Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения 8
1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений 8
1.2 Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса 11
1.3 Гистерезисные преобразователи 15
1.3.1 Обобщенный люфт 17
1.3.2 Неидеальное реле 20
1.3.3 Преобразователь Прейсаха 23
1.3.4 Преобразователь Ишлинского 26
1.4 Диссипативность 33
1.4.1 Свободные колебания диссипативных систем 35
1.4.2. Диссипативные системы с конечным числом степеней свободы 42
1.5 Понятие резонанса 43
1.5.1 Гармонический резонанс 44
1.5.2 Параметрический резонанс 47
Глава 2 Диссипативность систем дифференциальных уравнений с гисте-резисными нелинейностями 51
2.1 Определение диссипативности систем и устойчивости систем по Лагранжу 51
2.2 О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями 56
2.3 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 69
Глава 3 Исследование резонансных свойств уравнения Матье, содержащих гистерезисные нелинейности 76
3.1 Физические (механические и электрические) процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс 76
3.1.1 Механические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс 76
3.1.2 Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс 81
3.2 Анализ классического уравнения Матье и его возможные обобщения 83
3.2.1 Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости'уравнения Матье — 83
3.2.2 Определение областей неустойчивости уравнения' Матье — Хилла в общем случае 86
3.2.3 Влияние диссипации на устойчивость параметрически возбуждаемых систем 87
3.3 Постановка задачи для уравнений типа Матье с гистерезисными нелинейностями 88
3.4 Численная реализация решения уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями, блок-схема, результаты 95
Заключение 101
Список литературы
- Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса
- Свободные колебания диссипативных систем
- О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями
- Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс
Введение к работе
Многие модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики, биологии и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их резонансных свойств. В частности, важную практическую роль играет диссипативность систем - наличие области в фазовом пространстве систем, обладающей тем свойством, что всякое решение, исходящее из нее остается ограниченным при неограниченном возрастании времени. Особую важность приобретает эта задача в ситуации, когда система находится под периодическим воздействием резонансной частоты. Вопросу изучения резонансных свойств систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (СП. Кузнецов, И.Д. Папалески, В.В. Болотин, Н.В. Жинжер, М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Д.И. Рачинский и многие другие). Диссипативность моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы А.А.. Андронова, Л. Чезари, Р.А. Нелепина, СП. Кузнецова, И.Д. Папалески, В.В. Болотина, A.M. Красносельского, А.В. Покровского, М.Е. Семенова и ряда других ученых.
В последнее время существенно возрос интерес к системам, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями со сложными нелиней-ностями, в том числе и гистерезисной природы. Это обуславливается необходимостью как можно более полного и адекватного моделирования реальных физических, экономических, биологических и других систем.
Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями, с периодической правой частью резонансной частоты. Возможность создания таких методов основывается на развитой М.А. Красносельским, А.В. Покровским и их учениками, операторной трактовке гистерезисных нелинейностей. В связи с вышеизложенным, является актуальной задача изучения резонансных свойств моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии — «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.
Цель работы. Исследование резонансных свойств моделей систем с сосредоточенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями.
Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач: -выделение класса моделей систем с периодическим внешним воздействием, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями; -выявление зависимости гармонических резонансных свойств систем с гистерезисом от амплитуды внешнего периодического воздействия; -формулировка и доказательство теорем об областях диссипативности моделей систем с гистерезисными нелинейностями; -построение областей устойчивости (неустойчивости) параметрические возбуждаемых систем с гистерезисом; численные эксперименты и апробация предложенных алгоритмов.
Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты: -условия диссипативности (а также недиссипативности) класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами, находящиеся под внешним воздействием резонансной частоты;
- условия, обеспечивающие диссипативность выделенного класса уравнений (типа уравнений Матье) с аддитивными гистерезисными нелинейностями;
-алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости) уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями;
- условия, обеспечивающие диссипативность класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью.
Практическая ценность работы. Глобальные характеристики наличия или отсутствия резонанса, приведенные в работе, позволяют на этапе проектирования технических систем прогнозировать их резонансные свойства. Результаты работы применимы для анализа и построения областей диссипативности систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями. Предложенные в работе алгоритмы и условия позволяют проводить этот анализ и исследование резонансных свойств.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, март 2006 г.), XLIV отчетной научной конференции за 2006 год (г.Воронеж, апрель 2006 г.), международная научно-практическая конференция: «Образование, наука,-производство и управление» (Московский институт стали и сплавов - г.Ст.Оскол ноябрь 2006 г.); III международная научно-техническая конференция: «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецкий государственный технологический университет - г.Липецк ноябрь 2006), международная научная конференция: «Сложные системы управления и менеджмент качества CCSQM 2007» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов,— г.Ст. Оскол март 2007г.), международная научно — практическая конференция: «Образование, наука, производство и управление» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов — г.Ст. Оскол ноябрь 2007г.), научно - техническая конференция ОАО «ОЭМК» (ноябрь 2007г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры АиПЭ СТИ-МИСиС за 2005, 2006 гг.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ. Из них одна - статья в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук".
Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем: построение областей диссипативности для различных классов моделей систем [66], [70], [71], [74]; доказательства утверждений о реализуемости предложенных алгоритмов [1], [62], [68], [72],; исследование резонансных свойств уравнений с гистерезисными нелинейностями [66], [67], [68], [73], [74], [75].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 85 наименований, изложена на 115 страницах и включает 35 рисунков.
Краткое содержание работы. Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам.
В первой главе, которая носит вводный характер, приведены примеры моделей систем, динамика которых описывается системами дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, делается обзор основных работ на тему обычного и параметрического резонанса, систем с гистерезисными нелинейностями. Описаны известные модели гистерезисных преобразователей - обобщенного люфта, неидеального реле, преобразователя Прейсаха, преобразователя Ишлинского. Следуя классическим схемам М.А. Красносельского и А.В. Покровского, гистерезисные операторы трактуются как преобразователи, определенные на пространстве непрерывных функций, динамика которых описывается соотношения: вход-состояние и состояние-выход. Сделан обзор понятия диссипативности, резонанса, параметрического резонанса.
Вторая глава посвящена диссипативности систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, работы выделяется класс моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями, доказываются условия диссипативности систем дифференциальных уравнений для выделенного класса, выделяется класс систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, доказываются условия диссипативности для этого класса. Доказываются основные теоремы о диссипативности систем с гистерезисными нелинейностями.
Третья глава посвящена исследованию резонансных свойств уравнения Матье, содержащих гистерезисные нелинейности. Для таких уравнений доказана теорема о диссипативности уравнений, подобных уравнениям Матье, с гистерезисными нелинейностями. Описаны разные виды таких уравнений и проведены численные эксперименты по нахождению их периодических решений и областей устойчивости (неустойчивости).
В заключении сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.
В приложениях приведены листинги программ построения периодических решений и нахождения областей устойчивости (неустойчивости) дифференциальных уравнений, подобных уравнениям Матье, с гистерезисными нелинейностями.
Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса
Наиболее близкие по теме результаты получены М.А. Красносельским и Д.И.Рачинским в работах о резонансных свойствах уравнений с неограниченными нелинейностями: [19], [22], [23], [25] - [28], [31] - [33].
В работе Красносельского A.M., Кузнецова Н.А., Рачинского Д.И.: «О резонансных уравнениях с неограниченными нелинейностями» авторами предлагается метод исследования вырожденных асимптотически линейных задач с подлинейными неограниченными нелинейностями. Метод основан на равномерной сходимости к нулю проекций приращений нелинеиностеи на некоторые конечномерные подпространства. Такая сходимость ранее была использована при изучении резонансных уравнений многими авторами в основном для огра ничейных нелинейностей. Неограниченность нелинейностей существенно затрудняет анализ. Теоремы о равномерной сходимости к нулю проекций приращений неограниченных нелинейностей применяются к исследованию разнообразных конкретных задач. В первую очередь это исследование периодических колебаний: существование вынужденных колебаний и их неограниченных последовательностей, существование неограниченных решений, существование нетривиальных циклов у автономных систем управления, новые теоремы о бифуркациях Хопфа на бесконечности. Для интегральных уравнений Гаммер-штейна с простым вырождением линейной части проведен полный анализ возможных ситуаций, приведены примеры для двухточечной краевой задачи.
Работа Блимана П.А., Красносельского A.M., Рачинского Д.И. «О сильных резонансах при бифуркациях Хопфа в системах управления» посвящена рассмотрению резонансов 0:1 и 1:1 при бифуркациях Хопфа в системах управления с параметром. Предложены условия возникновения циклов в. окрестности положения равновесия и на бесконечности. В окрестности положения равновесия отдельно рассмотрены случаи нелинейностей с главной квадратичной частью и с главной однородной частью общего (неполиномиального) вида. На бесконечности рассмотрен основной случай ограниченных нелинейностей типа насыщения.
В работе Красносельского A.M., Рачинского Д.И. «О непрерывных ветвях циклов в системах с нелинеаризуемыми нелинейностями» предлагаются условия существования непрерывных ветвей циклов для дифференциальных уравнений с одним скалярным параметром, принимающим значения из некоторого ограниченного промежутка. Все уравнения состоят из непрерывной нелинейности и главной линейной части, именно ею и определяются условия- существования. Предлагаются три типа теорем о непрерывных ветвях.
Основная теорема содержит условия, при выполнении которых обыкновенное автономное дифференциальное уравнение с параметром имеет непрерывную ветвь циклов, начинающуюся в нуле и уходящую на бесконечность. В основной теореме участвует условие о том, что некоторое число q достаточномало. Для систем управления предлагается метод оценки q. Приведены примеры (для уравнений третьего порядка), в которых все досчитано "до числа".
Теоремы второй группы близки к утверждениям о бифуркациях Андро-нова-Хопфа. Однако в известных теоремах о рождении цикла из положения равновесия предполагается по крайней мере линеаризуемость нелинейности в самом положении равновесия. Если такая линеаризуемость имеется, то по поведению линейной части (при изменении параметра) можно сделать выводы о рождении циклов в окрестности положения равновесия, а по дополнительной информации о малых нелинейных членах — выводы о устойчивости рождающихся циклов и о типе бифуркации. В работе сформулированы теоремы о рождении циклов в окрестности положения равновесия в минимальных предположениях: непрерывность и дифференцируемость в одной точке положения равновесия. Для их доказательства предложен специальный метод функционализа-ции параметра. Аналогичные теоремы справедливы для бифуркаций на бесконечности. В предлагаемых здесь теоремах такая дифференцируемость не предполагается. Естественно, без дополнительных предположений никаких выводов о устойчивости рождающихся циклов или о типе бифуркации сделать нельзя.
Третья группа результатов может быть интерпретирована, как условия существования ветвей циклов в ситуациях, когда нелинейность вообще неизвестна в окрестности положения равновесия (также неизвестного) и лишь может быть вычислена с какой-то точностью. Здесь при выполнении некоторых естественных условий ветвь циклов существует в некотором "небольшом" кольце вокруг точно неизвестного положения равновесия. Проследить существование сколь угодно близких к положению равновесия циклов невозможно — предполагается, что мы ничего точно не знаем о нелинейности в совсем малой окрестности положения равновесия.
Свободные колебания диссипативных систем
Общее решение задачи о свободных колебаниях. Рассмотрим линей ную диссипативную систему, движение которой описывается матричным уравнением (1.4.1) с симметричными матрицами А, В и С [10]. Уравнение будет удовлетворено, если положить q{t) = veM (1.4.5) it і где v — комплексная числовая матрица-столбец. Числа Л называют характеристическими показателями, а числа іЛ или -іЛ — комплексными частотами. Характеристические показатели Л равны корням характеристического уравнения &&(АЛ2+ВЛ + С) = 0 (1.4.6) или в развернутом виде аиЛ + ЬиЛ + си апЛ +ЬпЛ + сп ... а]пЛ2 + ЪХпЛ + с]п апЛ2 +ЬиЛ + си а12Л2 + ЬпЛ + сп ... аыЛ2 + ЪХпЛ + с]п 0. (1.4.7) ап1Л +ЬпіЛ + сп1 ап2Л +Ьп2Л + сп2 а„„Л + ЬЛ +
Система с п степенями свободы имеет 2п характеристических показателя, Л1,Л2,...,Л2п. Поскольку коэффициенты уравнения (1.4.7) являются действительными величинами, то все характеристические показатели либо действительные, либо попарно комплексно сопряженные величины. Каждому характеристическому показателю соответствует одно из частных решений уравнения (1.4.1). Если все характеристические показатели — простые корни уравнения (1.4.7), то общее решение уравнения (1.4.1) будет равно сумме 2п частных решений типа (1.4.5): (0 = c w eA (1.4.8) k=\ Здесь Ск — произвольные комплексные постоянные, wk — числовые матрицы-столбцы. Так как по условию решение q{t) является действительной величиной, а характеристические показатели связаны соотношением Л +к = Лк (звездочка означает переход к комплексно-сопряженной величине), то должно выполняться условие {Cn+kwn+k) = Ckwk.
Представим характеристические показатели в виде Лк= єк+ій)кс; Л,+ =- -"% (к = 1,...,п), (1.4.9) где єк 0 и сокє 0— действительные числа, называемые коэффициентами демпфирования и собственными частотами демпфированной системы [6] соответственно. Взяв действительную часть от выражения (1.4.8), получаем 9(f) = Ё e Eit ( cos ь + Gkvksin »J) (1.4.10) k=\ где Fk и Gk, — действительные постоянные величины; uk и vk — действительные матрицы-столбцы. При заданных начальных значениях всех обобщенных координат и скоростей постоянные Fk и Gk однозначно определяются из начальных условий.
Если среди корней уравнения (1.4.7) имеются кратные, вид общего решения зависит от структуры элементарных: делителей некоторой матрицы, формируемой из матриц А, В и С. Поскольку для рассматриваемого класса систем все эти матрицы симметричные, то все элементарные делители простые. Общее решение по-прежнему имеет вид (1.4.8) или (1.4.10); где каждому характеристическому показателю соответствует такое количество решений, какова кратность показателя.
Зависимость характера колебаний системы от свойств ее коэффициентов. Действительные характеристические показатели, представленные в виде (1.4.9), соответствуют монотонным (неколебательным) движениям системы, комплексные показатели — колебательным движениям. При этом частное решение будет затухающей, периодической или неограниченно возрастающей функцией времени в зависимости от того, будет ли действительная.часть соответствующего характеристического показателя отрицательна, равна нулю или положительна.
Для консервативной системы все характеристические показатели — чисто мнимые (рис. 1.4.1, а) и равны с точностью до +/ собственным частотам системы. Все частные решения являются периодическими функциями времени, а движение в общем случае — стационарным (почти периодическим).
Если система дассипативная и обладает полной диссипацией, то все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости комплексного переменного (рис. 1.4.1, б).
О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями
Здесь и далее начальные состояния сой и z0 предполагаются согласованными, в том смысле, что для преобразователя Г[ я0], находящегося в начальном состоянии о?0, вход x(t), (t 0) является допустимым. Приведем описание гистерезисных преобразователей, фигурирующих в системе (2.3.1) - (2.3.3). Пару неубывающих функций у = и_(х) и у = и+(х)назовем правильной, если, во - первых, существуют такие х_,х+ и у_,у+, что и (х) = иЛх) = у , (х X ), "W + h (2.3.5) и_(х) = и+(х) = у+, (х х+) и, во — вторых, и_(х) и+(х), х є (-со,+оо) и !, , чЧ (2-3-6) \[и+ (х) - и_ (х)) dx = u0 0.
Оператор Г назовем согласованным с парой и_(х), и+(х), если при некотором М 0для функции x(t), невозрастающей на промежутке {/0; ] из соотношений x(t0) М, х( ) —М вытекает справедливость равенств y(t) = u+(x(t)). Аналогично, для неубывающей функции x(t), из соотношений x(t0) -M, x{tx) М вытекает равенство y(t) = u_(x(t)). Операторы, соответствующие неидеальному реле, обобщенному люфту с насыщением, преобразователю Прейсаха с финитным носителем меры, является согласованными с некоторыми парами функций:
Пусть оператор F согласован с некоторой правильной парой функций. Для периодических входов с достаточно большой амплитудой (и нулевым средним) петля гистерезиса описываемая в координатах х, у, y(t) = Г [fi 0], обегается против хода часовой стрелки. Поэтому, «гистерезисная» часть системы (2.3.1) - (2.3.3) способствует уменьшению амплитуды колебаний решений, с другой стороны, резонансное слагаемое p(t) способствует неограниченному возрастанию амплитуды колебания решения. Сравнение интенсивности этих факторов с математической точки зрения можно трактовать как вопрос о дис-сипативности системы (2.3.1) - (2.3.3). Будем предполагать, что матрица А имеет два мнимых комплексносоп ряженных собственных числа Л,2 =± , остальные собственные числа явля ются отрицательными, простыми, вещественными.
Обозначим через Р оператор ортогонального проектирования на инвариантное для матрицы А подпространство, соответствующее мнимым собственным числам. В ситуации, когда Р-Ь = 0 система заведомо диссипативна. Ниже рассматривается случай, когда Р ЬФО.
Теорема 2.3.1 Существуют такие константы С\ и Сг, что при выполнении неравенства \ p(t)\ С, система (2.3.1) — (2.3.3) диссипативна, а при
выполнении (0L 2 недиссипативна.
Аналогичное утверждение оказывается верным для более широких классов нелинейностей, в частности, преобразователя Прейсаха с нефинитным носителем меры.
Из теоремы 2.3.1 следует, что влияние гистерезисных нелинейностей на динамику систем качественно отличается от линейного вязкого трения, подавляющего тенденцию к неограниченному возрастанию амплитуды колебаний под действием резонансной внешней силы любой амплитуды.
Доказательство теоремы 2.3.1: В силу сделанных предположений о структуре спектра матрицы А существует невырожденное преобразование В такое, что В ХАВ = А, где матрица А имеет вид:
Положим E{r,\// = r\Cx+bx-smy/ + b2 Cosi//\ . Производная этой функции в силу системы (Т3.8), (Т3.9) определяется равенством Ё{г,у/} = —-, сле Тг довательно, ( ( , , ),4/ 2, ,4/0)) Е(г0,у/0)—ф1-. Из равенств (Т3.10), (T3.ll) следует, что при малых Сх и больших гй верно неравенство E(r(t2,r0,y/0),y/(t2,r0,y/0)) Е(г0,у/0)——, которое означает [61], что система (Т3.8), (Т3.9) диссипативна.
Для доказательства недиссипативности системы (Т3.6), (Т3.7) достаточно убедиться в том, что при больших Ы векторное поле, порождаемое опера тором сдвига за время Т по ее траекториям, имеет нулевое вращение на сферах достаточно большого радиуса с центром в начале координат [18]. В силу приведенных оценок и теорем о совпадении вращений близких векторных полей [18] достаточно установить это для системы (Т3.8), (Т3.9). А это проверяется непосредственно. Теорема доказана.
В заключение отметим, что уравнения, близкие к рассматриваемым в этом пункте, описывают некоторые модели теории катастроф и т.д. Для анализа их диссипативности вполне применимы различные модификации схемы, предложенной в работе.
Рассмотрим условия возникновения параметрического резонанса на примере простейшей колебательной системы - грузика с массой т на пружине, в ситуации, когда периодическим образом меняется жесткость пружины к. Несмотря на то, что придумать, как это можно осуществить на практике, непросто, можно показать математически, что к задаче такого рода сводятся все задачи о параметрическом резонансе в системах с одной степенью свободы (в том числе и перечисленные выше). Уравнение движения запишем в виде mx + k(t)x = 0. (3.1.1)
Пусть жесткость пружины меняется по простому гармоническому закону k{t) = k0(l + hcos(/t)). Тогда, разделив на массу, уравнение движения можно переписать так: x + Q)l(l + hcos(yt))x = 0, (3.1.2) где со0 = J— — невозмущенная частота собственных колебаний системы (см., V т например, [77], [79]). Величину возмущения h мы будем считать малой, h «1. Будем решать это уравнение по теории возмущений по малому параметру h. В нулевом приближении, то есть при /г = 0, решением уравнения (3.1.2) является, как известно, функция а0 cos(co0t + а). Поэтому при малом, отличном от нуля h можно полагать, что решение будет слабо отличаться от невозмущенного решения. Поэтому будем искать его в виде х = а0 cos(a 0t + а) + хх, (3.1.3) где х{ — мало и предполагается, что оно пропорционально малому параметру h.
Подставляя это х в уравнение (3.1.2), получаем уравнение для малой добавки х{ х{ + со\ хх = -hcolaQ cos( ) cos{coQt + а), (3.1.4) где мы пренебрегли членом, пропорциональным произведению hxx, поскольку он второго порядка малости, то есть o(h2). Легко видеть, что это уравнение описывает вынужденные колебания осциллятора с собственной частотой а 0 под действием вынуждающей силы /, зависящей от времени.
Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс
Параметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением (3.2.1). Согласно (3.2.3) области неустойчивости при є 0 лежат внутри соответствующих областей уравнения (3.2.4), но могут быть смещены относительно областей неустойчивости уравнения (3.2.2). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое возбуждение при достаточно малых /л. При этом влияние демпфирования тем сильнее, чем выше порядок р побочного параметрического резонанса. Типичные области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием + 28 - + a)20(l + 2jucos(u)t))q = 0 (3.2.14) приведены нарис. 3.2.4. Рассмотрим уравнения, подобные уравнениям Матье, содержащие нелинейность гистерезисного типа: x + (S + s-cos(2t))x + u(t) = 0, (3.3.1) (3.3.2) u(t) = T[cDQ]x(t), л:(0) = х0, JC(0) = JC,, где x(t) - скалярная функция, S, є - скалярные параметры, Г[ У0] - гистерезис ный преобразователь. Уравнения (3.3.2) описывает входно-выходные соответствия гистерезисного преобразователя, подробное описание которого будет приведено ниже. Уравнения (3.3.1) - (3.3.2) описывают колебания ферромагнитного маятника в переменном магнитном поле, являются математической моделью некоторых биологических и экономических систем. Здесь и далее начальные состояния х0 и сой предполагаются согласованными, в том смысле, что для преобразователя Г[й?0], находящегося в начальном состоянии о)0, вход x(t) {t О) является допустимым.
Приведем описание гистерезисного преобразователя, фигурирующего в системе (3.3.1) - (3.3.2). Пару неубывающих функций у = и_(х) и у = и+(х)назовем правильной, если, во - первых, существуют такие х_,х+ и у_,у+, что и (х) = и.(х) = у Лх х ), _v j +v J /-л -ь (333) u_{x) = u+(x) = y+,(x x+) и, во — вторых, U_(x) U+(x\ X Є (-00,+00) и , ґ ч (3.3.4) I [u+ (x)-u_(x))dx = щ 0. -00
Оператор Г назовем согласованным с парой« и_(х),и+(х), если при некотором М 0для функции x(t), невозрастающей на промежутке [/0; ] из соотношений x(t0) М, x(tx) -М вытекает справедливость равенств y{t) - u+(x(t)). Аналогично, для неубывающей функции x(t), из соотношений x(t0) -M, x{tx) М вытекает равенство y(t) = u_(x(t)). Операторы, соответствующие неидеальному реле, обобщенному люфту с насыщением, преобразователю Прейсаха с финитным носителем меры, является согласованными с некоторыми парами функций.
Теорема 3.3.1 Пусть гистерезисный преобразователь согласован с правильной парой. Тогда для любого 8 0 существует такое єх О, что для любого Б, удовлетворяющего неравенству \є ",, система (3.3.1)- (3.3.2) диссипа тивна.
Доказательство теоремы 3.3.1: Доказательство теоремы проведем для случая, когда гистерезисный преобразователь совпадает с преобразователем Прейсаха с неограниченным носителем меры. Как известно [20] этот преобразователь является континуальным аналогом семейства неидеальных реле, соединенных параллельно. Поэтому его можно сколь угодно точно аппроксими ровать счетным множеством неидеальных реле, а именно, для каждого фиксированного є представить в виде [46] ,=. ,=. (Т41) где у" 0 и \/п y jyfp a ) - Хп +3 где последовательность %п равномерно ; =1 ограничена.
Приведем, сначала, доказательство теоремы для первого ( ? = 1) резонансного значения, тогда уравнения (3.3.1) - (3.3.2) запишутся как x + (l + -cos(20)x = r[/y0]. (Т4.2) Будем искать решения (Т4.2) в виде ряда по степеням є: x(t) = х0 (0 + єх1 (0 +... + є"хп (t) +.... (Т4.3) С учетом начальных условий х(0) = х0, х(0) = х,: х,(0) = 0, , (0) = 0.(/ = 1,2,...«,...). Тогда для нулевого приближения получим со i=i (.14.4) х(0) = х0, x(0)-xv
Его решением будет являться ограниченная на [0,+оо) функция. (Несложно построить область, охватывающую начало координат, в фазовом пространстве этого уравнения, на границе которого векторное поле, определяемое правой частью, будет направлено «внутрь»).
Похожие диссертации на Резонансные свойства детерминированных математических моделей и устойчивость функционирования технических систем с гистерезисными нелинейностями
