Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамика проводящих тел маятникового ти па в высокочастотном магнитном поле 11
1.1 Движения маятника с одним контуром тока. 12
1.2 Маятник с двумя проводящими контурами . 22
1.3 Плоские колебания проводящего шара . 28
1.4 Движения маятника в неоднородном магнитном поле. 30
Глава 2. Магнитный подвес в поле переменных токов 34
2.1 Подвес с одной степенью свободы 34
2.2 Свободная левитация кольца с током высокой частоты 41
2.3 Подвес с кольцами разного радиуса 50
2.4 Модель подвеса с заданными напряжениями 55
Глава 3. Устойчивость круговой формы равновесия кольца с током в осесимметричном магнитном поле 59
3.1 Проводник с постоянным током 60
3.2 Устойчивость сверхпроводящего кольца 71
3.3 Учет изгибной жесткости 73
Заключение 75
Список литературы 77
- Маятник с двумя проводящими контурами
- Плоские колебания проводящего шара
- Свободная левитация кольца с током высокой частоты
- Устойчивость сверхпроводящего кольца
Маятник с двумя проводящими контурами
В многочисленных литературных источниках указывалось на возможность потери устойчивости равновесного положения или стационарного вращения при движении проводящих твердых тел в переменном магнитном поле. В частности, в [30] на основе метода усреднения, найдены достаточные условия появления "раскачивающих" пондеромоторных сил при анализе медленных движений в высокочастотном магнитном поле. В [15] приведено исследование устойчивости плоских колебаний проводящего шара относительно горизонтальной оси в однородном переменном магнитном поле. Известны также экспериментальные подтверждения дестабилизирующего влияния переменного магнитного поля. К ним, в частности, относятся эксперименты, проведенные в 1938г. М. Ветено. В этих экспериментах наблюдались стационарные колебания железного шарика, подвешенного на нити над торцом соленоида, включенного в цепь переменного тока [12], но теоретического объяснения наблюдаемого эффекта дано не было. Значительно позднее, в 1972г., в работах Я.Б. Ду-бошинского с соавторами [22] были также приведены результаты наблюдения колебаний маятника, подвешенного над катушкой индуктивности, запитанной переменным током. В этих экспериментах была обнаружена возможность нескольких устойчивых режимов колебаний с различными значениями амплитуд и фаз.
В последнее время в литературе [12] появились некоторые теоретические попытки объяснения экспериментов М. Бетено и Я.Б. Дубошин-ского, но все они опираются на эвристические выражения либо для силы взаимодействия между шариком и соленоидом, либо для коэффициента взаимноиндукции.
Вместе с тем, число экспериментов, демонстрирующих воздействие переменного магнитного поля на электромеханические системы, остается весьма ограниченным. Нельзя считать полным и теоретическое описание влияния переменного магнитного поля на равновесие и движение проводящих твердых тел. Широкие возможности открывает применение магнитных подвесов при балансировке роторов и узлов машин. Магнитная подвеска поезда позволяет преодолеть существующий для колесного транспорта барьер по скорости, а также уменьшить шум и повысить экономичность транспорта.
Магнитные опоры также находят применение в металлургии, где позволяют исключить нежелательные взаимодействия выплавляемых металлов с материалом тигля. Для получения левитации недостаточно одной лишь компенсации силы тяжести и других сил, действующих на тело. Достигаемое при этом положение равновесия, должно быть устойчивым. Начало исследованию проблемы устойчивости системы свободных тел положил в 1842 г. Ирн-шоу, доказавший теорему о невозможности устойчивого равновесия в силовом поле, сила взаимодействия в котором обратно пропорциональна квадрату расстояния. В частности, устойчивое равновесие невозможно в постоянном магнитном поле. Теорему Ирншоу уточнил в 1940 г. Браун-бек, показав, что равновесие в магнитном поле может быть устойчивым при наличии в системе диамагнитных или сверхпроводящих тел. Свои теоретические выводы Браунбек подтвердил экспериментально. В 1939г. ему удалось осуществить устойчивый подвес 8мг висмута и 75мг графита в постоянном магнитном поле напряженностью 23000Э [31]. Однако в связи со слабым проявлением диамагнитных свойств у известных материалов результаты Браунбека не получили широкого практического применения.
Благодаря развитию криогенных технологий в настоящее время появилась возможности разработки и создания неуправляемых сверхпро водящих систем левитации, так как сверхпроводник, по существу, является идеальным диамагнетиком. Первые опыты в этом направлении были проведены еще в 1945г. В.К. Аркадьевым. Они доказали идеальный диамагнетизм сверхпроводника, приведя к идее создания сверхпроводящих магнитных опор [1]. Эта идея была воплощена в жизнь В.В. Козорезом [10], который при исследовании магнитной потенциальной энергии систем сверхпроводящих контуров аналитически получил условия их устойчивости и продемонстрировал эффект левитации сверхпроводника в эксперименте.
Плоские колебания проводящего шара
Устойчивости магнитного подвеса также можно достичь, если ввести автоматическое регулирование напряженности магнитного поля так, чтобы при изменениях положения тела, обеспечивалась компенсация действующих на это тело сил. Наиболее распространенными системами такого типа являются, так называемые, активные магнитные подвесы и подшипники, в которых используется система автоматического управления током силовых электромагнитов [8, 21]. Широкое применение также получили магниторезонансные подвесы, в которых устойчивость подвешиваемого в переменном магнитном поле тела достигается путем специальной настройки резонансных контуров, частоты которых изменяются при смещении тела из положения равновесия [21].
Важную роль в понимании особенностей поведения электромеханической системы, находящейся в быстропеременном магнитном поле, играет эффект стабилизации за счет знакопеременных сил. Стабилизация такого типа имеет место не только в магнитной системе, но и в системах другой природы. Например, в механических системах с высокочастотной вибрацией [4], которая, по сути, приводит к изменению средней потенциальной энергии. Как показано в настоящей работе этот эффект кондукционного типа. Принцип их действия базируется на использовании силы, действующей на проводник с переменным током, помещенный в быстропеременное магнитное поле. Несмотря на то, что в литературных источниках упоминается возможность создания таких подвесов, они остаются наименее изученными.
Кроме прикладного значения, задачи о движении твердого тела в магнитном поле имеют и принципиальный теоретический интерес.
При движении проводящего тела в магнитном поле в нем наводятся электрические токи. Эти токи, с одной стороны, взаимодействуя с магнитным полем, вызывают появление электромагнитных сил, изменяющих динамику тела. С другой стороны, из-за возникновения наведенных токов меняется и электромагнитное поле. Таким образом, для исследования электромеханических систем требуется решать совместно уравнения электродинамики и уравнения движения твердого тела. Эта задача в общей постановке является чрезвычайно сложной для аналитического анализа. Численный же подход к ее решению зачастую не может обеспечить полную картину воздействия магнитного поля на динамику проводящего тела. Такой подход связан с необходимостью интегрирования уравнений движения твердого тела одновременно с решением краевой задачи для уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле. Кроме того, если в системе имеется несколько параметров и надо определить их влияние на ее движение, то процедура интегрирования должна быть повторена многократно. При анализе системы путем численного интегрирования может также возникнуть проблема устойчивости численных методов, поскольку в электромеханических системах часто наличествуют процессы либо протекающие с сильно различающимися скоростями, либо описываемые быстро осциллирующими функциями. Медленных и быстрых процессов, открывается возможность исследования электромеханических систем такого типа асимптотическими методами разделения движений. Они позволяют значительно упростить исходные математические модели и выделить существенные комбинации параметров. Такое упрощение во многих случаях дает возможность проведения качественного анализа, благодаря которому можно предсказать поведение электромеханической системы при различных сочетаниях исходных параметров.
Изучению влияния магнитного поля на проводящие тела посвящена обширная литература. Одной из основополагающих книг по этому направлению следует назвать книгу Ю.И. Неймарка и Н.А. Фуфаева [20], в которой на основе дискретного описания электромеханических процессов в квазистационарном приближении выведены уравнения Лагранжа-Максвелла для электромеханических систем с замкнутыми и незамкнутыми токами.
В работах М.М. Ветюкова, К.Ш. Ходжаева и С.Д. Шаталова [5, 30] для определения медленных движений в быстро осциллирующем магнитном поле проводящего твердого тела также используется дискретное описание электромагнитного поля, задаваемого бесконечномерной системой контуров вихревых токов. Для упрощения полученных систем уравнений Лагранжа-Максвелла применяется асимптотический метод.
В монографии Ю.Г. Мартыненко [15] предложен иной подход к исследованию электромеханических систем. В книге рассматриваются такие системы, для которых возможно применение асимптотического расщепления задачи движения твердого проводящего тела и краевой задачи электродинамики. Такое расщепление может быть достигнуто в случаях высокочастотного и квазистационарного внешних электрических или
и/г ат-члтллттт_тлг тт/лттотт Значительную роль в развитии теории электромеханических систем сыграли работы В.В. Белецкого [3], по изучению движения спутника в магнитном поле Земли, а также применению оскулирующих элементов при разделении медленных и быстрых движений в задачах динамики гироскопов с неконтактными подвесами.
Большинство работ по проблеме устойчивости электромеханических систем, посвящено анализу неконтактных подвесов, в состав которых входит следящая система, изменяющая силовое поле в зависимости от положения тела [8]. Также их обширная библиография приведена в [7, 21]. Кроме того, достаточно подробно изучены пассивные неконтактные подвесы, в которых устойчивость положения равновесия проводящего тела обеспечивается выбором параметров резонансных колебательных контуров [7, 21].
Свободная левитация кольца с током высокой частоты
Наименее исследованной остается проблема устойчивости упругих проводящих тел в магнитном поле. Среди работ этого направления можно указать на статьи К.Ш. Ходжаева [29], посвященные исследованию поведения токонесущих струн и мембран в магнитном поле, и В.М. Сорина [26] по исследованию устойчивости соленоида под действием сжимающих магнитных сил, возникающих между его витками.
Диссертационная работа состоит из трех глав, в каждой из которых рассматривается и исследуется определенный класс электромеханических систем. Связаны эти главы между собой тем, что в каждой из них для выявления физического эффекта используется влияние на электромеханическую систему постоянного или быстропеременного внешнего магнитного поля.
Первая глава посвящена изучению динамики маятниковых систем в быстропеременном магнитном поле. Эта задача возникла как попытка объяснения экспериментов Бетено и Дубошинского, описанных в [12], которые наблюдали стационарные колебания железного шарика, подвешенного на нити над торцом соленоида с переменным током. В литературе приводятся различные математические модели исследования этого эффекта, но все они основаны на введении эвристических формул либо для силы взаимодействия, либо для взаимной индукции шарика и соленоида. В настоящей работе проводится исследование некоторых задач о движении проводящего тела с закрепленной точкой в быстроперемен-ном магнитном поле. Рассматриваются маятники, содержащие один или два ортогональных проводящих контура, а также маятник, включающий в себя проводящую сферу в однородном быстропеременном магнитном поле. Используя метод усреднения, для этих систем удалось построить существенно более простые модели, допускающие полное качественное исследование движений. В частности, было получено, что в быстропеременном магнитном поле верхнее положение проводящего маятника может оказаться устойчивым. Т.е. такой маятник ведет себя подобно маятнику с вибрирующей точкой подвеса. Также была рассмотрена электромеханическая маятниковая система, находящаяся в осесимметричном переменном магнитном поле, ось которого проходит через точку подвеса и нижнее положение равновесия маятника. Было обнаружено, что для сферического маятника количество положений равновесия и существование автоколебательных режимов определяется исключительно функцией распределения внешнего магнитного поля.
Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению нового типа неуправляемого магнитного подвеса. В отличие от первой части работы, где основной интерес представляло дестабилизирующее действие электромагнитных сил, здесь, наоборот, изучается эффект стабилизации при помощи переменных электромагнитных воздействий. Одно из которых закреплено, а другое свободно. В закрепленном кольце задан переменный ток, а в свободном - напряжение той же частоты. Исследуются случаи одной, вертикальной, степени свободы и шести степеней свободы, т.е. свободной левитации. Найдены параметрические условия устойчивости равновесных положений подвеса, а также рассмотрены возможности для увеличения полученной зоны устойчивости.
Третья глава диссертации посвящена исследованию устойчивости круговой формы равновесия замкнутого тонкого провода с током. Эта задача актуальна для магнитных подвесов, когда свободное кольцо находится над источником поля и магнитная сила выталкивает его наверх против силы тяжести. В этом случае, в плоскости кольца создается сжимающее электромагнитное воздействие. Оно может привести к потере устойчивости круговой конфигурации и, следовательно, к изменению свойств системы. В качестве модели проводящего кольца рассматривалась тонкая нерастяжимая замкнутая нить с током в неоднородном осесимметричном магнитном поле, которая может деформироваться только в плоскости. Исследовались два случая: кольцо, имеющее электрическое сопротивление, запитанное постоянным током, и сверхпроводящее кольцо. Были найдены параметрические границы потери устойчивости по различным формам свободных колебаний, а также зависимость изменения конфигурации кольца от изменения параметров. Кроме того, рассматривалось влияние на потерю устойчивости учета изгибной жесткости кольца.
Устойчивость сверхпроводящего кольца
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что потеря устойчивости равновесия по произвольной форме колебаний тонкого кольца с постоянным током не зависит от размеров сечения проводника, а определяется только соотношением между током, значением напряженности внешнего поля и значением производной напряженности поля на круговой конфигурации. Кроме того, из рис.26 видно, что чем больше значение производной магнитного поля, тем по более высокой форме колебаний происходит потеря устойчивости при соответствующем значении FQ. Также из рис.26 следует, что в отсутствии внешнего магнитного поля круговая конфигурация является устойчивой, а в однородном магнитном поле потеря устойчивости может произойти только по второй форме колебаний, т.е. при этом устойчивой формой равновесия проводника становится эллипс.
Кроме нахождения бифуркационных значений параметров исследуемой задачи, определенный интерес представляет характер изменения ее решения при изменении указанных выше параметров, т.е. построение диаграммы ветвления. Так как рассматриваемая система интегро-дифференциальных уравнений имеет сложный нелинейный характер, то эта зависимость может быть приближенно аналитически найдена лишь вблизи отсчетной круговой конфигурации.
Подставляя эти выражения в исходную систему уравнений (3.1.9) и рас кладывая полученные функции в ряд по малым коэффициентам ак: Дь 6k и отклонениям /о, Д вблизи критических значений JF O И F \ получим, что коэффициенты формы войдут в результирующие уравнения в степенях, начиная с кубической. (Первые степени од,/?&,& сокращаются благодаря выполнению уравнений равновесия (3.1.13), при вторых степенях этих коэффициентов все множители обращаются в ноль, так как под знаками интегралов при них находятся згпф или созф в нечетной степени.) Значения отклонений /о и Д в уравнения войдут в первой степени, умноженной на первую степень коэффициентов формы.
Задача определения устойчивости форм равновесия замкнутого контура тока в магнитном поле представляет интерес также в случае, когда в моделируемом им проводнике реализуются условия сверхпроводимости. Несмотря на то, что часть самоиндукции проводника Li, связанная с магнитным полем внутри него, при изменении конфигурации провода остается постоянной, энергия, зависящая от нее, меняется, так как в рассматриваемой задаче изменяется ток. Поэтому в приведенных формулах L = Le + Li.
Еще одним существенным вопросом исследования форм равновесия тонкого проводника в магнитном поле является определение влияния на полученные результаты учета его изгибной жесткости. Функционал энергии для провода с постоянным током при учете сопротивления изгибу содержит дополнительное слагаемое - потенциальную энергию изгиба: Л = -/о27Г ( - ) іф1 + 12пІХд1(ф1) + т(ф1)]сіф1 (3.3.1) здесь Е - модуль Юнга материала проводника, / - момент инерции поперечного сечения. Введение в рассмотрение изгибной жесткости оказывает влияние только на третье уравнение (условие равенства моментов) исходной системы (3.1.9), - появляется еще одно слагаемое: ЕІв І/Щ. Поскольку это слагаемое линейное, оно не оказывает влияния на метод решения.
В результате проведенного в работе исследования, на основе изучения асимптотически упрощенных моделей некоторых видов электромеханических систем, проведен полный качественный анализ их динамики и устойчивости. При изучении маятниковых систем в быстропеременном магнитном поле была доказана устойчивость неустойчивого в поле силы тяжести верхнего положения равновесия. Исследование вращательных движений такого типа систем показало, что угловая скорость стационарного вращения не может превышать частоты изменения внешнего магнитного поля. Показано, что учет в системе вязкого трения приводит при потере устойчивости верхнего и нижнего положений равновесия к мягкому зарождению предельных циклов, что соответствует возникновению автоколебаний.
Показано, что стационарные колебания маятников, включающих в качестве подвеса симметричные (сферические) проводящие тела, реализуются только в неоднородных магнитных полях, причем возможность их возникновения определяется исключительно функцией изменения поля. Таким образом, впервые на основе асимптотических методов нелинейной механики было дано математическое обоснование экспериментов М. Бетено и Я.Б.Дубошинского [12], в которых наблюдались плоские стационарные колебания проводящего маятника над торцом соленоида переменного тока.
На основе асимптотических методов была доказана возможность создания пассивного электромагнитного подвеса, состоящего из двух проводящих колец в поле силы тяжести, зашатанных током высокой часто ты. Была математически продемонстрирована устойчивость подвеса с одной (вертикальной) степенью свободы в случае, когда подвижное кольцо находится под закрепленным. В случае, когда свободное кольцо находится над закрепленным, его положение равновесия устойчиво, даже если переменный ток (или напряжение) подводится только к закрепленному кольцу. При рассмотрении левитации абсолютно свободного кольца над закрепленным была доказана неустойчивость его положения равновесия при любых соотношениях параметров подвеса. Для свободного кольца, находящегося под закрепленным, была продемонстрирована устойчивость в малом по всем возможным степеням свободы, хотя и в достаточно узкой области технических параметров. Было определено, что использование в качестве подвешиваемого кольца меньшего радиуса, чем закрепленное, расширяет параметрическую зону устойчивости. Однако, практическая реализация подвеса на переменном токе возможна только при исключении его поворота из горизонтальной плоскости.
Поскольку изменение формы проводника меняет коэффициенты его само- и взаимоиндукции и, следовательно, его магнитные свойства, в работе были найдены параметрические границы области устойчивости круговой конфигурации плоского упругого кольца с током. При моделировании его нитью или тонким стержнем с током, в неоднородном осесимметричном магнитном поле (при условии, что ось поля совпадает с осью кольца в исходной недеформированной конфигурации), было определено, что потеря устойчивости может происходить по различным формам свободных колебаний.
Было показано, что хотя учет изгибной жесткости проводника каче ственно не меняет результата, полученного для проводящей нити, тем не менее параметрическая зона устойчивости значительно расширяется. Причем, чем выше предполагаемая форма потери устойчивости, тем сильнее увеличивается зона "устойчивости по этой форме".
В заключение можно отметить, что рассмотренные в работе задачи существенно расширяют круг задач, касающихся быстро развивающейся области аналитической механики - нелинейной электромеханики, а некоторые из них, в частности, исследование динамики электромагнитного подвеса на переменном токе, уже находятся в стадии своего практического воплощения.
