Содержание к диссертации
Введение
Часть I Интегральные динамические модели: элементы анализа 24
Глава 1 Линейные модели Вольтерра c кусочно-заданными ядрами: асимптотические и численные методы 26
1.1 Уравнения Вольтерра I рода (скалярный случай) 27
1.2 Численные методы решения уравнений Вольтерра I рода с кусочно-непрерывными ядрами 36
1.3 Системы уравнений Вольтерра I рода 48
1.4 Обобщенные решения уравнений Вольтерра I рода 62
1.5 Уравнения Вольтерра I рода с разрывной правой частью . 67
Глава 2 Нелинейные динамические модели: существование и асимптотики решений 74
2.1 Нелинейное уравнение Гаммерштейна 74
2.2 Существование и разрушение решений уравнений Вольтерра II рода 81
2.3 О ветвлении решений нелинейных дифференциальных уравнений 92
2.4 Обобщенные решения в нелинейных моделях Вольтерра I рода 102
Глава 3 Операторно-интегральные динамические модели: существование, построение и разрушение решений 119
3.1 Линейные операторные уравнения Вольтерра I рода с кусочно-заданными ядрами 119
3.2 Нелинейные операторные модели Вольтерра: существование и разрушение решений 138
3.3 Нелинейные дифференциально-операторные уравнения с вырождением 151
3.4 Операторные уравнения Вольтерра II рода в нерегулярном случае 159
3.5 Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае 171
Часть II Приложения интегральных преобразований в моделировании нелинейной динамики и в обработке сигналов 180
Глава 4 Идентификация полиномиальных моделей Вольтерра 182
4.1 Моделирование нелинейных динамических процессов в частотной и временной областях 189
4.2 Идентификация моделей Вольтерра во временной области 202
Глава 5 Интегральные модели в обработке сигналов ивмашинном обучении 241
5.1 Интегральные модели в анализе и прогнозировании временных рядов 242
5.2 О подавлении квазипериодического шума (муара) 276
5.3 Интегральные признаки в задачах машинного зрения 293
Заключение 309
Библиографический список 314
Основные обозначения 348
Предметный указатель
- Численные методы решения уравнений Вольтерра I рода с кусочно-непрерывными ядрами
- О ветвлении решений нелинейных дифференциальных уравнений
- Нелинейные операторные модели Вольтерра: существование и разрушение решений
- Идентификация моделей Вольтерра во временной области
Численные методы решения уравнений Вольтерра I рода с кусочно-непрерывными ядрами
В п.5.3 рассмотрена проблема восстановления видео-последовательностей с синусоидальным шумом, порожденным нелинейными преобразованиями сигнала телекинодатчиком (ТКД) ввиду разницы углов расположения ТВ-линий и траекторий сканирования ТКД. Данный шум имеет мультипликативную природу, является нестацинарным и поэтому сложен для моделирования. Разработан адаптивный спектральный фильтр, автоматически распознающий и подавляющий частоты, соответствующие муаровому шуму. Используется блочная обработка с наложением и автоматический выбор пороговой функции.
В п.5.4 расмотрена задача создания автоматических систем распознавания дефектов на производственных линиях, работающих в режиме реального времени с использованием комбинации методов обработки изображений, алгоритмов машинного обучения, комбинаторной оптимизации и интегральных преобразований. Построение функции классификации предлагается проводить на основе кластерного анализа. Подход предполагает автономный процесс обучения, предшествующий процессу инспектирования, проходящего в режиме реального времени. На этапе обучения обучающие выборки брака и оверкилов (изображений, ошибочно принятых за дефект) разбиваются на кластеры. Далее, входящий образец классифицируется в соответствии с типом ближайшей медианы. Сравнительный анализ относительно других методов классифика-18 ции (ИНС и МОВ) продемонстрировал эффективность изложенного подхода.
В отличии от глав 1 – 4, где используются модели, описываемые интегральными, дифференциальными и функциональными уравнениями, в гл. 5 в силу специфики реальных приложений широко используются методы машинного обучения и интегральные преобразования.
Таким образом, в работе проведены исследования нерегулярных классов линейных и нелинейных интегро-дифференциальных систем первого и второго рода с целью доказательства теорем существования, разработки комбинированных аналитико-численных методов решения, в том числе методов построения асимптотик параметрических семейств решений в классах как классических, так и обобщенных функций, построение главных членов асимптотики решений строятся в явном виде (см., например, теоремы 1.3.1, 2.1.5, 2.3.1, 2.4.1, 3.1.2). Особое внимание уделено исследованию математических моделей с феноменом неединственности (пп. 1.1, 1.3, 2.1, 2.3, 3.1, 3.3, 3.4, 3.5) и моделированию динамики систем в окрестности критических значений характерных параметров (модель колебания спутника (3.5.8) – (3.5.9), нестационарная модель неустойчивых межсистемных колебаний (5.1.18), (5.1.25), (5.1.26)). Использование методов машинного обучения, регрессионного анализа в синтезе с сингулярным интегральным преобразованием Гильберта позволило разработать новую методологию прогнозирования параметров электроэнергетических систем (п. 5.1, блок-схема 5.3). Двумерное оконное преобразование Фурье позволило разработать эффективный алгоритм подавления муарового шума, возникающего при оцифровке видеопоследовательностей (п. 5.2, рис. 5.21). Разработанный алгоритм подавления муарового шума использовался не только в рамках проекта рамочной программы ЕС BRAVA в восстановлении архивов компаний BBC (Великобритания), RTP (Португалия), института INA (Франция) (см. работы [52–55]), но и в других областях, включая обработку медицинских видео-последовательностей [56], в системах обнаружения целей [57], в проектировании автостереоскопических трехмерных дисплеев [58]. В итоге, в диссертации разработаны основы теории новых линейных и нелинейных математических моделей динамических систем с параметрами (гл. 1) и с феноменом неединственности (гл. 1, 2, 3) , построены численные методы и комплексы программ для решения проблем прогнозирования параметров систем электроэнергетики и моделирования их развития, задач реставрации видеоархивов и задач машинного зрения (гл. 4, 5). В диссертации проведено исследование вопросов разрешимости новых классов линейных нерегулярных уравнений Вольтерра I рода (п. 1.1, 1.3, 3.1), доказаны теоремы существования непрерывных и обобщенных решений линейных и нелинейных систем в нерегулярных случаях (гл. 1, 2, 3). Используя интегральные преобразования в синтезе с методами непрерывной и дискретной математики, построена гибридная модель, позволяющая прогнозировать поведение параметров электроэнергетических систем в окрестностях критических значений параметров. Подобная методика позволила также разработать спектральный метод параметрической фильтрации видео-последовательностей.
Новые классы моделей, использующие такие уравнения, позволяют учитывать динамику изменения эффективности функционирования элементов системы с учетом различных предположений о модернизации ее элементов, строить оптимальные стратегии ввода нового оборудования в системах электроэнергетики. Использование результатов работы позволяет формулировать оптимизационные задачи: учет дополнительных затрат на ремонт и эксплуатацию устаревшего оборудования ЭЭС, учитывать вклад энергосберегающих технологий, а также в перспективе позволят учитывать в моделях возможность сохранения электроэнергии. Внедрение оптимальных долгосрочных стратегий развития ЭЭС позволит повысить производительность труда в сфере электроэнергетики, сократить энергоемкость и уменьшить отрицательное техногенное воздействие на окружающую среду. Разработанные новые методы прогнозирования временных рядов позволят создать предупредительные системы раннего выявления предаварийных состояний в электроэнергетической системе. Адаптивный режекторный фильтр позволяет подавлять неста-20 ционарные муаровые шумы в цифровых видеоархивах. Некоторые теоретические результаты и алгоритмы диссертации используются автором при чтении специальных курсов и при подготовке дипломных и диссертационных работ в ИМЭИ ИГУ и в НИУ ИрГТУ.
О ветвлении решений нелинейных дифференциальных уравнений
В нерегулярном случае, когда fj 1, постоянные Со,... 5ст%,-1 останутся произвольными, так как тогда функции z\ і = 0,1,..., Vj — 1 удовлетворят j-му однородному разностному уравнению, отвечающему (1.1.15). На практике, используя свойство 1.1.1, коэффициент Xj(z) в нерегу пз+гз определяя последовательно cnj+rj,... , со методом неопределенных коэффициентов. При этом числа cr._i,... ,Со останутся произвольными. Таким образом, в нерегулярном случае, когда L(j) = 0 при натуральном j, при определении коэффициента Xj(z) появляются fj новых произвольных постоянных. Порядок полинома Xj(z) на величину кратности fj корня А = 1 характеристического уравнения (1.1.16) станет больше порядка rij правой части уравнения (1.1.15), т.е. порядка полинома Mj(z).
Из выше изложенного вытекает основная теорема: Теорема 1.1.3. Пусть выполнены условия (A), (B). Пусть характеристическое уравнение L(j) = 0 интегрального уравнения (1.1.1) имеет ровно к натуральных корней {ji,... ,jk}- Пусть при этом корень А = 1 j-го характеристического уравнения (1.1.16) имеет кратность fj. Тогда уравнение (1.1.1) в С(о,т] имеет решение ) которое зависит от р = Г\ + + г произвольных постоянных. Более того, коэффициенты Х{ асимптотического приближения xN(t) являются полиномами от Int возрастающих порядков, не превосходящих р. Функция u(t) по вычисленному асимптотическому приближению с фиксированными постоянными строится последовательными приближениями, равномерно сходящимися при t Є [0,Т], либо численно из уравнения (1.1.12). Замечание 1.1.1. Если L(0) = О, то в решении (1.1.20) хо = const + a In/:, а - определенная постоянная. Поэтому в этом случае x(t) Є С(о,т]5 nm x(t) = сю.
При этом уже для п = 1 приходится решать одно уравнение с двумя неизвестными: xh(a(t\)) и xh(t\). Аналогичная проблема возникает на каждом шаге (кроме частных случаев, когда a(ti) попадает на узел сетки). Для решения этой проблемы используются различные способы, например комбинирование методов правых и левых прямоугольников, применение процедур интерполяции и экстраполяции, а также использование знания о решении уравнения (1.2.1) в начальной точке, см. [93].
Из табл. 1.2.3 и 1.2.4 видна линейная сходимость используемого метода. Отметим, что для сходимости численной схемы необязательно выполнение условия неубывания нижнего предела a{t), что позволяет строить модели без жесткого требования на неубывание кривых оц(Ь), описывающих момент времени, когда оборудование (единица капитала) должно выводиться из эксплуатации [128].
С учетом линий разрывов удобно ввести индексацию Vij, отвечающую значениям ai(tj), при этом oti{tj) Є Aw . Очевидно, что Vij j при і = 0,n — 1, j = 1, N, т.к. в этом случае O-iitj) tj.
Пусть теперь известны коэффициенты хо, Xi,..., Xk-i приближенного решения. Исходное уравнение в точке t = tk, имеющее вид
Не ограничивая общности, изложим детали предложенного численного метода в случае одной кривой разрыва. При этом возможны два случая: 1) значения кривой разрыва ядра попадают в последний интервал сетки (Рис. 1.5), 2) значения кривой разрыва ядра не попадают в последний интервал сетки (Рис. 1.6).
Случай не попадания значений кривых разрыва ядра в последний интервал сетки узлов. Предположим, что значение кривой разрыва ядра попала в последний интервал сетки узлов, как показано на Рис. 1.5. В этом случае неизвестное значение Xk появляется в двух последних слагаемых
Теперь предположим, что значения кривой разрыва ядра не попала в последний интервал сетки узлов, как показано на Рис. 1.6. В этом случае весь интервал от to до tk разбивается на пять интервалов (см. Рис. 1.7). Аппроксимируем интегралы на этих интервалах по формуле средних прямоугольников, на последнем интервале значение Xk не известно. Используя информацию, полученную с предыдущих интервалов, выразим значение Xk явно:
Нелинейные операторные модели Вольтерра: существование и разрушение решений
Изложенный метод последовательных приближений можно применить в нерегулярном случае и при решении нелинейных интегральных уравнений путем продолжения по длине промежутка интегрирования. Существование и разрушение решений уравнений Вольтерра II рода
В настоящее время исследование режимов «blow-up» для нелинейных моделей с целью получения оценок на время разрушения является бурно развивающимся направлением математики. Однако, в этом направлении для уравнений Вольтерра получены лишь первые результаты (см. работы Н. Brunner [154], C. A. Roberts [37; 42], и T. Malolepszy [45]). Ниже мы изложим метод определения гарантированного интервала [0, Ті) существования решения нелинейного уравнения Вольтерра II рода (2.2.1). При этом blow-up будет возможен только при продолжении решения. Итак, рассмотрим уравнение
Определение 2.2.1. ( [155], c. 467) Непрерывную функцию x(t), удовлетворяющую уравнению (2.2.1), называют главным по Канторовичу решением уравнения, если последовательность xn(t), где сходится к функции x(t) при \/t Є [0,Т). Если при этом lim \x(t)\ = скажем, что решение разрушается в точке Ті, а точку Ті назовем точкой разрушения (кратко, «blowup») решения. Требуется найти гарантированный интервал [0, Ті) существования главного решения, такой, что blow-up будет возможен только при продолжении решения на интервал [Ті, Кроме того, требуется найти положительную непрерывную функцию x(t), определенную на интервале [0, Ті) такую, что для главного решения x(t) выполняется априорная оценка \x(t)\ x(t) при t Є [0,Ті).
Поставленную задачу будем решать на основе классического подхода Л. В. Канторовича [155, гл. 12], строя мажорантные уравнения по схеме, предложенной нами в работе [81] (см., также монографию [12] и близкие результаты, представленные в [156]).
Введем условия (A) Пусть функция K(t,s,x) определена, непрерывна и дифференцируема по ж в области D. (B) Пусть построены непрерывные, положительные и монотонно возрастающие функции m(s), 7(ж)? определенные при 0 s оо, 0 х оо, такие, что в области D при любых t из интервала [0, оо) выполнены неравенства m(s)ry (\х\). \K(t s x)\ m(s)7(#), dK(t, s,x) дх Случай 7(0) = 0 далее исключается, так как тогда уравнение (2.2.1) имеет тривиальное решение. Оно и будет главным, согласно введенному Л. В. Канторовичем определению. Далее везде функции m(s), 7(ж) считаются непрерывными положительными, монотонно возрастающими, а j(x) и выпуклой по х. Интегральные мажорирующие уравнения
Таким образом, в первом случае задача Коши имеет единственное положительное непрерывное решение x(t) при t Є [0, оо), а во втором случае при t Є [0, Ті).
Построенное решение продолжается повторным применением теоремы о неявной функции на всю область определения обратного отображения функции Ф-1.
В приложениях распространен случай, когда {х) — полином с положительными коэффициентами, причем 7(0) ф 0. В этом случае [157, c. 344] функция Ф(х) строится явно через логарифмы, арктангенсы и рациональные функции, что позволяет в простых случаях найти обратную функцию Ф-1 и построить решение x(t) в явном виде.
В общем случае при построении положительной непрерывной функции x(t) = Ф_1(М()), удовлетворяющей уравнению (2.2.2), можно использовать и такой результат
Доказательство. Существование непрерывного положительного решения x(t) уравнения (2.2.2) следует из доказанного выше существования такого решения уравнения Ф(х) — M(t) = 0, соответствующего уравнению (2.2.2). При этом последовательность (2.2.4) при \/t Є [0, оо) будет монотонно-возрастающий ограниченной сверху функцией x(t) и поэтому сходится при \/t Є [0, оо).
Известно (см., например, [158, c. 130]), что при этом lim xn(t) будет измеримой функцией. Поэтому на основании теоремы Лебега (см. [159, c. 396]) в (2.2.4) можно перейти к пределу под знаком интеграла и получить тождество t lim K(t,s,xn(s)) ds = K(t,s, lim xn(s))ds, П—7 00 n—т 00 0 0 в котором справа будет абсолютно непрерывная функция равная x(t). Таким образом, предел монотонно-возрастающей последовательности (2.2.4) оказывается непрерывной функцией. Поэтому на основании признака Дини сходимость {xn(t)} к решению x(t) интегрального уравнения (2.2.2) оказывается равномерной. Лемма доказана. Аналогичным образом доказывается Лемма 2.2.2. Пусть lim Ц -ФЧ = /. Введем интервал [0, Ті), где
Следствие 2.2.2 можно использовать в задаче продолжения решения уравнения (2.2.1) с параметрами. Действительно, пусть в условиях Теоремы 2.2.2 функция К зависит от параметра Л Є Мп, Л 5 (т.е. К = K(t,s,x,X)). Тогда в условии B функция у(гс, А) будет зави-сить от нормы этого параметра. Пусть 7(ж,0) = 0. Тогда уравнение (2.2.1) имеет при Л = 0 тривиальное решение х = 0, так как тогда при Л = 0 уравнение (2.2.1) выродится в равенство x(t) = 0. Следующий результат, вытекающий из Теоремы 2.2.2, позволяет оценивать интервал существования главного решения уравнения (2.2.1) с векторным параметром Л при 0 Л д.
Доказательство геометрически очевидно [33, c. 218], если рассмотреть на плоскости {у,г) графики кривых у = М(г,р) при различных р и биссектриссу у = г. Прямая у = г касается кривой у = М(г,р ) в точке (г ,р ),
Поэтому на основании Теоремы 2.2.3 интегральное уравнение имеет главное решение x(t) Є Сго її, ж 1. Ис С[0,1] пользуя интегральную мажоранту ж() = /0 (ж(й)2 + #(s)) ds + у и следствие 2.2.2, получим более полную информацию о решении. А именно, интегральное уравнение имеет непрерывное решение x(t) на интервале [0,1.5365) и выполняется оценка \x(t)\ 0.8660tg (0.5236 + 0.28863) — 0.5 при 0 t 1.5365.
Отметим, что изложенный метод можно применять и для исследования абстрактных уравнений вида (2.2.1) в банаховом пространстве Е, когда K(t, s, х) — ограниченный оператор из R х R х Е в Е, дифферен Рис. 2.1: Мажоранта решения. Серым цветом выделена зона расположения модуля решения. цируемый по ж в смысле Фреше. Этот вопрос мы подробно обсудим в третьей главе. Замечание 2.2.1. Результаты этого параграфа изложены в статьях [70; 110].
Цель данного параграфа — продемонстрировать эффективность применения асимптотического метода решения нелинейных уравнений, изложенного в п. 2.1 на примере доказательства конструктивных теорем существования семейств решений дифференциальных уравнений n-го порядка, не разрешенных относительно старших производных. Разработанный аналитический подход позволил построить асимптотитку решений в модели магнитной изоляции вакуумного диода.
Классы дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), неразрешенных относительно старших производных, в последнее время привлекали внимание многих исследователей. В этой области математического моделирования выполнен большой цикл диссертационных исследований [12; 32]. Различные подходы и библиографию в этой области можно найти, например, в монографиях [12; 36] и др. Построение решений в окрестностях точек ветвления представляет особый интерес в ряде приложений (см., например, [34; 161] и др.).
Наша цель состоит в построении малых решений уравнения (2.3.1) на основе аналитической теории ветвления (см. [11], гл. 9) и теории дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой (см. [34], [162, гл. 9] и [163, гл. 4]). Для вычисления главного члена tXo решения (2.3.2) используется метод диаграммы Ньютона (см., например, [11, гл. 9] и монографию [36]). Определение функции v(t) в решении (2.3.2) сводится к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений вида
На этой основе предложен способ построения асимптотики функции v в виде логарифмо-степенных сумм типа Фукса - Фробениуса [163, гл. 4]. Асимптотика затем используется в методе последовательных приближений в качестве начального приближения. В аналитическом случае соответствующее решение (2.3.2) раскладывается в ряд по степеням tl s, tint, tReXi cos( ImAj In/:), tReXi sin( ImAj In/:), где Aj - корни характеристического полинома (2.3.4) ReA 0.
Параграф организован следующим образом. Вначале строится главный член tXo решения (2.3.2) и проведена редукция к уравнению (2.3.3) для определения функции v в представлении (2.3.2). Далее рассмотрен способ построения асимптотики параметрических семейств решений уравнения (2.3.3) и приводятся теоремы существования малых решений уравнения (2.3.1).
Ух из окрестности нуля. В конкретных случаях числа є, в легко вычислить, нанеся на координатную плоскость целочисленные точки (г, & — іі — 2І2 — — nin), отвечающие ненулевым г— однородным формам Fn (x) и построив по этим точкам диаграмму Ньютона. Искомoе є полагаем равным tan ф, где ф - угол наклона одного из отрезков диаграммы с отрицательным направлением оси абсцисс. Соответствующее в будет равно ординате точки пересечения продолжения этого отрезка с осью ординат. В отличие от задач, раcсмотренных в [11, гл. 9], в может оказаться отрицательным. В последнем случае условие B) выполняется автоматически в силу оценки R(x,t) = [(\х\ + 1 1) ]. Условие B) выполняется, очевидно, и при любых положительных в, если диаграмма Ньютона лежит ниже прямой, проходящей через точки (0,7V), (TV, 0). Так как диаграмма Ньютона может иметь несколько отрезков, то выбор , в может оказаться неоднозначным.
Идентификация моделей Вольтерра во временной области
В классической теории ветвления решений уравнений с параметрами первая трудность преодолевается с помощью исследования конечномерной системы разветвления Ляпунова – Шмидта (см. [173] и [11, c. 429]). В случае дифференциальных уравнений с вырождением тоже можно строить уравнение разветвления. Но при этом проблема сведется к исследованию сложных нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Поэтому при построении асимптотики ветвей решений нелинейных дифференциальных уравнений в нерегулярных случаях привлекают непосредственно асимптотические разложения Ньютона – Пьюизэ – Фробениуса [12, п. 3.3], [174] по дробным степеням, логарифмам и экспонентам аргумента, методы степенной геометрии [175]. Но этот подход недостаточен, так как он мало разработан для уравнения (3.3.1) и не избавляет от указанных выше недостатков.
В силу сказанного представляет несомненный интерес построение теории последовательных приближений решений задачи Коши (3.3.1)–(3.3.2), свободной от этих недостатков. Такая теория для интегральных уравнений Гаммерштейна была нами изложена в п. 2.1. Здесь мы излагаем подобный метод последовательных приближений, равномерно сходящийся в окрестности алгебраической точки ветвления решений задачи Коши (3.3.1)–(3.3.2).
Метод использует редукцию задачи (3.3.1)–(3.3.2) к специальной регулярной системе, метод диаграмм Ньютона и регуляризатор В. А. Трено-гина [11, п. 21, 37] в представлении искомого решения и выборе начального приближения.
Асимптотика решения и последовательные приближения в окрестности алгебраической точки ветвления и построив по этим точкам диаграмму Ньютона. Искомое v полагается равным tgj, где 7 – угол наклона одного из отрезков диаграммы с отрицательным направлением оси і. Соответствующее число ± 5 равное ординате точки пересечения этого отрезка с осью к, определяет требуемую гладкость оператора F(u,t) в окрестности нуля. При этом индексы (і, к) у операторов F соответствуют точкам, попавшим на выбранный отрезок диаграммы Ньютона.
Таким образом, в силу условий A), B), C), замена (3.3.8) позволяет свести проблему построения решения u(t) с алгебраической точкой ветвления t = 0 к отысканию функций v(t) Vущ и c(t) с при — О из системы (3.3.10)–(3.3.11), где йо - определяется формулой (3.3.6), с -простое решение алгебраической системы (3.3.7).
На основании неединственности выбора показателя v в представлении (3.3.8) и неединственности решения с точку t = 0 будем называть алгебраической точкой ветвления решений задачи Коши (3.3.1) - (3.3.2), а решение (3.3.8) его ветвью.
В пространстве X зададим замкнутый шар S(UJO,T), где LOQ = (0,с ). В шаре S(UJO, г) выделим замкнутое подмножество Qrp непрерывных функций w(t) = (v(t),c(t)), определенных при \t\ р, таких, что f();2 = 0(tv\ с() — c Rn = o(l) при t — 0. Нелинейное отображение Ф, действующее из Qrp в Qrp при достаточно малых г 0, р 0 удовлетворяет всем условиям теоремы о неявном отображении.
Поэтому искомое решение си — бо о при t — 0 можно найти последовательными Построенная асимптотика может быть использована как начальное приближение при вычислении ветви решения исходной задачи Коши методом последовательных приближений в окрестности точки ветвления t = 0.
Для доказательства следствия достаточно в итерациях (3.3.13) выписать конкретный вид оператора Ф(ш, t) и построенной выше производной Фреше Ф (бо о, 0).
Согласно следствию при построении приближений ип на каждом шаге необходимо решить одно линейное операторное уравнение (3.3.15) с непрерывно обратимым оператором В и одну систему линейных алгебраических уравнений (3.3.16) с невырожденной матрицей A. Оператор В 1 = Г является ограниченным согласно [11, c. 221].
При этом мы видим, что точка t = 0 оказывается устранимой особой точкой правой части СЛАУ (3.3.16). Ввиду неизбежных погрешностей вычислений это обстоятельство следует учитывать при практических вычислениях. Регуляризация вычислений в окрестности точки t = 0 может быть достигнута заменой множителя t e в правой части (3.3.16) на it + sign ta) e, где а — малый положительный параметр, согласованный с погрешностью вычисления 6 в соответствии с известной концепцией регуляризации (см., например, раздел 3 в [10]).
Здесь оператор В = + / действует из Е\ в Е и является фредголь-мовым, dimjV(B) = 1,0(ж) = (ж) = sinrr. Поэтому для построения асимптотики решения задачи(3.3.17) можно использовать теорему 3.3.1. Диаграмма Ньютона, построение которой описано выше, в этом примере имеет один отрезок, и он проходит через точки (0,п), (п, 0.) Поэтому условие A) выполнено при г = s = 1, т = п — 1. Условие B) очевидно вы полнено. Условие С) выполняется, если f a,i(x) sinxdx = 0, і = 0,n — 1.
Замечание 3.3.1. Результаты этого параграфа опубликованы на работе [78]. trudiimm В заключении параграфа отметим, что результаты теоремы и следствия при дополнительном ограничении на нелинейный оператор F(u, t) сохраняются в случае, когда оператор В не является нормально разрешимым. Действительно, пусть dimjV(B) = dim J\f (В) = п 1, но область значений оператора В незамкнута. Тогда указанный выше оператор Г существует, но будет неограниченным. Пусть при этом область значений непрерывного оператора F(u,t) при любых и, t принадлежит области значений оператора В. Очевидно, что тогда доказательство теоремы остается справедливым и более того, можно использовать итерационные формулы следствия, привлекая для решения соответствующих линейных уравнений (3.3.15) хорошо разработанные методы регуляризации некорректных задач (см. библиографию в [10], раздел 3).
Замечание 3.3.2. Особый интерес представляет исследование задачи Коши (3.3.1) - (3.3.2), когда оператор В не является фредгольмовым, но удовлетворяет условиям статьи [177].
Операторные уравнения Вольтерра II рода в нерегулярном случае В этом параграфе мы изложим метод построения асимптотики непрерывных ветвей решений операторно-интегральных уравнений Вольтерра II рода (3.4.1), (3.4.15), используя методологию п. 3.3. Построим метод последовательных приближений, равномерно сходящийся в окрестности точки ветвления. В случае, когда уравнение (3.4.15) не имеет непрерывных решений, изложим способ построения обобщенных решений в пространстве распределений Соболева-Шварца. Доказанные при этом общие теоремы существовани применим для решения начально-краевой задачи, возникающей при моделировании нестационарных процессов в полупроводниках.
Операторы G и К действуют из банахова пространства Е\ в банахово пространство Еч и определены в окрестности точки и = 0, = 0, s = 0; Gik(u), Kikj{u) — i-степенные операторы. Операторы R\ и i?2 непрерывны, дифференцируемы поив смысле Фреше и удовлетворяют оценкам Мы изучим нерегулярный случай, когда G\Q = В - замкнутый фред-гольмов оператор из Е\ в Еч с плотной областью определения в Е\. Предполагается, что {ф}\ - базис в N(B), {фі} - базис в подпростан-стве N( B). Уравнение (3.4.1) представляeт интерес во многих моделях прикладной математики [12; 27; 32; 178; 179]. К таким уравнениям сводятся некоторые начально-краевые задачи для уравнений с частными производными с необратимым оператором в главной части (см., например [12; 27; 32]).
