Содержание к диссертации
Введение
1. Асимптотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях 10
1.1. Абсолютно равномерно ограниченные решения 11
1.2. Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений 14
1.3. Абсолютно равномерная устойчивость решений 18
1.4. Метод возмущений 21
1.5. Асимптотическое равновесие на конечном промежутке
1.6. Примеры и приложения
2. Метод сравнения и синтез управления 44
2.1 Синтез управлений для линейных систем 45
2.2. Синтез управлений для систем, близких к линейным 53
2.3. Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью 58
3. Стабилизация программных движений 62
3.1. Существование программных движений на полуоси 63
3.2. Существование программных движений на компакте 81
3.3. Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства 91
3.4. Постановка задачи стабилизации программного движения 94
3.5. Стабилизация программного движения 101
3.6. Стабилизация программных движений в механических системах 105
Литература 118
- Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений
- Асимптотическое равновесие на конечном промежутке
- Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью
- Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства
Введение к работе
16^3 \
Актуальность темы. Математическое моделирование на стабилизацию программного движения является наиболее актуальной частью кибернетики. Здесь основные трудности заложены в самой модели. Первая задача — построение программного движения, вторая — его стабилизация, третья — выбор самой выгодной стабилизации, которая называется оптимальной. Как правило, в реальном моделировании все эти задачи являются математическими, и их предварительно необходимо тщательно анализировать на предмет принадлежности к исследованным классам. Типичный здесь случай, когда необходимы новые дополнительные исследования, которые, как правило, приводят к новым методам исследования. Например, важнейшие задачи механики моделируются как математические задачи в смысле классического определения, сформулированного Н.Н. Кра-совским, В.И. Зубовым и другими. Здесь программное движение - конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением. На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть К0 — множество стабилизирующих допустимых управлений — К0 С К. На множестве Kg рассматривается функционал качества J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление щ, которое доставляет минимум функционалу J(x, и), и Є Kq. В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения to — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, Н.Н. Красовскому [9], В.И. Зубову [8], В.М. Мат-росову [10] и другим. Основной вклад-здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации.
Однако, моделирование задач стабилизации рынка, небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизиро-вать, вкладывая в понятия „стабилизация", ,,оптимал^н'Тга|5Щ|Й№Й
БИБЛИОТЕКА СЛетербирГ
оэ зоо5»1
новый смысл.
В связи с этим, представляется весьма актуальной задача оптимальной стабилизации в указанном смысле и методы ее решения.
Цель работы. Исследовать абсолютно равномерную устойчивость решений уравнений движения. При этом необходимо изложить теорию абсолютно равномерной устойчивости решений так, чтобы она содержала в себе изложение следующих вопросов.
1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной огра
ниченности решений.
2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно
ограниченные решения. Здесь необходимо расширение известной класси
фикации Иошизавы. J
-
Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения.
-
Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси. *
-
Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+00, х0).
После решения задач в выше указанных пунктах, необходимо изучить свойства абсолютно равномерно устойчивых решений в применении к задаче стабилизации программного движения, при этом требуется следующее.
-
Исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости.
-
Определить понятие стабилизации программного движения в смысле абсолютно равномерной устойчивости решений соответствующих уравнений движения.
-
Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. 1
-
Дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления.
10) Показать эффективность нового метода при решении конкретных
задач математического моделирования.
Методика исследований основана на применении метода сравнения и методов Ляпунова к возмущенным системам дифференциальных уравнений, в основе которого лежат дифференциальные неравенства Важевского. Уравнение сравнения — скалярное или векторное уравнение, асимптотические свойства решений которого известны.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
Продолжено исследование абсолютно равномерной устойчивости решений и ее приложений в теории управления, которое в себя включает елс-
дующее.
-
Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений.
-
Выделен класс уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения.
-
Решена задача о существовании асимптотического равновесия на конечном промежутке.
-
Исследована непрерывная зависимость решения от начальных данных на полуоси.
5) Решена задача Коши с сингулярными начальными данными (+оо, xq).
Ь 6) Исследован вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолют
но равномерной устойчивости.
7) Определено понятие стабилизации программного движения в смыс
ле абсолютно равномерной устойчивости решений соответствующих урав-
нений движения.
-
Получены теоремы для исследования задачи о стабилизации.
-
Дано строгое определение оптимальной стабилизации, доказана теорема существования и построен метод нахождения оптимального допустимого управления.
10) Показана эффективность нового метода при решении конкретных
задач математического моделирования: задачи стабилизации рынка и за
дачи построения стабилизации программного движения для механической
системы.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический ха
рактер, но все полученные результаты имеют прикладное значение в эконо
мике, механике и т. д. Они могут быть применены к исследованию любой
: математической модели, описывающей физические процессы или состоя-
ние производства в экономике, если эта модель сводится к управляемой за бесконечное время системе дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и
» обсуждались на научном семинаре Среднсволжского математического об-
щества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (Саранск 2002-2003 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск 2003 г.), на XIII межвузовской конференции (Самара 2003 г.), на Международной научной школе „Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск 2003 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [11-14].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 122 страницы, 2 рисунка, список литературы содержит 48 наименований.
Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений
Математическое моделирование на стабилизацию программного движения является наиболее актуальной частью кибернетики [1, 2]. Здесь основные трудности заложены в самой модели [3, 32, 33, 37]. Первая задача — построение программного движения [19, 20], вторая — его стабилизация [16, 18], третья — выбор самой выгодной стабилизации, которая называется оптимальной. Как правило, в реальном моделировании все эти задачи являются математическими, и их предварительно необходимо тщательно анализировать на предмет принадлежности к исследованным классам [37]. Типичный здесь случай, — когда необходимы новые дополнительные исследования, которые, как правило, приводят фактически к новым методам решения. Например, важнейшие задачи механики [35, 36] моделируются как математические задачи в смысле классического определения, сформулированного Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым и другими. Здесь программное движение — конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением. На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть Ко — множество стабилизирующих допустимых управлений — Ко С К. На множестве Ко рассматривается функционал качества [35] J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление щ, которое доставляет минимум функционалу J(x,u), и Є Ко. В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения t0 — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, Н.Н. Красовскому [22, 27], В.И. Зубову [19, 24], В.М. Матросову [28, 29] и другим. Основной вклад здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации.
Однако, моделирование задач стабилизации рынка [23, 36, 37, 47], небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл [13]. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса [11, 23] устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью [11, 12]. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизировать, вкладывая в понятия „стабилизация", „оптимальная стабилизация", новый смысл. Прежде чем формулировать задачу с новым понятием устойчивости, необходимо изучить асимптотические свойства движений. Точнее, написать теорию абсолютно равномерной устойчивости решений, куда входили бы: 1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений. 2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения. Здесь необходимо расширение классификации Ио-шизавы [48]. 3) Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения. 4) Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси. 5) Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+00, хо). Только после решения задач 1) —5) перейти к точному определению абсолютно равномерной устойчивости решения. Здесь, следуя традициям, необходимо исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости. Затем нужно приступить к понятию стабилизации программного движения в новом смысле. Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. Наконец, дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления. Только после решения всех выше перечисленных задач, эффективность нового метода надо показать при решении конкретных задач математического моделирования. Именно по такому плану написана настоящая диссертационная работа, к изложению структуры и содержания которой сейчас переходим. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. В первой главе, которая называется „Асимтотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях" и состоит из шести параграфов, изучаются свойства абсолютно равномерно ограниченных [14, 43], абсолютно равномерно устойчивых [12] решений уравнений и их связь со свойствами устойчивости решений в классическом смысле [18, 27]. Первый параграф первой главы называется „Абсолютно равномерно ограниченные решения". В нем решаются задачи существования и един ственности решений задачи Коши с сингулярными начальными данными (+ОО,:ЕО). В этом же параграфе приведены достаточные условия существования асимптотического равновесия во всем пространстве Мп [14] и для ограниченного множества пространства Шп [14]. Второй параграф носит название „Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений" и содержит критерии абсолютно равномерно ограниченных решений с использованием функций Ляпунова [14], вектор-функций Ляпунова [14, 29] для решений, которые могут начинаться в любой точке пространства, так и для решений, начинающихся в любой точке некоторого шара. Здесь же приведены теоремы об асимптотическом равновесии с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова.
Асимптотическое равновесие на конечном промежутке
Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+00, хо). Только после решения задач 1) —5) перейти к точному определению абсолютно равномерной устойчивости решения. Здесь, следуя традициям, необходимо исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости. Затем нужно приступить к понятию стабилизации программного движения в новом смысле. Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. Наконец, дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления. Только после решения всех выше перечисленных задач, эффективность нового метода надо показать при решении конкретных задач математического моделирования. Именно по такому плану написана настоящая диссертационная работа, к изложению структуры и содержания которой сейчас переходим.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. В первой главе, которая называется „Асимтотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях" и состоит из шести параграфов, изучаются свойства абсолютно равномерно ограниченных [14, 43], абсолютно равномерно устойчивых [12] решений уравнений и их связь со свойствами устойчивости решений в классическом смысле [18, 27].
Первый параграф первой главы называется „Абсолютно равномерно ограниченные решения". В нем решаются задачи существования и единственности решений задачи Коши с сингулярными начальными данными (+ОО,:ЕО). В этом же параграфе приведены достаточные условия существования асимптотического равновесия во всем пространстве Мп [14] и для ограниченного множества пространства Шп [14].
Второй параграф носит название „Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений" и содержит критерии абсолютно равномерно ограниченных решений с использованием функций Ляпунова [14], вектор-функций Ляпунова [14, 29] для решений, которые могут начинаться в любой точке пространства, так и для решений, начинающихся в любой точке некоторого шара. Здесь же приведены теоремы об асимптотическом равновесии с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова.
В третьем параграфе, который называется ,Дбсолютно равномерная устойчивость решений", доказаны условия существования абсолютно равномерной устойчивости [34] и изучен вопрос взаимодействия этого понятия с понятием устойчивости в классическом смысле. В этом параграфе рассмотрен вопрос об абсолютно равномерной устойчивости автономных уравнений, решена задача приводимости [17] уравнения —- = f(t,x) к dy п уравнению — = 0. at Метод возмущений" — так называется четвертый параграф первой главы, — в котором рассматривается этот метод [44, 46] для свойства асимптотического равновесия, строятся функции Ляпунова для уравнения сравнения [11], прослежена связь понятий: абсолютно равномерной ограниченности решений [14], асимптотического равновесия [14, 44], абсолютно равномерной устойчивости решений [14, 45]. Пятый параграф называется „Асимптотическое равновесие на конечном промежутке". В нем приведены результаты, позволяющие установить наличие ш— периодических решений [14] при асимптотическом равновесии на конечном промежутке [14]. Здесь же показано применение этих результатов к решению задачи существования периодических решений возмущенных дифференциальных уравнений [14]. В шестом параграфе, который назван „Примеры и приложения", рассмотрены примеры решения задач об устойчивости движения методами, изложенными в первых пяти параграфах. Здесь же указан метод построения функции Ляпунова для уравнений сравнения [14]. Во второй главе, которая называется „Метод сравнения и синтез управления" и состоит из трех параграфов, приводятся методы построения управления с обратной связью [38]-[41] для различных систем. Первый параграф второй главы называется „Синтез управлений для линейных систем", содержит формулы для построения управлений с обратной связью для линейных систем [10, 14]. Второй параграф содержит формулы для построения управлений с обратной связью для систем, близких к линейным [14], то есть систем типа Липшица [14]. Параграф называется „Синтез управлений для систем, близких к линейным". Здесь же приведены примеры построения управлений для систем указанного типа. „Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью" — так назван третий параграф второй главы. В нем приведен алгоритм построения управления с обратной связью с помощью последовательных приближений [38]-[41]. Приведено построение такого управления с помощью этого алгоритма для конкретного уравнения. Третья глава называется „Стабилизация программных движений" и состоит из шести параграфов. Она посвящена изучению управляемости [14] и стабилизации программных движений [13, 14]. В ней рассмотрены конкретные задачи, для решения которых применяются все результаты, полученные в первых двух главах. Первый параграф третьей главы — „Существование программных движений на полуоси" — содержит результаты, позволяющие строить программные движения на полуоси [14] для систем, асимптотически эквивалентных по Брауэру [14]. В этом же параграфе рассмотрены вопросы управляемости за бесконечное время [18], приведены примеры построения программных движений [42].
Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью
Первый параграф второй главы называется „Синтез управлений для линейных систем", содержит формулы для построения управлений с обратной связью для линейных систем [10, 14].
Второй параграф содержит формулы для построения управлений с обратной связью для систем, близких к линейным [14], то есть систем типа Липшица [14]. Параграф называется „Синтез управлений для систем, близких к линейным". Здесь же приведены примеры построения управлений для систем указанного типа.
Метод последовательных приближений для построения управления с обратной связью" — так назван третий параграф второй главы. В нем приведен алгоритм построения управления с обратной связью с помощью последовательных приближений [38]-[41]. Приведено построение такого управления с помощью этого алгоритма для конкретного уравнения.
Третья глава называется „Стабилизация программных движений" и состоит из шести параграфов. Она посвящена изучению управляемости [14] и стабилизации программных движений [13, 14]. В ней рассмотрены конкретные задачи, для решения которых применяются все результаты, полученные в первых двух главах.
Первый параграф третьей главы — „Существование программных движений на полуоси" — содержит результаты, позволяющие строить программные движения на полуоси [14] для систем, асимптотически эквивалентных по Брауэру [14]. В этом же параграфе рассмотрены вопросы управляемости за бесконечное время [18], приведены примеры построения программных движений [42]. Отметим, что задача управляемости за беско dx нечное время для системы — = A(t)x Л- B{t)u + /(, х, и) решалась в [14]. Там же получены условия, при которых можно перевести произвольную точку из Rn в одну и ту же фиксированную точку у за бесконечное время. Однако, эти условия можно ослабить. Поэтому справедлива теорема С соответствующими уточнениями сформулированы и другие известные результаты [14], доказательства которых переносятся на эти случаи без изменения общей идеи. Рассмотрен случай управляемости для систем, имеющих функцию / типа Липшица в нуле [14]. Здесь же показан способ применения метода последовательных приближений для нахождения управления с обратной связью. Во втором параграфе третьей главы рассмотрена управляемость и построение программного движения за конечное время [14,18]. Поэтому параграф назван „Существование программных движений на компакте". Здесь же приведены построения программных движений за конечное время для конкретных уравнений движения [18]. Третий параграф — „Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства" [23, 36]. В этом параграфе еще раз показано использование принципа сравнения [9, 29] для исследования стабилизации рыночных цен производства [23, 25, 36]. Рассмотрен случай, когда решение уравнения динамики цен в модели Вальраса [36] является абсолютно равномерно устойчивым, что подчеркивает необходимость введения нового понятия стабилизации программного движения [13]. Это обосновывает и характеризует содержание четвертого параграфа: „Постановка задачи стабилизации программного движения". В нем обосновывается и дается точная формулировка задачи качественной стабилизации программного движения [19, Требуется найти такое допустимое управление и Є KQ, которое доставляет минимум функционалу J в классе К при фиксированном 5. Пятый параграф — „Стабилизация программного движения" — содержит результаты, позволяющие решить задачу качественной стабилизации программного движения [19] для уравнений движения, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения [13]. Основным результатом этого параграфа можно считать теорему 3.5.3: Теорема. Задача оптимальной стабилизации, задаваемая уравнением Возможно применение принципа максимума [30, 31] по следующей схеме. Пусть и Є KQ и при всех и Є KQ выполняются условия принципа максимума. В случае когда KQ конечно, то сравнивая значения функционала J на этих управлениях, можно выбрать оптимальное управление. В этом параграфе результаты применены к уравнениям, описывающим динамику цен производства в модели Вальраса. В шестом параграфе третьей главы, который называется „Стабилизация программных движений в механических системах", результаты всей теории, изложенной в предыдущих параграфах, применены к движениям механических систем, описываемым уравнениями Лагранжа [35] После этого вся теория, изложенная в предыдущих главах начинает работать для этой системы по части компонент, соответствующим обобщенным координатам q.
В заключение теория применена к конкретной механической системе — гироскопическому маятнику [11]. В данном случае прослеживается тактика решения задачи стабилизации программного движения механической системы.
Модель Вальраса и стабилизация рыночных отношений производства
Здесь программное движение — конкретное решение дифференциального уравнения при фиксированном допустимом управлении. Затем в классе допустимых управлений К ищется такое управление, при котором программное движение является устойчивым в каком-либо смысле решением.
На этом этапе программное движение стабилизировано. Однозначно, как правило, эта задача не решается. Пусть Ко — множество стабилизирующих допустимых управлений — Ко С К. На множестве Ко рассматривается функционал качества [35] J(x,u), х — решение уравнения движения, соответствующее допустимому управлению и. Оптимальным управлением является то управление щ, которое доставляет минимум функционалу J(x,u), и Є Ко. В этом определении устойчивость программного движения, чаще всего, является асимптотической, и начальный момент движения t0 — фиксирован. В точной постановке задачи стабилизации программного движения классические результаты принадлежат, прежде всего, Н.Н. Красовскому [22, 27], В.И. Зубову [19, 24], В.М. Матросову [28, 29] и другим. Основной вклад здесь внесла Российская математическая школа, которая, базируясь на теории Ляпунова, создала фундаментальную науку об устойчивости и оптимальной стабилизации. Однако, моделирование задач стабилизации рынка [23, 36, 37, 47], небесной механики и других, обнаружило, что не всегда классическое определение стабилизации программного движения имеет смысл [13]. Например, некоторые задачи об эволюции цен в модели Вальраса [11, 23] устойчивость программного движения не может быть асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова. Более того, движения могут иметь различные начальные моменты. Так появился новый вид устойчивости, который был назван абсолютно равномерной устойчивостью [11, 12]. Новое определение стабилизации повлекло к новому определению оптимальной стабилизации. Однако, идея оптимальной стабилизации осталась прежней: программное движение надо оптимально стабилизировать, вкладывая в понятия „стабилизация", „оптимальная стабилизация", новый смысл. Прежде чем формулировать задачу с новым понятием устойчивости, необходимо изучить асимптотические свойства движений. Точнее, написать теорию абсолютно равномерной устойчивости решений, куда входили бы: 1) Необходимые и достаточные условия абсолютно равномерной ограниченности решений. 2) Выделение классов уравнений, имеющих абсолютно равномерно ограниченные решения. Здесь необходимо расширение классификации Ио-шизавы [48]. 3) Решение задачи о существовании аттракторов для дифференциальных уравнений движения. 4) Решение задачи о непрерывной зависимости решения от начальных данных на полуоси. 5) Решение задачи Коши с сингулярными начальными данными (+00, хо). Только после решения задач 1) —5) перейти к точному определению абсолютно равномерной устойчивости решения. Здесь, следуя традициям, необходимо исследовать вопрос о необходимых и достаточных условиях абсолютно равномерной устойчивости. Затем нужно приступить к понятию стабилизации программного движения в новом смысле. Получить эффективные теоремы для исследования задачи о стабилизации. Наконец, дать строгое определение оптимальной стабилизации, доказать теорему существования и построить метод нахождения оптимального допустимого управления. Только после решения всех выше перечисленных задач, эффективность нового метода надо показать при решении конкретных задач математического моделирования. Именно по такому плану написана настоящая диссертационная работа, к изложению структуры и содержания которой сейчас переходим.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. В первой главе, которая называется „Асимтотика и устойчивость решений уравнений в математических моделях" и состоит из шести параграфов, изучаются свойства абсолютно равномерно ограниченных [14, 43], абсолютно равномерно устойчивых [12] решений уравнений и их связь со свойствами устойчивости решений в классическом смысле [18, 27]. Первый параграф первой главы называется „Абсолютно равномерно ограниченные решения". В нем решаются задачи существования и един-ственности решений задачи Коши с сингулярными начальными данными (+ОО,:ЕО). В этом же параграфе приведены достаточные условия существования асимптотического равновесия во всем пространстве Мп [14] и для ограниченного множества пространства Шп [14]. Второй параграф носит название „Прямой метод Ляпунова и существование абсолютно равномерно ограниченных решений" и содержит критерии абсолютно равномерно ограниченных решений с использованием функций Ляпунова [14], вектор-функций Ляпунова [14, 29] для решений, которые могут начинаться в любой точке пространства, так и для решений, начинающихся в любой точке некоторого шара. Здесь же приведены теоремы об асимптотическом равновесии с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова. В третьем параграфе, который называется ,Дбсолютно равномерная устойчивость решений", доказаны условия существования абсолютно равномерной устойчивости [34] и изучен вопрос взаимодействия этого понятия с понятием устойчивости в классическом смысле. В этом параграфе рассмотрен вопрос об абсолютно равномерной устойчивости автономных уравнений, решена задача приводимости [17] уравнения —- = f(t,x) к dy п уравнению — = 0. at „Метод возмущений" — так называется четвертый параграф первой главы, — в котором рассматривается этот метод [44, 46] для свойства асимптотического равновесия, строятся функции Ляпунова для уравнения сравнения [11], прослежена связь понятий: абсолютно равномерной ограниченности решений [14], асимптотического равновесия [14, 44], абсолютно равномерной устойчивости решений [14, 45]. Пятый параграф называется „Асимптотическое равновесие на конечном промежутке". В нем приведены результаты, позволяющие установить наличие ш— периодических решений [14] при асимптотическом равновесии на конечном промежутке [14]. Здесь же показано применение этих результатов к решению задачи существования периодических решений возмущенных дифференциальных уравнений [14]. В шестом параграфе, который назван „Примеры и приложения", рассмотрены примеры решения задач об устойчивости движения методами, изложенными в первых пяти параграфах. Здесь же указан метод построения функции Ляпунова для уравнений сравнения [14].
