Содержание к диссертации
Введение
1. Математические модели динамики в центральных силовых полях 16
1.1 Уравнение движения точки в центральном силовом поле 16
1.2 Центральные силовые потенциалы
1.2.1 Потенциалы Ньютона, Кулона, Гука, Юкавы 20
1.2.2 Сферически симметрично распределенные массы и заряды 20
1.3 Решение уравнений движения в центральном поле 24
1.3.1 Общая схема решения уравнений движения 25
1.3.2 Решение ньютоновской задачи двух тел 25
1.4 Построение моделей движения материальной точки в центральном поле с возмущением классическим методом p -го порядка точности 26
1.4.1 Новый метод решения уравнений в вариациях для центральных полей 27
1.4.2 Новая схема реализации классического метода возмущений 31
2. Метод дополнительных переменных: новые алгоритмы 34
2.1 Дифференциальные уравнения, классы функций и библиотеки 35
2.2 Библиотеки функций и дифференциальных уравнений
2.2.1 Библиотека программы “AVM” 38
2.2.2 Примеры библиотек 40
2.3 Основы метода дополнительных переменных 42
2.3.1 Метод дополнительных переменных для полных систем 44
2.3.2 Метод дополнительных переменных для систем функций 44
2.3.3 Метод дополнительных переменных для смешанных систем 45
2.3.4 Примеры 45
2.4 Алгоритм символьного дифференцирования функций 51
2.4.1 Элементарное преобразование 53
2.4.2 Вычисление производных системы функций 55
2.4.3 Схема алгоритма дифференцирования 55
2.4.4 Пример: вычисление матрицы Якоби 56
2.5 Алгоритм сведения полных систем к полиномиальной форме
2.5.1 Элементарное преобразование 64
2.5.2 Схема алгоритма сведения 64
2.5.3 Пример: сведение полной системы к полиномиальной форме 65
3. Метод рядов Тейлора: модифицированный алгоритм 71
3.1 Метод рядов Тейлора для полиномиальных систем 72
3.2 Алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора, и модификация МРТ
3.2.1 Коэффициенты Тейлора решений полной системы 80
3.2.2 Модификация алгоритма МРТ. Пример 82
4. Программа “AVM”: Краткое Руководство Пользователя 84
4.1 Начальные сведения 84
4.2 Системные требования 85
4.3 Подготовка к работе 86
4.4 Работа с программой 86
4.5 Работа с библиотекой 90
4.6 Сообщения об ошибках 91
4.7 Getting Started: пример 92
5. Построение моделей динамики с использованием программы “AVM” 99
5.1 Модели движения в центральных силовых полях 99
5.1.1 Полная система для уравнения Кеплера 101
5.1.2 Первая полная система для задачи двух тел 102
5.1.3 Вторая полная система для задачи двух тел 102
5.1.4 Максимальная полная система для задачи двух тел 103
5.1.5 Коэффициенты Тейлора для задачи двух тел 105
5.2 Модели возмущенного движения в центральных полях 105
5.2.1 Возмущенное движение планет в координатах 105
5.2.2 Возмущенное движение в оскулирующих элементах 106
Заключение 108
Литература
- Сферически симметрично распределенные массы и заряды
- Библиотеки функций и дифференциальных уравнений
- Схема алгоритма дифференцирования
- Коэффициенты Тейлора решений полной системы
Сферически симметрично распределенные массы и заряды
Настоящая глава составляет теоретическую и алгоритмическую основу методики построения математических моделей динамики, рассматриваемых в диссертации. Она написана по работам Л.К. Бабаджанянца [12], автора в соавторстве с Л.К. Баба джанянцем [15], автора [25-27] и содержит ряд инструментов символьных вычисле ний, которые используются во всех остальных главах диссертации. Среди этих ин струментов назовем алгоритмы символьных вычислений, предлагаемые в парагра фах 2.3, 2.4, 2.5, но центральным из инструментов является включенная в программу “AVM” (см. главу 4) библиотека. Библиотека содержит имена функций и дифферен циальные системы, которым эти функции удовлетворяют. Главная ценность биб лиотек в том, что они, во-первых, позволяют реализовывать предлагаемые в диссер тации символьные алгоритмы на основе единой идеи метода дополнительных пере менных (см. параграф 2.3) и, во-вторых, благодаря тому, что пользователь может пополнять библиотеки новыми необходимыми ему функциями и уравнениями (воз никшими, например, в ходе новой научной работы), упомянутые алгоритмы он смо жет применять к функциям и уравнениям, не включенным на текущий момент в па кеты компьютерной алгебры «Wolfram Mathematica», «Maple» и т.п. В то же время, все допустимые в упомянутых выше алгоритмах функции и дифференциальные уравнения, включенные в эти пакеты, легко включаются и в библиотеки программы “AVM” и могут там корректироваться и обобщаться. Библиотеки могут содержать (постепенно пополняясь) сотни и тысячи функций, а точнее их имен и дифференци альных систем, которым эти функции удовлетворяют. Последнее фактически озна чает, что библиотека содержит не просто конечный набор функций, а все решения содержащихся в ней дифференциальных систем. В связи с этим, при формировании пользователем заданий в терминах имеющихся в библиотеке имен функций, он, наряду с любым таким именем "FuncName", может использовать любые имена вида "Func Name99AdditionalName", где "99" - обязательный сепаратор, а "AdditionalName" – любой набор символов. Тогда программа "добавит" виртуально в библиотеку имя функции "FuncName99AdditionalName" и такие же, как для "FuncName" дифференциальные уравнения. Разумеется, физически в библиотеку ничего не добавляется - все осуществляется на уровне довольно простой логики: в процессе поиска в библиотеке уравнений, соответствующих имени с сепаратором, сепаратор и все последующее игнорируется и т.д.
С различными обозначениями, связанными с полными системами уравнений в частных производных, которые здесь рассматриваются, можно ознакомиться, например, по книгам [30, 63]. В то же время, теория таких систем нам не понадобится, так как мы будем пользоваться ими формально алгоритмически, для построения библиотек функций, удовлетворяющих таким системам. Читатель далее сможет в этом убедиться. Дифференциальные уравнения. Если принять обозначения х = (х1,..,ля)єС",/ = (/1,..,дєС ,а = (а1,..,ав)єГ, dx = {dxx,...,dx m\ dt = (dtx,...,dt s ), dxldt = (dxjdtj) , f = (J/) , f/ є С, то полную систему дифференциальных уравнений (т.е. систему уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных), можно записать в одной из форм по выбору:
Для системы ОДУ, то есть при 5 = 1, они сводятся к виду: dxi/dt = fi(x,a), /є[1:т], dxldt = f(x,a) (2.2) Далее рассмотриваются разные множества (классы) правых частей в (2.1), то есть различные классы скалярных функций переменной х = (х1,...,хт), и символом будем обозначать класс систем (2.1), для которых все f/ є /С. Классы Vm,V, s(Pm),s(V). Класс полиномов по х1,...,хт , коэффициенты которых возможно зависят от параметра а, назовем VJa) или просто Vm, а объединение их по мє[1:») обозначим V(a) или V. Полиномиальной назовем систему (2.1), в которой все f/ принадлежат Vm. Очевидно, что s(V) = U m=1Ss(Vm). Классы Еет. Будем говорить, что комплексная (или вещественная) скалярная функция срєС переменной х = (х1,...,ха)єСа(илиЯа) удовлетворяет полиномиальной системе, если она - одна из компонент вектор-функции-решения некоторой полиномиальной системы. Класс скалярных функций переменной х = Oq,...,xJ, которые удовлетворяют полиномиальной системе, назовем символом Еет. Любая функция аргумента х = (х1,...,х )єCCTl класса Е является и функцией аргумента х = (х1,...,х )&Са2 класса Sff2при ах а2. Поэтому можно и, ради удобства, следует предполагать, что истинно утверждение JX J2 =5 Е с ЕСТ2, то есть Ej z Е2 с....
Многие специальные функции математической физики, представленные в справочной литературе, принадлежат Ej и, тем более, Еет при а 1.
Расширения и библиотеки. Если q є Еет, то существует вектор-функция ( ,...,%) -решение полиномиальной системы, где р1 = р. Расширением р называют множество функций &,...,?„}. Объединение расширений нескольких функций называют
библиотекой. Библиотека содержит набор полиномиальных систем, а не задач Коши. Всякое подмножество библиотеки называют подбиблиотекой, если оно само является библиотекой. Библиотеку называют автономной или неавтономной соответственно тому, какими уравнениями она представлена - автономными или неавтономными. Естественно пользоваться как автономными, так и неавтономными библиотеками, хотя можно было бы ограничиться автономными библиотеками, так как неавтономную всегда можно свести к автономной. Разделом называют подбиблиотеку, которая не пересекается ни с одной другой подбиблиотекой, не являющейся ее частью. Объединение разделов является разделом. Раздел называют простым, если он не содержит других разделов. Библиотека является объединением своих разделов, она делится на разделы и сама может быть своим единственным разделом.
В параграфе 2.2 будет рассмотрена достаточно гибкая модель библиотеки, которая реализована в рамках программы “AVM” (см. главу 4) в форме таблицы, состоящей из потенциально неограниченного количества строк и фиксированного количества столбцов (на настоящее время -одиннадцати) и содержащая имена функций и дифференциальные системы, которым эти функции удовлетворяют (а также иную необходимую информацию). Функции библиотеки (т.е. соответствующие им дифференциальные системы) могут зависеть от конечного числа параметров. Библиотек может быть много, причем пользователь может неограниченно пополнять их и создавать новые.
Библиотеки функций и дифференциальных уравнений
Символьное, автоматическое и численное дифференцирование [20, 74, 75, 91, 92, 100, 102, 104, 107, 116, 118, 124, 128] широко используются в различных областях прикладной математики. Символьное дифференцирование преобразует формульное представление функции в формульное представление ее производной. В отличие от этого, автоматическое дифференцирование состоит в создании программы (компьютерной) вычисления производной по программе вычисления функции. Численное дифференцирование использует приближенные формулы для производной, полученные, например, дифференцированием полиномиального приближения функции, заданной в нескольких точках. Все три типа дифференцирования взаимно дополняют друг друга и каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Главное преимущество символьного дифференцирования в том, что полученная с его помощью точная формула для производной позволяет получать, в принципе, ее значения с любой точностью. Главный же его недостаток в том, что полученные компьютерной программой выражения для производных могут оказаться весьма громоздкими и содержать большое количество одинаковых подвыражений (даже после применения операций упрощения, которыми оснащены известные пакеты компьютерной алгебры). Именно по этой причине символьное дифференцирование хорошо работает для простых выражений, но требуемые затраты машинного времени и памяти быстро увеличиваются по мере усложнения выражений для функций. Еще одна и может самая серьезная неприятность ожидает пользователя, которому потребуется дифференцировать суперпозиции функций в случае, если одна или несколько функций, из которых составлена эта суперпозиция, не предусмотрена в пакетах компьютерной алгебры, которыми он может воспользоваться в своей работе. В этом случае ему либо придется отказаться от символьного дифференцирования и искать какие-то иные средства для своей работы, либо составлять свои собственные алгоритм и программу в этом случае, если это возможно в принципе.
В настоящем параграфе описывается предложенный в наших работах [26, 27] алгоритм символьного дифференцирования системы функций многих переменных, свободный от этих недостатков для достаточно широкого класса функций математической физики и, особенно, динамики. Так как этот алгоритм основан на двух рассмотренных ранее главных наших инструментах - МДП и библиотеке, то понятно, что речь идет о функциях классов Т, на которые эти инструменты ориентированы (см. параграфы 2.2, 2.3). В общих чертах, предлагаемый алгоритм символьного дифференцирования системы функций заключается в следующем. Предполагаем, что исходная система записана в терминах функций библиотеки, а библиотека содержит имена этих функций и функций их расширений, а также полиномиальные дифференциальные уравнения, которым все эти функции удовлетворяют. Используя эти уравнения из библиотеки для введения некоторого числа дополнительных переменных, алгоритм преобразует исходную систему функции многих переменных к системе полиномов по исходным и дополнительным переменным, и затем находит производные дополнительных переменных в виде полиномов также по исходным и дополнительным переменным. Производные функций исходной системы можно представить тогда как рекуррентные или явные формулы (полиномы по тем же переменным), используя полиномиальные представления исходных функций и производных дополнительных переменных. Опишем содержание настоящего параграфа более подробно. Рассмотрим систему функций где х = (х1,...,хт)еСт, (y1,...,yN), (f1,...,fN)eСN, и предположим, что функции fr(x)єТ могут зависеть от параметров a1,...,aw и представлены в терминах используемой библиотеки. Задача - получить формулы для производных д 1+..л туг / дх1 1...дх1. В разделе рассмотривается пошаговый процесс введения дополнительных переменных, который позволяет свести (2.5) к полиномиальной форме и получить формулы для первых производных этих переменных по х1,...,хт. В разделе 2.4.2 описывается алгоритм получения формул для искомых частных производных функций уг, в разделе рассмотривается общая схема предлагаемого алгоритма символьного дифференцирования, а в разделе 2.4.4 детально разбирается пример его применения.
Каждый из к шагов процесса сведения системы (2.5) к полиномиальной форме включает в себя “элементарное преобразование”, которое рассматривается в настоящем разделе. Ради симметрии, для величин yr,fr,x,m (см. (2.5)) используются здесь также обозначения y0r,f0r,x0,m(0) . На каждом шаге вводится одна или несколько дополнительных переменных и система (2.5) приобретает следующую форму
Схема алгоритма дифференцирования
Программа символьных вычислений “AVM” позволяет: находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлора функций многих переменных находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлора решений полных систем уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений сводить полные системы уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме
От функций и правых частей дифференциальных уравнений требуется: они должны быть заданы как конечные суперпозиции четырех действий арифметики и функций, включенных в библиотеку программы “AVM” они должны быть выражениями, синтаксически корректными с точки зрения пакета Wolfram Mathematica. Для удобства заведения уравнений, возможна их запись в рамках пакета Wolfram Mathematica с последующим копированием в программу “AVM” Еще о библиотеке, функциях и правых частях уравнений: пользователь может неограниченно пополнять библиотеку необходимыми ему функциями (дифференциальными уравнениями, которым эти функции удовлетворяют) и заводить сколько угодно своих отдельных библиотек (подробнее о библиотеках см. ниже и в параграфе 2.2) кроме дифференциальных уравнений, пользователь может задавать и начальные данные функции (системы функций), начальные данные для дифференциальных уравнений и правые части дифференциальных уравнений (тех, что содержатся в задании пользователя и тех, что содержатся в библиотеке) могут зависеть от параметров, и эта зависимость должна быть синтаксически корректна с точки зрения пакета Wolfram Mathematica.
Следует иметь в виду, что данная версия предназначена для работы в рамках 64-битной операционной системы Microsoft Windows (7 или выше) и, кроме того, на компьютере должны быть установлены следующие программы:
Необходимое условие работы программы: на компьютере должно быть установлено все программное обеспечение, которое указано в разделе 4.2 «Системные требования».
После запуска программы, возможно изменение размера шрифтов: нажатием комбинации “Ctrl”+”=” размер шрифтов увеличивается, а “Ctrl”+ ”-” -уменьшается. После запуска появляется главное окно программы:
После клика мышкой по любой из четырех кнопок линейки меню в верхней части экрана, появится соответствующее окно. Далее от пользователя потребуется: либо выбор (щелчком мыши) пунктов меню (тех, что есть на главном окне или тех, что дополнительно появятся в результате выбора ранее тех или иных пунктов меню), либо занесение данных в таблицы, либо просмотр результатов и работа с ними.
Работа с таблицами вполне очевидна: каждое окно с таблицей содержит строку меню с пунктами “Add row before”, “Add row after”, “Delete row”, “Open”, “Save”, “Save as”, имеющими привычный смысл.
Что касается выбора пунктов меню, то: во-первых, если навести курсор на пункт меню, то появляется подсказка, описывающая назначение данного пункта и, во-вторых, с назначением пунктов можно разобраться по следующей таблице:
Пункты меню Назначение Differentiation&TCs Символьное вычисление частных производных и коэффициентов Тейлора функций многих переменных Differentiation&TCs functions Занесение одной или более функций многих переменных, которые должны быть продифференцированы Differentiation&TCs Calculate Вычисляются все производные введенной пользователем системы функций (в заданном диапазоне порядков) Differentiation&TCs Deriv sOrder m-n Задается диапазон порядков (m-n), в котором должны быть вычислены производные введенных функций Differentiation&TCs Results Появляется еще одна строка меню с пунктами: “NewFunctions”, “Nvars”, “NvDers”, “FunDers”, “TCs”, в любой из которых можно зайти и посмотреть соответствующие результаты Differentiation&TCs Results New-Functions Исходная система функций, представленная в форме полиномов по исходным и новым переменным Differentiation&TCs Results Nvars Новые (дополнительные) переменные, введенные программой Differentiation&TCs Results NvDers Производные по исходным независимым переменным от новых (дополнительных) переменных, представленные в форме полиномов по всем (зависимым) переменным Differentiation&TCs Results Fun-Ders Производные по исходным независимым переменным, от исходных функций, представленные в форме полиномов по всем (зависимым) переменным Differentiation&TCs Results TCs Коэффициенты Тейлора заданной системой функций в их разложении в ряд Тейлора по исходным независимым переменным, представленные в форме полиномов по всем (зависимым) переменным
Как отмечалось в разделе 4.4 и как можно понять из содержания главного окна, которое появляется сразу после запуска исполняемого файла AVM.exe, при помощи нашей программы пользователь может решать две группы задач: “Reduction&TCs” - сведение задаваемой пользователем полной системы уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме, нахождение в символьной форме частных производных и коэффициентов Тейлора (задаваемых пользователем порядков) решения этой системы, “Differentiation&TCs” - нахождение в символьной форме частных производных и коэффициентов Тейлора (задаваемых пользователем порядков) всех функций из задаваемой системы функций многих переменных. Решаем задачи первой группы Обратимся здесь к третьему примеру из раздела 2.3.4 с тем, чтобы продемонстрировать пользователю, как решать все эти задачи при помощи “AVM”, причем, ради простоты, положим / = 1,2,3, 7=1,2, то есть рассмотрим полную систему относительно трех функций x1,x2,x3 двух переменных t1,t2. В качестве a. j возьмем простые квадратичные и кубические полиномы. Запишем эту систему, используя синтаксис Wolfram Mathematica для формул:
Коэффициенты Тейлора решений полной системы
Перечислим полученные в диссертации результаты и обсудим перспективы их использования.
В разделе 1.4 первой главы был предложен новый метод решения уравнений в вариациях для случая движения материальной точки в произвольных центральных полях в евклидовом пространстве произвольной размерности. На основе этого метода и алгоритма дифференцирования функций многих переменных который был предложен в параграфе 2.4 и реализован в программе “AVM”, в разделе 1.4.2 была предложена новая схема реализации классического метода возмущений для построения моделей движения материальных тел в таких силовых полях.
Этот метод существенно упрощает нахождение последовательных приближений в алгоритмах теории возмущений - в классическом методе возмущений даже для случая ньютоновского (или кулоновского) потенциала: мы собираемся далее применить его к построению моделей движения материальных тел движущихся в других, более сложных силовых полях, например, в тех которые были описаны в параграфе 1.2 первой главы.
Во второй главе, на основе новых вариантов метода дополнительных переменных (см. 2.3), был разработан инструментарий для построения моделей динамики - предложены новые алгоритмы, которые позволяют для достаточно широкого класса функций и уравнений динамики (функции и правые части дифференциальных уравнений должны принадлежать классу , см. параграф 2.1) решать следующие задачи: 1. Сведение полных полиномиальных дифференциальных систем и, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме (параграф 2.5). 2. Символьное дифференцирование системы функций (параграф 2.4)
В той же главе было предложено понятие библиотеки функций многих переменных и дифференциальных уравнений (полных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка), которым эти функции удовлетворяют, и описали структуру этой библиотеки. На основе упомянутых алгоритмов и библиотеки все предложенные в диссертации алгоритмы были реализованы в программе “AVM” (см. главу 4.). Программа писалась длительное время (несколько лет), для нее создан дружественный пользовательский интерфейс, ее библиотека непрерывно пополняется, а сама программа совершенствуется. Очередные ее версии будут доступны на моей странице (http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/bregman/index.html), на сайте факультета ПМ-ПУ.
В третьей главе была предложена модификация метода рядов Тейлора для полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на случай, когда правые части этих уравнений не полиномиальны, а принадлежат классам Т : был предложен новый символьный алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора для решений таких уравнений и показано, что этот алгоритм легко встраивается в алгоритм и программу Бабаджанянца-Большакова решения полиномиальной задачи Коши методом рядов Тейлора. В наших планах - построить полуаналитическую модель движения внешних планет Солнечной системы на промежутке в несколько миллиардов лет при помощи модифицированного метода.
Важно еще раз подчеркнуть, что без рассмотренных во второй и третьей главах инструментов, в принципе, можно обойтись, воспользовавшись имеющимися в пакетах компьютерной алгебры общими средствами. Эти пакеты (такие, например, как Wolfram Mathematica и Maple), помимо всего прочего, содержат наборы функций нескольких переменных и предоставляют возможность осуществлять над ними различные операции алгебры и анализа. В то же время, если пользователю потребуется, например, символьное выражение производных для тех или иных суперпозиции функций, среди которых есть функции, не содержащиеся в используемом пакете, то ему придется ввести такие функции и написать программы вычисления их производных и производных каждой необходимой суперпозиции до требуемого порядка (если ему известны соответствующие алгоритмы). Такие же сложности возникнут и при сведении к полиномиальной форме дифференциальных уравнений, которые содержат подобные суперпозиции. Для решения упомянутых выше двух задач в этих случаях нами и были предложены алгоритмы и программа “AVM” для класса функций многих переменных, который состоит из суперпозиций функций, удовлетворяющих полным системам уравнений в частных производных и, в частности, системам ОДУ. Программа опирается на библиотеку, которая может неограниченно пополняться новыми функциями самим пользователем. Говоря упрощенно, библиотека состоит из пополняемого пользователем набора имен функций и соответствующих им систем дифференциальных уравнений, причем в программе “AVM” суперпозиции могут содержать не только имя той или иной функции библиотеки, но и модифицированное ее имя (к имени библиотечной функции добавляется выбираемый пользователем постфикс 99текст), которое обозначает ту или иную другую функцию, удовлетворяющую тем же дифференциальным уравнениям, а это означает, что пользователю доступны все функции, определяемые содержащимися в библиотеке дифференциальными уравнениями.
В связи со сказанным выше, отметим, что в разделах 4.7, 5.1.3, 5.2.3 были рассмотрены как раз те задачи, в которых функции и уравнения записаны в терминах функций, некоторые из которых отсутствуют в пакетах Wolfram Mathematica и Maple, но легко могут быть записаны пользователем в библиотеку “AVM”. Это означает, что для решения этих задач средствами упомянутых пакетов пришлось бы писать специальные программы.
В пятой главе были приведены результаты построения при помощи программы “AVM” двух групп моделей: в параграфе 5.1 рассмотрены различные новые модели для задачи двух тел, а в параграфе 5.2 – модели возмущенного движения планет в декартовых координатах и в эйлеровых оскулирующих элементах. В дальнейшем мы собираемся построить при помощи программы “AVM” еще один вариант полуаналитической модели движения планет Солнечной системы, пригодной для качественного исследования движения планет на длительных промежутках времени.
Главное, что надо сказать о перспективах продолжения нашей работы связано с программой “AVM”: программа на данный момент представляет собой ядро будущего пакета программ моделирования, который позволит пользователю строить разнообразные математические модели динамических процессов на основе тех инструментов, которыми она сейчас располагает - метода дополнительных переменных, библиотеки дифференциальных уравнений и базовых алгоритмов символьного дифференцирования и сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме; - пакет должен будет обеспечивать пользователя всеми средствами автоматизированного построения моделей, должен иметь возможность саморазвития и использования средств современного математического моделирования и технологии программирования; - ближайшими задачами в этом направлении, кроме тех, о которых говорилось выше, мы видим реализацию алгоритмов классического метода возмущений, предложенного в главе 1 в самом общем виде, реализацию модифицированного метода рядов Тейлора, предложенного в главе 3, и, самое главное, совершенствование пользовательского интерфейса, которое связано с дальнейшим опытом использования программы.
