Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гистерезисные преобразователи 10
1.1 Общие сведения о гистерезисных преобразователях 10
1.2 Обобщенный люфт 12
1.3 Неидеальное реле 15
1.4 Преобразователь Прейсаха 18
Глава 2. Оптимальная производственно-ценовая стратегия в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса . 23
2.1 Синтез оптимального управления для одного класса систем с гистерезисными нелинейностями 23
2.2 Гистерезисная модель темпа продаж 28
2.3 Задача о максимизации прибыли на конечном временном интервале 31
2.4 Задача о производстве, потреблении и сбыте товара с гистерезисной функцией спроса. 35
Глава 3. Приближенное построение вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 44
3.1 Линейное звено 44
3.2 Замкнутые системы 46
3.3 Регулярные линейные системы 50
3.4 Постановка задачи и алгоритм нахождения периодических решений систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 54
3.5 Численная реализация, блок-схема, результаты применения приближенного метода построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями 61
Глава 4. Стабилизация обратного положения маятника вертикальными осцилляциями посредством гистерезисного управления 67
4.1. Математическая модель обратного маятника 67
4.2. Стабилизация вертикального положения маятника с осциллирующим подвесом 68
4.3. Зоны устойчивости уравнения Матье 70
4.4. Модель осциллирующего подвеса с гистерезисной нелинейностью 73
4.4 Исследование диссипативности модели движения обратного маятника с гистерезисным управлением 75
Заключение 84
Литература
- Неидеальное реле
- Гистерезисная модель темпа продаж
- Регулярные линейные системы
- Зоны устойчивости уравнения Матье
Введение к работе
Актуальность темы. Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нели-нейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов и многие другие). При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано, так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования из различных предметных областей. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А.Красносельским и А.В.Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов, определенных на достаточно богатом функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов, необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейностями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того, как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация когда в них принципиально не-реализуемы асимптотически устойчивые режимы, более того зоны притяжения устойчивых решений весьма незначительны, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов приближенного построения устойчивых решений систем с гистерезисными нелинейностями, обладающих свойством корректности по отношению к малым возмущениям параметров систем. Из немного числа работ посвященных задачам анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского, B.C. Козякина, А.В. Владимирова, Д.И. Рачинского. Однако в работах этих авторов рассматривались хотя и важные, но частные случаи. Поэтому актуальной является задача разработки методики построения оптимального управления и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры Высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета № г.р. 01200003664.
Цель работы. Разработка численных алгоритмов и аналитических методов анализа функционирования и стабилизации систем с гистерезисными нелинейностями. Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:
построение оптимальной, с точки зрения достижения максимальной прибыли, модели производственно - ценовой стратегии в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в условиях гистерезисной функции спроса;
разработка численного метода и алгоритма приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров устойчивых периодических режимов для класса одноконтурных систем автоматического регулирования с гисте-резисными нелинейностями;
синтез алгоритма программной стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления нижней точкой крепления;
доказательство реализуемости алгоритмов, исследование переходных процессов поведения моделей и свойств приближенных решений;
разработка комплекса программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.
Объекты исследования - системы с носителями гистерезисных явлений.
Предмет исследования - математические модели систем с гистерезисом, алгоритмы, программные методы стабилизации, численные и аналитические методы построения оптимальных переходных процессов в системах с гистерезисом.
Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:
на основе предложенной гистерезисной модели темпа продаж решена задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции;
предложен численный метод приближенного построения корректных по отношению к малым возмущениям параметров вынужденных периодических режимов систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью;
предложен алгоритм стабилизации перевернутого маятника посредством программного управления, отличающийся наличием гистерезисных свойств управляющего воздействия;
- разработан комплекс программ, реализующий алгоритм расчета оптимальных
переходных процессов в задаче о производстве, сбыте и хранении продукции в усло
виях гистерезисной функции спроса. Получены оценки точности приближенных ре
шений.
Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».
Практическая ценность работы. Результаты работы применимы для анализа и оптимизации класса экономических систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Предложенный алгоритм стабилизации перевернутого маятника с гистерезисным управлением может найти применение для аналогичных задач стабилизации механических, электромеханических и других систем с гистерезисными свойствами. В част-
ности, одной из классических задач теории автоматического регулирования является задача построения вынужденных периодических режимов. Предложенный в работе алгоритм позволяет в случае выполнения легко проверяемых условий строить эти режимы. Причем для приближенных решений выполняются дополнительные условия корректности по отношению к малым изменениям параметров систем.
Разработан комплекс программ численного построения оптимального управления и переходных процессов в задаче о производстве сбыте и хранении продукции, построения приближенных периодических режимов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями и алгоритм стабилизации обратного маятника посредствам гистерезисного управления.
На защиту выносятся:
метод оптимизации класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;
метод приближенного построения корректных периодических режимов для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями;
алгоритм, комплекс программ и результаты численных экспериментов стабилизации обратного маятника посредством гистерезисного управления.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XVIII Международный научно-технический семинар, г.Алушта, сентябрь 2009 г.), XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2008 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2008 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, апрель 2009 г.), VIII Всероссийская научно-техническая конференция «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования» (г.Тамбов, апрель 2009г.), Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы качественной теории краевых задач - Понтрягинские чтения» (г.Воронеж, май 2009 - 2010 гг.), CMAS 2009 (International Conference on Computational modeling and Advanced simulations, 30 June - 3 July 2009, Bratislava, Slovak Republic), «Кибернетика и высокие технологии XXI века» (XII международная научно-техническая конференция, г.Воронеж, май 2011 г.), на семинарах кафедры Высшей математики ВГАСУ и кафедры нелинейных колебаний ВГУ за 2008 - 2011 гг..
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в конце автореферата. Из них: 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук».
Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют доказательства утверждений о реализуемости и сходимости предложенных алгоритмов, доказательство корректности и устойчивости неподвижных точек интегральных операторов, являющихся периодическими решениями соответствующих дифференциальных уравнений, разработке метода построения оптимального функционирования для класса систем с гистерезисными нелинейностями.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 92 наименования, изложена на 137 страницах и включает 18 рисунков.
Неидеальное реле
Доказательство теоремы легко следует из принципа сжимающих отображений и свойства 2 гистерезисного преобразователя. Так же несложно показать, что последовательность Xk(t) = [F k,j](t) с любым начальным приближением k0(t) є C(Rn) сходится к решению уравнения (2.8).
Обозначим через X, (t) решение уравнения (2.8), тогда оптимальное управление определяется подстановкой V(t) в (2.7), а переменное состояние x (t), соответствующее оптимальному переходному процессу как решение линейной системы (2.1)-(2.2), в которой управляющее воздействие следует положить равным найденным оптимальным решениям u (t) и v (t). Таким образом, выполнение неравенства (2.9) гарантирует существование и единственность поставленной задачи оптимального управления для рассмотренного одного класса систем с гистерезисными нелинейностями. Рассмотрим один частный случай, когда А Соотношение (2.2) определяют входно-выходные соотношения преобразователя Прейсаха с инверсией 0 и 1. Если носитель меры сосредоточен в треугольнике, выделяемом системой неравенств р а, а 0, (3 а, то для этого преобразователя будут выполнены условия 1) - 5). В этом случае , рассмотренная задача имеет естественную экономическую трактовку -задачи об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции с гистерезисной функцией спроса.
Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении продукции рассматривалась в работах ряда авторов [51], [72], [81], [82], [53], [22] при этом, принципиально важным для решения этой задачи являлся вопрос о выборе (формализации в виде некоторого функционального соотношения) темпа продаж. Для этого необходимо иметь представление о покупательской способности населения, степени его заинтересованности в приобретении данного товара и т.д. В различных работах [51], [53] эта функция выбиралась в виде детерминированной зависимости объема продаж от различных факторов: цены, качества товара, количества произведенного товара, количества товара у потребителя и т.д. Следствием такого выбора явилось то обстоятельство, что внешние параметры однозначно определяли темп продаж во всякий фиксированный момент времени, а это, как показывают многочисленные исследования [53], [22], не всегда верно, т.к. состояние экономической системы в момент времени to зависит не только от значений внешних параметров в этот момент времени, но и от динамики их изменения в прошлом. Это обстоятельство побудило выбрать в качестве модели функции продаж некоторый преобразователь гистерезисного типа учитывающий предысторию изменений внешних параметров и, что еще более важно, инертность покупательского спроса.
Действительно, многими исследователями было отмечено [74], что товары повседневного спроса продолжают покупаться при некотором повышении их цены до определенного предела (различного для разных покупателей). При снижении цены этот товар начинает приобретаться уже при другом (более низком) значении цены.
На первом этапе будем предполагать, то функция продаж P(t) в момент времени зависит от цены c(t) следующим образом. Отношение индивидуального потребителя к некоторому товару определим функцией R(t), принимающей значение 0 (товар не покупается) и 1 (товар покупается) по правилу:
Функцию R(t) удобно трактовать как выход некоторого преобразователя R[a, Д to], и на вход которого поступает сигнал c(t) (f t0). Взаимосвязь между входом и выходом иллюстрирует следующий рисунок. Преобразователь-отношение потребителя к товару Отметим, что введенный преобразователь аналогичен рассмотренному в первой главе преобразователю неидеального реле (с точностью до изменения роли пороговых чисел аир). Перечислим основные свойства преобразователя R[a, Д to]:
Так же как и операторы, соответствующие преобразователю неидеального реле операторы Rfa, Д to] являются разрывными, если их рассматривать как операторы, действующие из С[м] в себя, более того их множество точек разрыва содержит открытые множества пространства С[кЛ. Если обозначить через уг темп покупок z -ro потребителя (i=l,...,n) то для системы из п потребителей функция продаж будет иметь вид P(t)= уЩаь РіЯоь t0]c(t) (2.10)
В задачах связанных с товарами повседневного спроса (приобретаемых достаточно большим количеством потребителей), естественно перейти к континуальному аналогу функции (2.10). Для этого на полуплоскости a fi введем абсолютно непрерывную относительно лебеговой меру у(а,Р) соотношением
Гистерезисная модель темпа продаж
Вопрос о наличии в системах автоматического регулирования устойчивых Т-периодических решений - классическая задача теории управления. Этому вопросу были посвящены работы многих авторов. Достаточно полную библиографию можно найти, например, в [17]. Однако большинство методов приближенного построения вынужденных периодических режимов (таких как метод гармонического баланса, например) ориентированны на системы с обычными функциональными нелинейностями. Основным результатов этой главы является метод приближенного построения вынужденных периодических режимов в системах автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью, а также формулировка условий его реализуемости и анализ свойств полученных этим методом приближенных решений. Доказана корректность решений, полученных предложенным методом, по отношению к малым возмущениям параметров систем.
Ниже приводятся основные определения теории автоматического регулирования где b, с - фиксированные векторы из Rn, а квадратная матрица А имеет собственные значения, совпадающие с нулями многочлена (3.3). Состояниями звена W считают векторы z{t). Выход x(t) линейного звена определяется по его состоянию z(t) равенством (3.6). Одним из возможных способов перехода от уравнения (3.4) к системе (3.5),(3.6) является тот, в котором Важными характеристиками линейного звена W являются его импульсная и импульсно-частотная характеристики. Первая из них определяется равенством: h(t) = (eA b,c) (Г 0). (3.7) Физический смысл импульсной характеристики - реакция линейного звена, находящегося в нулевом состоянии, на единичный импульс. Пусть фиксировано положительное число Т. Импульсно-частотная характеристика H(T,t) линейного звена W определяется как Т-периодическая по t функция, заданная на промежутке [0,Т) равенством где I - единичная матрица размерности п х п. Физический смысл импульсно-частотной характеристики - это Т - периодическая реакция звена на Т - периодическую последовательность единичных входных импульсов. Связь между импульсной и импульсно-частотной характеристикой устанавливается равенством описывают соотношения состояние - выход и вход - состояние гистерезисного преобразователя (Г, ). Здесь / - функционал, определённый на пространстве Q возможных состояний преобразователя (Г,). Т[со0 ]: x(t) —» 0){t) - однозначный оператор, зависящий от начального состояния со0єО. как от параметра и ставящий в соответствие каждому допустимому входу x(t)переменное состояние co(t) єО. В частности, соотношения (3.12), (3.13) могут описывать динамику соотношений вход-состояние и состояние-выход преобразователя Прейсаха (в этом случае эти соотношения тождественны (1.36), (1.37)) или многомерного или обобщенного люфта (в первом случае QeRn, а /- произвольный положительный на К+ линейный функционал, где К+ конус векторов из
Rn с неотрицательными компонентами, во втором - совпадает с переменными состояниями). Предполагается, что пространство Г2 возможных состояний преобразователя (Г, ) не зависит от времени /. Будем считать, что преобразователь (Г,) обладает следующими свойствами. Свойство 1. Пространство Q снабжено метрикой р и оператор Т[со0] при каждом фиксированном начальном состоянии а 0 удовлетворяет условию Липшица по входам
Свойство 2. Допустим для преобразователя (Г,), находящегося в начальном состоянии а 0 є Q , являются все непрерывные входы u(t) (/ 0), удовлетворяющие соотношению и(0) є Ф((р(со)), где Ф - полунепрерывное сверху отображение М М аф- фиксированный функционал: Q — R1. Свойство 3. Для любого допустимого входа м(т)еС[0(] переменное состояние о)(т) преобразователя (Г, ) непрерывно зависит от х. Свойство 4. Функционал / удовлетворяет условию Липшица: \1(со2)-1(со1)\ Яр(со1,со2), (к 0). Вернёмся к системе, изображённой нарис. 3.2. Её динамика описывается следующей системой
Здесь, как и ранее, z(/)- вектор-функция со значениями в Rn, А-постоянная матрица размерности п х п, b и с - фиксированные векторы из Rn, функция f(t,x, ;) - предполагается гладкой и Т-периодической по первому аргументу. Уравнения (3.23), (3.24) описывают динамику гистерезисного преобразователя (Г,), обладающего свойствами 1-4.
Решением системы (3.20)-(3.24) является удовлетворяющая ей непрерывная вектор-функция {z(t),co(t)} со значениями в RnxQ, первая компонента которой абсолютно непрерывна. В сделанных предположениях относительно гладкости функции f(t,x,%) и свойств гистерезисного преобразователя (Г, ) индивидуальное решение {z(t),co(t)} системы (3.20)-(3.24) в силу теоремы 2.3 выделяется заданием начальных данных:
Регулярные линейные системы
Рассмотрим математический маятник, представляющий собой твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, причем центр его тяжести расположен выше свободно двигающейся вдоль вертикальной оси точка подвеса. Такой маятник, называется перевернутым (обратным) маятником с осциллирующим подвесом (рис.4.1).
Модель вертикального маятника с осциллирующим подвесом Напишем уравнение для общего случая движения рассматриваемого типа математического маятника. Если, как показано на рис.4.1, обозначить угол между стержнем и осью у через (р, то координаты массы маятника х и у будут определяться соотношениями х = 1$т((р), у - fit) + cos( p) (4.1) где / - длина маятника, а /(/) представляет расстояние (вдоль оси у ), точки подвеса маятника от начала координат 0. Проекции сил, действующих на массу т по осям х и у, обозначим через Fx и Fy:
Стабилизация вертикального положения маятника с осциллирующим подвесом
Уже давно полностью изучены колебания маятника с неподвижной точкой подвеса, совершающиеся под действием силы тяжести. Среда, в которой происходят колебания, может, как не оказывать совершенно никакого сопротивления движению маятника (вакуум), так и препятствовать ему (газ, жидкость). В первом случае колебания, сохраняя неизменными амплитуду и частоту, могут продолжаться бесконечно долго; во втором случае колебания являются затухающими и практически по истечении какого-то промежутка времени прекращаются. Во всех рассматриваемых случаях нижнее положение маятника является устойчивым, а верхнее положение - неустойчивым. Новой вехой в исследовании колебаний маятника стало изучение маятника, точка подвеса которого сама совершает колебания малой амплитуды, но высокой частоты, т.е. с вертикально вибрирующей точкой подвеса. Оказалось, что под действием вибрации точки подвеса нижнее положение равновесия (устойчивое для обычного маятника) может стать неустойчивым, зато верхнее положение равновесия (неустойчивое для обычного маятника) может превратиться в устойчивое.
В 1908 году Стефенсон [90], [91] показал, что верхнее состояние равновесия маятника можно сделать устойчивым, если точка подвеса будет гармонически двигаться по закону f(t) = -acos(cot).
При достаточно больших значениях частоты со и малых значениях амплитуды а осцилляции, приведенный в перевернутое положение маятник не обнаруживает тенденции к опрокидыванию. Более того, при умеренных отклонениях от вертикали маятник стремится к этому перевернутому положению. Если маятник отклонить от вертикали, он будет совершать сравнительно медленные колебания около перевернутого положения на фоне быстрых осцилляции подвеса.
Физическое объяснение динамической стабилизации перевернутого маятника было предложено академиком П.Л. Капицей в 1951 году, выполнившим также и детальное экспериментальное исследование этого явления [25], [26].
Что примечательно еще в 1950 году появилась работа Н. Н. Боголюбова [12], которая стала известна только после выхода книги [13] в 1962 году. В этой работе задача об устойчивости верхнего состояния равновесия маятника с вибрирующим подвесом была решена строго с помощью метода усреднения. При помощи двух различных методов П.Л. Капица и Н.Н. Боголюбов пришли к одной и той же оценке снизу частоты вибрации s при которой верхнее положение становится устойчивым:
Более точные соотношения для подбора необходимого режима колебаний точки опоры, были получены при исследовании диаграммы устойчивости уравнения Матье, которое представляет собой уравнение линейного осциллятора с гармоническим параметрическим возбуждением [24], [27].
В силу предполагаемой малости угла отклонения от вертикального положения маятника можно предположить sin( )» (р. После такой линеаризации можно заметить, что уравнение (4.6) легко приводиться к частному случаю уравнения Хилла - уравнению Матье:
Характеристические показатели ju уравнения Матье (4.8), определяющие устойчивость (или неустойчивость) его решения, зависят исключительно от величин Я и у и не зависят от начальных условий. Поэтому по каждой паре значений X и у можно установить, будет ли со ответствующее решение устойчивым или неустойчивым, т. е. в плоскости Л и у можно построить области устойчивости и неустойчивости. Такая диаграмма устойчивости, рассчитанная Айнсом и Стреттом, приведена на рис. 4.2.
Выделенные штриховкой области устойчивости и не заштрихованные области неустойчивости отделяются одна от другой граничной линией, точки которой соответствуют периодическому решению. Заметим, что в рассматриваемой задаче X и у принимают только отрицательные значения, поэтому, так как диаграмма симметрична относительно оси X будем рассматривать область устойчивости в отрицательной полуплоскости параметра X и положительной полуплоскости параметра у.
Интерес представляет лишь непосредственно окрестность нулевой точки х = у = 0 (рис 4.2), потому что движение точки подвеса осуществляется с малой амплитудой а «: / и большой частотой осцилляции, относительно собственной частоты колебаний маятника со0 «: со.
Зоны устойчивости уравнения Матье
Из рис. 4.7 получаем, что при заданных амплитуде и частоте колебаний подвеса раствор цилиндра можно увеличить до dmm = 0,165, уменьшая радиус окресности \ р0\ rmin, rmin - 0 уравнение движения будет оставаться диссипативно. Таким образом очевидна обратно пропорциональная зависимость параметров г и d обеспечивающих диссипативность при неизменных амплитуде и частоте.
Так же отметим, что при заданном параметре г, параметр d ограничивающий длину цилиндра при котором уравнение (4.15) диссипативно можно увеличить за счет увеличения частоты колебаний подвеса. Для этого рассмотрим случай уравнения движения маятника с теми же амплиудой и частотой, но с начальным условием % = 0,569 близким к максимально возможному отклонению г = 0,57, получим что максимальная длина раствора цилиндра, не нарушающая диссипативность уравнения равна Я = 0,03 (рис 4.5). В силу обратно пропорциональной зависимости параметра б/от г, значение 0,030 является оценкой снизу параметр d для всех возможных г удовлетворяющих диссипативности уравнения (4.15). A)
Увеличив частоту колебаний на небольшую величину до со = 34,49 получим решения уравнения (4.15) и при длине цилиндра останутся равномерно ограниченные.
Можно увеличить и оценку снизу максимально возможного раствора цилиндра, при котором решения уравнения движения маятника с подвесом, двигающимся по периодическому закону с гистерезиснои нелинейностью будут равномерно ограниченны. Так например при частоте со = 50Л/ и параметре d = 0,1 уравнение будет диссипативным при всех возможных оценках параметра г рис(4.7).
Перечислим основные результаты работы: для класса моделей систем описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями получены условия, обеспечивающие их оптимальное в смысле максимизации функционала, зависящего от фазовых переменных, функционирование. Как частный случай, решена задача об оптимизации производственно-ценовой стратегии в условиях гистерезисной функции спроса.
Для класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью и периодическим внешним воздействием получим условие обеспечивающее существование периодических режимов, обладающих свойством корректности по отношению к малым изменениям параметров систем. Предложен алгоритм их приближенного построения, доказана его реализуемость и сходимость. Исследованы свойства приближенных решений - получены оценки близости к точным решениям.
Экспериментально установлена возможность стабилизации верхнего положения обратного маятника посредствам гистерезисного управления нижней точкой крепления. Так же были получены оценки констант, обеспечивающих диссипативность, установлена их обратно пропорциональная зависимость, и зависимость максимально возможной длины раствора цилиндра от частоты колебаний подвеса. Все результаты подтверждены иллюстрациями.
Разработан комплекс программ для приближенного построения оптимальных переходных процессов в задаче об оптимальном производстве сбыте и хранении в условиях гистерезисной функции спроса (ПРИЛОЖЕНИЕ 1). А так же скрипт для численного решения системы, описывающей движение математического маятника с осциллирующим подвесом и гистерезисной нелинейностью и построения соответствующих графиков (ПРИЛОЖЕНИЕ 2). Результаты данной работы могут быть использованы для моделирования, оптимизации и стабилизации систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с нелинейностями гистерезисной природы.
