Содержание к диссертации
Введение
1 Структура и динамика крови с точки зрения влияния магнитных полей 11
1.1 Микроструктура кропи и се влияние на реологию 11
1.2 Поверхпостый заряд эритроцитов. Связь с реологией крови и патологическими изменениями в сосудистой системе . 17
1.3 Общие вопросы воздействия магнитных нолей на кровоток. Проблемы моделирования 19
1.4 Электропроводность крови 21
1.4.1 Магнитное тромбирование артериальных аневризм 25
1.4.2 Выводы 27
2 Стационарные течения электропроводящей жидкости 28
2.1 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения 28
2.1.1 Аналитическое решение 29
2.1.2 Простейшая конечно-разностная схема 33
2.1.3 Результаты расчетов 35
2.2 Простейшие стабилизированные МГД-течения в круглой трубе 37
2.2.1 Вывод автомодельных стационарных уравнений магнитной гидродинамики 37
2.2.2 Преобразование уравнений 41
2.2.3 Разностная аппроксимация преобразованной задачи 42
2.2.4 Замечания об условиях на оси течения 43
2.2.5 Замечания по технологии вычислений 45
2.2.6 Результаты расчетов 4G
2.3 Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками 50
2.3.1 Математическая постановка задачи 51
2.3.2 Конечно-разностное решение задачи 53
2.3.3 Тестовые проверки 57
2.3.4 Результаты расчетов 58
2.4 МГД-течения в канале переменного сечения G3
2.4.1 Физическая постановка задачи G4
2.4.2 Математическая постановка задачи G4
2.4.3 Метод решении G5
2.4.4 Построение контура и расчетной сетки GG
2.4.5 Разностная аппроксимация исходных уравнений . G7
2.4.G Поточечный последовательный метод Гаусса-Зейделя G9
2.4.7 Выполненные тестовые расчеты 70
2.4.8 Результаты МГД-расчетов в канале с пережатием . 72
2.4.9 Выводы 75
3 Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов в нестационарном потоке крови 76
3.1 Общие положения 7G
3.1.1 chapter 78
3.1.2 Динамика столбика эритроцитов как педеформируемой системы 82
3.1.3 Техника расчета момента гидродинамического воздействия потока 8G
3.1.4 К определению магнитного момента 91
3.2 Неустановившееся течение в плоском канале 95
3.2.1 Определяющие уравнения 95
3.2.2 Построение неявной конечно-разностной схемы . 98
3.2.3 Вычислительная технология решения обобщенного уравнения (3.79) 99
3.2.4 Тестирование алгоритма 100
3.2.5 Математическая модель динамики столбика эритроцитов 101
3.2.С Метод Рупге-Кутта для интегральных уравнений
динамики столбика 103
3.2.7 Тестовая проверка алгоритма на точном решении . 104
3.3 Нестационарное течение в круглой трубе и в канале сложной формы поперечного сечения 107
3.3.1 Явный метод Булеева 107
3.3.2 Выводы
- Поверхпостый заряд эритроцитов. Связь с реологией крови и патологическими изменениями в сосудистой системе
- Магнитное тромбирование артериальных аневризм
- Вывод автомодельных стационарных уравнений магнитной гидродинамики
- Динамика столбика эритроцитов как педеформируемой системы
Введение к работе
Актуальность работы. Метод воздействия магнитным прлем на биологические жидкости и, в частности, на кровь находит широкое применение в физиологии и медицине. Однако теоретические основы указанного воздействия изучены недостаточно. Особый интерес вызывает исследования по переменным магнитным полям, позволяющим, например, в несколько раз увеличить интенсивность магнетофо-ретических явлений
Первые сведения о магнитных свойствах крови относятся к середине 19 века. Уже в 1845 г. установлена ее диамагнитность. Позже доказан факт о различии магнитных свойств между артериальной и венозной крови. В 50-х годах 20-го века большой толчок в развитии и понимании механизма влияния магнитных полей на кровь дал выдающийся физиолог А.Л. Чижевский. После него этими вопросами занимались А.В. Павлова, Н.Н. Петрова, С.А. Москаленко, В.В. Пиру-зян, А.С. Кузнецов, А.Г. Кшуташвили, О.П. Накинова, В.П. Плахов, Е.Д. Плеханов, А.А. Попович и многие другие.
Их исследования в области магнитной биологии показывают, что как постоянные, так и переменные магнитные или электромагнитные поля оказывают определенное влияние на самые различные процессы в биологических системах или в живом организме. В подавляющем большинстве случаев эти исследования носят сугубо эмпирический характер. Однако сам факт чувствительности живой природы к магнитным полям неоспорим.
При движении биологических жидкостей в магнитном поле изменения, связанные с гартмановым механизмом воздействия, вследствие сравнительно малых проводимостей и характерных размеров невелики (за исключением крупных сосудов) В тоже время, электрохимические процессы, вызванные индуцированными электрическими токами, могут вызывать существенные изменения в биологической системе.
В настоящее время исследованиями воздействия магнитных полей на живые системы занимаются М.С. Родионов, А.А. Яхновец, Н.А. Слезкин, А.П. Тесло, С.Г. Миролюбов, В. Милнор, С. Смит, Дж. Коул, Дж. Бергель, С. Гольштейн и др. Известны гидродинамические модели крови Пауэла - Эйринга, Карро, Кассона, Кросса и др.
Первые математические модели кровотока строил еще Л. Эйлер в 18-м веке. В 20-м веке многие ученые, такие как А.П. Громека, В.В Любимов, В.А. Глотов, Т. Педли, В.А. Левтов, Д.М. Дике, Ф. Дурст и многие другие занимались математическим моделированием течения
крови, как не электропроводящей среды. Далее появились работы А.В. Тананаева, С.А. Регирера, которые рассматривали кровоток как магнитогидродинамический (МГД) процесс. Однако вопросы по влиянию внешних магнитных полей на характер течения и морфологическую структуру крови в этих работах рассмотрены не были.
Таким образом, своевременными и актуальными являются исследования по построению математических моделей воздействия магнитных полей на течение биологических жидкостей и их структуру, а также разработка эффективных методов их численной реализации.
Целью работы является построенные магнитогидродинамичес-кой модели кровотока в крупных кровеносных сосудах (аорте, артериях и крупных венах), где для описания динамики крови использована однофазная среда с ньютоновскими реологическими свойствами, а также разработка численной модели движения отдельного эритроцита или столбика эритроцитов.
Основные задачи работы можно сформулировать следующим образом:
Разработка МГД-моделей стационарного и пульсирующего кровотока во внешнем переменном магнитном поле.
Исследование влияния переменного электромагнитного поля на динамику плазмы и динамику столбика эритроцитов в плоском канале.
Выявление особенностей динамики столбика эритроцитов в осесимметричных и «пережатых» сосудах при воздействии переменного электромагнитного поля.
Определение параметров переменного электромагнитного поля, обеспечивающего разрушение столбиков эритроцитов.
Научная новизна работы
Впервые предложена теория МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле.
Разработана математическая модель потока крови, основанная на МГД-взаимодействии эритроцитов, позволяющая учесть специфические свойства крови
1 Ни еейбйб раЗрабЬтаНнбй МатеШтйчЄЄкЙ МвДелИ ііреДЛОжен Вычислительный алгоритм решений нееТацШнарньіх МГД-ЗадаЧ, прёдетавляШщЖ ДиНаМйКу Плазмы крвви в уелввйях, приближенных к фйзШлбгическиМ.
4. По результатам математического моделирования найдены два принципиально разных режима движения столбиков эритроцитов (гармонический и стохастический) и обнаружены условия, при которых осуществляется их разрушение.
Метод исследования состоит в построении специальных математических моделей динамических потоков крови и теории магнито-гидродинамического взаимодействия эритроцитов в сдвиговом потоке крови, отражающих интересующие нас особенности кровотока. Полученные математические представления исследуемых гемодинамиче-ских ситуаций разрешались путем использования численных методов, а также путем построения аналитических решений.
Основные положения, выносимые на защиту:
Теория МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле, которая включает полученные автором точные уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие динамику столбика эритроцитов или отдельного эритроцита, а также теорию моментов внешних сил, действующих на столбик в потоке плазмы и составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.
Математическая модель потока крови и МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле.
Вычислительный алгоритм решения нестационарной МГД-задачи, представляющей динамику плазмы крови в условиях, приближенных к физиологическим.
Открытие двух новых режимов в динамике столбиков эритроцитов, находящихся во внешнем переменном магнитном поле, и факт существенного снижения продолжительности гармонического режима при увеличении частоты колебаний внешнего магнитного поля.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, а также сравнением результатов вычислений с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
Теоретическая значимость. Впервые разработанная теория магнитогидродинамического движения и взаимодействия эритроцитов в плазме крови, находящейся во внешнем переменном магнитном поле, открывает широкие возможности для развития новых направлений современной электрогемодинамики, в частности, для изучения элек-трофоретических явлений в крови.
Практическая значимость работы определяется возможностью использования полученных результатов для разработки и внедрения в широкую медицинскую практику устройств по лечению и профилактике заболеваний крови и циркуляционной системы человека с помощью воздействия внешних переменных магнитных полей. Результаты работы также могут быть использованы в биохимии, где
имеет место движение сложных реагирующих гетерогенных сред с образованием конгломератов, находящихся под действием внешних переменных магнитных полей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены автором на 3-х международных и одной региональной конференциях в Гомеле, Томске, Снежинске и Новокузнецке. Диссертация в полном объеме была доложена на научном семинаре по гидродинамике д.ф.-м.н. профессора К.Е. Афанасьева (Кемеровский государственный университет). Основные результаты, полученные в диссертации, представлены в опубликованы в 7 работах, в том числе в 2-х журналах из списка ВАК.
Вклад автора. Теория МГД-взаимодействия эритроцитов и динамики потока крови во внешнем переменном магнитном поле разработаны совместно с руководителем. Автор работы самостоятельно разработала вычислительный алгоритм и выполнил численное моделирование, по результатам которого были найдены два новых режима в динамике столбика эритроцитов.
Объем и структура работы
Поверхпостый заряд эритроцитов. Связь с реологией крови и патологическими изменениями в сосудистой системе
В физиологических условиях реологические свойства крови не постоянны. По данным литературы, имеется определенная зависимость эластичности эритроцита от содержания в нем кислорода или углекислого газа (Sirs J.A., 19GGr; Чернух A.M., 1975). Уровень гематокрита, который, в известной степени, оказывает влияние на вязкость крови в различных отделах кровеносного русла, неодинаков. Так, например, гематокрит в сердце и скелетных мышцах не превышает 20-25%, а в мозге, почке, желудочно-кишечном тракте еще ниже -10-20%, в то время как в крупных сосудах этих органов гематокрит обычно равен 40-45% (Albert S.N., 19G3; Чернух A.M., 1975). Во время беременности имеет место физиологическая гемодиллюция, которая выражается в снижении уровня гематокрита, повышения показателя СОЭ (Чернуха Е.А., 2003). Эти данные указывают на снижение концентрации эритроцитов в сосудах различных органов. Величина отрицательного заряда на поверхности эритроцита, как известно, является существенным фактором, определяющим реологические свойства крови и ее текучесть в сосудах. Агрегация клеток увеличивается, когда положительно заряженная макромолекула образует связь с отрицательной поверхностью клетки, что в физиологических условиях наблюдается, например, при охлаждении, когда в крови повышается содержание Холодовых агглютининов (Danon D, 1973; Чернух A.M., 1975). Кроме того, наличие в плазме крови гепарина, АТФ, тромбина, норадреналина, которое имеет место в физиологических услоїшях, так же оказывает существенное влияние на заряд поверхности эритроцита и вязкость крови (Stoltz J., е. a., 19G9; Чернух A.M. с соавт., 1975).
В настоящее время известно, что при многих патологических состояниях, таких как сахарный диабет, ИБС, атеросклероз, ДВС-синдром, синдром общей воспалительной реакции, синдром эндогенной интоксикации и других, одним из важнейших звеньев патогенеза являются микроциркуляторные расстройства (Bloch Е.Н., 195G; Alksne J.F., 1959; Landau Е. A., 19G1; Чернух A.M. с соавт., 1975; Шинаков В.Е., 1999;). В их основе лежит сладжирование и обратимая, а затем и необратимая агрегация эритроцитов (агглютинация). По данным литературы, эффект сладжирования эритроцитов является результатом снижения электрического заряда мембраны эритроцита, вследствие структурных и функциональных нарушений мембраны эритроцитов и изменения баланса фракций белков плазмы в сторону увеличения содержания высокомолекулярных белков (фибриноген, глобулины), которые, в свою очередь, имеют определенный электрический заряд (Пижонский А.Л., 1959; Skovborg F, 1969; Чернух A.M. с соавт, 1975;).
Одним из возможных путей изменения гемодинам и ческой ситуации является применение магнитного поля, воздействующего на поток крови, который можно считать потоком электропроводящей жидкости. Действительно, способность магнитных полей, положительно влиять на организм человека, была замечена еще во времена Древнего Египта. На основе современных знаний о биологических системах, мы можем с уверенностью утверждать, что секрет такого удивительного влияния объясняется наличием в живом организме множества заряженных п подвижных ионов, что вызывает микроскопические электрические токи в его тканях. Кровь не является исключением и представляет собой совокупность заряженных частиц, заряд которых компенсируется зарядами плазмы и окружающих тканей. Исходя из этих особенностей функционирования сосудистой системы, представляется возможным использование магнитных полей для управления локальными движениями крови.
Существенная особенность движения электропроводящей жидкости ПОД воздействием Внешнего МаГПИТПОГО ПОЛЯ СОСТОИТ 15 том, что возникающие в ней электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца.
Магнитное тромбирование артериальных аневризм
Одним из наиболее характерных примеров является использование магнитного поля для тромбирования артериальных аневризм головного мозга [29]. Образование аневризм - выпуклостей в стенках кровеносных сосудов - является одним из наиболее опасных и широко распространенных заболеваний. Разрыв аневризматического мешка сопровождается кровоизлиянием и в большинстве случаев приводит к смерти больного. Самым распространенным методом лечения артериальных аневризм в настоящее время является хирургический. Однако этот метод весьма сложен и опасен. Поэтому поиски современной нейрохирургии направлены на создание более эффективных и менее опасных методов, в том числе методов искусственного тромбирования аневризм. Было установлено, что при анодной поляризации с увеличением времени экспозиции свертывание крови значительно ускоряется. При экспозициях свыше 20 мин наступает тромбоз. При катодной поляризации эти изменения выражены значительно слабее.
На основе этих исследований был предложен новый "магнитогемодииамический" способ тромбирования аневризм. Сущность метода заключается в следующем. На кровоток в артерии налагается поперечное магнитное иоле, ориентированное так, чтобы в аневризме накопились положительные ионы. В этом случае при экспозициях 20-30 мин наблюдается постепенное образование тромба. В конечном итоге тромбирование приводит к нейтрализации аневризмы. После снятия магнитного ноля постепенно (примерно в течение 1 педели) происходят частичное рассасывание тромба и необратимые изменения в донной части аневризмы (облитерация фиброзной ткани) и в ее стенке (фибринопластическое утолщение стенки)[74]. Благодаря этому имеет место механическое укрепление стенки аневризмы, и, следовательно, уменьшается опасность ее разрыва. Более стабильные результаты при этом получаются при использовании повторных экспозиций. Предложенный способ тромбироваиия артериальных аневризм головного мозга уже несколько лет с успехом применяется в клинике.
На основе анализа литературных данных установлено, что явления тиксотроиии и вязкоэластичности проявляются при относительно малых скоростях сдвига и характеризуются большим временем релаксации (tp 10с), в то же время как сердечный цикл имеет период порядка одной секунды. Все это говорит о возможности использования модели ньютоновской однофазной среды для описания гемодинамических процессов в крупных кровеносных сосудах.
Установлено также, что проводниками электрического тока в крови является как сама плазма, как раствор различных солей в воде, так и эритроциты, содержащие в своем составе значительную долю гемоглобина, являющегося соединением железа с углеводородными радикалами.
По данным литературы явления агломерации эритроцитов возникают в результате снижения электрического заряда мембраны эритроцита, вследствие функциональных нарушений мембраны и изменения баланса белковых фракций в плазме.
Электромагнитные силы, подобно вязким силам, являются диссииативпыми и, как правило, являются причиной возникновения дополнительных сопротивлений.
Магнитное иоле может как способствовать явлениям агломерации эритроцитов (магнитное тромбирование артериальных аневризм), так и препятствовать проявлению такого рода явлений (переменные магнитные поля).
Вывод автомодельных стационарных уравнений магнитной гидродинамики
Итак, рассмотрим стабилизированное течение проводящей жидкости в трубе круглого поперечного сечения. Неизвестными величинами в рассматриваемой задаче являются: поле скоростей V, электрическое напряжение Ё и магнитная индукция В. Вводим цилиндрическую систему координат (ж, г, 9) такую, чтоб ось х совпадала с осью трубы. Даже 15 более общем случае бесконечной цилиндрической трубы произвольной формы поперечного сечения удается показать [?], что решение задачи можно свести к определению двух функций Vx = U{r,9) wBx = B(r, #), а электрическое поле из уравнений исключить. Также как и в задаче о стабилизированном течении вязкой непроводящей жидкости, в данном случае распределения всех механических и физических величин будут зависеть только от полярных координат г и в. Более того, осевой градиент давления, входящий в соответствующую проекцию уравнения импульсов, будет сохранять свою величину вдоль оси трубы, т.е. будет константой. В этих условиях электрический ток вдоль трубы невозможен, так что из закона Ома при V = (U, О,0) будем иметь jx = 0, т.е. индуцированные токи будут располагаться в плоскостях нормальных сечений трубы, а индуцированная составляющая магнитного ноля будет направлена по оси канала. Принимая во внимание наличие однородного внешнего поперечного магнитного поля: Ве = (0, Бо cos в, —Во sin 9) и условие солсноидалыюсти магнитного поля: divB = 0 - заключаем, что суммарные компоненты магнитного ноля будут равны: Bx = B{r:9), Br = B0cos9, Be = -B0sm9. (2.25)
При этом, как следует из уравнения Ампера rot В = /ад, величину В(г,9)/[іо можно рассматривать как "функцию тока" плоского поля векторов j = {jnje): дБ VMr = me = \дВ г дО Л и-Л7 дг Рассмотрим теперь векторное уравнение Навьс-Стокса: (2.26) p{f V) = -Vp + /А72ї? + —rotfi x Й (2.27). /4) и найдем проекцию этого уравнения на оси цилиндрических координат. Чтобы достичь намеченной цели, прежде всего, необходимо найти проекции на указанные оси последнего члена в (2.27). Полученные равенства говорят о том, что сумма р + Б2/2до может быть функцией лишь координаты х. Замечая, по предыдущему, что В зависит только от г и в, заключаем, что др/дх может зависеть лишь от х. Однако, правая часть (2.31) может быть функцией лишь г и 9, но так как левая часть есть осевой градиент др/дх, зависящий лишь от ж, то каждая из этих частей в отдельности может быть только постоянной величиной. Представим эту постоянную в виде: -- (2 34) дх /о { } где /о - характерный масштаб длины, а Ар - величина продольного перепада давления на этой длине. Таким образом, уравнение (2.31), в левой части которого стоит константа вида (2.33), является первым из двух искомых уравнений. Второе уравнение для В(г,6) можно получить из уравнения индукции следующего вида [49]: —-V2t = rotrf х Й). (2.34) Ik) Используя векторное тождество: rottf х ) = ( V)P - (ї? V) (2.35) найдем, что в пашем случае rot(f х Й) = (Й- V)!?, (2.36) поскольку второе слагаемое правой части (2.35) (V V)B = 0 как конвективная часть в стабилизированном движении. Таким образом —-V2t = (І V)V . (2.37) До
Учитывая, что в рассматриваемом случае В = (B(r,9),B()Cos9,—Bosm9) uv= ([/(г, 0),0,0) при проектировании (2.37) на ось х, найдем V2 = Б0 cos 0— - Во -«т. 2.38 //о or г об Две другие проекции (2.37) на оси г и 0 удовлетворяются автоматически.
Если в качество характерных масштабов длины, скорости и магнитной индукции выбрать величины: г, = /0, tf, = , В, = l0Apfio (-) , (2.39) то безразмерный вид уравнений (2.31) и (2.38) будет следующим: ld2U \0 ( 0U\ / Ш sm90B\ л 1д2В 10 ( дВ\ / Ш siri0 9[/\ Л . . ?Ж + ; Ы + Яа Г - — w J = (2 41)
В записи уравнений (2.40),(2.41) и ниже все величины уже безразмерные. Однако для них оставлены прежние обозначения.
Эти уравнения будем решать при граничных условиях: г - 0, j(tudl = U0, у і" Bdl = BQ, (17) і і r = l, V = 0, + = 0, = (2.43) где / - элементарный контур, окружающий осевую точку канала; сгі, сг2 -проводимость жидкости и материала стопки соответственно; 5 - толщина стенки; R - радиус канала.
Динамика столбика эритроцитов как педеформируемой системы
Ниже мы не будем рассматривать процессы образования или разрушения столбиков эритроцитов. Более того, до возникновения условий, приводящих к разрушению столбика, мы будем полагать, что данная система является неизменяемой, то есті, недеформируемой или абсолютно жесткой.
Поскольку реально существующие "монетные столбики" являются достаточно малыми по своим размерам, а плотность эритроцита близка к плотности плазмы крови, и ускорения і , системе не бывают слишком значительными, то целесообразно принять, что центр масс столбика движется вместе с несущей средой, то есть вместе с плазмой крови. Другая же часть движения рассматриваемой недеформируемой системы - ее вращение вокруг центра масс - определяется, как известно, динамическими уравнениями Эйлера [37]: 4 = dt Bd = dt (C-B)qr = M((\ (3.11) (А-С)гр = М \ (3.12) dr dt С (В - A)pq = М(се\ (3.13)
Здесь p,q,r - проекции вектора угловой скорости на подвижные оси координат, в качестве которых взяты главные оси инерции для центра масс тела (столбика эритроцитов); А, В, С - главные моменты инерции тела для указанного центра; М\М ,М? \ - проекции главного момента внешних сил М(ф па выбранные оси координат. Значения А,В,С- соответствуют значениям осевых моментов инерции цилиндра, определенных относительно центра масс для цилиндрического тела, имеющего радиус эритроцита.
Уравнения (3.11) - (3.13) являются основными уравнениями вращательного движения твердого тела. В классической механике они известны как динамические уравнения Эйлера. Величины р, q, г полностью определяют мгновенное значение вектора угловой скорости тела, но не определяют его мгновенного положения в пространстве. Указанное положение фиксируется тремя какими-либо независимыми угловыми координатами, в качестве которых чаще всего принимают углы Эйлера: (р,ф,в. Угол (р называется углом собственного вращения системы и отсчитывается (см.3.1) от линии узлов CN до оси подвижной системы отсчета; угол ф - углом прецессии и отсчитывается в неподвижной плоскости от оси х до линии узлов CN] угол 9 называется углом нутации и отсчитывается в неподвижной плоскости от оси z до оси (. Очевидно, что имеет место векторное равенство: 7$ = $ + ф +9.
Спроецируем его на оси подвижной системы координат и получим следующие кинематические соотношения: р = ф sin в sin (р + 9 cos if, (3-14) q — ф sin 9 cos ip — 9 sin p, (3.15) r = ф cos 9 sin (p + ф. (3.16) Формулы (3.14) - (3.1G) известны как кинематические уравнения Эйлера. В дальнейшем уравнения (3.11) - (3.16) мы будем интегрировать методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Технология применения этого метода требует, чтобы уравнения (3.14) - (3.1G) были разрешены относительно производных (р,ф,в. Выполняя несложные преобразования, получим: ф — г — (psin(p + g cos (/?) ctg #, (3.14 ) ф = (psin + g cos ( ) sec , (3.15 ) в = p cos if — q sin p. (3.16 )
Как видим, выписанные уравнения при sin# —У 0 имеют координатную особенность. Эту особенность системы координат Эйлера можно разрешить следующим образом: при sin# -» 0 нужно положить ф = 0, ф = г, поскольку в этом случае прецессионное движение, каким бы оно ни было, не меняет положения оси собственного вращения в пространстве. Интегрируя систему уравнения (3.11) - (3.1G) с начальными условиями:
