклада в формирование трудовых ресурсов общества,
- разработка, исследование свойств и областей приложения экономических потенциалов на основе вклада в превышение производства над потреблением общества;
9) разработка приложений к спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей;
I ( разработка теории монотонной сходимости возрастных структур населения и теории монотонных показателей инстабильности, обобщение известных результатов на случай популяционной модели общего вида;
II разработка приложений аппарата демографических потенциалов к задачам математической и прикладной демографии;
12)разработка приложений к составлению индексов для мониторинга демографических и миграционных процессов; 13)разработка приложений к демографическому прогнозированию; 14)разработка приложений к ретроспективному демографическому оцениванию; 15)разработка агрегированных популяционных моделей на основе результатов теории демографических потенциалов; 16)апробация разработанных моделей и методов на примере анализа реальных демографических процессов.
Объектом исследования является народонаселение.
Предметом исследования являются математические модели популяционной динамики.
Суть решаемой научной проблемы - разработка теории и приложений демографических потенциалов.
Для решения поставленной научной проблемы используются методы математического моделирования, математической демографии, математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории матриц.
Разработанные методы апробированы на данных по населению России, США, Швеции, Японии, Франции и ряда других стран. Результаты работы использовались и разрабатывались в исследовательских проектах при поддержке Бюро образовательных и культурных программ госдепартамента США (RSEP 2000), Министерства образования РФ (госбюджетная НИР, 2002-2004гг.), фонда МакАртуров (грант 02-73284, 2002-2003гг.), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-06-80432, 2005-2006гг.) и Российского консорциума экономических исследований. Положения, выносимые на защиту:
- Концепция демографического потенциала предложена и разработана для модели однородного населения с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности.
- Разработан единый аксиоматический подход к понятиям потенциальной демографии.
- Разработана концепция демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции.
- Разработана концепция демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста.
- Разработаны операторная популяционная модель общего вида и концепция демографического потенциала с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности.
- Исследованы свойства демографических потенциалов.
- Обобщена концепция репродуктивного потенциала (Р. Фишер) на случай популяционной модели с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности.
- Обобщен результат Р.А. Фишера относительно динамики репродуктивного потенциала.
- Обобщено понятие потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц), разработаны методы его оценивания.
- Получены общие результаты по эргодическому свойству линейных популяционных моделей, а также по спектральным свойствам популяционных моделей.
- Дано исчерпывающее решение проблемы разработки монотонных показателей сходимости возрастных структур. Исправлены, улучшены и обобщены известные результаты.
- Предложены и разработаны приведенные демографические потенциалы в развитие и обобщение капитализированной стоимости У. Фарра и потенциала Л. Херша.
- Рассмотрены приложения к оцениванию параметров, сравнительному анализу воспроизводства населения, моделированию демографического перехода и динамики численности и иных линейных показателей населения.
- Предложена и разработана агрегированная популяционная модель, апробированная на реальных данных.
- На основе построенных моделей проведен анализ истории и перспектив воспроизводства населения России.
Работа состоит из двух частей, списка литературы из двухсот восьмидесяти девяти наименований и двух приложений.
Первая часть посвящена литературному обзору, разработке теоретических основ концепции демографических потенциалов и исследованию их свойств. Первая глава содержит обзор научной литературы, анализ результатов, предшествовавших настоящей работе. Во второй главе рассматривается концепция демографического потенциала в рамках традиционной однородной однополой модели замкнутого (в отношении миграции) населения. Сначала рассматривается дискретная модель Лесли воспроизводства населения, в рамках которой реализуется аксиоматический подход к разработке концепции демографического потенциала. Далее рассматривается непрерывная модель воспроизводства общего вида, в рамках которой показана эквивалентность аксиоматического подхода к разработке концепции демографического потенциала и альтернативного подхода на микроуровне, на основе вклада в отдаленное потомство населения. Для моделей простого режима воспроизводства (при котором новорожденный - в среднем - будет иметь одного ребенка к концу своей жизни) демографический потенциал допускает простое и важное толкование. С точностью до постоянного множителя он равняется числу генеалогических линий населения, определенных особым образом. Аппарат количества генеалогических линий является новым и так же обсуждается в контексте теории демографического потенциала во второй главе. В заключение второй главы даются обобщения понятий репродуктивного потенциала Фишера и потенциала роста Венсана-Кейфитца. Ограничения однородности и замкнутости, наложенные во второй главе, снимаются в третьей главе.
Сначала рассматриваются модели воспроизводства открытого неоднородного населения, а также модели с переменными, отличными от возраста. Далее рассматривается операторная популяционная модель общего вида. В четвертой главе рассматривается концепция приведенных потенциалов, которые, в отличие от чисто демографического потенциала, отражают не отдаленные перспективы воспроизводства, а ожидаемый в будущем вклад ныне живущего населения и его потомства в экономические и иные исследуемые процессы. Эти потенциалы уточняют и обобщают понятия капитализированной стоимости У. Фарра и потенциала Л. Херша. В главе так же обсуждаются области приложений предлагаемых величин. В пятой главе рассмотрены свойства потенциалов. Рассмотрена важная связь динамики демографических потенциалов с мальтузианским параметром, дается обобщение классического результата Фишера относительно динамики суммарного репродуктивного потенциала. Исследована устойчивость потенциалов, включая свойство эргодичности, аналогичное свойству эргодичности популяционной модели. В шестой главе рассмотрена модель воспроизводства демографического потенциала, основанная на постулированной структуре возрастных коэффициентов и наперед заданной динамике демографического потенциала. Исследованы свойства модели, связь с традиционной постановкой популяционной модели. Получены новые общие результаты по спектральной теории и теории эргодичности популяционных моделей. Седьмая глава посвящена теории монотонных показателей стабилизации возрастной структуры, которая получила исчерпывающее развитие в рамках теории демографических потенциалов. Опровергнуто высказанное в литературе предположение об уникальности одного такого показателя. Показаны существование и нерасширяемость класса, включающего как частные случаи предложенные ранее показатели. Теория развита на не изученные случаи анализа двух и более реальных населений и для модели с переменным режимом воспроизводства.
Во второй части рассматриваются приложения к различным задачам теоретической и прикладной демографии. В восьмой главе обсуждаются приложения к задачам анализа статистики движения населения и демографического мониторинга. Предлагается способ конструирования демографического потенциала двуполого населения на основе результатов его разработки для однополых моделей. Девятая глава посвящена обсуждению прогностической значимости демографического потенциала населения, приложениям к оцениванию потенциала роста. На основе моделей, разработанных в девятой главе, в десятой главе приводится метод исследования аномалий в возрастной структуре смертности, вызванных влиянием социального кризиса. Одиннадцатая глава посвящена проблеме оценивания мальтузианского параметра (коэффициента Лотки) на основе динамики демографических потенциалов. В двенадцатой главе разрабатываются агрегированные популяционные модели, адекватные роли динамики структуры населения. С использованием разработанных моделей, проведено исследование демографической истории и перспектив населения России, описанию результатов которого посвящена тринадцатая глава. В четырнадцатой главе приводятся приложения к анализу возможностей и мониторингу эффективности демографической политики, которые иллюстрируются на примере России. В пятнадцатой главе агрегированная популяционная модель развивается на случай открытого населения и исследуются приложения к исторической реконструкции и ретроспективным расчетам популяционной динамики (на примере США).
В приложениях к работе приведены результаты расчета потенциалов для различных модельных режимов воспроизводства.
Автор выражает благодарность академику А.А. Петрову за внимание к работе и поддержку. В работе использованы материалы, полученные при поддержке Бюро образовательных и культурных программ госдепартамента США (программа RSEP 2000), Министерства образования РФ (госбюджетная НИР, 2002-2004гг.), фонда МакАртуров (грант 02-73284, 2002-2003гг.), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-06-80432, 2005-2006гг.), отдела народонаселения ООН и Российского консорциума экономических исследований, автор выражает им свою признательность. Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, вычислительном центре РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, Московском Доме Ученых РАН, институте проблем управления РАН, Венском институте демографии Австрийской Академии Наук, институте Макса Планка демографических исследований (Росток, Германия), университете Штата Айова (США), НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, а также на различных российских и международных конференциях. Автор благодарен участникам этих семинаров и конференций за полезное обсуждение работы.
Репродуктивный потенциал (р. Фишер)
Понятие репродуктивного потенциала {reproductive value), введенное известным генетиком и статистиком Р.А. Фишером [83, 84, 85, 86], является наиболее ранней попыткой разработать специальную величину, адекватную демографическим возможностям, скрытым в возрастной структуре населения. Лотка, по всей видимости, пришел к сходной концепции, хотя и не предлагал математического ее выражения [87, 88, 89]. Будучи сторонником евгеники [90], Фишер интересовался относительными вкладами людей различного возраста в генофонд будущих поколений. Он рассматривал непрерывные однополые популяционные модели с постоянными во времени повозрастными показателями рождаемости и смертности и нулевой миграцией. Он интерпретировал рождение как заем, выданный человеку, а детей, родившихся от него, как возврат долга. Опираясь на эту финансовую аналогию, в качестве репродуктивного потенциала человека возраста х Фишер ввел суммарную текущую стоимость его будущих «выплат по долгу», т.е. детей, которым предстоит родиться. В качестве дисконтирующего фактора1 он использовал асимптотический темп изменения численности населения или коэффициент Лотки (1.1.11): vto= ]/(y)/(y)e-p , (1.2.1) где v(x) - репродуктивный потенциал человека возраста х. Аналогия между экспоненциальным ростом популяции и экономическим ростом была предложена Мальтусом [91], на чьи работы опирался и Фишер [84, 87]. Фишер показал важное свойство репродуктивного потенциала: 00 где v{t)= jn(x;t)v(x)dx - суммарный репродуктивный потенциал населения в о момент времени t. Другими словами, динамика суммарного репродуктивного потенциала не зависит от возрастной структуры населения, что и объясняет близость концепций репродуктивного и демографического потенциалов.
Дискретная теория репродуктивного потенциала была развита П. Лесли [69], показавшим, что вектор возрастных коэффициентов репродуктивного потенциала является левым собственным вектором матрицы Лесли, соответствующим ее Перронову собственному значению.
Ряд работ был посвящен исследованию зависимости репродуктивного потенциала от возраста, от уровней рождаемости и смертности [92, 93, 94, 95]. Как правило, возрастные коэффициенты репродуктивного потенциала монотонно увеличиваются от рождения до минимального детородного возраста, а затем сокращаются до нуля по мере достижения максимального детородного возраста. Исключением является население, в котором коэффициент Лотки отрицателен, а потенциал как функция возраста может сокращаться уже в детском возрасте. Л. Гудман [96, 97, 98] исследовал репродуктивные потенциалы для различных режимов воспроизводства и показал, что суммарный репродуктивный потенциал населения пропорционален численности эквивалентного стабильного населения, -величине, которая была позднее введена в научный оборот Н. Кейфитцем как стабильный эквивалент Q [77] (см. далее). Он указал на возможные приложения концепции к сравнительному анализу населения различных регионов, к исследованию асимптотики численности населения. Кейфитц [54, 99, 100], - вслед за Гудманом - указал на связь репродуктивных потенциалов с асимптотической численностью потомства, разработал теорию в непрерывном случае. Он рассмотрел приложения концепции к моделированию и анализу процессов смертности и миграции, контроля над рождаемостью, указал на связь с потенциалом роста (см. далее). Ввиду связи между репродуктивным потенциалом и асимптотикой популяционной модели, это понятие получило широкое применение в эволюционных теориях. Соотношение (1.2.2) лежит в основе использования коэффициента Лотки в качестве показателя эволюционной приспособленности популяции [85, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108], оно использовалось для оценивания коэффициента Лотки [109, ПО]. В то же время, на его основе не были построены приемлемые агрегированные модели популяционной динамики, поскольку, будучи асимптотически эффективными, соответствующие модели оказались неадекватными в краткосрочном и среднесрочном плане [111: с. 49; 112: с. 53].
Ряд работ был посвящен обобщению концепции. Касвел [113], Мангел и Кларк [114], МакЫамара [115], Тейлор [116, 117], Русеет [118], Куне с соавторами [119], Лебретон [120] и Графен [121, 122] рассмотрели обобщение на модели, в которых популяция подразделяется на подклассы не обязательно по возрасту, но и, возможно, по другим характеристикам (размер особи, иные ее биологические, географические, эволюционные и проч. характеристики). Подобные модели важны с точки зрения приложений в популяционной биологии; они остаются линейными, и обобщение репродуктивного потенциала (как левого собственного вектора матрицы популяционной динамики) не представляет особых сложностей. Аналогичная демографическая модель с учетом региональных различий и миграции была так же разработана Роджерсом и Виллекенсом [78, 79, 123, 124].
Серьезным фактором, ограничивающим применение репродуктивного потенциала в теоретической и прикладной демографии, явилось то, что эта концепция была разработана только в рамках модели с постоянным режимом воспроизводства. В более общем случае экспоненциальной асимптотики нет, и финансовые аналогии Фишера теряют смысл.
Генеалогические линии и генеалогическая диаграмма. Об интерпретации понятия демографического потенциала в условиях простого воспроизводства населения
В настоящем параграфе мы кратко остановимся на концепции генеалогических линий [35, 36], которая оказалась полезной для анализа воспроизводства населения в условиях изменения календаря рождений2. Эта концепция имеет важные связи с концепцией демографического потенциала, что и обусловило включение краткого обзора ее теории в настоящую работу.
С целью устранения искажений в уровне показателей рождаемости, вызванных изменением календаря рождений, в литературе предлагались различные методы [204, 205,206, 207, 208], восходящие к работам Н. Райдера [209] и Хаджнала [210]. Расчеты для реальных населений и вычислительные эксперименты указывают, что при этом связь популяционной динамки с показателями воспроизводства когорт может быть нетривиальной и даже парадоксальной [211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218].
Рассмотрим случай простого воспроизводства реальных когорт. Рассмотрим женское население, в котором каждая реальная когорта в точности воспроизводит свою численность, т.е. в среднем у каждой девочки за всю ее жизнь рождается по одной дочери (мужское население можно рассмотреть аналогично). В реальном населении это означает, что у кого-то родится две, три или более дочерей, а некоторые - напротив - останутся бездетными. Однако, для простоты выкладок удобнее рассмотреть упрощенную модель, в которой у каждой девочки за всю ее жизнь рождается ровно по одной дочери. Чтобы добиться такой упрощенной схемы, можно мысленно перераспределить потомство каждой из реальных когорт между представителями этой когорты с тем, чтобы выровнять число рожденных дочерей. Разумеется, такое уравнивающее перераспределение формально не влияет ни на число, ни на последовательность рождения детей в населении. Соответственно, не будут искажены ни динамика численности населения, ни основные показатели воспроизводства (кроме тех, что зависят от распределения по числу рожденных детей).
В отличие от привычного генеалогического дерева, отражающего только родственные связи в населении, мы будем рассматривать генеалогическую диаграмму, которая дополнительно отражает моменты рождения людей. Т.е. генеалогическая диаграмма, как мы ее определяем, указывает не только на топологию родственных связей, но и на распределение демографических событий во времени. Пример такой диаграммы для предложенной выше упрощенной модели простого воспроизводства показан на рис. 2.4. На этом рисунке отражены девять (горизонтальных) генеалогических линий, на каждой из которых показаны точки, соответствующие моментам рождения людей, принадлежащих этим генеалогическим линиям. Точки, соответствующие рождению детей, следуют непосредственно после точек их родителей. Вертикальные линии {линии времени) на такой диаграмме соответствуют отдельным моментам времени. Число точек между двумя линиями времени равно числу рождений в населении за соответствующий период, а расстояние между двумя последовательными точками одной и той же генеалогической линии есть возраст матери при рождении дочери для выбранной пары мать-дочь. В примере, иллюстрируемом на рис. 2.4, средний возраст деторождения увеличивается с начальных двадцати до тридцати пяти лет, что заметно по удлинению интервалов между последовательными точками рождений.
Для количественного анализа воспроизводства населения полезно ввести понятие числа генеалогических линий G(t) в момент времени t, формализовав его как количество линий генеалогической диаграммы, пересекающих линию времени t. В случае рассматриваемой упрощенной модели воспроизводства число генеалогических линий постоянно.
Для отдельно взятой генеалогической линии ожидаемое время, в течение которого происходит очередное рождение, равно среднему возрасту матери при рождении ребенка, т.е. интенсивность рождения детей в расчете на одну генеалогическую линию равна единице, деленной на средний возраст деторождения, а общая интенсивность рождений равна отношению числа генеалогических линий к среднему возрасту деторождения:
B(t) = % (2.3.1)
здесь B(t) - интенсивность рождения детей в населении в момент времени t, G(t) - число генеалогических линий, ц(/) - средний возраст матери при рождении ребенка, рассчитанный для тех, кто родился до момента времени /, но родит ребенка после этого момента времени.
Демографические потенциалы в моделях воспроизводства с переменными, отличными от возраста
В математической биологии получили распространение модели воспроизводства, в которых вместо возраста используются иные переменные (рост, масса тела, стадия развития организма и проч.) для характеристики статуса особей популяции [113, 224, 225, 226, 227, 228]. Эти модели могут быть распространены для описания человеческих популяций, хотя и не имеют практической значимости. Концепция демографического потенциала может быть с успехом применена и в рамках таких моделей воспроизводства.
Рассмотрим модель Левковича [224, 227], когда особи характеризуются стадиями их физиологического развития, и за каждый единичный период времени возможен как переход к следующей стадии, так и в ту же самую стадию, в которой находилась особь на начало периода. Так же, как и в модели Лесли динамика вектора популяционной структуры (теперь уже не по во » группам по стадиям развития; Рх,х = Ъ7х - коэффициенты передвижки, равные вероятности перехода (дожития) из х-й стадии в .т+1-ю стадию развития к следующему моменту времени (t+i); Qx,x = \x - коэффициенты задержки, равные вероятности выжить, но остаться на собственной стадии развития к концу периода; Fx,x = oJc - коэффициенты рождаемости за один период пребывания в каждой из стадий, скорректированные с учетом младенческой смертности.
Так же, как и для модели Лесли легко убедиться, что вектору возрастных коэффициентов репродуктивных потенциалов соответствует левый собственный вектор матрицы Лефковича, соответствующий Перронову собственному значению (который определяет асимптотический темп прироста численности популяции), а динамика вектора абсолютных демографических потенциалов определяется таким же матричным уравнением, что и динамика структуры популяции, но с обращенным временем и транспонированной матрицей Лефковича.
Явные выражения для потенциалов удобно получить, опираясь на их свойства, сформулированные в аксиоматическом подходе. Так, репродуктивные потенциалы будут определяться соотношениями: Чх = Pxvx+\ + Qxvx + Fxv0 (3.3.3)
Положив здесь v0 = 1, можно получить все остальные потенциалы. Асимптотический коэффициент прироста х может быть найден как отдельно, так и из условия непротиворечивости системы (3.3.3).
Аналогично, потенциалы легко рассчитать для общей модели, когда и стадийная, и возрастная структура учитываются одновременно [228].
В модели Лефковича (3.3.1) вместо возраста используются переменные, отражающие стадии развития, но, как и в модели Лесли, используется календарное время. Между тем, возможна формализация модели воспроизводства популяции со стадийной структурой, в которой календарное время не используется в явном виде. В этом случае следует говорить о вероятностях дожития и перехода в следующую стадию развития рх,х = о,х и коэффициентах рождаемости за весь период пребывания в каждой из стадий Fx,x = o,x. Тогда формализм модели Лесли, включая все результаты по теории демографического потенциала, применим безо всяких изменений. При этом надо иметь в виду, что значения потенциалов, получаемые по такой модели, будут отличны (как и другие показатели воспроизводства, в т.ч. асимптотический коэффициент роста численности) от тех, что получаются согласно (3.3.3). Причина в том, что в чисто «стадийной» модели популяция рассматривается не как состоящая из одновременно живущих особей, а как содержащая особей, которые отделены от исходного населения одним и тем же числом поколений (длина этих поколений может варьировать от одной генеалогической линии к другой).
Классическая непрерывная популяционная модель, восходящая к работам Лотки и Шарпа (см. гл. 1) и представляющая интерес для теоретической демографии и экологии, основана на исследовании решений интегрального уравнения восстановления:
B{t) = \l{x)f(x)B{t -x)dx,t 0, где B(t) - интенсивность рождения детей в момент времени t, l(x) - функция дожития (вероятность того, что младенец доживет до возраста х лет), и f(x) -функция рождаемости (интенсивность рождения детей в возрасте х лет), при t 0 B(t) определяется начальными условиями.
Основной интерес к модели (3.4.1) заключается в исследовании асимптотики ее решений. Классический ответ на вопрос об асимптотике решений дает теорема Шарпа-Лотки: при зрасту, а по стадиям развития) описывается матричным уравнением: n(/ + l) = L n(0» (3-ЗЛ) n(t) - вектор, компоненты которого есть численности отдельных популяционных групп, различающихся по стадиям развития, aL - матрица «передвижки по стадиям» (матрица Лефковича): где nx(t) - численность х-и группы в момент времени t; индекс "0" соответствует младшей, а "х" - «старшейнекоторых условиях, обычно накладываемых на функции дожития и рождаемости, существует экспоненциальная функция B(t) = Cef , которой асимптотически эквивалентны все решения (3.4.1), независимо от начальных условий.
Приведенные демографические потенциалы в модели неоднородного открытого населения
Чтобы получить цельное представление о потенциальных конъюнктурных, экономических и др. возможностях, заложенных в структуре и показателях воспроизводства населения, полезно графическое представление приведенных демографических потенциалов в виде, аналогичном традиционной половозрастной структуре. В обычной половозрастной пирамиде населения по вертикали откладывается возраст, а по горизонтали откладываются численности мужчин (левая шкала) и женщин (правая шкала). Например, на рис. 4.3 представлена половозрастная структура населения России на начало 2000 года.
Анализ половозрастной пирамиды позволяет получить ряд сведений исторического характера. Скажем, в половозрастной пирамиде населения России (рис. 4.3) отчетливо заметны провалы численности возрастных групп 30-х (репрессии и голод), 40-х (война), 60-70-х (т.н. демографическое эхо войны) и 90-х (вторая демографическая волна, вызванная эхом войны и спад рождаемости в ходе реформ).
Если предметом анализа является не прошлое воспроизводства населения, а его будущие перспективы, связанные с численностью различных половозрастных групп, то обычная половозрастная пирамида не информативна. Для анализа таких перспектив можно отложить по горизонтальным осям пирамиды не численность населения, а его приведенный демографический потенциал. Тогда для каждой половозрастной группы на пирамиде будет отложено значение приведенного жизненного потенциала, рассчитанного с учетом всех человеко-лет жизни населения и его потомства в соответствующей группе. Такую пирамиду будем называть половозрастной потенциальной пирамидой населения. В качестве примера такой пирамиды на рисунке 4.4 приводится потенциальная пирамида населения России на начало 2000 года (использована норма дисконта в 10% годовых). Сравнивая рис. 4.3 и 4.4, можно заметить, что демографические волны, столь резко исказившие текущую структуру населения, менее значимы с точки зрения экономико-демографического анализа. Это, связано с тем, что в возрастах с малой численностью в 2000 году через некоторое время окажутся молодые когорты, имеющие значительную численность. В то же время, видно, что потенциал населения России в детских возрастах очень низок - даже по сравнению с нынешней долей детей в численности населения. Это связано с тем, что в условиях низкой рождаемости детские возраста будут со временем все меньше и меньше в своей численности. Анализ потенциальной пирамиды России указывает на то, что наиболее емкими сегментами потребительского рынка будут сегменты товаров для людей возраста 28-50 лет и, в первую очередь, возраста 40-50 лет.
Пусть а - минимальный, а со - максимальный фертильный возрасты, т.е. Vf є R,x \a,(u\ f(x,i) - 0. Тогда Vf є R.Vx ю= с(х,ґ) = 0, \fteRyx a c{x,t) = -. (5.1.1.1)
Для населения с постоянными показателями воспроизводства имеем для репродуктивных потенциалов: VJC CO= V(JC) = 0, РРХ \/x a= v{x) = -jg-. (5.1.1.2)
Эти оценки очевидным образом следуют из полученных ранее выражений для демографических потенциалов.
2.Ранее было отмечено, что для асимптотически стабильного населения возрастные коэффициенты демографического потенциала являются экспоненциальными функциями времени, с показателем, равным коэффициенту Лотки: c{0,t2) = c(0,txyp(!i- . (5.1.1.3)
Это свойство играет важную роль для некоторых приложений потенциала (например, при построении демографического прогноза, анализе воспроизводства населения). Ниже показывается, что и для нестабильного населения можно говорить об аналогичном свойстве. Пусть р, р - верхняя и нижняя оценки темпа изменения потенциала младенца на некотором промежутке времени t є [Ті,Т2], т.е. Р- Р (5.U.4) (Oj)dt с для всех t е [Ti,T2]. Тогда р sup p(t)} їє[Г„Г2-ш] Р inf р(0, (5.1.1.5) - 1є[Ц,Т2-ч ] где p(t) - коэффициент Лотки, соответствующий показателям воспроизводства когорты родившихся в момент времени /, т.е. \l{y i)f{y,t)e 9 ydy = 1. Действительно, для любого t є [7},7 -со] имеем, считая о потенциалы младенцев ненулевыми: «3 ш c{0,t)= ll{y,t)f{y,tXo,t + y)dy=jl{y,t)f{y,t)c{ + y)dy О а со - со - _ c{0,t)\l(y,t)f(y,typydy = \l{y,t)f{y,typydy 1 = р pit). (5.1.1.6) а а Отсюда легко получить первое неравенство в (5.1.1.5). Аналогично показывается второе неравенство.
