Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование, разработка численных методов и эффективных алгоритмов решения обратных задач распознавания и проектирования, возникающих в оптике интерференционных покрытий, является важнейшим фактором развития научных исследований в оптике и оптоэлектронике на современном этапе. Интерференционные оптические покрытия находят все большее применение в фундаментальных исследованиях в этих областях, в микроэлектронике, в разработке телекоммуникационных систем, в лазерной физике, в астрономии, в медицинском приборостроении, в архитектурном и прикладном дизайне и многих других областях человеческой деятельности.
Бурный прогресс в оптических и оптоэлектронных нанотехнологиях на рубеже XX-XXI веков выдвинул целый ряд качественно новых требований к задачам проектирования и исследования оптических покрытий и поставил ряд новых задач, требующих разработки новых моделей, методов, алгоритмов и реализующих их программных комплексов.
В работах А.В.Тихонравова 80-90-х годов прошлого века разработан мощный метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный методом игольчатого синтеза. С помощью этого метода можно спроектировать многослойное оптическое покрытие, отвечающее требуемым спектральным характеристикам любой сложности с высокой точностью. Однако в дальнейшем стало ясно, что одного лишь требования достижения высокой точности аппроксимации требуемых спектральных характеристик зачастую недостаточно для решения важнейших практических задач в рассматриваемой области.
В течение последнего десятилетия бурно развивались технологии производства покрытий, повышалась точность и возрастало качество измерительных приборов, расширялась номенклатура пленкообразующих материалов. Современные напылительные установки, оснащенные эффективными системами мониторинга и компьютеризированными системами управления с использованием эффективных алгоритмов контроля, делают реальным изготовление многослойных покрытий, содержащих десятки и даже сотни слоев.
Важнейшим стимулом к дальнейшему развитию моделей, методов и алгоритмов проектирования и исследования оптических интерференционных покрытий служит то обстоятельство, что только лишь соответствие характеристик спроектированных покрытий требуемым спектральным характеристикам с высокой степенью точности перестало быть единственным мерилом качества решения задачи проектирования. В связи с новым скачком в развитии техники, обусловленным, например, переходом к еще более компактным технологиям в микроэлектронике, стремлением к еще более плотной передаче информации, использованием в производстве и научных исследованиях мощных лазеров, появились дополнительные требования к оптическим покрытиям. За счет появления дополнительных требований задача проектирования стала пониматься в более широком смысле, возникла потребность в изменении самого теоретического подхода к проектированию.
К дополнительным требованиям в первую очередь следует отнести требование на лучшую практическую реализуемость спроектированных покрытий. Это требование стимулирует разработку новых алгоритмов проектирования покрытий, которые поз-
воляли бы получать не одно, а несколько решений задачи проектирования. Множественность решений позволяет в дальнейшем выбирать для практической реализации то покрытие, которое будет обладать спектральными характеристиками, устойчивыми к ошибкам в толщинах слоев, вызываемых различными факторами. Последнее требует, в свою очередь, разработки систем моделирования процессов накопления ошибок в толщинах слоев и получения числовых оценок уровней этих ошибок. Кроме того, так как ошибки в процессе напыления обусловлены в том числе и нестабильностью самого процесса напыления, то возникает необходимость выявить факторы процесса напыления, наиболее сильно влияющие на воспроизводимость характеристик покрытий. Это стимулирует развитие систем численного моделирования экспериментов по напылению покрытий.
Высокое качество покрытий не может быть достигнуто без знания с высокой точностью оптических параметров слоев пленкообразующих материалов, так как эти параметры обеспечивают теоретическую и экспериментальную стадии разработки покрытий точной входной информацией. Определение оптических параметров слоев приобрело особенную важность в связи с расширением спектральной области применения оптических покрытий в сторону коротких длин волн, обусловленным прежде всего переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета. Задача определения оптических параметров слоев является обратной задачей распознавания, которая относится к некорректным задачам. Для ее решения требуются разработка системы моделей и методов верификации получающихся результатов. Задача становится более неустойчивой, если требуется определить оптические параметры слоев в ультрафиолетовой области, где точность входных экспериментальных данных намного ниже, чем в других спектральных областях.
Для выявления ошибок, сделанных в ходе экспериментов по напылению сложных покрытий, и последующей калибровки аппаратуры и усовершенствования алгоритмов контроля процессов напыления необходимо решение задачи определения параметров многослойных покрытий. Эта задача также является обратной задачей распознавания. Входной информацией в данной задаче служат измеренные данные спектральных характеристик покрытия. Некоторые из этих характеристик не могут быть измерены напрямую. Для того, чтобы определить такие характеристики, требуется в свою очередь решение обратных задач нахождения этих характеристик из экспериментальных данных. Для решения этих обратных задач требуется разработка специальных моделей, алгоритмов и компьютерных программ.
Для ряда современных приложений к важнейшим дополнительным требованиям к проектируемым покрытиям относятся их устойчивость к мощному лазерному излучению, уменьшенное механическое напряжение, пониженное рассеяние света покрытием. Опыты, проведенные в некоторых ведущих лабораториях мира, показывают, что в качестве покрытий, удовлетворяющих этим требованиям, могут быть использованы так называемые ругейт-покрытия, то есть оптические покрытия, профиль показатель преломления которых представляет собой непрерывную функцию. С точки зрения проектирования и практической реализации, на первый план выходит проблема построения адекватной математической модели ругейт-покрытия. Эта модель должна, с одной стороны, учитывать особенности напылительной аппаратуры, предназначенной для экспериментов по напылению ругейт-покрытий, и, с другой стороны, служить основой для построения эффективных с численной точки зрения алгоритмов вычисле-
ния их спектральных характеристик. Модель ругейт-покрытия должна обеспечивать возможность разработки быстрых и эффективных алгоритмов, предназначенных для проектирования ругейт-покрытий, а также для разработки систем численного моделирования экспериментов по напылению ругейт-покрытий. Принципиальные технологические различия в подходах к реализации ругейт-покрытий и, соответственно, отличие управляющих параметров процесса напыления требуют от модели ругейт-покрытия и алгоритма проектирования универсальности, то есть возможности задания профиля спроектированного покрытия посредством управляющих параметров любой напыли-тельной установки. Для проектирования и проведения экспериментов по напылению ругейт-покрытий требуется также построение моделей слоев, образованных смесями материалов. Эти модели могут использоваться для учета дисперсии показателей преломления пленкообразующих материалов.
Прогресс последних 10-ти лет, произошедший в области технологий напыления, сделал возможным проведение экспериментов по напылению покрытий, содержащих сотни слоев. Аппроксимация требуемых спектральных характеристик со все возрастающей точностью возможна в принципе за счет увеличения толщины и усложнения структуры покрытий. Вопрос о соотношении сложности структуры покрытия и уровня аппроксимации имеет особое значение для задач проектирования наиболее массовых типов покрытий - просветляющих оптических покрытий. Необходимость получения ответа на данный вопрос стимулирует проведение всестороннего исследования этих задач с целью получения оценки максимальной точности аппроксимации. Для проведения исследования возможно использование как теоретических результатов, так и физических соображений и вычислительного эксперимента.
Перечисленные современные требования к покрытиям и очерченный круг задач, возникших в связи со стремлением удовлетворить этим требованиям, стимулируют развитие новых моделей покрытий, моделей тонких слоев, моделей представления измеренных данных, моделей процессов напыления, моделей процессов накопления ошибок, методов проектирования и определения параметров слоев и многослойных покрытий, алгоритмов и комплексов программ, основанных на разработанных моделях и реализующих предлагаемые методы. В диссертации решается комплекс взаимосвязанных между собой задач, направленных на разработку сложных оптических покрытий. Все возрастающая потребность в таких покрытиях определяет актуальность диссертационной работы.
Целью исследования, проведенного в диссертации, является разработка нового теоретического подхода к математическому моделированию оптических покрытий и разработка эффективных численных методов решения задач проектирования и исследования оптических покрытий, соответствующих современным требованиям науки и технологий.
Научная новизна работы. В диссертации разрабатывается система моделей и алгоритмов, направленная на комплексное решение всех математических задач, возникающих при разработке сложных современных оптических покрытий от стадии их проектирования до стадии послепроизводственного исследования.
Разработан новый метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный обобщенным методом эквивалентных слоев. Метод направлен на получение множественных решений задачи проектирования. Для математического обоснования алгоритма детально исследованы свойства взаимного отображения множества допу-
стимых (реализуемых на практике) параметров слоев покрытий на множество специальных параметров (эквивалентных фазовых толщин и показателей преломления), по которым производится оптимизация функционала качества, оценивающего точность аппроксимации требуемых спектральных характеристик. Впервые задача проектирования оптических покрытий сформулирована как задача минимизации с ограничениями на специальном множестве эквивалентных толщин слоев и показателей преломления. Выяснено, что неоднозначность отображения достижимого множества на допустимое множество позволяет получать сразу множество решений одной и той же задачи проектирования. Покрытия из этого множества имеют близкое число слоев и близкие оптические толщины. Множественность решений является одной из особенностей разрабатываемого в диссертации теоретического подхода к проектированию. Разработанный алгоритм реализован в виде компьютерной программы.
Предложена и обоснована новая модель ругейт-покрытия, адекватно соответствующая современным технологическим возможностям. В соответствии с этой моделью профиль показателя преломления на одной из длин волн задается ломаной, вершины которой являются параметрами алгоритма проектирования. Предложенная модель является универсальной, так как позволяет задать профиль показателя преломления через управляющие параметры любой современной установки, предназначенной для проведения экспериментов по напылению ругейт-покрытий. На основании разработанной модели предложен принципиально новый метод проектирования ругейт-покрытий. В отличие от существующих предложенный в работе метод автоматически учитывает ограничения на профиль показателя преломления и использует точные формулы для вычисления спектральных характеристик ругейт-покрытий. Для получения гладких профилей показателя преломления предложен регуляризованный вариант алгоритма проектирования. Разработана модификация алгоритма проектирования гибридных покрытий, то есть покрытий, профили показателя преломления которых содержат как постоянные, так и линейные участки. Алгоритмы проектирования реализованы в виде компьютерной программы, позволяющей проектировать ругейт-покрытия, отвечающие любым требуемым спектральным характеристикам.
Разработан подход к выбору моделей для определения параметров тонких слоев пленкообразующих материалов в ультрафиолетовой области спектра. С помощью метода впервые надежно определены параметры широко используемых пленкообразующих материалов. Предложены методы верификации дисперсионных зависимостей показателей преломления пленкообразующих материалов. Построена модель дисперсионной зависимости показателя преломления смеси материалов. Модель обеспечивает связь между показателем преломления смеси на одной длине волны с показателем преломления смеси на любой другой длине волны. Данная модель позволяет использовать разработанный алгоритм проектирования ругейт-покрытий с реальными пленкообразующими материалами, обладающими дисперсией показателя преломления, а также при разработке систем численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий.
Разработан новый алгоритм решения обратной задачи определения спектральных зависимостей групповой задержки и дисперсии групповой задержки специального класса многослойных зеркал, предназначенных для генерации сверхкоротких лазерных импульсов. Эти спектральные характеристики определяются на основе анализа экспериментальных данных, получаемых с помощью интерферометра белого света. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы.
Разработаны алгоритмы учета ошибок в толщинах слоев покрытий для случаев использования в процессе их производства методов оптического контроля. Эти алгоритмы впервые учитывают эффект накопления ошибок в толщинах слоев (кумулятивный эффект). Предложена новая стратегия выбора последовательности контрольных длин волн, направленная на минимизацию кумулятивного эффекта ошибок в толщинах слоев в случае использования в процессе напыления покрытий монохроматических методов контроля.
Впервые разработан алгоритм численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий, основанного на управлении скоростями напыления двух испаряемых материалов. Найден параметр, дающий количественную оценку качества процесса напыления на основе предварительного анализа скоростей напыления пленкообразующих материалов. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы.
На основе вычислительного эксперимента и теоретического анализа проведено комплексное исследование свойств важнейшего класса оптических покрытий - просветляющих покрытий. При этом получена зависимость остаточного отражения от оптической толщины, получена физически значимая приближенная эмпирическая формула, выражающая зависимость предельного остаточного отражения широкополосных просветляющих покрытий от параметров задачи проектирования. Получена эмпирическая формула, позволяющая определить оптимальное число слоев просветляющих покрытий в зависимости от практических требований.
На основе вычислительных экспериментов и аналитических оценок исследована задача проектирования многослойных покрытий, изменяющих свой цвет в отраженном свете в зависимости от угла падения. Получены оценки для пределов изменения цветовых характеристик покрытий.
Достоверность результатов обусловливается использованием для их получения фундаментальных принципов математического моделирования, основных теоретических положений оптики интерференционных покрытий, применением эффективных численных методов, строгими аналитическими выкладками, сравнением получаемых решений с данными натурного эксперимента.
Практическая значимость. Разработанная тема выполнялась в рамках НИР "Математические модели и эксперимент в электродинамике и магнитной гидродинамике" (номер государственной регистрации 01-2002-05137), а также в рамках гранта РФФИ "Программный комплекс для вычислительных экспериментов в оптике тонких пленок" и шести международных проектов: "Высококачественные тонкие пленки для ультрафиолетовых приложений" с ведущими лабораториями Германии, Франции и Италии, "Ругейт-фильтры: инновационные технологии для оптических фильтров будущего поколения" и "Разработка программного обеспечения для восстановления профилей ругейт-фильтров на основе спектрофотометрических данных и записей долей материалов в режиме on-line" с Фраунгоферовским институтом прикладной оптики и точной механики (г. Йена, Германия), "Оптические свойства смесей материалов" с Лазерным Центром г. Ганновера (Германия), "Интерферометр белого света" с Институтом квантовой оптики им.М.Планка (г. Мюнхен, Германия). Результаты диссертации могут быть использованы в МГУ им.М.В.Ломоносова, МГТУ им.Баумана, Государственном оптическом институте им.С.И.Вавилова, Физическом институте РАН им.П.Н.Лебедева, а также в отраслевых научно-исследовательских институтах и лабораториях, занимающихся изготовлением оптических покрытий.
сновные положения, выносимые на защиту:
-
Для решения современных задач проектирования многослойных оптических покрытий разработан обобщенный метод эквивалентных слоев. Метод основан на минимизации функционала, оценивающего близость требуемых и теоретических спектральных характеристик покрытия, на множестве эквивалентных фазовых толщин и эквивалентных показателей преломления. Ключевым моментом в работе метода является замена эквивалентных слоев на симметричные комбинации слоев с заданными показателями преломления. Неоднозначность замены позволяет получать сразу множество решений одной и той же задачи проектирования.
-
Впервые разработана новая универсальная модель ругейт-покрытия, адекватно учитывающая современные технологические возможности реализации покрытий с непрерывным профилем показателя преломления. Разработан принципиально новый алгоритм проектирования ругейт-покрытий. Алгоритм автоматически учитывает ограничения на значения показателя преломления. Регуляризованный вариант алгоритма позволяет автоматически учитывать требование на гладкость профиля показателя преломления.
-
Разработаны алгоритмы учета ошибок в толщинах слоев покрытий в случаях, когда в процессе напыления покрытий используются монохроматические и широкополосные методы оптического контроля толщин слоев покрытий. При разработке алгоритмов впервые учтен эффект накопления ошибок в толщинах слоев покрытий (кумулятивный эффект). Полученные результаты позволяют формализовать критерии выбора оптимальных для практики конструкций покрытий из множества решений задачи проектирования.
-
Разработан алгоритм численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий, основанного на управлении скоростями напыления пленкообразующих материалов. На основе вычислительных экспериментов, проведенных с помощью данного алгоритма, найден физически значимый параметр, дающий количественную оценку точности реализации ругейт-покрытия на основе предварительного анализа скоростей напыления материалов.
-
Построена однопараметрическая модель слоя, образованного смесью пленкообразующих материалов. С помощью этой модели установлено соответствие между профилем показателя преломления ругейт-покрытия на одной длине волны и профилем показателя преломления ругейт-покрытия на любой другой длине волны. Данная модель позволяет использовать разработанный алгоритм проектирования ругейт-покрытий с реальными пленкообразующими материалами, обладающими дисперсией показателя преломления, а также при разработке систем численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий.
-
Разработан алгоритм решения обратной задачи вычисления групповой задержки и дисперсии групповой задержки сложных многослойных покрытий - чирпо-ванных зеркал - на основе экспериментальных данных, получаемых с помощью интерферометра белого света.
7. Впервые проведено полномасштабное комплексное исследование покрытий самого распространенного типа - просветляющих оптических покрытий. На основе вычислительного эксперимента и теоретического анализа построены практически значимые эмпирические зависимости среднего остаточного отражения просветляющих покрытий от основных параметров задачи проектирования.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VII и VIII конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (г. Москва, МГУ, 2001, 2003), на конференциях Американского оптического общества (Банфф, Канада, 2001 и Туссон, США, 2004, 2007), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (секция "Обратные и некорректно поставленные задачи", г. Москва, МГУ, 2006), на конференции-семинаре "Информационные технологии математического моделирования: создание моделей, их анализ и интерпретация данных", посвященному 70-летнему юбилею профессора Ю.П.Пытьева (г. Москва, МГУ, 2005), на конференциях Международного общества по оптической технике (г. Сан-Диего, США, 2003, г. Сан-Этьенн, Франция, 2004, г. Иена, Германия, 2005, г. Глазго, Великобритания, 2008), на Международных конференциях "Прикладная оптика" (г. Санкт-Петербург, 2004, 2006), на Ломоносовских чтениях (секция вычислительной математики и кибернетики) в 2002, 2005, 2006, 2009 годах, на научном семинаре "Математическое моделирование и численный эксперимент" (рук. проф. А.В.Тихонравов), на семинаре Государственного оптического института им.С.И.Вавилова (г. Санкт-Петербург), на семинаре "Численные методы электродинамики" Физического факультета МГУ (рук. проф. А.Г.Свешников, проф. А.С.Ильинский), на семинаре кафедры общей физики Физического факультета МГУ (рук. проф. А.М.Салецкий), на семинаре "Обратные задачи математической физики" (рук. проф. А.Г.Ягола, проф. А.Б.Бакушинский, проф. А.В.Тихонравов), на семинаре "Современные проблемы численного анализа" (рук. проф. В.А.Морозов), на Научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ (рук. проф. А.В.Тихонравов).
Публикации. Диссертация написана по материалам тридцати четырех работ автора, которые указаны в списке литературы. Пятнадцать из работ опубликованы в журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК.
В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим. Личный вклад автора состоит в построении предлагаемых в диссертации моделей, формулировке и реализация методов и алгоритмов решения задач, разработке компьютерных программ, анализе и интерпретации полученных результатов. Экспериментальные данные, используемые в диссертации, были получены в рамках международного сотрудничества с научными группами из Института квантовой оптики им.М.Планка (г. Мюнхен, Германия), Фраунгоферовского института прикладной оптики и точной механики (г. Йена, Германия), Лазерного центра Ганновера (г. Ганновер, Германия), чем обусловлено участие иностранных авторов в совместных публикациях.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 281 страницу.
