Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сложное поведение в динамических моделях 12
1.1 Гистерезис и оператор Прейсаха 12
1.2 Вращение векторного поля 14
1.3 Модели с сингулярными возмущениями и траектории-утки 15
1.4 Хаотическое поведение 16
Глава 2. Динамические модели с гистерезисом 19
2.1 Электронный осциллятор с гистерезисом 19
2.2 Бифуркации Андронова-Хопфа и ветвь циклов 20
2.3 Численный расчет ветвей циклов и примеры 23
2.4 Гидрологическая модель с гистерезисом 26
2.5 Поведение решений в точках разрыва 28
2.6 Численные эксперименты 30
2.7 Доказательство теорем 2.1-2.3 33
2.8 Доказательство теоремы 2.4 44
Глава 3. Траектории-утки в кусочно-линейных моделях 50
3.1 Введение 50
3.2 Электронный генератор шума 52
3.3 Описание математической модели 53
3.4 Периодические траектории-утки 55
3.5 Хаотические траектории-утки 60
3.6 Пример и численный анализ модельной задачи 65
3.7 Периодические утки в генераторе шума 69
3.8 Замечания 69
3.9 Доказательство теорем 3.1 и 3.2 72
Глава 4. Модели с негладкими малыми возмущениями 85
4.1 Введение 85
4.2 Периодические траектории-утки 86
4.3 Хаотические траектории-утки 96
4.4 Пример 99
4.5 Системы высших размерностей 100
4.6 Доказательства 103
Заключение 112
Литература 113
Приложение
- Модели с сингулярными возмущениями и траектории-утки
- Бифуркации Андронова-Хопфа и ветвь циклов
- Пример и численный анализ модельной задачи
- Хаотические траектории-утки
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность работы
Диссертация посвящена анализу сложного поведения в динамических моделях с гистерезисными нелинейностями, а также в моделях с сингулярными возмущениями.
Модели с гистерезисными элементами часто возникают при решении задач физики, механики, экономики и др. Основы математической теории систем с гистерезисом, трактующей гистерезисные нелинейности как операторы или преобразователи с пространствами состояний, были созданы в 70-80-х годах прошлого века М.А. Красносельским и его коллегами. Предложенное единое математическое описание, охватывающее многие феноменологические модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволило развить эффективные методы качественного и численного исследования моделей с гистерезисными элементами. Математические модели таких сложных систем, как правило, одновременно включают дифференциальные уравнения и операторные соотношения между частью переменных; их исследование, в основном в случае простых гистере-зисных операторов типа реле и люфтов, берет свое начало в классических работах по теории управления и теории колебаний. Теория гистерезиса и ее приложения подробно изучена в работах М. Брокате, А. Визинтина, М.А. Красносельского, П. Крейчи, И. Майергойза, А.В. Покровского и других авторов [29, 59, 81, 85, 110].
В настоящее время свойства различных классов гистерезисных операторов достаточно хорошо изучены, включая непрерывность и липшицевость в функциональных пространствах, монотонность и др.; к важным общим свойствам относится физическая
реализуемость, то есть независимость значений оператора от будущего, и коммутативность с монотонными преобразованиями времени: при изменении скорости изменения входа точно так же меняется скорость изменения выхода. В то же время вопросы, относящиеся к различным аспектам динамики систем с гистерезисом и, в том числе, колебаниям и бифуркациям, остаются открытыми. Их изучение осложняется тем, что гистерезисные операторы не обладают свойством дифференцируемости и могут иметь сложные пространства состояний. К таким операторам относится оператор Прейсаха, возникающий при моделировании электронных осцилляторов с ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях проникновения осадков в почву, которые изучаются в настоящей работе. Подобные вопросы рассматривались также в работах B.C. Козякина, М.А. Красносельского, A.M. Красносельского, Н.А. Кузнецова, Д.И. Ра-чинского, М.Е. Семёнова и др. [24, 25, 27, 79, 80, 98].
Другим типом широко используемых на практике динамических моделей являются модели с сингулярными возмущениями. Такие модели применяются для анализа аэрокосмических, электрических, электромеханических, энергетических, роботехниче-ских, химических, биохимических, биологических, экономических и др. систем. Первые результаты по теории сингулярно возмущенных систем получены А.Н. Тихоновым. Дальнейшее развитие теория получила в работах Д.В. Аносова, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, М.И. Вишика, В.М. Волосова, С.А. Ломова, Л.А. Люстерника, С.А. Кащенко, Н.Н. Моисеева, Б.И. Моргунова, Е.Ф. Мищенко, Р. Е. О'Молли, Н.Х. Розова, Ф. Хауэса, К. Чанга и многих других авторов [1, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20, 33, 35, 44, 46, 90].
Поток публикаций, посвященных теории и приложениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрический подход является более оправданным и в случае наличия в моделях негладких нелинеиностеи, которые делают построение асимптотических разложений затруднительным.
Геометрическая теория динамических систем находит свои истоки в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова [30, 38]. Большое распространение получил метод интегральных многообразий, связанный с изучением целых классов решений. Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Мит-ропольского [6, 7]. Основные результаты по теории интегральных многообразий изложены в фундаментальной монографии Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой [31]. Для исследования сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений метод интегральных многообразий применялся в работах Я.С. Бариса, К.В. Задираки, Ю.А. Митропольского, Ю.И. Неймарка, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчука, Д. Хенри и других авторов [3, 4, 13, 14, 17, 32, 36, 42, 43, 45].
Важным объектом в моделях с сингулярными возмущениями являются траектории-утки, которые проходят сначала вблизи притягивающей части медленной поверхности модели, а затем продолжают движение в течение некоторого времени вдоль отталкивающей части медленной поверхности. Траектории такого типа применяются для решения задач биологии, механики, химии, экономики и электроники. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах В.И. Арнольда, Г.Н. Горелова, Ю.С. Ильяшенко, А.Ю. Колесова, Ю.С. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, Е.А. Щепакиной и др. [2, 5, 15, 22, 37, 40, 41, 47, 48, 49, 50, 51, 74, 104].
В настоящей работе предлагается новый геометрический метод анализа периодических и хаотических траекторий-уток в моделях с сингулярными возмущениями, основанный на теории вращения векторного поля. Данный метод позволяет обойти трудности, связанные с наличием в моделях негладких иелинейностей. В качестве примера изучается электронный генератор шума. Основное внимание уделяется периодическому и хаотическому поведению.
Цель диссертационной работы
Основной целью данной работы является разработка геометрических методов анализа сложного поведения в различных динамических моделях. Для модели электронного осциллятора с гистерезисным элементом доказывается существование бифуркации Андронова-Хопфа и непрерывных ветвей периодических решений. Для модели про-
никновения осадков в почву доказывается существование и единственность решений и разрабатывается численный алгоритм их построения. Для модели электронного генератора шума с сингулярными возмущениями и негладкими элементами доказываются теоремы о существовании и локализации периодических и хаотических траекторий-уток.
Методы исследования
В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории гистерезиса, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений. Алгоритмы для численных расчетов были реализованы с помощью компьютера.
Научная новизна
В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.
Доказаны новые теоремы о бифуркациях Андронова-Хопфа и существовании непрерывных ветвей циклов в системах операторно-дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной. Предложен численный алгоритм построения ветвей циклов для таких систем. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного осциллятора с гистерезис-ной индуктивностью.
Доказаны существование и единственность решений дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной и разрывной по времени правой частью. Разработан алгоритм численного решения таких уравнений. Алгоритм продемонстрирован на примере модели проникновения осадков в почву.
Предложен метод локализации периодического и хаотического поведения траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах с негладкими нелинейностями. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного генератора шума.
4. Результаты о существовании определенных типов сложного поведения в моделях с сингулярными возмущениями обобщены на случай моделей с числом медленных переменных более двух.
Теоретическая и практическая ценность
Математические результаты диссертации позволяют производить качественное исследование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с негладкими нелинейностями, а также операторно-дифференциальных уравнений. Разработанные методы локализации сложного поведения могут быть использованы для моделирования и расчета явлений различной природы, так как имеют универсальный характер. Результаты численного исследования моделей гидрологии, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса проникновения воды в почву в зависимости от интенсивности осадков. Результаты исследования электронных схем могут быть использованы для выбора определенных режимов функционирования этих схем, важных с точки зрения конкретных практических задач.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на международных конференциях по раз-нотемповым процессам и гистерезису MURPHYS-2006 (г. Корк, Ирландия, апрель 2006 г.) и MURPHYS-2008 (г. Корк, Ирландия, апрель 2008 г.), международном симпозиуме по гистерезису и микромагнитному моделированию (НММ-07, г. Неаполь, Италия, июнь 2007 г.), на генеральной ассамблее Европейского Геофизического Союза (EGU-2008 General Union, г. Вена, Австрия, апрель 2008 г.), на X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2008 г.).
Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики университета г. Корк (Ирландия) и семинарах кафедры прикладной метематики СГОУН.
Публикации
По теме диссертационной работы Жежеруна А.А. опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в изданиях из списка ВАК и из международного списка Science Citation Index Expanded [16, 55, 56, 70, 87, 96], 4 статьи в других международных научных журналах [69, 95, 114, 115], 2 препринта [97, 113], 2 тезисов докладов [52, 53]. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 115 наименований. Объем диссертации — 123 страницы.
Краткое содержание работы
В первой главе приводятся основные факты из теории систем с гистерезисом, теории сингулярных возмущений и теории хаотического поведения. Приводится определение оператора Прейсаха и рассматриваются его основные свойства. Для сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений рассматривается понятие траекторий-уток. Наконец, приводятся основные определения и теоремы, связанные с динамическим хаосом.
Во второй главе изучается поведение решений в динамических моделях, состоящих из дифференциального уравнения и гистерезисного входно-выходного соотношения. Сначала рассматривается модель электронного осциллятора с ферромагнитным сердечником в индуктивном элементе. Наличие сердечника приводит к гистерезисной зависимости между переменными, которая моделируется с помощью оператора Прейсаха. Для модели рассматриваемого электронного осциллятора, а также класса подобных моделей, предлагаются локальные теоремы о бифуркации Андронова-Хопфа из состояния равновесия и из бесконечности и условия, гарантирующие существование глобальной ветви циклов, соединяющей состояние равновесия и бесконечность. Результаты могут быть перенесены на системы квазилинейных дифференциальных и операторно-дифференциальных уравнений с другими нелинейными операторами (гистерезисными
и нет): в заключительной части главы выделяются простые свойства оператора, используемые при доказательстве предлагаемых теорем. Утверждение о глобальной ветви циклов является новым для обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при замене в рассматриваемой модели оператора Прейсаха функциональной нелинейностью с такими свойствами.
Далее рассматривается гидрологическая модель проникновения осадков в почву. Модель состоит из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с ги-стерезисной засисиыостыо между переменными. Как и ранее, гистерезис представлен в виде оператора Прейсаха. Особенностью модели является наличие разрывов в функции правой части, возникающих в те моменты времени, когда осадки начинаются или прекращаются, а также при изменении их интенсивности. Такие разрывы потребовали разработки специальных методов численного построения решений уравнений этого типа, а также доказательства существования и единственности их решений. На основе предложенных методов был реализован численный алгоритм. Проведен ряд численных экспериментов с использованием данных измерений количества осадков и других гидрологических величин на участке почвы в Керри, Ирландия. Результаты моделирования сравниваются с данными о содержании воды в почве, полученными на том же участке.
Третья глава посвящена геометрическому методу локализации и строгого анализа периодических траекторий-уток и хаотического поведения в моделях с сингулярными возмущениями и кусочно-линейными элементами. В качестве примера рассмотрен электронный генератор шума Кияшко-Пиковского-Рабиновича, который представляет собой модификацию генератора ван дер Поля с туннельным диодом, включенным параллельно с индуктивностью. Предлагаемый геометрический метод позволяет преодолеть трудности, возникающие при изучении негладких моделей с помощью традиционных методов «chasse au canard» [57]. Разработанный подход применим к целому ряду динамических моделей и позволяет установить наличие периодических и хаотических решений, каждое из которых является траекторией-уткой. Метод обеспечивает топологическую устойчивость таких периодических траекторий: они сохраняются, когда рассматриваемая модель подвергается слабым возмущениям. В то же время, эти траектории не обязательно являются устойчивыми по Ляпунову: при малых изменениях начальных данных траектории могут отклоняться от периодической траектории.
Поэтому в естественном виде такие решения могут быть трудны для наблюдения. Однако даже неустойчивые периодические утки могут быть использованы в приложениях. Если описываемые этими утками процессы представляют интерес с технологической точки зрения, то стандартные алгоритмы контроля с помощью обратных связей позволяют стабилизировать такие решения [65, 73, 101].
Для применения вращения векторного поля к анализу хаотического поведения траекторий-уток, были совмещены схема П. Згличинского [111] и метод топологического отслеживания траекторий [93, 94]. Особо отметим тот факт, что полученные в настоящей работе результаты не требуют проведения части доказательств на компьютере, в отличие от типичных приложений упомянутой выше схемы, см. [60, 112]. Существуют и другие подходы к изучению хаоса в моделях с сингулярными возмущениями, см. например исследование хаоса в модели типа Лотки-Вольтерра с «суперхищником» в [63] и приведенные там ссылки.
В четвертой главе геометрический метод анализа траекторий-уток распространяется на модели с негладкими возмущениями. Роль таких возмущений могут выполнять, например, малые шумы. Получены результаты о существовании периодических и хаотических траекторий-уток в таких моделях. Как и в третьей главе, найденные с помощью геометрического метода траектории топологически устойчивы, однако могут не быть устойчивыми по Ляпунову, и для их стабилизации необходимо применение алгоритмов управления. Также рассматривается обобщение на случай динамических моделей с более чем тремя переменными, когда влияние остальных переменных на трехмерную подмодель слабо.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доц. Е.А. Щепакиной, а также проф. А.В. Покровскому, проф. В.А. Соболеву и Д.И. Рачин-скому за ценные замечания, плодотворное обсуждение задач и результатов, неоценимое внимание и постоянную поддержку.
Модели с сингулярными возмущениями и траектории-утки
В работе используется понятие вращения векторного поля ля анализа траекторий-уток в динамических моделях с сингулярными возмущениями. Напомним связанную с такими моделями терминологию. Рассмотрим быстро-медленную систему дифференциальных уравнений где х, у, z — скалярные функции времени, є — малый положительный параметр, и . f,g,h — скалярные функции. Системы такого типа подробно изучаются в [2, 33]. Подмножество фазового пространства называется медленной поверхностью системы (1.3): на этой поверхности производная z быстрой переменной равна нулю. Кроме того, часть S, на называется притягивающей [отталкивающей, соответственно). Кривая L С S, разделяющая притягивающую и отталкивающую части S называется кривой разворота. Ниже будем предполагать, что кривая разворота является гладкой. Траекории, проходящие сначала в малой окрестности притягивающей части S и продолжающие движение в течение некоторого времени вдоль отталкивающей части 5", называются траекториями-утками [57]. Нас интересует поведение траекторий именно такого типа.
Отметом, что система (1.3) имеет векторную медленную переменную (х,у). Как известно из литературы, условия существования траекторий-уток в системах со скалярными и векторными медленными переменными имеют существенное различие: в скалярном случае необходимо присутствие в рассматриваемой системе дополнительного параметра. Это продемонстрировано, например, в [105, 104], где изучаются кусочно-линейные системы на плоскости. Траектории-утки возникают только на малом интервале значений этого параметра. В векторном же случае такой параметр необязателен, так как система (1.3) при некоторых условиях на правую часть всегда имеет траекторию-утку. Как показано ниже в главе 3, система (1.3) также имеет периодическую траекторию-утку, если выполнены некоторые дополнительные условия. Основные атрибуты хаотического поведения отображения /: W1 —» M.d включают чувстврітельную зависимость от начальных данных, большое количество периодических траекторий и эффект нерегулярного перемешивания, неформально описываемый через существование конечного числа попарно непересекающихся множеств, которые могут посещаться траекториями / в любом наперед заданном порядке. Пусть U = {Ui,..., Um}, т 1, — семейство попарно непересекающихся подмно жеств Ша. Также введем обозначение Г2 для множества односторонних последователь ностей ш = U)Q,U)\, Последовательности из Г2 будут использоваться для задания порядка посещения множеств Ui траекториями. Если х Є UHi т0 определено число 1(х), равное индексу г, при котором х Є U{. Определение 1.1. Отображение / называется U-хаотическим, если существует компактное /-инвариантное множество S С \J{ U{ со следующими свойствами: (pi) для всех UJ Є П существует х Є S, такое что fl(x) Є 1/Ші при і 1; (р2) для любой р-периодической последовательности и Є 0, существует р-периоди-ческая точка х Є S, такая что fl(x) Є иші; (рЗ) для каждого г} 0 существует несчетное подмножество S{T]) множества S, такое что соотношения Приведенные выше определяющие свойства хаотического поведения похожи на условия из теоремы
Смейла о трансверсальной гомоклинической траектории, с важным отличием в том, что мы не требуем существования инвариантного Канторового множества. Вместо этого, определение включает свойство (р2), являющееся обычно следствием единственности, и (рЗ), которое является одной из форм чувствительности и нерегулярного перемешивания, как и в определении хаоса по Ли-Иорке. Подмножество S(r)) соответствует перемешанному подмножеству Ли-Иорке SQ. Напомним, что множество 6 о называется перемешанным [83], если для любых х, у Є SQ (в оригинальной статье [83] присутствовало также третье свойство, которое позже было признано необязательным). Зафиксируем теперь два положительных целых числа du, ds, таких что du + ds = d. Пусть V и W —ограниченные открытые выпуклые произведения удовлетворяющие включениям О Є V,W, и пусть д: V — M.du х Mda — непрерывное отображение. (Здесь и ниже через S обозначено замыкание множества S.) Удобно рассматривать д как пару (д(и\д ), где д : V —+ Kdu, а д : У i- Rds. Геометрически равенство (1.4) означает, что образ и-границы дУ х V множества V не пересекает бесконечный цилиндр С = W х Rds; аналогичным образом, (1.5) означает, что образ всего множества g(V) может пересекать цилиндр С только по его центральному фрагменту W и х W s\ Таким образом, согласно (1.4) отображение является в некотором, достаточно слабом смысле расширяющим по направлению первой координаты в декартовом произведении M.du х Rds, а согласно (1.5) оно является сужающим по направлению второй координаты (индексы (м) и (s) взяты из слов stable и unstable ). Теорема 1.1. Пусть f: M.d — M.d — непрерывное отображение. Пусть также существуют гомеоморфизмы hi и множества Vi, такие что отобраоісения hj fh{ являются (Vi, Vj)-гиперболичными при всех i,j, причем семейство Ы компонент связности объединения \Jhi(Vi) имеет более одного элемента. Тогда отображение f являетсяЫ-хаотическим. Характерной чертой различных электронных схем является наличие в них осциллирующих LC-контуров.
Среди них особенный интерес вызывают системы, в которых индуктор содержит ферромагнитный сердечник — из-за него возникает гистерезисная зависимость между магнитной индукцией В и магнитным полем Н. Хотя эффектом гистерезиса во многих случаях можно пренебречь, существуют приложения, в которых он играет существенную роль, и необходимо включать его в математические модели. Например, недавние исследования высокомощных трансформаторов указывают на то, что традиционные модели не всегда адекватно описывают поведение таких систем из-за явления феррорезонанса. Новый подход, предложенный в [102], использует оператор Прейсаха для моделирования зависимости между В и Н, и демонстрирует более точное соответствие экспериментальных данных и результатов численного моделирования. В данной главе изучается эффект, который гистерезис оказывает на периодические колебания в простом электронном контуре, с использованием аналитических и численных методов. Для этого рассматривается осциллятор ван дер Поля с ферромагнитным сердечником в катушке индуктивности. Электронная схема, реализующая такой осциллятор, состоит из LCR-контура и цикла отрицательной обратной связи, который может быть построен либо на основе триода, как в классической модели, либо туннельного диода, как показано ниже. Рассмотрим электронный осциллятор на рис. 2.1.
Бифуркации Андронова-Хопфа и ветвь циклов
В настоящем разделе приводятся результаты о бифуркациях Андронова-Хопфа в системах, состоящих из главной линейной части и гистерезисной нелинейности. В подобных уравнениях можно применить замену переменной, основанную на использовании обратного оператора к нелинейному оператору Прейсаха и приводящую к более удобным для анализа уравнениям, которые содержат обратный оператор, но не его производную по времени. Далее будет сконструировано сужение оператора Прейсаха, действующее в пространстве периодических функций, и оператор, обратный к этому сужению. Их использование существенно упрощает изучаемые задачи о ветвях циклов системы. Основную роль в этих задачах играют асимптотические свойства и липшице-вость построенных операторов. Схема доказательств развивает методы, предложенные в [25, 26] и далее в [27].
Здесь с помощью штриха обозначается производная по времени; V — V[to,r]o] — оператор Прейсаха; А(Х) — квадратная матрица порядка N, гладко зависящая от скалярного параметра А; вход х = x(t) нелинейности Прейсаха связан с фазовой переменной z = z(t) при помощи скалярного произведения (, ) в M.N. Предполагается, что векторы Ь, с Є №N удовлетворяют соотношению (Ь, с) т 0. Каждое начальное условие z(to) = ZQ и начальное состояние r]{to) — щ нелинейности Прейсаха определяют единственное решение z(t) системы (2.2), продолжимое на бесконечный промежуток t to и непрерывно зависящее от г0,т7о (см. [115]). Непрерывное решение z(t) может быть не везде дифференцируемым, но удовлетворяет уравнению везде, то есть функция z(t) + cVx{t) непрерывно дифференцируема. Заметим, что z = 0 является решением системы (2.2) при каждом значении параметра А.
Нас будут интересовать нетривиальные периодические решения (циклы) системы (2.2). Для таких решений переменное состояние r\t и выход (1.2) нелинейности Прейсаха также периодичны по t. Воспользуемся следующим слабым определением бифуркации Андронова-Хопфа (см. [79]): Ао называется точкой бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого положения равновесия системы (2.2), если при любом достаточно малом є 0 найдется такое значение параметра А = А Є (Ао — є, Ао + є), при котором у системы (2.2) есть нестационарное периодическое решение z — z(t) с амплитудой 0 г є. Другими словами, система имеет сколь угодно малые циклы при некоторых значениях А, сколь угодно близких к AQ.
Теорема 2.1. Пусть матрица А(Х) имеет пару простых собственных значений и(Х)± iv(X). Пусть и(0) = О, и (0) ф О, v(0) 0, и пусть числа inv(0) не являются собственными значениями матрицы А(0) при п — 0, ±2, ±3,... Тогда Ло = 0 — это точка бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого полооїсения равновесия системы (2.2).
Как и для классической бифуркации Андронова-Хопфа для обыкновенных дифференциальных уравнений, малые циклы возникают, вообще говоря, с одной стороны от критического значения Ло = 0 параметра Л: либо все при Л 0, либо все при Л 0. В то же время, при /х{0,0) 0 асимптотика малых циклов другая. Для уравнения (2.3) амплитуда г малого цикла линейно зависит от параметра, то есть г = с\Х\ + о(\Х\), тогда как для классической бифуркации Андронова-Хопфа амплитуда г пропорциональна у/\Х — Ло[- Э г0 различие обусловлено тем, что оператор Прейсаха при малых входах действует как негладкая в нуле нелинейность второго порядка. Подобная линейная асимптотика г = хгЛ + о(Л) верна, например, для уравнения х" + Хх + х = — х \х \.
Аналогично предыдущему определению, Л0 называется точкой бифуркации Андронова-Хопфа системы (2.2) из бесконечности, если по любому є 0 можно указать такое значение параметра Л Є (Ло — є, Ло + є), при котором система (2.2) имеет периодическое решение с амплитудой г є-1 (см. [24]). Это означает, что система имеет сколь угодно большие циклы при некоторых значениях параметра Л, сколь угодно близких к Ло.
Теорема 2.2. При выполнении условий теоремы 2.1 точка Ло = 0 бифуркации из положения равновесия — это таксисе точка бифуркации Андронова-Хопфа системы (2.2) из бесконечности.
Асимптотическая оценка амплитуды г (Л) больших циклов для малых значений Л 0 зависит от асимптотического поведения плотности меры /л оператора Прейсаха. Например, если /І имеет ограниченный носитель, то г (Л) = гуХ А- 2 + о(Л 1//2), см. рис. 2.2 (а) и (Ь). Однако для ветви, изображенной на рис. 2.2 (Ь), где fj,(a,fi) = 27г 2(1 + а2)_1(1 +/32)-1, асимптотическая оценка другая: Лг2(Л) — C\ogr(X) as Л — 0.
Приведенные теоремы говорят о циклах с достаточно большими и достаточно малыми амплитудами и о значениях параметра Л близких к точке Ло = 0- При дополнительных предположениях можно гарантировать, что локальные ветви циклов, выходящие из нуля и из бесконечности при Л = Ло, соединяются. Будем говорить, что система (2.2) имеет непрерывную ветвь циклов, соединяющую бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого положения равновесия и из бесконечности при Л = Ло, если для любого г 0 это уравнение имеет цикл zr = zr(t) при некотором Л = Л(г), циклы zr и их периоды непрерывно зависят от г, причем Ц.гг() — 0 при z — 0, г( ) — о при z — со, функция А (г) непрерывна и Л (г) —» Ло при г —» 0 и при г — со.
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда найдется такое а О, что при 0 \с\ а система (2.2) имеет непрерывную ветвь циклов, соединяющую бифуркации Андронова-Хопфа из нулевого положения равновесия и из бесконечности при Ло = 0.
Пример и численный анализ модельной задачи
Технически доказательство основано на сведении задачи о циклах системы (2.2) к задаче о неподвижной точке вполне непрерывного оператора В, при построении которого используется метод, предложенный в [27]. Существование неподвижной точки у оператора В устанавливается с помощью теории степени отображения для теорем 2.1 - 2.2 и с помощью принципа сжимающих отображений для теоремы 2.3. Чтобы определить оператор В для системы (2.2), перепишем ее в виде где А\ -R F\ операторы в пространстве Срег непрерывных периодических функций, причем нелинейный оператор F мал по сравнению с линейным оператором А(Х). Основную роль в доказательстве теорем 2.1 и 2.2 играют равномерные по Л соотношения Уравнение (2.12) может быть получено путем замены у = z+cPx, х = (b, z). Здесь V — оператор Прейсаха, модифицированный так чтобы периодический вход х однозначно, определял периодический выход. Эта конструкция исключает начальное состояние оператора Прейсаха из системы. Чтобы определить V, заметим, что при любом периодическом входе и = u(t) переменное состояние r}(t) нелинейности Прейсаха также всегда периодическое, начиная со второго периода, и часть графика этого состояния, лежащая за пределами треугольника mm и а (3 max ад в полуплоскости а /3, не влияет назначение производной выхода (1.2). Пусть через V[rjo]u(t) обозначен оператор Прейсаха с начальным состоянием туо, и пусть u(t) Є Срег[0,Т]. Возьмем вертикальное начальное состояние 770, и положим r]u = rj(T). Если теперь начальное состояние оператора Прейсаха положить равным т)и, то переменное состояние будет Т-периодическим при всех t 0. Поэтому при любом Т-периодическом входе u(t) положим где начальное состояние т]и зависит от u(t). Определенный таким образом оператор V является оператором Прейсаха, сдвинутым на константу. Если вход u{t) имеет период Т, то выход v(t) = Vu{t) также будет Г-периодическим.
Таким образом, V — это оператор в пространстве Срег[0,Т]. Отметим, что на самом деле выход V не зависит от выбора щ. Вертикальное состояние 770 было выбрано, чтобы упростить дальнейшие выкладки: в силу этого выбора переменное состояние будет вертикальным в моменты времени, когда вход u(t) достигает своего глобального минимума. Лемма 2.1. Оператор I + aV обратим в пространстве Срег[0, Г].
Кроме того, выполнены соотношения Доказательство. При доказательстве используются теоремы об обратном операторе к оператору / + aV с фиксированными начальным состоянием и начальным значением входа (см. [59]). Докажем сначала, что выполнено обратное условие Липшица с некоторой константой L О, где щ, і = 1,2, — входы, Vi = (I + аР)щ — выходы, а - — норма в пространстве Срег[0,Т]. Необходимо отметить, что в промежуточных выкладках будут участвовать также входы и выходы, не являющиеся периодическими при всех t 0, которые однако будут Т-периодическими при t Т. Поэтому для таких функций используется норма в С[0,2Т], которая совпадает с нормой в Срег[0,Т] для периодических функций. Рассмотрим теперь два Г-периодических входа щ и и2. Предположим без потери общности, что щ достигает своего глобального минимума в момент t = 0, причем и = minu2(t) min«i(i) = и. Следовательно, начальное состояние т]и1 — П\ в (2.14) вертикально. так как величина в первых скобках неотрицательно, а величина во вторых скобках равна нулю, так как щ достигает своего глобального минимума в момент t = 0. В [59] доказывается выполнение обратного условия Липшица для оператора 1+аР с фиксированными начальным состоянием и начальным значением входа. где Уі(0) — Уг(0). Поэтому если мы рассмотрим входы U2(0) и иі(0) с вертикальными начальными состояниями rji и начальными значениями «2(0) = иі(0), то получим начальное состояние rji вместо г]й2 (поэтому функция V2 периодическая при t Т). Тогда чтобы получить следующую оценку последнего слагаемого. где были использованы условие (2.17) и неравенство
Хаотические траектории-утки
В настоящей главе изучается сложное поведение в моделях с сингулярными возмущениями. Подобные модели успешно используются для целого ряда физических процессов, например процессов горения [15], а также эволюции биологических систем [63]. Важным для изучения объектом в моделях с сингулярными возмущениями являются траектории-утки. Например, в моделях горения такие траектории описывают критические режимы. При этом периодические траектории-утки часто обладают оптимальными параметрами с точки зрения технологических процессов. Поэтому представляют большой интерес задачи о локализации и стабилизации таких периодических траекторий. Разработанные для таких моделей методы обычно аналитические по своей сути и основываются в значительной степени на гладкости основных характеристик [2, 34]. Однако многие важные инженерные и промышленные приложения содержат элементы с негладким, часто кусочно-линейным, поведением. Упомянем использование кусочно-линейных систем в моделировании и анализе электронных схем [78, 109, 71], химических реакций [92], управления полетами [99], нейронных систем [86] и др. Рассматриваемый в качестве примера электронный генератор также традиционно моделируется с помощью системы дифференциальных уравнений, содержащей кусочно-линейные элементы.
Упомянем кратко, каким образом предлагаемый подход может быть применен в инженерном контексте. Традиционно выделяются следующие аспекты динамического хаоса: (1) большое количество неустойчивых периодических решений с произвольно большими минимальными периодами; (2) чувствительность к малым изменениям начальных условий (измеряемая математически с помощью показателей Ляпунова); и (3) эффект нерегулярного перемешивания, описываемый на неформальном уровне как существование конечного числа попарно непересекающихся множеств, которые могут посещаться траекториями динамической модели в произвольном наперед заданном порядке. Один из путей использования на практике существования и локализации зон хаотического поведения основан на свойстве непредсказуемости хаоса, и связан с последними двумя пунктами их вышеприведенных. В приложениях такого типа важными являются притягивающие свойства зон хаоса, поэтому применение настоящий подход самого по себе затруднительно. Однако, существует и другой путь, на котором области хаотического поведения рассматриваются как источник большого количества различных (неустойчивых) периодических режимов. Среди этих режимов выделяют наиболее полезные для конктерной ситуации, после чего производится их стабилизация е помощью обратных связей. Эта идея была впервые представлена в [91], и с тех пор неоднократно использовалась, см. примеры и дальнейшие ссылки в [103, 75]. Отдельно отметим специальный тип контроля с помощью открытых циклов [72, 73] и с помощью обратных связей [101], которые были разработаны для задач такого типа. В этом контексте отсутствие свойств притягивания у областей хаотического поведения не имеет значения, а наиболее важныме задачачи это идентификация зон хаоса и эффективная численная локализация отдельных периодических траекторый. Поэтому основные применения предлагаемого в настоящей работе метода можно ожидать именно в рамках второго подхода к практическому использованию хаоса. Среди приложений, непосредственно связанных с настоящей работой, отметим задачу об аппаратной реализации генераторов различных периодических сигналов, см. например [106]. Обратим внимание на то, что основным инструментов в этой области являются кусочно-линейные модели [107, 108, 66].
Рассмотрим модель генератора шума Кияшко-Пиковского-Рабиновича (КПР) [21]. КПР-генератор — это одна из простейших систем, которая может демонстрировать разные формы сложного, в том числе стохастического, поведения. Различные режимы работы генератора изучались в [21, 54]. В настоящей работе будет проведен анализ периодических и хаотических режимов, в которых траектории динамической модели имеют тип траекторий-уток.
Кроме того, условие 3.2 ограничивает область возможного пространственного положения траекторий-уток системы (3.3): такие траектории проходят сперва вблизи притягивающей полуплоскости (3.4) на интервале ta t 0, а затем вдоль отталкивающей полуплоскости (3.5) при 0 t tr. Для того, чтобы произошло переключение между этими двумя движениями, такая траектория должна следовать сначала в малой окрестности кривой при отрицательных значениях времени, а затем в окрестности кривой при положительных значениях времени. При этом траектории-утки проходят вблизи начала координат, где кривые Га и Гг встречаются при t — 0. С помощью стандартных методов, см. [33], легко увидеть, что такие утки существуют на любом временном интервале [ta, tr] С (Га, Тг), где ta 0 tr, если є 0 достаточно мало.
Для существовании в системе (3.3) периодических уток нужны дополнительные условия. Вышеприведенный аргумент показывает, что периодические траектории-утки должны иметь отрезок быстрого движения из малой окрестности некоторой точки на кривой Гг в малую окрестность кривой Га; такое вертикальное движение, следовательно, почти вертикально (т.е. почти параллельно оси z). Говоря более точным языком, если существует предел периодических траекторий при є —+ 0, то соответствующая предельная кривая с необходимостью имеет вертикальный отрезок, соединяющий кривые Гг и Га. Следующее условие обеспечивает возможность таких вертикальных прыжков. момента времени t 0. После этого возможны следующие варианты дальнейшего поведения решения (см. также рис. 3.9 ниже): 1. Решение остается в окрестности притягивающей части медленной поверхности до момента времени t 6, где 5 0. 2. Решение начинает быстро возрастать по оси z после t 0 и уходит в бесконечность. 3. Решение продолжает следовать вдоль отталкивающей полуплоскости Рг, определенной в (3.5), до момента времени t . Более того, при положительных t t оно находится в окрестности кривой Гг. После момента t решение либо начинает возрастать и уходит в бесконечность но оси z, либо оно падает назад на притягивающую часть медленной поверхности.
Для того чтобы разделить эти три случая, введем момент времени где ї(жо,уо) — это специальный момент времени, связанный с решением wa(t,T,xo,yo), который будет введен ниже, а р 0 — достаточно малая величина, выбираемая одновременно с а. С помощью момента времени s(xo,yo) введем вспомогательное отображение We параллелограмма П(а) на плоскость (х,у). Разобьем его определение на следующие четыре случая:
