Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели и методы решенші задач потокораспределеиия 12
1.1.Краткий обзор истории создания и развития теории и методов решения задачи потокораспределеиия 12
1.2. Терминология и основные понятия в ТГЦ 16
1.3. Модель потокораспределеиия в виде «контурной» системы 17
1.4. Метод контурных расходов 20
1.5. Метод узловых давлений 25
1.6. Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений 28
1.7. Формы модели потокораспределеиия в виде оптимизационных: задач 36
Глава 2. Представление модели потокораспределеиия в виде задач оптимизации 38
2.1. Класс функций, обеспечивающий существование и единственность решения задач потокораспределеиия 38
2.2. Взаимно двойственные задачи оптимизации и эквивалентная им система уравнений 45
2.3. Самосопряженная задача оптимизации 51
2.4. Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений 55
2.5. Модификации системы уравнений 57
2.6. Задачи безусловной оптимизации 59
2.7. Задачи потокораспредеяения со смешанными исходными данными 60
Глава 3. Метод решения задач потокораспределения в форме системы уравнений 64
3.1. Метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений 64
3.2. Применение метода квазиквадратичной аппроксимации для решения задач потокораспределения 69
3.3. Анализ свойств решения задачи потокораспределения.. 76
3.4. Определение ортогональных составляющих вектора расходов задачи потокораспределения 78
3.5. Проекция решения задачи потокораспределения xs 81
Заключение 86
Литература
- Терминология и основные понятия в ТГЦ
- Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений
- Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений
- Применение метода квазиквадратичной аппроксимации для решения задач потокораспределения
Введение к работе
Многие природные, технические и социально-экономические процессы описываются оптимизационными моделями на поиск экстремума некоторой целевой функции при ограничениях в виде равенств, неравенств и включений на переменные. Существует даже точка зрения, восходящая к П.Ферма и Л.Эйлеру, что все физические процессы могут быть описаны экстремальными моделями. Особенно интенсивное развитие теории и методов оптимизации началось после создания ЭВМ во второй половине XX века, в том числе в работах крупных российских математиков (Н.Н. Моисеева [47], И.И. Еремина [23, 24], Ф.П. Васильева [7], В.А. Булавского [5], Б.Т. Поляка [51], Д.Б. Юдина [68], В.П. Булатова [6], ЮГ. Евтушенко [19] и др.).
Важной составляющей исследований в области оптимизации является теория двойственности. Для широкого класса задач оптимизации, в том числе выпуклого программирования, применяются специальные конструкции - двойственные задачи оптимизации. Они используются для доказательства оптимальности полученного решения, для анализа его устойчивости к варьированию исходных данных, при физической или экономической интерпретации задач, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.
Начало формирования теории двойственности для задач оптимизации с ограничениями-равенствами восходит к Ж.Л. Лагранжу. Важным этапом было создание теории двойственности для задач линейного программирования Л.В. Канторовичем [32], Дж.фон Нейманом [73], Дж. Данцигом [12] и затем для задач нелинейного программирования Г.В. Куном, А.У. Таккером [38], Е.Г. Гольштей-
ном [11] и рядом других зарубежных и российских математиков.
Идейной основой теории двойственности линейного (и на базе этого
нелинейного) программирования можно рассматривать свойства ор
тогональных подпространств, порождаемых матрицей ограничений
(ядро и область значений транспонированной матрицы), а также
теоремы об альтернативных системах линейных неравенств, разви
ваемые с конца XIX века в работах П. Гордана. Г. Минковского [72],
И. Фаркжпа [71], Н.Н. Черникова [65], Ш1 Премина и Н.Н. Астафь
ева [23]. Интересные новые результаты по практическому приложе
нию теорем об альтернативных системах линейных неравенств по
лучены в последнее время А.И. Голиковым и Ю.Г. Евтушенко
[9, Ю],
Вид двойственной задачи зависит от вида исходной задачи и правил формирования двойственной задачи. Возможен случай, когда двойственная задача к двойственной совпадает с исходной задачей оптимизации. Этот случай будем называть симметричной двойственностью. Известно, что симметричная двойственность имеет место для задач линейного программирования и, в некоторых случаях, для задач квадратичного программирования. Симметричная двойственность для задач оптимизации дифференцируемых выпуклых функций при линейных ограничениях исследовалась в работах В.И. ЗорМальцева, в том числе совместных с автором данной диссертации.
Основная задача данной диссертационной работы состоит в изучении возможности использования свойств симметричной двойственности для развития теории и методов гидравлических цепей,
Во многих отраслях народного хозяйства, в том числе энергетике и коммунальном хозяйстве, применяются трубопроводные и гидравлические системы, обеспечивающие транспортировку и пода-
чу потребителям воды, тепла, газа, нефти и пр. Элементами таких систем могут быть трубопроводы, каналы, насосные, компрессорные и дросселирующие станций, аккумулирующие емкости и разнообразные регулирующие устройства. Создание, развитие, реконструкция таких систем и управление ими, имеющими десятки тысяч элементов, предполагают проведение многократных расчетов - решения задач потокораспределения, дли определения гидравлических параметров, характеризующих распределение расходов и давления во всех элементах системы.
Математическое моделирование потокораспределения в трубопроводных системах основано на аналогах физических законов для электрических цепей, и имеет с ними много общих методов и алгоритмов решения задач потокораспределения. Изучение распределения тока (постоянного) в электрических цепях начиналось с работ Г. Ома, Г. Кирхгофа [34, 35], Д.К. Максвелла [42], Г, Гельм-гольца.
Задачи потокораспределения имеют более чем 100-летнюю историю. Первые публикации по отдельным вопросам расчета систем стали появляться уже в конце ХТХ века. Методика расчета потокораспределения (отличная от ранее применявшегося метода перебора), которая основана на решении системы нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона, впервые была предложена, практически одновременно и независимо, в работах М.М. Андриа-шева [1], В.Г. Лобачева [39] и X. Кросса [69]. В последующем появилось много работ, посвященных усовершенствованию и обоснованию предложенных методов.
Основными направлениями исследований в период 1940 -1970 гг. были разработка и совершенствование эффективных и надежных алгоритмов решения задач потокораспределения. Значи-
тельное место в исследованиях занимало изучение свойств существующих методов и алгоритмов. Большой вклад в разработку этих вопросов внесли: Н,Н. Абрамов [2"|, В.Я Хасилев [61-63], АЛ, Ме-ренков [43-45], СВ. Сумароков [58] ДР, Ставровекий, М.Г. Сухарев [58, 59], А.Г. Евдокимов, А.Д. Тсвяшсв [16, 17], Б,К Пшеничный [53-55], Б.М. Каганович [31], ЕВ. Ссннова, В.Г. Сидлср [57], H.R Новицкий [50], AT. Коваленко [36] и многие другие,
Важной особенностью задач потокораспределения является тоэ что они являются неотъемлемой частью практически всех задач, связанных с проектированием, развитием и функционированием трубопроводных систем. 'Гак, в одних задачах они являются начальным этапом дальнейших исследований, в других - промежуточным этапом, к которому по ходу решения задачи обращаются многократно, а в задачах третьего типа решением задачи потокораспределения завершаются исследования.
В средине 60-х годов XX века в работах В.Я. Хасилева и А.П. Меренкова [46, 62] были сформированы основы теории гидравлических цепей (ТГЦ), в которой изучаются задачи, общие для произвольных трубопроводных и гидравлических систем. За этот период было предложено два подхода к описанию потокораспределения в системах, каждый из которых имеет свои методы и многочисленные алгоритмы. В теории гидравлических цепей эти подходы принято называть алгебраическим (в виде системы уравнений) и экстремальным (в виде задач оптимизации). Отличительной особенностью рассматриваемых оптимизационных задач является их выпуклость, что обуславливает возможности описания задач потокораспределения в виде взаимно двойственных задач оптимизации. Одна из оптимизационных задач (исходная) исследовалась ранее в
!
нескольких работах [17, 46], в то время как другая (двойственная) задача практически не исследовалась до недавнего времени.
Хотя задачи потокораспределения изучались на протяжении длительного времени, но некоторые свойства этих задач до настоящего времени глубоко не изучались и не использовались в полной мере. Так, давно известное равенство нулевой матрице произведения матриц инцидентности узлов и ветвей ориентированного графа и транспонированной матрицы инцидентности контуров и ветвей этого же графа, использовалось только для получения «контурного» преобразования переменных, Изучению свойств решения задач потокораспределения - вектора расходов и потерь давления на ветвях, связанных с разложением их на ортогональные составляющие, внимания не уделялось.
Важным является исследование свойств задачи потокораспределения, таких как условия существования и единственности решения, исследование устойчивости решения к возмущению входных данных. В работе проводится математически строгое исследование основных (к настоящему времени) методов, а также математических свойств решения задачи потокораспределения. Кроме того, исследуется связь и свойства различных постановок задачи потокораспределения.
Цели работы заключаются в следующем.
Изучение свойств модели и методов расчета потокораспределения, связанных с ортогональными подпространствами, порождаемыми матрицей инцидентности узлов и ветвей гидравлической цепи.
Исследование на базе симметричной двойственности в оптимизации различных постановок задач потокораспределения.
Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту,
Установлена симметрия двух основных, к настоящему времени, методов решения задач потокораспределения - контурных расходов и узловых давлений. Показано, что эта симметрия является следствием ортогональности подпространств, связанных с матрицей инцидентности узлов и ветвей, которая участвует в описании модели потокораспределения.
Расширены возможности описания модели потокораспределения в виде системы уравнений. Показано, что вместо матрицы инцидентности контуров и ветвей, использующейся при описании аналога II закона Кирхгофа, можно использовать любую матрицу полного ранга, произведение которой на транспонированную матрицу инцидентности ветвей и узлов равно нулевой матрице.
Доказаны существование и единственность решения задач потокораспределения в различных постановках для класса функций (задающих зависимость потери давления от расхода по ветви), который существенно шире ранее использовавшегося в работах по теории гидравлических иепей.
На основе теории двойственности приведены новые формулировки классической задачи потокораспределения в виде двойственной и самосопряженной задач оптимизации. На базе самосопряженной задачи оптимизации дана энергетическая интерпретация потокораспределения для общего случая.
На основе оптимизационных задач дано теоретическое обоснование задач потокораспределения при смешанных зраничных условиях.
Теоретическая и практическая значимость
Расширены возможности использования модели потокорас-пределения в классической постановке. В диссертации введен и теоретически обоснован класс функций, использование которых гарантирует существование и единственность решения задачи потокорас-пределения. Введенный класс функций существенно шире ранее известного класса функций.
Полученные в диссертации результаты теоретических исследований позволяют значительно расширить набор алгоритмов, которые могут применяться для решения классической задачи пото-кораспределения. При этом показана возможность редукции исходной и двойственной задач оптимизации к проблеме безусловной оптимизации выпуклых функций. Это позволяет решать классическую задачу потокораспределения любым из имеющихся методов безусловной оптимизации.
Разработана теоретическая база для использования новых постановок задач [ ютокорас предел сния со смешанными іраничньши условиями.
Предложен метод квазиквадратичной аппроксимации для отыскания решений системы нелинейных уравнений, позволяющий эффективно решать задачи потокораспределения,
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: VIII всероссийском научном семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Вышний Волочек, 2002), всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), ПІ всероссийской конференции «Мате-
матика, информатика, управление» (Иркутск, 2004), IX всероссийском семинаре «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем» (Минск, 2004), ХШ Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобай-кальск, 2005), III всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2006), математическом семинаре ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2004, 2005).
Терминология и основные понятия в ТГЦ
Под гидравлической цепью будем понимать математическую модель потокораспределения в трубопроводной или гидравлической системе.
Каждой гидравлической цепи соответствует схема гидравлической цепи - ориентированный связный граф, ветви и узлы которого моделируют элементы трубопроводной или гидравлической системы.
Ветви, моделирующие участки, на которых установлены насосные станции, и называемые активными ветвями, характеризуются также действующим напором сп определяющим прирост напора на /-м участке.
Под узловым расходом понимается расход среды, поступающей к узлу извне системы либо выходящий из него вовне системы. При этом величина узлового расхода считается положительной, если узловой расход поступает в узел, иначе - отрицательной.
Классическая постановка задачи потокораспределения состоит в следующем: требуется найти расходы и потери напора гидравлической цепи при заданных узловых расходах, действующих напорах на ветвях и заданных зависимостях потерь напора от расхода (на каждой ветви).
Последовательность ветвей графа, в которой конец каждой предыдущей ветви совпадает с началом следующей, называется путем в ірафе. Простым путем называется путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.
Элементарный путь - путь, в котором никакой узел не встречается дважды. Конечный элементарный путь, у которого начальный узел совпадает с конечным, называется контуром.
Матрицей инцидентности некоторого системы контуров и ветвей графа называется матрица, у которой на месте (rti) стоит 1(-1 ), если г -я ветвь принадлежит r-му контуру и ее ориентация совпадает (противоположная) с направлением обхода контура и 0, если /-я ветвь не принадлежит r-щ контуру
Система контуров графа называется независимой, если отвечающие им строки матрицы инцидентности контуров и ветвей являются линейно независимыми. Максимальный набор независимых контуров называется полной системой независимых контуров.
Обозначим через тип число узлов и ветвей схемы гидравлической цепи. Тогда любая система из t n-m-\-\ независимых контуров для сильно связанного графа является полной системой независимых контуров.
Система уравнений, отвечающая модели потокораспределе-ния, состоит из трех векторных уравнений: Ах = Ь: (1.1) Ву = Вс, (1.2) У = Я ) (1-3)
Здесь А - тхп матрица инцидентности связного графа гидравлической цепи, у которой на месте (jj) стоит: 1 - сели ветвь і выходит из узла у, -1 - если ветвь і входит в узел у, О-в остальных случаях;
В- txn матрица инцидентности полной системы независимых контуров и ветвей графа; Ь є R"- вектор узловых расходов; с є R"- вектор действуюищх напоров на вегвях; fix) - -мерная вектор-функция с компонентами /(ж,)5 которые выражают зависимость потери напора от расхода х{ на ветви г.
Искомые переменные задачи составляют векторы x,ysRn расходов и потерь напора на ветвях.
В рассматриваемой классической постановке задачи нотоко-распределения считаются заданными матрицы А,В, векторы й, см вектор-функция /.
Системе уравнений (1.1) (1.3) должны удовлетворять искомые величины, характеризующие потокораспределение (расходы и потери давления) по всем ветвям гидравлической цени.
Уравнение (1.1) является математической записью аналога I закона Кирхгофа. Оно отражает условие неразрывности потока или условие материального баланса в узлах, В соответствии с правилом формирования матрипы А, у нее в каждом столбце находится только два ненулевых элемента: 1 и -1, поэтому сумма всех векторов-строк равняется нулевой вектор-строке. Следовательно, только одна вектор-строка матрицы А линейно зависимая. Кроме того, так как количество поступающей среды в систему равно количеству вытекающей из нее, то одно из уравнений в (1.1) можно исключить. Вместо уравнения (1.1) можно записать уравнение Ах = Ь, (1.Г) где А - (т-1)хп матрица инцидентности т -1 узлов и п ветвей графа гидравлической цепи, полученная из матрицы А удалением одной строки;
Симметрия методов контурных расходов и узловых давлений
Оба метода - контурных расходов (МКР) и узловых давлений (МД) позволяют найти один и тот же вектор х. В то же время, тра диционно МКР рассматривается только на основе системы уравнений (1.Г), (1.2), (1.3), а МД на основе системы уравнений (1ЛІ)-(1.13). Это создает впечатление, будто бы эти методы жестко связаны с соответствующими системами уравнений. Покажем, что это не так.
Изложим оба метода на основе системы уравнений (1.Г), (1.2), (1.3) параллельно, в двух столбцах.
Из уравнения (1.3) выразим х: х = ф(у)9 где ф(у)- и-мерная веетор-функцш, компонентами которой являются функции / [(У)) / = 1,.чЭп. Пусть эти функции дифференцируемы, монотонно возрастают, м -I її О ,) +00 при у,-»+оо, /, (ут)- -оопри - "Х и -і ft (0) = 0. Подставим ф{у) вместо л: в (1.Г) дляМД, а вектор у из (13) в (1.2). Тогда получим преобразованные «контурную» и «узловую» системы уравнений: МКР МД 1а и Аф(у) = Ь, Ву = Вс. Для симметрии системы можно переписать в виде: Па Ах"Ь9 и 116 Ву = Вс9 Аф(у) = 0, тде №=№-с, т=№-лтШгухъ.
Выбираем начальные приближения х?у таким образом, чтобы они удовлетворяли первым уравнениям систем Па и 116, соответственно: Лх =Ь, ВУ=Вс. Предположим, что уже построены приближения хп,х\..,,хк дляМКРн У\У,... У для метода узловых давлений.
Осуществляя на к-я итерации линеаризацию первых уравнений систем Па Й II б в точках хк9ук, получим системы уравнений: ЛАх-0 И 5Ду = 0 1.20) где Аг,Ду- поправки к текущим приближениям.
Теперь проведем линеаризацию вторых уравнений систем U: Bf(xk) + B4f(x )Ax = G и А$(у ) + АЧф(ук)Ау = 0. (1.2]) Обозначим: Sc = В/(х )- вектор невязок в выбранной системе контуров, и Аф(ук) = ЗЪ - вектор невязок расходов в узлах. Перепишем уравнения (1.21) в виде: B4f(x )hc = Sck и Аф(ук)Ау = -бЬк. (1.22) С учетом второго уравнения (1.20) и (1.4), получим: &y = Tz, (1.23) где 2Е т" -векторновыхпеременных, Подставляя в (1.22) выражения векторов Дх7Ду из (1.8), (1.23), получим системы линейных алгебраических уравнений с положительно определенными симметрическими матрицами: B4f(xh)BTtsxt=-8ck и AV${yk)Tz = -8bk. (1.24) Решениями систем уравнений (1.24) будут векторы: Ах=-[К(з )Удс и гы =-[М(ук)Т]6Ь\ (1.25) где матрицу К{хк) = Щ{х )В7 в теории гйдравличесішх цепей принято называть матрицей Кирхгофа, а матрицу М{ук) = АЧф(ук)Ат - матрицей Максвелла.
Очередные приближения к решениям определяются по формулам: х +]=хк+ВтАх и /=/+ATzM.
Окончание итерационных процессов можно осуществлять при выполнении условий: Bf{xk) є и Д(У) s7 где б 0 - задано заранее. Из приведенных выкладок видна полная симметрия при изложении обоих методов. Таким образом, в МКР осуществляется «уравнивание» перепадов давления на ветвях контуров посредством поиска поправок к расходам на хордах, а в МД «уравниваются» расходы в узлах при внесении поправок к погерям давления на ветвях,
В рассмотренной модификации МД используется только (в явном виде) вектор потерь давления у9 в то время как в разделе 1.5 изложение метода велось с использованием вектора давления и.
Рассмотрим, аналогично предыдущему, оба метода (МКР и МД)? приняв за основу «узловую» систему уравнений (1Л 1)-(1.13).
Преобразуем систему (1.11)-(1 Л 3) таким образом, чтобы впей содержались либо векторы переменных и и х либо и и у.
Связь исходной и двойственной задач оптимизации с методами контурных расходов и узловых давлений
При использовании метода Ньютона для задачи безусловной минимизации используется квадратичная аппроксимация целевой функции.
В случае если функция (1,36) дважды непрерывно дифференцируема на Rn, то вблизи точки хк текущем приближении к искомой стационарной точке задачи 136). 137), такой, что Axk=b задачу 136), 137) можно аппроксимировать задачей с квадратичной целевой функцией: ,Р(хЛ - (C,JC ) f ((/(xA)"cO, r) -1 (Лх)7 V/(JCA)AA- - mln, (2.30) ААх = 0} Л єД\ 231) Используя 1.8) сведем задачу (230), (231) к задаче безусловной оптимизации: (хі) ( хЛ) + (В(ЛхА) с);Дх + і(Ат0гЛУД/)ВЧ тІгі1(232 Ах(єЯ\ Квадратичная функция (232) силвно выпуклая на R , в связи с чем, у нее существует единственная точка минимума. Если задачу (232) решать методом Ньютона для задачи безусловной оптимизации, то приходим к tf-й итерации ме года контурных расходов. Таким образом, к-я итерация метода контурных расходов (поиск поправки) соответствует задаче безусловной минимизации квадратичной функции (232).
Рассмотрим двойственную оптимизационную задачу к задаче (1.36), (137), Предположим, что функция Ф(у)7 сопряженная к функции F(x) из (136), дважды непрерывно дифференцируема на R". Тогда двойственную задачу поток орас пред ел ения в окрестности точки {у\ик)- текущего приближения к искомой стационарной точке двойственной задачи потокораспределения можно аппроксимировать задачей безусловной оптимизации с квадратичной целевой функцией: Ф(У-)-(ЬУ)\-(А(!р(уі)-ЬІАи) + -(Аи)тАУ!р(ук)ЛтАи тт:(2.33) ДнєіГ. Если задачу (233) решать .методом Ньютона для задачи безусловной оптимизации, то получаем к-ю итерацию метода узловых давлений.
Исходя из специфики уравнений системы (2,17)-(2.19), ее можно преобразовать к системам с меньшим количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим два варианта таких преобразований. 1. Из уравнений (2.18), (2.19) можно выразить вектор пере менных Л" через вектор переменных и. В этом случае приходим к следующей системе уравнений относительно вектора переменных и є R" Аф(с + АТи) = Ь. (2.34) После нахождения решения й уравнения (2.34) можем определить векторы у-с + Агй, х -ф(у). 2. Найдем базис ядра матрицы А и построим і х п матрицу В, строками которой будут векторы найденного базиса, где i = n-m, й-rank/). Справедливо равенство ЙЛг=0. (235) В этом случае задана отыскания векторов х, у сводится к решению системы уравнений: Ах = Ь, (236) Ву = Всл (2.37) Заменим уравнение (2.36) в системе уравнений (2.36)-(2.38) на уравнение BTxt=x dt где xteR у и вектор d удовлетворяет соотношению Ad = b. Тогда вместо системы (2.36)-(2,38) можно записать эквивалентную систему: BTxt=x-d, (2.39) Ву = Вс, (2.40) У = Ах), (241) решение которой (векторы хьу) является и решением системы уравнений (2.36)-(2-38). Подставляя выражение ш (2.41) в (2.40). получим ВДх) = Вс. Выразим х из (2.39) и подставим в последнее уравнение. Тогда полупим уравнение относительно вектора переменных х( е R1 Bf(BTxt + d) = Bc. (2.42) После отыскания решения хг, уравнении (2.42), из (2.39) находим х, а из (2.41) найдем у.
Таким образом, если числа т и і существенно отличаются, то объем вычислений при решении систем уравнений будет меньше в том случае, если использовать ту систему уравнений: (2.34) или (2,42), в которой число уравнений значительно меньше.
Применение метода квазиквадратичной аппроксимации для решения задач потокораспределения
Наиболее распространенной формой представления модели потокораспределения являются системы нелинейных уравнений.
Поэтому важно иметь эффективные методы решения систем нелинейных уравнений, которые учитывают специфику задач потокорас-пределения.
Основным методом при решении задач потокораспределения является метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, локально квадратично сходящийся. Однако этот метод не является глобально сходящимся и не использует информацию о вторых производных, которые в определенных случаях получаются просто.
Рассмотрим задачу решения системы нелинейных уравнений. Пусть задано дважды непрерывно дифференцируемое отображение U: R" -- Rr Требуется найти вектор xeR \ который удовлетворяет уравнению U(x) = 0. (3.1)
Для решения поставленной задачи применим двухэтапный итерационный процесс. Если хк - найденный член последовательности приближений к решению х s то па первом этапе к- и итерации определяется поправка Ахк методом Ньютона из уравнения U(/) + VUk&x -.Q, где VIIх =VU(x ) - матрица Якоби вектор-функции U(x ) в точке хк. Предположим, что VUk не вырождена. Тогда &xk=-(VUky U(xk). Затем используем квадратичную аппроксимацию U(x) в окрестности точки хк U(/ Ax) U(xk) UkAx l/2{(Ax)TV2Uk)Ax. Здесь (АхУ V2Uk - матрица порядка п, строки которой определяются выражением (AxfWVf, где V4/ - матрица Гессе для (У.(х) в точке хкэ i-]s...9n.
Вместо одного из Ах в третьем слагаемом квадратичной аппроксимации подставим найденную поправку Ах на первом этане итерации. Затем найдем корень линейного уравнения относительно приращения Ах Щ/і + ІУЦ +l/2(Axk)TV2Uk)Ax 0, предполагая, что матрица (VUk -И/2(Дх ) Уй[/Л) порядка п невырожденная,
Такая квазиквадратичная аппроксимация, с одной стороны, позволяет использовать ранее найденную поправку Ах методом Ньютона, а с другой, использовать вторую производную и квазиквадратичную аппроксимацию отображения U в окрестности текущей точки хк. В этом случае можно предположить, что область сходимости предложенного метода будет не меньше чем у метода Ньютона.
После определения поправки Ах из последнего уравнения, определяется новое приближение
Критерии останова рассмотренного итерационного процесса такие же; как и у итерационного процесса метода Ньютона.
Для проверки работоспособности предложенного метода и сравнения его с методом Ньютона рассмотрим несколько классических примеров из [11]. Пример 1. Задана функция /(x) = arctgx. Метод Ньютона сходится к решению уравнения f(x) = Oy если х е[-1.389,1.389]. При х = 1,41 метод Ньютона расходится. В таблице 3.1. приведены значения различных начальных приближений х и первый ноправ ки, полученные методом Ньютона - Ах[ и рассмотренным методом квазиквадратичпой аппроксимации - Ах1.
Из таблицы ЗЛ видно, что первые шаги метода Ньютона при выбранных начальных приближениях значительно удаляются ог решения, в то время как поправки по методу квазиквадратичной аппроксимации Дх1, сразу же вводят первое приближение в область, где уже надежно работает и метод Ньютона. Важно отметить, что область, в которой можно брать начальное приближение, в этом случае существенно увеличилась, а первая итерация метода квазиквадратичной аппроксимации позволяет получить приближение, из которого успешно работает уже и метод Ньютона
