Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы математического моделирования контроля автоколебательных процессов и экспериментальные исследования гликолитических автоколебаний 10
1.1. Автоколебательные системы 10
1.2. Математические модели регуляции автоколебательных систем 13
1.3. Гликолитическая реакция и её математические модели 15
1.4. Экспериментальные исследования регуляции гликолиза и их теоретические модели 23
1.5. Выводы и постановка задач математического моделирования регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью 35
Глава 2. Математическое моделирование параметрического контроля динамики систем типа Селькова 36
2.1. Введение 36
2.2. Регуляция автоколебаний периодической вариацией свободного параметра 37
2.3. Анализ автоколебательных режимов системы Селькова с периодическим свободным параметром 41
2.4. Контроль динамики системы с кубической нелинейностью вариацией мультипликативного параметра 50
2.5. Использование формы обобщенного уравнения Рэлея для качественного анализа динамики автоколебаний 53
2.6. Количественный анализ и визуализация регулируемой динамики автоколебаний 57
2.7. Выводы 63
Глава 3. Программные аспекты моделирования контроля динамики автоколебаний и автоволн 65
3.1. Введение 65
3.2. Моделирования автоволнового решения 66
3.3. Анализ влияния пространственной связи на динамику решения системы 70
3.4. Алгоритм анализа распределённой системы 73
3.5. Выводы 76
Глава 4. Практическое применение к моделированию био-химимических автоколебаний и автоволн 81
4.1. Введение 81
4.2. Регуляция гликолитической реакции периодическим вто-ком субстрата 81
4.3. Температурная модель фосфофруктокиназной фазы гли-колитической реакции 83
4.4. Определение коэффициентов диффузии 89
4.5. Выводы 92
Заключение 94
Литература
- Математические модели регуляции автоколебательных систем
- Анализ автоколебательных режимов системы Селькова с периодическим свободным параметром
- Анализ влияния пространственной связи на динамику решения системы
- Температурная модель фосфофруктокиназной фазы гли-колитической реакции
Математические модели регуляции автоколебательных систем
В теории колебательных динамических систем особое место занимают автоколебания, то есть колебания в диссипативных динамических системах, поддерживающиеся за счёт непериодической энергии внешнего источника. При этом параметры автоколебаний определяются самой системой и не зависят от начальных условий.
Схематически любую автоколебательную систему можно представить следующим образом: на систему действует источник внешнего воздействия, которое преобразуется с помощью нелинейного регулятора в переменное. Переменное воздействие приводит в действие колеблющийся элемент. Эти колебания с помощью отрицательной обратной связи управляют работой регулятора, задавая фазу и частоту воздействия. Поступление энергии из внешнего источника компенсирует диссипацию, в результате чего автоколебания не затухают. Таким образом, характеристики автоколебательной системы определяются величиной внешнего воздействия, степенью диссипации энергии, самовозбуждением системы и нелинейностью процесса.
Первую математическую модель нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без внешнего периодического воздей-10 ствия (колебания струн, автоколебательный электромеханический камертон), построил Рэлей. Такие колебания он назвал «поддерживающимися колебаниями» (maintained oscillations) [7]. Термин «автоколебания» был введён в 1928–1929 годах А. А. Андроновым [8], который придал их теории более строгую математическую форму, связав параметры и условия стабильности предельного цикла с критерием отсутствия внутренних резонансов Пуанкаре, а также рассмотрев бифуркации возникновения предельного цикла для случая системы двух уравнений. Впоследствии результаты его работы были обобщены на системы с произвольной размерностью Э. Хопфом [9]. В настоящее время понятие автоколебаний существенно расширено и применяется не только к системам с периодическим решением, но и к динамическим системам, имеющим квазипериодические и хаотические решения.
Известно большое количество автоколебательных процессов: конвективные явления, колебания популяций видов, работа двигателей внутреннего сгорания, действие радиофизических и оптических генераторов, периодические химические и биохимические реакции и др. Математическое моделирование этих систем показало, что, несмотря на то, что многие процессы являются принципиально различными, одни и те же модели часто могут быть применены к системам самой разной природы. Так, например, система Лоренца является моделью одномодового лазера и, кроме того, описывает явление конвекции. Одной из основных моделей анализа различных радиотехнических автоколебаний является уравнение Ван дер Поля, которое сводится к уравнению Рэлея колебания струн путем простой замены переменных. Следствием данной модели стала модель сердцебиений [10], полученная по аналогии с автоколебаниями в генераторе. Позднее была предложена модель, описывающая динамику колебаний нервного волокна, — модель Ходжкина–Хаксли [11], которая затем была упрощена Фитц Хью и Нагумо [12, 13], показавшими, что основные типы поведения мембран нервных клеток могут быть описаны на основе уравнения Бонхёффера–Ван дер Поля.
В настоящее время важное значение для понимания принципов, лежащих в основе клеточных процессов, имеет математическое моделирование автоколебательных процессов в биохимических системах. Первые термокинетические колебания в химических реакциях были зафиксированы Д. А. Франк-Каменецким и И. Е. Сальниковым в тридцатых–соро-ковых годах XX века [14]. А первая чисто химическая автоколебательная реакция была открыта в 1951 году Б. П. Белоусовым (описана в работе [15]) и позднее детально изучена Жаботинским. В 1955 году И. Р. При-гожин, показал, что в открытой системе химические колебания возможны около стационарного состояния, достаточно удаленного от термодинамического равновесия. В 1968 году Пригожин и Лефевр предложили общую математическую модель (брюсселятор), описывающую динамику автоколебаний концентраций промежуточных продуктов некоторой реальной тримолекулярной химической реакции [16].
После этого исследование биохимических автоколебательных систем шло быстрыми темпами (см., например [17]), был предложен ряд моделей автоколебательных процессов. Примерами математических моделей автоколебаний, являются, например, модель колебаний, возникающих в ходе реакции фотосинтеза, описанная в [18], модели гликолитической реакции [19–21], колебаний ионных потоков в митохондриях, модели внутриклеточных биохимических реакций, лежащих в основе биоритмов живых организмов и другие. Обзоры некоторых математических моделей автоколебательных биохимических реакций, а также автоколебательных процессов в целом можно найти в работах [17, 18, 22, 23]. 1.2. Математические модели регуляции автоколебательных систем
Математические модели автоколебательных систем позволяют не только объяснить физическую сущность моделируемых процессов, но и указать способы управления ими путём вариации параметров системы для приведения формы колебаний к некоторой устойчивой форме или к некоторой заданной, обладающей определёнными свойствами (задача программного управления или слежения — tracking), или же методом частотной или частотно-фазовой синхронизации автоколебаний двух и более осцилляторов. Кроме того, контроль автоколебаний может быть направлен на изменение типа аттрактора системы (например, приведение предельного цикла к странному аттрактору, когда управление переводит систему из режима регулярных колебаний в хаотический, и наоборот), возбуждение колебаний, изменение бифуркационных точек или типа бифуркаций и стационарных точек (устойчивых–неустойчивых), оптимизацию колебаний (изменение колебаний с целью достижения максимальной или минимальной величины некоторого показателя функционирования системы).
Один из основных способов контроля автоколебательных систем основан на использовании обратной связи, т.е. зависимости параметров системы от результатов её функционирования. Управление обратной связью лежит в основе работы разнообразных регуляторов (например, регуляторы температуры, давления, стабилизаторы положения движущихся устройств и др.), в клетках живых организмов по принципу обратной связи регулируется огромное число ферментативных реакций, обратная связь объясняет закономерности популяционной динамики и механизм биоритмов. Обзоры, посвященные обратной связи и методам её контро-13
Анализ автоколебательных режимов системы Селькова с периодическим свободным параметром
Однако рассмотренные модели являются достаточно сложными для анализа, что затрудняет поиск аналитической зависимости периода колебаний от температуры, и не объясняют многие важные явления, обнаруженные в экспериментах, описанных в работах [49, 50]. 1.4.2. Влияние втока реагентов на динамику гликолиза
Другой подход к управлению гликолизом связан с тем фактом, что динамика гликолиза существенно зависит от втока необходимых реагентов в область реакции. Такой тип внешнего воздействия на гликолитиче-ские колебания был ранее описан в некоторых экспериментальных работах по биофизике, при этом контроль производился при помощи периодической вариации втока субстрата [71, 72], а также регулярным [59, 71] или стохастическим изменением втока [71]. В этих работах было показано, что различные значения втока, а также его временная динамика приводят к разнообразным колебательным режимам: параметрически зависимым бифуркациям различных типов, захвату гликолитических колебаний периодическим втоком и хаотическим колебаниям.
В эксперименте [71] использовались дрожжи Saccharomyces carlsbergensis [73]. Экстракт дрожжей был разбавлен протеином (средняя плотность протеина в растворе — 50 мг/мл), после чего в экстракт непрерывно добавлялась глюкоза [73]. Периодические изменения скорости втока субстрата индуцировались с помощью внешнеконтролируемой механической системы.
Изменения концентрации НАДН при различных значениях периода периодического втока субстрата показаны на рис. 1.9. В начале каждого эксперимента колебательный режим индуцировался субстратом, поступающим в экстракт дрожжей с постоянной скоростью. Затем вток субстрата становился периодическим, что приводило к почти мгновенному изменению частоты гликолитических колебаний. При различных параметрах периодического втока динамика поведения системы существенно различалась. Так, наблюдался захват колебаний с совпадением частот втока и гликолитических колебаний (рис. 1.9в), захват порядка Рис. 1.9. Волны НАДН-концентрации (верхние графики) в фиксированном в геле экстракте дрожжей при периодическом поступлении глюкозві (нижние графики): а) Т" = 600 с, То = 420 с — режим хаотических колебаний; б) Т" = 160 с, То = 400 с — захват порядка 2 : 1 (Т, = 2Т = 320 с); в) Т = 280 с, Т0 = 320 с — захват порядка 1:1 (Т8 = Т = 280 с); г) V = 1200 с, Т0 = 330 - захват порядка 1:3 [71]
2:1 (рис. 1.96), при котором двум колебаниям глюкозы соответствовало одно колебание концентрации НАДН и отсутствие захвата колебаний (рис. 1.9а). В последнем случае период, амплитуда и фаза колебаний концентрации НАДН оказывались нерегулярными, в отличие от экспериментов, представленных на рис. 1.96,в. Результаты одного из экспериментов, в котором период колебаний втока был существенно больше автономного периода колебаний НАДН, представлен на рис. 1.9г, на котором каждому колебанию втока соответствует ровно три колебания концентрации НАДН. В отличие от захватов колебаний, представленных на рис. 1.96,в, амплитуда и периоды колебаний НАДН в этом случае не равны, однако здесь присутствует захват фаз колебаний. Таблица 1.1. Влияние периодического втока субстрата на гликолитические колебания
Современные экспериментальные исследования стимулировали активное развитие теоретических моделей внешнего контроля реакции путём изменения скорости поступления в реакцию необходимых реагентов [59, 74, 75]. Большинство результатов, объясняющих экспериментальные данные, получено для регулярно возбуждаемых периодических и квазипериодических гликолитических колебаний, возникновение же хаотических колебаний до сих пор мало изучено. В частности, до настоящего времени не проводился анализ областей захвата, обнаруженных в описанных экспериментах из [71], и типов колебаний внутри областей захвата и на их границах. Существующие многокомпонентные модели влияния втока реагентов на динамику гликолиза достаточно сложны, поэтому анализ основных механизмов переходов между различными динамическими режимами вызывает затруднения. 1.5. Выводы и постановка задач математического моделирования регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью
В соответствии со всем вышесказанным целью диссертационной работы является разработка комплекса математических моделей параметрической регуляции автоколебательных динамических систем с кубической нелинейностью, численных методов для их вычислительной реализации и соответствующего программного обеспечения. Для достижения данной цели решались следующие задачи: — анализ существующих механизмов и способов регуляции автоколебательных процессов, а также подходов их математического моделирования. — создание новых моделей параметрической регуляции динамических режимов автоколебаний и автоволн в системах с кубической нелинейностью и разработка качественных (локальная система) и приближённых аналитических (слабосвязанная распределённая система) методов их исследования на примере модификаций уравнений Селькова. — разработка новых численных методов для проведения вычислительного эксперимента при исследовании проблем регуляции автоколебаний в обобщённых системах Селькова с применением современных компьютерных технологий. — реализация предложенных методов в виде программного комплекса и его приложение к исследованию проблем параметрической регуляции в натурных экспериментах, описываемых математическими моделями в виде дифференциальных уравнений с кубической нелинейностью. Глава 2 Математическое моделирование параметрического контроля динамики систем типа Селькова
Математическая модель контроля автоколебаний динамических систем рассмотрена на примере классической системы Селькова с кубической нелинейностью [20], представляющей собой простую систему дифференциальных уравнений двух переменных: где х и у — переменные системы (х 0, у 0), v и w — параметры (у 0, w 0). В зависимости от значений параметров система описывает гармонические или релаксационные колебания, причём стационарная точка системы определяется значениями xs = w2/i , ys = v/w, точка бифуркации Хопфа — v = гюл/ъи .
Рассмотрим основные возможности регуляции решений данной системы, которые могут иметь теоретическое и практическое значения. С этой целью проведём исследование модели регуляции автоколебаний решения модели Селькова с помощью периодически изменяющегося параметра z/, а также проведём анализ теоретической модели Селькова в форме Меркина-Нидхэма-Скотта, которая будет расширена путём добавления контролирующего коэффициента при нелинейном члене. 2.2. Регуляция автоколебаний периодической вариацией свободного параметра
Рассмотрим поведение локальной системы Селькова, считая, что параметр подчиняется гармоническому закону:
/2
() = + sin — , (2.2)
где Q — значение параметра системы Селькова вблизи точки бифуркации Хопфа (Q = 2.78), — амплитуда, а - период колебаний (). При значении = 0 система имеет форму (1) и её решение представляет собой квазигармонические колебания с периодом о 3.3 . Если = 0,
то система принимает вид
f2\ о
— = + sin — — ,
(2.3)
о
— = — .
При дальнейшем моделировании будем считать, что коэффициент постоянен и равен 2.
Рассмотрим зависимость решения системы (2.3) от периода и амплитуды параметра (). Сначала возьмём значение амплитуды = 0.25, а период колебаний будем изменять в диапазоне [0,10] с шагом 0.05.
Вблизи значений периода / = о/, где , Є N, в системе происходит захват колебаний и наблюдаются синхронные колебания порядка : ( колебаний соответствуют колебаниям значений переменных и ). Максимальная ширина области синхронизации наблюдается при о и уменьшается с уменьшением периода колебаний относительно периода автономных колебаний о (рис. 2.1). Таким образом, происходит захват колебаний с периодом s периодическим параметром Рис. 2.1. Области захвата автоколебаний системы (2.3) периодическим параметром с амплитудой = 0.25
() согласно уравнению = . В качестве критерия захвата колебаний порядка : принимается равенство между периодами автоколебаний решений системы и периодами колебаний (), а также устойчивость формы кривой Лиссажу. Области захвата, представленные на рис. 2.1, характеризуются не только захватом частоты колебаний, но и захватом фаз, что видно из рис. 2.2б–д и подтверждается численными расчётами.
Решения системы (2.3), полученные для различных значений амплитуды и периода колебаний параметра , позволяют построить семейство областей синхронизации колебаний переменных системы — так называемые языки Арнольда. Поиск решений системы производился численно, путём изменения значений амплитуды параметра в пределах от 0 до 0.5 с шагом 0.05, а также изменения периода колебаний от 0 до 10 с шагом 0.1. Интервалы захвата колебаний для каждого значения амплитуды были получены на основе численного решения. Затем эти интервалы были объединены в области захвата (языки Арнольда). В результате был получен график, представленный на рис. 2.3. На рис. 2.3 показаны области захвата порядка 1 : 1, 2 : 1, 3 : 1, 1 : 2, 1 : 3.
Анализ влияния пространственной связи на динамику решения системы
Рассмотрим поведение системы (3.1) в случае конечных небольших значений коэффициентов пространственной связи, равных для переменных и . Численное решение системы 3.1 в случае ненулевых значений показывает изменение качественного поведения динамики автоволн при увеличении коэффициентов связи. При этом наблюдаются два основных явления: 1) увеличивается время между появлениями двух последовательных волн; 2) процесс увеличения количества волн останавливается через некоторое определённое время. В табл. 3.1 приведены времена первого появления новой -ой волны.
Для коэффициентов связи 10-5 в течение времени наблюдения функция () может быть приближена в виде линейной для третьей–шестой волн. Объяснение данного явления связано с кинематическим характером возникающих волн, который был описан выше: частота локальных колебаний уменьшается при движении от левой границы моделируемой пространственной области к правой из-за наличия градиента распределения параметра . В связи с этим каждая новая волна слева возникает после одного полного периода колебаний, в то время как справа одно полное колебание ещё не было совершено.
Увеличение коэффициентов пространственной связи приводит к выравниванию периодов колебаний в соседних локальных точках области. Таблица 3.1. Временная зависимость возникновения -ой бегущей волны от коэффициента пространственной связи. В последней колонке представлен характеристический период колебаний в левой (нагретой) части реактора. Звёздочкой помечены волны, которые возникают, но затем исчезают через некоторое время.
В результате этого при D 10-4 поведение функции n(tn) по-прежнему оказывается практически линейным (но с большим углом наклона из-за большего периода колебаний), однако рост функции прекращается после возникновения некоторого конечного числа бегущих волн. Это происходит в момент, когда частоты локальных колебаний сравниваются во всей области. Подтверждением данного факта является увеличение характеристических периодов колебаний в левой части области (последняя колонка в табл. 3.1). Кроме того, такое объяснение подтверждает то, что последняя бегущая волна на интервале пространственной связи D = 3 10-4 - 3 10-3 возникает, но затем исчезает (время возникновения таких волн обозначается звёздочкой в табл. 3.1). Это означает, что процесс быстрого увеличения количества бегущих волн, возникающих из-за локальных колебаний, со временем перекрывается влиянием пространственной связи. Такое поведение проиллюстрировано пространственно-временными графиками, на которых показаны области синхронизации — кластеры (рис. 3.3).
Рассмотренная динамика очень похожа на поведение в реакции Бе-лоусова-Жаботинского в среде со слабой связью между соседними элементами, изученное в работе [85]. Как и в указанной статье, в динамике решения исследуемой математической модели в непроницаемой пространственной области при наличии градиента пространственного распределения параметра /3 наблюдается процесс захвата последовательных колебаний, приводящий к синхронизации фазовых диффузионных волн для достаточно больших значений коэффициента связи.
Тем не менее, в отличие от исследования в [85], где использовался лишь один связывающий параметр, рис. 3.3 позволяет объяснить процесс синхронизации более детально. Взаимодействие между диффузионными процессами и начальной неоднородностью распределения частот локальных колебаний может происходить двумя путями: 1) на рис. 3.3C показан процесс возникновения и роста синхронно колеблющегося кластера, который можно наблюдать слева на рисунке, начиная с момента = 140; 2) на рис. 3.3D коэффициент диффузии слишком большой для того, чтобы смог сформироваться синхронно колеблющийся кластер с чётко выраженными границами: характеристическое время диффузии через рассматриваемую область либо сравнимо со временем движения кинематической волны (как на рис. 3.3D), либо меньше. Таким образом, формирование автоволн в решении системы (3.1) связано с диффузионными эффектами, но выравнивание частот колебаний точек в области моделирования означает, что наблюдаемые волны являются кинематическими, что отличает данный случай от динамики процесса в реакции Белоусова–Жаботинского.
Алгоритм анализа распределённой системы
В связи с особенностями решения предложенной математической модели (3.1) предлагается новый алгоритм решения дифференциальных уравнений в частных производных на временах расчета, меньших времени установления устойчивого режима автоволновых колебаний.
При стандартном численном решении такой системы уравнений, коэффициент играет роль коэффициента связи сопряженных обыкновенных дифференциальных уравнений (см. соответствующий блок на схеме 3.4 слева). При этом на каждом шаге по времени необходимо использовать (и, соответственно, хранить в памяти) как всю координатно-зависимую матрицу связей между узлами для всей пространственной системы, так и «матрицу масс» . Более того, при малых матрица является плохо обусловленной, что отрицательно сказывается на эффективности программы.
Однако выявленное отсутствие существенной зависимости решения от коэффициента связи на временах, меньших характеристического значения , позволяет предложить более эффективный численный метод, основанный на независимом (параллельном) решении дифференциальных уравнений (2.7), локально заданных в каждой пространственной точке (схема 3.4 справа). Таким образом достигаются следующие вычислительные преимущества: в памяти хранится только вектор (а не матрица) текущего временного решения в заданной точке; шаг по времени для которой определяется локально (в силу существенно различной величины темпе-ратурно-зависимых коэффициентов в различных точках пространства), что повышает адаптивность и, соответственно, снижает общую погрешность решения, независимость уравнений позволяет принципиальную реализацию их решений в системе многопроцессорных параллельных (или распределенных вычислений). Финальным этапом является сборка выходной матрицы пространственно-временной динамики решения из индивидуальных векторов временных решений.
Таким образом, общая схема алгоритма, представленная на схеме 3.4, включает в себя обработку начальных параметров моделируемой системы и выбор между двумя описанными алгоритмами в зависимости от соотношения времени моделируемого процесса с харатеристическим временем.
Температурная модель фосфофруктокиназной фазы гли-колитической реакции
Равенство коэффициентов диффузии связано с тем, что значения коэффициентов определяются вязкостью среды и размерами молекул. Размеры АДФ и АТФ практически одинаковые. Другие возможные факторы, которые способны повлиять на значения диффузии (например, взаимодействие с коферментами), оказываются незначительными для рассматриваемого эксперимента, проводимого в плотном геле. Равенство коэффициентов диффузии было также подтверждено в [62] при анализе эксперимента в случае, когда применялись различные граничные условия (в работе рассматривался открытый реактор, однако фиксированный в геле экстракт дрожжей приготавливался так же, как и в исследуемом эксперименте [49]).
Анализ динамики решения системы (3.1) в приложении к экспериментальным исследованиям гликолитической реакции позволяет предложить общий способ определения коэффициентов диффузии реагентов, находящихся в плотной среде, в случае температурно зависимой колебательной химической реакции. Как было показано в п. 3.3, значение коэффициента пространственной связи системы 3.1 влияет на количество формирующихся автоволн и на время их формирования (см. табл. 3.1), что позволяет провести аналогии с экспериментальными данными.
Результаты, представленные в табл. 3.1, показывают преимущества и недостатки метода определения коэффициента диффузии. Численное решение подтверждает, что критерий «число волн, возникающих перед тем, как процесс стабилизируется» оказывается достаточно устойчивым по отношению к изменению коэффициента диффузии в пределах половины порядка величины. Это подтверждается данными, представленными в табл. 3.1: полученные значения показывают момент перехода к установившемуся конечному режиму, а интервалы коэффициентов диффузии в пределах половины порядка всегда соответствуют точно определённому числу волн и времени их возникновения. В то же время, такая стабильность ограничивает точность вычисления коэффициентов диффузии высокого порядка.
Для того чтобы перевести рассматриваемые безразмерные значения диффузии в размерные, сравним периоды гликолитических колебаний в эксперименте [49] при различных температурах (см. рис. 1.5) с соответствующими периодами колебаний (см. рис. 2.10), описываемыми переменными системы (3.1). Соответствующие экспериментальные и теоретические значения периодов представлены в табл. 4.1. Сравнивая эти данные, получим масштабирующий коэффициент /dimensionless = 35 ± 5 мин.
Кроме того, безразмерный интервал [0,1] соответствует диаметру экспериментального реактора 35 мм. Следовательно, размерный коэффициент диффузии, измеряемый в мм2/c, может быть получен путём умножения безразмерных значений коэффициентов диффузии , используемых в модели (3.1), на числовой коэффициент из интервала 0.43 — 0.76.
Таким образом, анализируя экспериментально наблюдаемые бегущие волны на рис. 1.7 и сравнивая с результатами моделирования, пред ставленными на рис. 3.3, заключаем, что коэффициенты диффузии в эксперименте [49] имеют порядок, не превышающий 10-5мм2/c, что хорошо согласуется с определением коэффициента диффузии другими методами [62].
Сравнение результатов численного решения системы Селькова с периодическим втоком с экспериментальными данными показало их качественное сходство. Два из режимов (устойчивые предельные циклы и странные аттракторы) динамического поведения системы были обнаружены экспериментально [71, 72]. Наблюдение же устойчивых двумерных торов затруднено, поскольку область, в которой может наблюдаться такой тип колебаний, имеет очень небольшую ширину. Однако теоретическое подтверждение существования такого типа колебаний может послужить отправной точкой для дальнейших экспериментов.
Применение предложенных в главе 2 математических моделей для интерпретации результатов натурного исследования влияния температуры на динамику гликолитической реакции позволило теоретически объяснить ключевые экспериментально обнаруженные особенности процесса. Так, существование двух точек бифуркации Хопфа в рассмотренной динамической системе (2.7) – (2.8) позволяет объяснить форму экспериментально обнаруженных колебаний [49]. Они определяются как результат последовательного пересечения точки бифуркации, что приводит к затуханию или установлению колебаний. Кроме того, предложенное представление параметрического контроля может быть также использовано для дальнейшего анализа влияния температуры на процессы в других сложных химических и биохимических реакций [58, 92]. Более того, предложенная математическая форма может помочь при планировании экспериментов, связанных с исследованием управления (не только температурного, но и, например, химического) активности ферментов [93] и объяснения полученных результатов.
Хорошее качественное и количественное соответствие между решениями пространственной модели (3.1) для различных значений коэффициента пространственной связи и экспериментально обнаруженными бегущими гликолитическими автоволнами, позволило предложить новый метод экспериментального определения коэффициентов диффузии в плотном геле. Так как ключевые положения основываются на взаимодействии непрерывного распределения частоты и процесса синхронизации, происходящего вследствие слабой диффузионной связи, полученные выводы могут относиться не только к гликолитической реакции. Этот метод может быть применён для определения коэффициентов диффузии в любой химической колебательной реакции с температурно зависимым периодом, протекающей в плотной среде. Помещая такой реактор в температурный градиент и изучая процесс рождения и эволюции бегущих волн, с помощью предложенного метода можно получить данные об интервале, которому принадлежит коэффициент диффузии исследуемой реакции.
Наконец, следует отметить, что недавние исследования [60, 61] выявляют возможность моделирования пространственно-временных структур, обнаруженных в экспериментах, с помощью модели Селькова, а это даёт основание утверждать, что результаты по временным колебаниям, изложенные в данной главе, могут быть обобщены на случай других более сложных структур, являющихся предметом изучения современной биофизики.
