Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнения Ленга-Кобаяши и хаотическое поведение 10
1.1 Уравнения Ленга-Кобаяши 10
1.2 Хаотическое поведение 13
1.2.1 Хаос и уравнения Лоренца 13
1.2.2 Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях 15
1.2.3 Подкова Смейла 16
1.2.4 Гиперболические динамические системы 18
1.3 Доказательство хаотического поведения при помощи компьютера . 19
1.3.1 Моделирование систем с хаотическим поведением 19
1.3.2 Доказательство хаотичности при помощи компьютера 20
2 Метод численного интегрирования 22
2.1 Введение 22
2.1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка 24
2.2 Оценки константы Липшица оператора сдвига 27
2.3 Оценки локальной ошибки 29
2.4 Оценка глобальной ошибки 33
2.5 Заключение 35
3 Отображение Пуанкаре 36
3.1 Введение 36
3.2 Отображение Пуанкаре 37
3.3 Доказательство Теоремы 3.2.1 39
3.3-1 Критерий первого пересечения 40
3.3.2 Доказательство Утверждения 3.3.1 46
3.3.3 Доказательство Утверждения 3.3.2 50
3.4 ЗаклЕОчение 52
4 Периодические траектории 53
4.1 Введение 53
4.2 Метод разорванных орбит 55
4.2.1 Полиномиальные системы 56
4.2.2 Базовые множества периода 62
4.2.3 Доказательство леммы 4.2.3 63
4.3 Примеры 65
4.3.1 Вращение 2-х мерного векторного поля 65
4.3.2 Пример 1: Отображение Эно 66
4.3.3 Пример 2: Уравнения (1.4) 68
4.4 Заключение 68
5 Хаотическое поведение 70
5.1 Введение 70
5.1.1 Вспомогательные определения 71
5.2 Хаос в упрощенной модели Денга-Кобаяши 72
5.3 Доказательства 74
5.3.1 Доказательство Теоремы 5.2.1 74
5.3.2 Доказательство Утверждения 5.2,1 80
5.4 Заключение 82
6 Сплит-гиперболичность 83
6.1 Введение 83
6.1.1 Сплит-гиперболичность 84
6.2 Результаты 87
6.2.1 Существование множеств FS, BS 87
6.2.2 Пример: малые гистерезисные возмущения 88
6.3 Доказательства 93
6.3.1 Вспомогательные результаты 93
6.3.2 Доказательство Теоремы 6.2.1 96
6.3.3 Доказательство Утверждения 6.2.1 99
6.3.4 Доказательства Теоремы 6.2.2 101
6.4 Заключение : 104
7 Заключение 106
- Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях
- Оценки константы Липшица оператора сдвига
- Доказательство Теоремы 3.2.1
- Вращение 2-х мерного векторного поля
Введение к работе
Актуальность работы
Исследование хаотической динамики, возникающей в физических системах, является одной из бурно развивающихся областей прикладной математики в течении последних 20 лет. В частности, проблема существования устойчивого странного аттрактора для классических значений параметров в уравнении Лоренца была включена Смейлом в список математических проблем 21 века и была решена Тукером в 1999 году.
Строгие доказательства хаотического поведения для систем дифференциальных уравнений в основном базируются на топологических методах и численном интегрировании в интервальной арифметике с гарантированной оценкой точности (см. работы Михайкова-Мрозека, Згличинского и Тукера).
Проблема использования подходов Михайкова-Мрозека и Згличинского для доказательства хаотического поведения заключается в особенностях численного интегрирования в интервальной арифметике. Предложенные процедуры требуют эффективной оценки локальной ошибки на каждом шаге численного интегрирования, что вполне возможно для ОДУ с простой (например, квадратичной) правой частью, но требует несоизмеримо больше времени для более сложных нелинейностей. Таким образом, существующие доказательства не подходят для систем с существенными нелинейностями, возникающих в различных прикладных областях.
Цель диссертационной работы
Основной целью данной диссертационной работы является доказательство существования хаотического поведения при помощи компьютера для упрощенной модели Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью.
Научная новизна
В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.
1. Предложен алгоритм для гарантированной оценки локальной ошибки
для метода Рунге-Кутта четвертого порядка, применяемого для в заданной
области к системе нелинейных ОДУ. Алгоритм использует вычисления в ин
тервальной арифметике и реализован в пакете "Mathematica".
2. Для упрощенной системы Ленга-Кобаяши при некоторых значениях па
раметра установлено существование """зргу'"-""пг'п """^errw, іР*Л"ітт ор-
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ{ ККВЛИОГЕКА I
биты минимальных периодов 1 и 9, доказано хаотическое поведение системы на подмножестве инвариантного множества.
Разработан и применен метод разорванных орбит для локализации периодических решений при помощи топологической степени отображения.
Для обобщения гиперболичных отображений на класс непрерывных функций (сплит-гиперболичность) в условиях теоремы об отслеживании траекторий, показано существование множеств, аналогичных устойчивому и неустойчивому инвариантным многообразиям в ситуации обычной гиперболичности.
Теоретическая и практическая ценность
Разработанная методология и алгоритмы позволяют гарантировано оценивать локальную ошибку метода Рунге-Кутта четвертого порядка для нелинейных уравнений, локализовать периодические орбиты различных периодов как для дискретных, так и для непрерывных динамических систем, доказывать хаотическое поведение для систем дифференциальных уравнений со сложными нелинейностями. Алгоритмы и методы применены к упрощенной системе Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью, для которой впервые было доказано существование хаотического поведения при некоторых значениях параметров.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на международной конференции "Geometrical Methods of Nonlinear Analysis and Semiconductor Laser Dynamics" (Апрель 2001, Корк, Ирландия), на первой SIAM-EMS международной конференции "Applied Mathematics in our Changing World" (Сентябрь 2001, Берлин, Германия), на международной конференции "Relaxation Oscillations and hysteresis" (Апрель 2002, Корк, Ирландия), на IV международном симпозиуме "Hysteresis and Micromagnetics" (Май 2003, Саламанка, Испания), на международной конференции "Hysteresis and Multi-Scale Asymptotics" (Март 2004, Корк, Ирландия).
Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики Национального Университета Ирландии, г. Корк, (Март 2002) и семинаре кафедры физики Самарского Государственного Университета (Октябрь 2002).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 8 работ, из совместных публикаций в диссертацию включены результаты полученные автором.
Структура и объем диссертации
Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях
Большинство определений хаотического поведения тесно связаны с оператором сдвига па двоичных последовательностях. Например, последовательность орлов и решек при бросании монеты может рассматриваться как сдвиг на двоичных последовательностях. Как будет показано ниже, отображение сдвига па двоичных последовательностях удовлетворяет определению, данному в предыдущем параграфе, и типичное доказательство существования хаотического поведения устанавливает взаимосвязь между рассматриваемой динамической системой и сдвигом на двоичных последовательностях. Обозначим множество всех двоичных последовательностей вида и = {ш і Є Z : и і Є {0.1}} как fii, и введем расстояние d(tj,uj ) между двумя последовательностями из i i как и является тент-отображением (1.5) по координате х с коэффициентом —.
Пусть А_, Л+ положительно-инвариантные множества системы (1.5) с параметром ц, равным иа2 соответственно. Тогда для отображения / множество [0,1] х Л+ является положительно-инвариантным, а множество Л_ х [0,1] - отрицательно-инвариантным. Соответственно инвариантным множеством отображения / будет декартово произведение Л_ х A+ двух канторовых множеств.
Пусть У - множество бесконечных в обоих направлениях траекторий функции /, которые принадлежат единичному квадрату.
Пусть ш — {ШІ Є {0,1} : і 0}. Используя гиперболичность можно показать, что Vw существует единственная точка у : VT, fl(x,y) Є L. A 0. Аналогично, для Vw существует единственная точка х : \?у, /г(жії/) Ш.Л 0. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между бесконечными последовательностями нулей и единиц ш — {и)г Є {0,1} : і Є Z} и 3 , Более формально, верна следующая теорема
Теорема 1.2.1. Подкова Смейла содержит /- инвариантное множество, динамика на котором эквивалентна двухсторонним сдвигам па последовательности из двух символов. В частности, это отображение хаотично.
Доказательства хаотического поведения обычно используют существование подковы Смейла или аналогичной ей конструкции. Простота отображения позволяет использовать его как в аналитических доказательствах, так и в доказательствах при помощи компьютера. Более формально подкова Смейла может быть описана в терминах гиперболичности.
Гиперболичность играет важную роль в теории хаотического поведения поскольку позволяет находить неподвижные точки и доказывать эквивалентность динамических систем сдвигам на символических последовательностях.
Отображение / : IR ь- Hw называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо вместе с f l. Пусть Dfx обозначает производную / в точке х. Неподвижная точка х диффеоморфизма / называется гиперболичной, если линейное отображение Dfx не имеет собственных значений равных единице. Устойчивое и не устойчивое многообразия гиперболической неподвижной точки имеют ту же гладкость, что и само отображение
Для простоты приведем определения гиперболичности для диффеоморфизмов в И". Пусть U - открытое множество в Rra, и пусть задан диффеоморфизм / : U і—» IVі. Компактное /-инвариантное множество Л С U называется гиперболическим, если для каждого х Л существует расслоение которое непрерывно изменяется по х и существуют константы Лн 1 А", такие что для всех и для любых v G Е ,иЄ Е% в некоторой норме I , не зависящей от Є Л.
Одним из результатов, часто используемых для исследования поведения гиперболических динамических систем, является лемма об отслеживании траекторий (см. например К. Пал мера [52), восходящая к работам Д. В. Аносова [1] и Р. Боуэна [1.4]. Последовательность точек Хє — {ХІ : \f(xi) — ХІ+І\ є, і Є Щ называется е-псевдо-траекторией отображения /.
Теорема 1.2.2. Пусть Л - компактное инвариантное гиперболическое множество диффеоморфизма j[ : U \ Мп. Тогда для всех достаточно малых 5 0 существует є 0 и окрестность U множества Л такие, что каждой є-псевдотра,ект,ории Хє из U существует единственная траектория О Л удовлетворяющая
Пусть х - гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма /, и пусть Ws, WH — соответственно устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия х. Точка у Є T rsp)W/"U; такая что у = х называется гомоклини ческой. Если устойчивое и не устойчивое многообразия пересекаются трансвереалыю, го у называется трансверсаль-ной гомоклинической точкой. Из определения следует, что траектория 0(?у), содержащая гомоклиническуго точку г/, удовлетворяет lim -fao f±n(y) — х. Теорема Смейла-Биркгофа о трансверсальном пересечении многообразий.
Теорема 1.2.3. Пусть f - диффеоморфтзм с гиперболической неподвижной точкой х и соответствующей трансверсальной гомоклинической точкой у. Тогда существует п 0 такое, что отображение g = f7tf содержит гиперболическое инвариантное множество А, и д, ограниченное на К, эквивалеитмо двухсторонним сдвигам на про-странстве двоичных последовательностей.
Обычно доказать, что данная динамическая система хаотична, не просто, поэтому будем говорить о квази-хаотичности системы, если какие-то признаки указывают на возможную хаотичность. В настоящее время существует и активно используется множество численных методов распознавания квази-хаотичности. В частности, это оценка
Оценки константы Липшица оператора сдвига
Поскольку хаотическое поведение традиционно определяется в терминах дискретной динамической системы, а не траекторий дифференциального уравнения, сначала будет рассмотрено отображение Пуанкаре. Так как для системы (1.4) не существует аналитического представления отображения Пуанкаре, оно построено численно. Для численного интегрирования используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка и глава 2 посвящена гарантированным оценкам ошибок интегрирования. Хотя формулы оценки численной ошибки метода Рунге-Кутта хорошо известны, обычно бывает очень трудно оценить входящие в нее коэффициенты. Данная проблема решается с использованем символических вычисления в пакете "Mathematical Программа для оценки коэффициентов, так же как и все программы используемые в данной работе, приведена в Приложении.
Оценки ошибок численного интегрирования позволяют ответить на вопрос определено ли отображение Пуанкаре на, заданном множестве. В главе 3 обсуждается простой алгоритм, который показывает инвариантность множества из двух параллелограммов на полуплоскости, трансверсальной полю динамической системы (1.4). В частности, показывается существование компактного притягивающего множества как для отображения Пуанкаре, так и для потока, порождаемого рассматриваемым ОДУ.
Применяемая методика доказательства хаотического поведения использует информацию о периодических траекториях дискретной динамической системы. Для локализации траекторий используется вращение векторного поля. В главе 4 рассмотрена взаимосвязь между вращением и множеством периодических траекторий принадлежащих открытому ограниченному множеству.
Глава 5 содержит формальные определения хаотического поведения и основные результаты, полученные с использованием топологической гиперболичности и компьютерных вычислений с гарантированной оценкой точности. Показано, что система (1.4) демонстрирует нерегулярное перемешивание, существенную зависимость от начальных условий и строгую положительность топологической энтропии. Результаты получены с использованем комбинации метода Згличинского и метода топологического отслеживания траекторий. С технической точки зрения доказательство локализует образы некоторых параллелепипедов содержащихся в инвариантном множестве.
Топологическая гиперболичность, используемая в главе 5, не позволяет нам установить взаимно-однозначное соответствие между сдвигами на символических последовательностях и траекториями отображения Пуанкаре. Данный вопрос может быть исследован с использованием другой структуры, так называемой сплит-гиперболичности. В главе б рассмотрены аналоги устойчивых и неустойчивых многообразий, образующихся в ситуации сшшт-гиперболичности.
Поведение полупроводниковых лазеров с обратной связью очень разнообразно и представляет большой интерес как для промышленных приложений, так и для фундаментальной теории нелинейного анализа. Последние двадцать лет динамика подобных систем является предметом интенсивного изучения. Мотивацией для исследований служит и потребность в устойчивых регулируемых источниках лазерного излучения, и необходимость понимания сильно нелинейного поведения. Простейшая установка представляет собой лазер с полупрозрачным зеркалом и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, предложенной Ленгом и Кобаяши в статье [40]:
Здесь Е - комплексная переменная, описывающая амплитуду электро-магнитного поля, N - плотность носителей заряда, J - ток накачки, к - коэффициент затухания поля, 1/7ц - время спонтанной эмиссии, а - некоторый коэффициент, характеризующий лазер, 7 процент отражаемого излучения, ip0 - фазовый сдвиг излучения (предполага ется существование единственной частоты излучения), и наконец, т - время необходимое излучению, чтобы достичь зеркала и вернуться обратно. Численное моделирование уравнений успешно воспроизводит экспериментальные наблюдения, как то: перескакивание частоты между собственными частотами внешнего резонатора [47] и путь к хаосу через каскад удвоения периода [27]. Однако, количество аналитических результатов невелико, поскольку рассматриваемая система бесконечномерна.
В последних работах по динамике лазеров с обратной связью модель Ленга-Кобаяши была сведена к 3-х мерной системе ОДУ, описывающей динамику мощности лазера Р = \Е\2, плотности носителей заряда. N и фазового сдвига ry() = f (t) — р (t — т) в зависимости от времени. Переход производится в предположении, что P(t — т) = P(t), и что ф можно аппроксимировать как ф — г//т + г//2. Данная аппроксимация корректна, когда временная шкала фазовых возмущений существенно меньше, чем время возврата лазерного луча т. Упрощенное уравнение Лепга-Кобаяши, см. [60], имеет вид:
Доказательство Теоремы 3.2.1
Для уменьшения общего времени компьютерных вычислений, введем дополнительную полуплоскость и рассмотрим отображения между двумя полуплоскостями, комбинация которых и будет соответствовать отображению V. Напомним, что 3 - полуплоскость определяемая как {(а; , х ,0) : х хт } и обозначим S = {(хМ\ xJ-2\ 0) : х хт }. По определению и S, и 3 трансвереальны потоку, генерируемому системой (1.4) (см. начало параграфа 3.2). Введем прямоугольник R = R{c,xty) = {с + ах + 0у\ \а\,\(3\ 1} Є 5, где с- (0.9, -0.3,0), х = (0.25,0, 0), /-(0,0.25,0). Пусть Pi2 - отображение ил S в 51, определяемое как первое пересечение траектории, начинающейся в точке ieSc полуплоскостью S. Аналогично определим 7 3 —» S как отображение первого пересечения траекторий, начинающихся в точке х Є S с S. Заметим что V\i не обязательно определено во всех точках S, a Vi\ во всех точках S. Технически удобно разбить доказательство Теоремы 3.2.1 на следующие четыре утверждения: Утверждение 3.3.1. Отображение 7 определено для всех х є П, РгДП) z S и "Р12 непрерывно на П. Утверждение 3.3.2. Выполнено следующее включение: 7(її) С R. Утверждение 3.3.3. Отображение 7 определено для всех х Є R, Vi R) С S и 7 непрерывно на R. Утверждение 3.3.4. Выполнено следующее включение: "Р(П) = Т- Р П) С П.
Поскольку V(x) = 7 (7 (ж)), отображение Пуанкаре определено в точке х Є S, если 7 2,7 определены в точках 2:,7 12(3:) соответственно. Из первых трех утверждений следует, что Р определено и непрерывно на П, в то время как из четвертого следует Предложенные доказательства утверждений используют компьютер и основаны на гарантированных оценках ошибок компьютерной арифметики и численного интегрирования. Параграфы 3.3.1 и 3.3.2 посвящены доказательству Утверждения 3.3.1, в то время как параграф 3.3.3 содержит доказательство Утверждения 3.3.2. Алгоритмы для доказательства оставшихся утверждений повторяют алгоритмы в доказательствах Утверждений 3.3.1,3.3.2, и потому опущены. Все программы приведены в Приложении А. Лемма 3.3.1. Пуст,ъ тройка (пі, П є) является (Л, 6, у)-совместим.ой. Тогда для любого решения (1.4) с начальными условиями в B(y;ee Ln2h) время первого пересечения с S Э Л принадлежит промежутку (щ щН); более того, точка первого пересечения принадлемсит Л, и отображегше первого пересечения с Л, (р{Т{х),х) определено и непрерывно на B{y;ee Lrt2h). Доказательство: Зафиксируем произвольную точку х Є B(y;ee Ln 2h) и рассмотрим траекторию p(t,x). Прежде всего покажем, что p(t,x) принадлежит множеству В(і/(Ь,х)\є + 5) С Q для всех t п,2Їі. Предположим противное, т.е., что существует to такое, что ip(t,x) Є -B([/(t,x); + 5) для всех 0 t to и всех у?(о х) dB(v(to,y); + 5). Из неравенства треугольника Утверждение 2.4.1, вместе с (rі) и (г 2), гарантирует, что tp{t,y) Є 2 для всех t n h и из Утверждения 2.2.1 следует неравенство В частности, и:( непрерывности (p{t,x), p{t,y) следует, что Из (3.3), (г\) и (3.2) получим Таким образом, мы пришли к противоречию, и p(t,x) Є B(i/(t,y); є + S) С fi для всех О t n 2h.
Покажем, что траектория ip{t,x), t пф, пересекает Л только один раз и время пересечения удовлетворяет неравенству щh t пф. Случаи, когда А принадлежит 5 и когда А принадлежит S симметричны, и достаточно рассмотреть лишь один из них, когда А С S. В данном случае А обозначает А+. Из (п) и (гз) следует, что (p{t,x) Є B{y(t,y);e-\- S) С A± для всех пф t щїі. Поскольку траектория ip(t,x) пересекает А С S, причем точка пересечения единственна по определению S. Остается показать, что траектория ip(t, х) не пересекает полуплоскость S ранее, т.е. Предположим обратное. Тогда или (p(t,x) пересекается с , или, по свойствам S,S, траектория f(t, х) пересекает и S и S, описывая петлю вокруг L Первый случай не возможен, поскольку p(t, х) Є B(i/(t, у); є + 5), а по (г5) этот шар не пересекает . Рассмотрим второй случай. Траектория -р(і,х) должна проходить через точки удовлетворяющие X! Є B(ty(ti,y);s + S) = В\ и х2 Є В(ь (І2,у);є + 5) = Bj. Рассмотрим взаимное расположение точек численной траектории i/(tity) и v(t2,y), являющихся центрами шаров В\ и В2 соответственно. Возможны два варианта. Вариант 1: Или і/(і,у) Є W , или (г, у) Є И7"1", или оба условия выполнены одновременно. Рассмотрим случай, когда v{t\,y) Є W . поскольку остальные два могут быть рассмотрены аналогично.
Покажем что шар В\ пересекается с L Введем координатные представления для точек: х1 (х\\хт ,х[ ), v{t\,y) у2 = (4 \4 ,4 ) и выберем такую точку х? на линии х — 0,х = хт , что Хт — [щ ,хт ,0). Тогда в Евклидовой метрике: Приняв во внимание, что 4 0, 4 0, и сравнив расстояния d(p2,xr) d{y2,X\) є + 5, получим, что хт Є B(v(ti, у); є + 5). Данное включение противоречит (г5). Вариант 2: Пусть центры шаров В\ и Вг удовлетворяют ( i,y) Є W+, (2, у) W-. Тогда численное решение v(t,y) пересекает полуплоскость S до момента времени i, что противоречит (г4). (Пусть численное решение пересекло S в момент времени t0: у(Ц, у) Є S. Поскольку d{v(t, у), ) є+5, то (і0, у) Є B(i (to,y); 5) С S,n мы получили противоречие со свойствами 5). Таким образом, формула (3.4) доказана. Непрерывность легко следует из метода построения и свойств системы. Лемма доказана.
Вращение 2-х мерного векторного поля
В примерах использована компьютерная программа, вычисляющая т (id — Нт, ft) согласно алгоритму приведенному ниже.
Рассмотрим отображение / : Ж И и выпуклое множество Д. с границей dft. Приведем алгоритм вычисления 7(id — /, ft) на плоскости: Шаг 0: Выберем начальную точку на границе множества S2 и положим текущее вращение равным 0. Шаг 1: Будем двигаться вдоль границы против часовой стрелки до тех пор, пока одна из координат вектора % — f(x) не станет равной пулю. Если мы вернулись в исходную точку, и координаты х — f(x) не разу не обнулялись, то вращение равно нулю. В противном случае, запомним ненулевую координату и направление Шаг 2: Продолжим движение вдоль dfl пока не вернемся в начальную точку. Если обнулилась запомненная координата, то 1. Если вектор повернулся против часовой стрелки (по часовой ) по сравнению с сохраненным значением, прибавим +1/4 ( —1/4 ) к текущему значению вращения. 2. Запомним ненулевую координату и направление х — f(x). Шаг 3: Округлим полученное значение вращения до ближайшего целого.
Текст программы, как обычно, приведен в Приложении В. Программа основана на алгоритме, описанном выше, и использует адаптивную эвристическую процедуру для выбора шага сдвига вдоль dfl.
В качестве примера рассмотрим последовательность /3(/f, fi) для двумерного отображения Эно, см. 33]. Рассмотрим отображение Эно с параметрами а а = 1.3924, Ь = Ъ — 0.3. Выбранные значения параметров для отображения Эно интересны по следующей причине: существуют значения а, Ь, удовлетворяющие \а — а , Ь — 6 0.00005, для которых устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки касаются друг друга в некоторой точке (т.е. существует гомоклиническая касательная). Согласно классическому результату Моры и Виана 48], существование гомоклиниче-ской касательной влечет существование странных аттракторов для любых диффеоморфизмов достаточно близких к На ,к Выберем в качестве fi круг радиуса 0.1 с центром в точке (0.64,0.19), так что центральная точка достаточно близка к неподвижной точке отображения #0,,6,,. Используя вещественные числа с двойной точностью, мы смогли посчитать 27 первых чисел из вектора вращения. Результаты представлены в Таблице 4.1.
Время вычислений для получения Таблицы 4.1 составило примерно 1 минуту на компьютере с процессором PIII-oOOMHz,
Рассмотрим последовательности вращений для окружностей с одинаковым центром, но разными радиусами. Результаты представлены в Таблице 4.2. Поскольку отображение Эно полиномиально, к результатам экспериментов может быть применена Теорема 4.2.1 и Утверждению 4.2.2. Например, из Таблицы 4.2 можно заключить существование разных разорванных орбит одного периода, расположенных очень близко друг к другу. Столбец, содержащий /?13, показывает, что существуют по крайней мере две разорванные орбиты длины 13 в открытом таре радиуса 0.1 с центром в точке (0.64, 0.19).
Модифицированный вариант программы был использован для локализации орбиты минимального периода 15. Точки орбиты приведены в Таблице 4.3.
Заметим, что хотя отображение Эно выглядит достаточно просто, его 28 итерация - это полиномиальное отображение с собственными значениями порядка 109 и 1СГ20 в неподвижной точке.
Рассмотрим отображение Пуанкаре 75 : П і— П, порождаемое системой (1.4). Используя численную аппроксимацию отображения и алгоритмы данной главы, мы можем локализовать следующие "псевдо-орбиты": неподвижную точку, расположенную в (0.0204798,0.669065), и орбиту минимального периода 9, приведенную в Таблице 4.4.
Мы рассмотрели непрерывное отображение / в пространстве И и исследовали разорванные орбиты /, для которых хотя бы одна из точек принадлежит открытому ограниченному множеству П, и хотя бы одна- не принадлежит S"i. Интерес к П-разорванным орбитам возникает в различных областях знаний при рассмотрении таких динамических систем как модели экономических циклов ( элементы орбиты не принадлежащие Q, воспринимаются как "кризис"), модели популяционной динамики, модели нелинейной оптики, опясы вающие проблемы временной потери мощности лазера и т.д.
Предложенный подход к анализу разорванных орбит может использоваться в различных ситуациях, поскольку описывает свойства системы, устойчивые к негладким возмущениям, включающим небольшое запаздывание и малые гистерезисные члены; при этом могут быть предъявлены количественные оценки малости. Если "главная часть" модели имеет небольшую размерность, например, не больше 4, то численное построение достаточно длинных фрагментов последовательности /3 не представляет проблем, и предложенный метод анализа разорванных орбит может использоваться для выяснения "тонких" свойств системы. Предложенный подход вместе с быстрыми (и обычно эвристическими) алгоритмами может использоваться для численного нахождения длинных периодических орбит. В то же время, используя оценки коэффициента Липшица отображения и учитывая ошибки компьютерных вычислений, предложенный алгоритм локализации периодических траекторий может быть сделан математически строгим.
Получение результатов для Таблицы 4.1 заняло примерно минуту на компьютере с процессором PIII-500MH.Z-. Количество и достоверность полученной информации свидетельствуют об адекватности применения теории «ращения и метода разорванных орбит при поиске периодических решений динамических систем. Основные результаты сформулированы в Теореме 4.2.1 и Утверждении 4.2.2.
