Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Аналитический обзор и постановка задачи 10
1.1. Краткий обзор по развитию методов решения уравнений движения в задачах небесной механики 10
1.2. Метод тейлоровских разложений 13
1.3. Методы Рунге-Кутты 15
1.4. Неявные одношаговые методы Эверхарта 16
1.5. Многошаговые методы 18
1.6. Экстраполяционные методы 21
1.6.1. Экстраполяционные схемы Невилла и Штера 21
1.6.2. Метод Булирша и Штера 23
1.7. Сравнительная характеристика методов 25
1.8. Малые тела (астероиды) Солнечной системы 26
1.9. Постановка задачи 30
Глава 2 Разработка математической модели решения задачи n-тел на основе метода тейлоровских разложений создание банка данных координат и скоростей больших планет 34
2.1. Эклиптическая гелиоцентрическая система координат 35
2.2. Эфемеридное, всемирное время и юлианские дни 37
2.3. Алгоритм перехода от юлианских дней к календарной дате и решение обратной задачи 41
2.4. Элементы орбит и прямоугольные координаты 43
2.4.1. Вычисление прямоугольных координат и скоростей по элементам орбит 45
2.4.2. Вычисление элементов орбиты по положению и скорости 49
2.5. Разработка математической модели решения задачи «-тел на основе метода Тейлора высокого порядка 52
2.5.1. Метод рядов Тейлора-Стеффенсона для планетной задачи 53
2.5.2. Высокоточный метод Тейлора для решения задачи я-тел с учетом релятивистских эффектов 55
2.5.3. Программа численного интегрирования уравнений движения небесных объектов методом на основе высокоточного метода разложения решения вряд Тейлора 59
2.5.4. Исследование эффективности применения метода разложения в ряд Тейлора для решения задачи п-тел. 60
2.5.5. Эффективные параметры использования высокоточного метода Тейлора 66
2.6. Банк данных координат и скоростей планет 71
2.6.1. Построение банка данных координати скоростей планет 72
2.6.2. Точность банка данных координат и скоростей 73
2.6.3. Вычисление координат и скоростей больших планет при использовании банка данных 73
Глава 3 Исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона на основе метода тейлоровских разложений 78
3.1. Выделение из банка данных малых тел Солнечной системы астероидов групп Аполлона, Амура, Атона 78
3.2. Функции распределения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона по эксцентриситету, наклонению и большой полуоси 79
3.3. Постоянная Тиссеранаи выделение родственных объектов 88
3.4. Потенциально опасные для столкновения с Землей астероиды 91
3.5. Программа численного интегрирования уравнений движения малых тел Солнечной системы на основе высокоточного метода Тейлора и проведение исследования эволюции орбит потенциально опасных астероидов на 1000 летнем интервале времени 93
3.6. Исследование сохранения принадлежности астероидов к группам Аполлона, Амура, Атона 95
3.7. Исследование устойчивости соизмеримостей средних движений астероидов групп Аполлона, Амура, Атона с большими планетами 96
3.8. Исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона, проходящих через сферу действия Земли, на интервале времени с 2005 по 3005 годы 106
Глава 4 Разработка программного обеспечения и его компьютерная реализация при математическом моделировании движения малых тел солнечной системы на основе метода тейлоровских
Разложений 119
Заключение 131
Список использованных источников литературы
- Неявные одношаговые методы Эверхарта
- Эфемеридное, всемирное время и юлианские дни
- Вычисление элементов орбиты по положению и скорости
- Функции распределения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона по эксцентриситету, наклонению и большой полуоси
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время достижения в области математического моделирования и вычислительного эксперимента как информационной технологии получений новых знаний об окружающем нас мире приобретают большое значение для различных областей наук, в том числе и для современной астрономии.
В связи с возросшим объемом информации об элементах орбит малых тел, принадлежащих Солнечной системе, возрос интерес к проблеме астероидной опасности. Разработка математической модели и программного обеспечения для численных теорий движения малых тел Солнечной системы является одним из составных этапов при решении этой проблемы. Наибольшую опасность для Земли, наряду с короткопериодическими кометами и крупными фрагментами в метеорных потоках, представляют астероиды (в частности астероиды групп Аполлона, Амура и Атона). Исследование их происхождения, устойчивости движения, оценка вероятности столкновения и предотвращение катастрофических последствий является лишь неполным перечнем проблем, требующих решения. Точность получаемых прогнозов диктуется адекватностью математической модели и адекватностью получаемых на её основе выводов и зависит от ряда факторов: учета в физической модели полного спектра действующих сил; выбора численного метода и его сходимости; устойчивости и погрешности самой математической модели.
Изучение движения малых тел Солнечной системы на основе решения стандартной задачи «-тел с учетом лишь гравитационных эффектов, не позволяют получать долгосрочные адекватные прогнозы. Учет релятивистских эффектов необходим для создания высокоточных численных теорий движения небесных объектов.
Бурное развитие численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений движения небесных объектов, произошло с созданием вычислительных машин. Д. К. Куликовым [58] были построены алгоритмы Коуэлла 8-10 порядков. Ш. Когеном и Э. Хаббартом [111] -
алгоритмы типа Адамса-Мултона-Коуэлла до 16 порядка. В. Ф. Мячин и О. А. Сизова [66], а также А. Ф. Заусаев [48, 49] разработали метод тейлоровских разложений для задачи я-тел. Гибридные и неявные методы разработали М. С. Яров-Яровой [99, 100], Э. Эверхарт [114] и другие.
Недостатками методов Коуэлла, Адамса-Мултона, гибридных методов является то, что они основаны на использовании разностных схем, что отражается на точности получаемых результатов. Методы, разработанные В. Ф. Мячиным, О. А. Сизовой и А. Ф. Заусаевым ориентированны на решение задачи и-тел и не допускают введения в правые части дифференциальных уравнений движения небесных объектов действия дополнительных возмущений.
Учитывая потребность в повышении точности применяемых методов, а также необходимость учета дополнительных действующих сил, устранение выше перечисленных недостатков является актуальной задачей, определяющей направление исследования диссертационной работы.
Цель работы
Разработка универсального метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений, позволяющего решать обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых являются степенными функциями.
Создание программного обеспечения для реализации универсального метода на основе метода тейлоровских разложений.
Разработка математической модели движения небесных тел (больших планет, астероидов) с учетом в дифференциальных уравнениях как гравитационных сил, так и релятивистских эффектов.
Исследование сходимости, устойчивости, погрешности математической модели и обоснование оптимального выбора параметров численного эксперимента.
Составление на основе разработанного метода объектно-ориентированных программ численного интегрирования уравнений движения и исследование движения астероидов, сближающихся с Землей;, выявление
наиболее опасных объектов среди астероидов, представляющих потенциальную угрозу для Земли.
Научная новизна.
Модифицирован метод численного интегрирования дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений за счет получения универсальных формул нахождения точных производных любого порядка от правых частей, содержащих степенные функции.
Проведено исследование сходимости, устойчивости и погрешности метода Тейлора на примере решения модельных задач, описывающих движение различных небесных тел (больших планет, астероидов) для различных порядков аппроксимации и шагов интегрирования.
Разработан комплекс программного обеспечения для реализации метода тейлоровских разложений и его применения при математическом моделировании движения небесных объектов.
На основе математического и программного обеспечения проведено исследование движения 1230 астероидов (на примере групп Аполлона, Амура, Атона) на длительные интервалы времени, выполнена их систематизация и классификация, выявлены 49 потенциально опасных для Земли астероидов и создан каталог их орбитальной эволюции.
На защиту выносятся следующие положения.
Модификация метод численного интегрирования дифференциальных уравнений на основе метода тейлоровских разложений за счет получения универсальных формул нахождения точных производных любого порядка от правых частей, содержащих степенные функции
Метод вычислительного эксперимента при анализе математической модели движения небесных тел с использованием банка данных координат и скоростей планет, позволяющий на порядок понизить размерность системы уравнений и повысить вычислительную эффективность модели.
Алгоритмы и комплекс проблемно-ориентированных программ для решения уравнений движения небесных тел на основе метода тейлоровских разложений
4, Новые качественные и количественные результаты исследования орбитальной эволюции малых тел (на примере астероидов групп Аполлона, Амура и Атона), сближающихся с большими планетами и их классификация и систематиз ация.
Практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Разработанный метод может применяться для решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих в правых частях степенные функции. Разработано математическое и программное обеспечение, имеющее универсальный характер, для исследования малых тел Солнечной системы: комет, крупных фрагментов в метеорных потоках и т.д. Результатом исследования явилось создание каталога орбитальной эволюции 49 потенциально опасных для Земли астероидов. Результаты прогноза относительно потенциально опасных астероидов могут быть использованы при решении проблем, связанных с астероидной опасностью.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований проверена путем всестороннего исследования численного метода, основанного на представлении решения в виде тейлоровских разложений, на устойчивость, сходимость, а также согласованностью координат и скоростей больших планет на различные моменты времени с результатами, полученными высокоточными численными методами другими авторами.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований. Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного технического университета (тема "Математическое моделирование движения небесных объектов, разработка высокоточных численных методов интегрирования уравнений движения небесных тел и их программного обеспечения").
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на третьей, четвертой и пятой Международных конференциях молодых» ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2002, 2003, 2004 гг.), на
двенадцатой Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004), на Всероссийской астрономической конференции ВАК 2004 "Горизонты Вселенной" (Москва, 2004), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004), на шестой Международной Петрозаводской конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" (Кисловодск, 2004), на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004), на шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005), на Международном симпозиуме "Астрономия - 2005: состояние и перспективы развития" (Москва, 2005), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2005), на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2005), на первом Международном форуме молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2005), на научных семинарах "Механика и прикладная математика" Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2003-2005 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Имеется одна работа, выполненная в соавторстве, в которой автору в равной степени принадлежит как постановка задачи, так и результат выполненного исследования. Все остальные работы выполнены автором самостоятельно.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и трех приложений, в которых приведен каталог эволюции 49 потенциально опасных астероидов и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации 218 страниц, основной текст изложен на 144 страницах. Диссертация содержит 35 рисунков и 11 таблиц. Список литературы включает 127 наименований.
Неявные одношаговые методы Эверхарта
Этот метод разработан специально для решения задач небесной механики и имеет совершенно иной способ построения неявных одношаговых алгоритмов типа Рунге-Кутты, Здесь используется ряд по степеням независимой переменной, который в общем случае не является рядом Тейлора [114].
Таким образом, в дальнейшем нахождение решения уравнения (1.11) сводится к нахождению узлов разбиения t, шага h. С точки зрения эффективности использования, этот метод является наилучшим. Поэтому в настоящее время он получил широкое практическое применение. Увеличение порядка аппроксимирующей формулы приводит к увеличению точности метода. В свое время Э. Эверхартом был разработан алгоритм лишь до 19-ого порядка точности. В современных работах [52, 53, 54] алгоритм Эверхарта развит до 31-ого порядка включительно.
Помимо одношаговых методов для решения уравнения движения задачи л-тел также используют многошаговые методы. В отличие от одношаговых методов, многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле ищется по значениям не одного, а нескольких предыдущих узлов. Многие многошаговые методы различного порядка точности можно конструировать с помощью квадратурного способа.
Первые многошаговые методы были разработаны Адамсом и Коуэллом [24, 27, 28] для решения задач небесной механики. Изложение многошаговых методов можно найти во многих научных изданиях, касающихся численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например у Бахвалова [25], а также в некоторых научных изданиях и статьях по небесной механике: Субботин [82], Чеботарев [94], Куликов [58], Oesterwintwer, Cohen [121]. Детальное изложение теории многошаговых методов можно найти у Хайрера [118] и др. Остановимся лишь на принципах построения разностных формул.
Если решение задачи Коши получено в узлах вплоть до -го, то можно аппроксимировать подынтегральную функцию, например интерполяционным многочленом Р(т) какой-либо степени, принимающим значения J{tn,yn) на множестве точек tm для которых уп уже известны. Вычислив интеграл от построенного многочлена на отрезке [х х \], получим ту или иную формулу Адамса [27, 28, 29] в зависимости от выбора полинома Р(т).
В зависимости от принимаемых значений щ, многошаговый метод может принимать как явный, так и неявный вид. Для одних и тех же значений к, неявный метод более устойчив к малым возмущениям уп. Этим и объясняется широкое применение неявных разностных формул на практике, в том числе и в задачах небесной механики.
Здесь gn содержит известные величиныyn+j,fn+j,j 0,1,2,...,к-\. Существование и единственность решения уравнения (1.27) для известных многошаговых методов доказана П. Хенричи [119].
Решение ищется в два этапа. 1. Определяется начальное приближение yfl+k. Обычно для этого используют явную многошаговую формулу. В этом случае явный метод называется предсказывающим. 2. Уточнение приближенного значения при помощи неявной формулы. Неявный метод - исправляющий. В целом процесс отыскания решения у„ к называется методом предсказания и коррекции.
В первом способе итерации проводятся до тех пор, пока сходимость не будет достигнута. При этом можно либо фиксировать шаг, оставляя число итераций произвольным, либо фиксировать число итераций, оставляя произвольной величину шага. Такой метод принято называть исправлением до сходимости.
В последнее время в задачах небесной механики получают распространение экстраполяционные методы. Экстраполяционные методы применительно к задачам небесной механики пока еще являются наименее изученными. Преимущественно используется метод рациональной экстраполяции, разработанный К. Булишем и Дж. Штером [106]. Достоинство экстраполяционных методов интегрирования состоит, прежде всего, в том, что для достижения высокой точности не требуется многократного перевычисления правых частей уравнений движения. Экстраполяционные методы позволяют одновременно варьировать порядком метода, величиной основного шага интегрирования и числом этапов на каждом шаге. Поэтому одинаковой точности вычислений можно достичь либо увеличивая порядок метода, либо увеличивая число этапов вычислений на шаге, либо уменьшая величину шага интегрирования. Это особенно удобно, когда правые части уравнений сложны, как, например, в задачах интегрирования уравнений движения искусственных спутников Земли.
Эфемеридное, всемирное время и юлианские дни
Для измерения времени необходима эталонная единица. Для ее получения использовались следующие периодические процессы: вращение Земли вокруг своей оси; вращение Земли вокруг Солнца; излучение (поглощение) электромагнитных волн атомами или молекулами некоторых веществ (при определенных внешних условиях).
Промежуток времени, в течение которого Земля делает один оборот вокруг своей оси относительно какого-нибудь ориентира на небе, называется сутками. Продолжительность суток будет различна в зависимости от того, какой ориентир используется в качестве точки отсчета. Для этих целей служат: точка весеннего равноденствия; центр видимого диска Солнца; среднее Солнце -фиктивная точка, равномерно движущаяся по экватору со средней за год скоростью движения истинного Солнца по эклиптике.
Определяемые таким образом три разных промежутка времени называются соответственно звездными, истинными и средними солнечными сутками. Истинные солнечные сутки неодинаковы в течение года в силу двух причин: 1) истинное Солнце, отражая вращение Земли по эллиптической орбите, движется по эклиптике неравномерно; 2) наклон эклиптики к экватору приводит к тому, что проекции одинаковых отрезков эклиптики на экватор не равномерны между собой, и, следовательно, часовой угол Солнца (отсчитываемый по экватору) ао изменяется неравномерно. 10
Разность между средним и истинным солнечным временем называется уравнением времени [89]. Четыре раза в году уравнение времени бывает равным нулю, а его максимальное и минимальное значение равны примерно ±15 мин. (см. рис.2.2).
Недостатком солнечного времени является трудность его определения из астрономических наблюдений. Солнце имеет большой видимый диск, что затрудняет отсчет положения его центра.
Использовать звездное время непосредственно в повседневной жизни неудобно, так как вследствие годового движения Земли по орбите звездные сутки короче среднесолнечных на Земле на 3 мин. 56 сек. Звездное время и среднесолнечное время быстро расходятся.
Вековое замедление скорости вращения Земли, Изменяющее продолжительность суток примерно на 0.002 сек. за столетие. Эта величина настолько мала, что обычно не принимается во внимание. Сезонная (обусловлена в основном сезонной циркуляцией атмосферы) неравномерность вращения Земли, изменяющая продолжительность суток от их среднего за год значения на величину, немного меньшую +0.001 сек.
Нерегулярные изменения скорости (является результатом действия различных факторов, в частности, нестационарных процессов внутри Земли), из-за которых продолжительность суток изменяется на величину да 10 сек. на интервале от нескольких лет до нескольких месяцев. Эти изменения не могут быть прогнозированы заранее и почти целиком входят в UT2.
Учет флуктуации и скорости вращения Земли производится путем сравнения теоретических вычислений (эфемеридпых) координат небесных тел с их координатами, полученными из наблюдений. Найденные поправки АТе дают возможность ввести шкалу эфемеридного времени которая является наиболее равномерной астрономической шкалой времени, получаемой из наблюдений. Время, отсчитываемое по этой шкале, называется эфемеридным. Его не следует путать с равномерным эфемеридным временем -математическим понятием, употребляемым в формулах небесной механики. Точность определения эфемеридного времени по отдельным наблюдениям из-за случайных ошибок меньше, чем точность определения UT2. Поэтому поправку АТе вычисляют как среднюю по большому ряду наблюдений (обычно за год или за полгода). Таким образом, точные значения ТЕ могут быть получены лишь по экстраполяции назад. Экстраполяция ТЕ вперед не может быть эффективной.
Если до открытия неравномерности вращения Земли основная единица времени - секунда определялась как 1/86400 доля средних солнечных суток, то с введением эфемеридного времени в качестве его единицы была принята эфемеридная секунда. В 1956 г. Международное бюро мер и весов дало следующее определение секунды: «Секунда есть 1/31556925.9747 доля тропического года для 1900 г. январь 0, в 12 часов эфемеридного времени».
Наряду с общепринятой календарной системой счета суток широкое применение в астрономии нашла система сплошного счета суток (без подразделения на месяцы и годы), предложенная в XVI в. Скалигером [89] и названная им юлианской (или юлианским периодом). Юлианский период начинается в средний гринический полдень 1 января 4713г. до н.э. Это -произвольно выбранный, но столь далекий момент, что все исторические даты были после него.
При этом необходимо иметь в виду, что юлианские даты сохранили свое начало по старому астрономическому счету в гринический полдень и после 1925 года. Поэтому юлианская дата, соответствующая некоторому моменту определенной календарной даты, будет выражена номером юлианского дня, соответствующим гриническому полдню этой календарной даты и сопровождаемым долей суток, протекших после этого полдня. Например, моменту времени (дате) t = 1970 май 5.725, UT соответствует юлианская дата Л) 2440712.255.
Юлианский эфемеридный день в этом случае предстаттает число эфемеридных суток, прошедших от даты - 4712, январь 1, 12й до 12ft ЕТ времени заданной календарной даты. Фундаментальной эпохе ньюкомовых планетных теорий 1900, январь 0, 12h ЕТ соответствует юлианская эфемеридная дата JED 2415020.0.
В дифференциальных уравнениях небесной механики пользуются именно этим ньюкомовским или эфемеридным временем, так как эфемериды небесных тел (т.е. их положения на небесной сфере для ряда моментов), полученные на основе решения дифференциальных уравнений небесной механики, естественно, даются в астрономических ежегодниках по ньюкомовскому времени.
Таким образом, в небесной механике широкое применение получила непрерывная шкала отсчета времени. Однако в повседневной жизни все наблюдения относятся, как правило, к обычной календарной дате. Поэтому возникает необходимость в алгоритмах, позволяющих осуществлять переход от календарной даты к юлианским дням, а также в алгоритмах решения обратной задачи.
Вычисление элементов орбиты по положению и скорости
Отметим, что целью представляемой диссертационной работы является построение математической модели движения малых тел Солнечной системы на основе метода тейлоровских разложений, и проведение исследования движения потенциально опасных астероидов, сближающихся с Землей.
Как уже отмечалось в первой главе, решение данной задачи состоит из ряда самостоятельных этапов: разработка физической модели движения небесных объектов, выбор математической модели и методов се реализации, проверка на адекватность применимости выбранной математической модели а финальным этапом является проведение комплектных исследований движения малых тел Солнечной системы.
Основной задачей небесной механики является задача «-тел, то есть движение п материальных точек под действием взаимного притяжения друг к другу по закону Ньютона. Математическая интерпретация этой задачи представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения этих уравнений нами предложен специализированный метод численного интегрирования, основанный на разложении правых частей дифференциальных уравнений в виде отрезка ряда Тейлора.
Следует отметить, что предложенный метод является обобщением известного метода Тейлора-Стефенсона, разработанного Мячиным и Сизовой [66] для решения задачи п-тел. Несомненным достоинством метода Тейлора-Стеффенсона является высокий порядок точности по сравнению с аналогичными разностными методами, такими как методы Коуэлла, Адамса-Бэшфорта и др.
Далее приводится алгоритм метода Тейлора-Стеффенсона для решения дифференциальных уравнений в задаче и-тел. 2.5.1. Метод рядов Тейлора-Стеффенсона для планетной задачи
Описанный метод численного решения задачи я-тел применим в исследовании движения больших планет и таких малых планет, которые движутся по почти круговым орбитам и не имеют тесных сближений с возмущаемыми телами. В тех случаях, когда исследуемое небесное тело движется по орбите с большим эксцентриситетом или имеет тесные сближения с гравитирующими массами на определенных участках траектории, а именно, при приближении к перицентру и в окрестности тесных сближений, сходимость рядов Тейлора-Стефенсона будет резко ухудшается в связи с тем, что функции правых частей уравнений движения не будут регулярными по независимой переменной t. Для достижения заданной точности вычисления можно воспользоваться уменьшением шага интегрирования или увеличением числа удерживаемых производных на каждом шаге. Однако на практике это не всегда дает желаемый результат из-за ограниченности разрядной сетки ЭВМ и, кроме того, требует дополнительных затрат машинного времени.
В современной численной теории изучения движения небесных объектов на больших интервалах времени, а также при создании банков данных координат и скоростей небесных объектов, где на точность результатов налагаются повышенные требования, помимо гравитационных сил в уравнении движения учитываются релятивистские члены, которые позволяют описать дополнительное смещение перигелиев. У Меркурия, например, оно достигает 43-х секунд дуги за столетие.
Обобщением метода Тейлора-Стеффенсона является метод, основанный на представлении решения конечным отрезком ряда Тейлора, разработанный автором данной диссертационной работы для исследования орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы.
Для вычисления первой производной необходимо знать только значение элемента F]]. Для второй производной - F2\ и Fl2. Для третьей - F j, F2.% и F1;3 и т. д. Для вычисления значений производных более высокого порядка необходимо знать значения элементов последующих диагоналей, а их значения выражаются через производные от элементов предыдущих диагоналей. Таким образом, задачу можно считать решенной, если возможно вычислить производную любого порядка от элемента F .
Таким образом, задача вычисления координат и скоростей возмущаемого тела с учетом релятивистских эффектов решена. Используя выведенные нами формулы (2.87) - (2.93) и подставляя в полученное разложение (2,86), по формулам (2.85) последовательно вычисляются производные высоких порядков, и после подстановки полученных значений в ряды Тейлора (2.81) и (2.82) находятся координаты и скорости возмущаемого тела на следующем шаге.
Функции распределения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона по эксцентриситету, наклонению и большой полуоси
Исследование распределения численности астероидов (как функции элементов орбит) важно для понимания эволюционных процессов этих объектов, выделения родственных групп, имеющих характерные особенности в распределении и общий характер происхождения.
Ниже на рисунках представлено распределение числа астероидов по значениям эксцентриситетов орбит астероидов. В основном гистограммы распределения имеют характер, близкий к нормальному.
Диапазон распределения по малому параметру в этом случае составляет от 0.00 до 0.70, при этом, у большинства астероидов значение эксцентриситетов заключены в интервале от 0.40 до 0.60. Наибольшее число астероидов - 210 и 213 - имеют эксцентриситеты в диапазонах 0.45-0.50 и 0.50-0.55 соответственно. Характер распределения, как и в предыдущем случае, близок к нормальному. Отличительным является то, что гистограмма имеет отрицательную асимметрию.
Гистограмма, представленная на рисунке 3.3, определяет распределение количества астероидов группы Аполлона в зависимости от величины эксцентриситета. Значения эксцентриситетов для аполлонцев распределены в интервале от 0.00 до 1.00. Диапазон распределения основного количества астероидов составляет от 0.45 до 0.70. Пиковые значения распределения приходятся на интервал от 0.55 до 0.65. У 189 астероидов значения эксцентриситетов находятся в диапазоне 0.55-0.60, у 190 астероидов -эксцентриситеты в интервале от 0.60 до 0.65.
Если рассматривать среднее значение эксцентриситетов для астероидов группы Атона, то это значение будет равным 0.37. Астероиды группы Амура имеют чуть более вытянутую орбиту. Их средний эксцентриситет 0.41. Наибольшее среднее значение эксцентриситета имеет группа Аполлона - 0.53. Таким образом, орбиты астероидов групп Аполлона, Амура, Атона имеют довольно вытянутые орбиты. Для сравнения, эксцентриситет Земли около 0.017, а 97% астероидов главного пояса имеют эксцентриситеты не более 0.33 [46, 60, 95]. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: астероиды групп Аполлона, Амура, Атона в настоящее время движутся по значительно более вытянутым орбитам по сравнению с главным поясом, так как среднее значение эксцентриситетов каждой из групп значительно превосходит значения эксцентриситетов главного пояса. Можно предположить, что изначально астероиды групп Аполлона, Амура, Атона принадлежали главному поясу, но в результате столкновительных процессов и возмущающего действия больших планет они изменили свои траектории. Также следует отметить, что в отличие от астероидов главного пояса, движущихся в кольце между Марсом и Юпитером, вытянутость орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона позволяет им сближаться практически со всеми внутренними планетами.
В целом, характер распределения астероидов по наклонению не имеет ярко выраженной статистической зависимости. Но все же большая из них часть имеет относительно небольшие углы наклона. Так, 50% астероидов групп Аполлона, Амура и Атона имеют наклонение не более 15. Для главного пояса астероидов - наклонение менее 16 имеют 90% астероидов [46, 95]. Таким образом, отсутствие каких либо особенностей в распределении по наклонению астероидов групп Аполлона, Амура, Атона от наклонений астероидов главного пояса также указывает на возможную общность их происхождения. Наличие астероидов с углами наклона более 30 можно объяснить действием планетных возмущений, которое испытывают астероиды в процессе сближения с ними.
При рассмотрении гистограмм распределения астероидов главного пояса по большой полуоси или среднесуточному движению, обращают внимание на давно замеченную и ярко выраженную неравномерность. Интервалы распределения астероидов в главном поясе по средним движениям, в которых наблюдается разрежение или полное отсутствие астероидов, принято называть люками (или пустотами, щелями) Кирквуда, по имени Дэниела Кирквуда, впервые обнаружившего это явление [60].
В основном эти области соответствуют соизмеримостям периодов обращения астероидов с периодом обращения Юпитера вокруг Солнца. Наиболее глубокими провалами в распределении являются люки с соизмеримостью с движением Юпитера 1/3, 2/5 и 1/2. Есть и другие просветы.
Сразу хотелось бы отметить, что для астероидов групп Аполлона, Амура и Атона ярко выраженных люков не наблюдается. Совсем, конечно, говорить об их полном отсутствии нельзя, но, тем не менее, полученная статистика не указывает на их ярко выраженное проявление. Это связанно с быстрым эволюционным процессом под действием планетных возмущений. В силу особенностей орбит, сближение астероидов Аполлона, Амура и Атона с большими планетами (Юпитер или даже Сатурн) возможно только вблизи афелиев орбит, что может произойти значительно реже.
Диапазон распределения астероидов этой группы от 1.00 до 4.00 а. е. Характер распределения астероидов группы Аполлона близок к нормальному со слабо выраженными провалами числа астероидов от значения большой полуоси. Проведенные исследования соизмеримостей движения с большими планетами показали, что снижение числа астероидов с большой полуосью в районе 1.58 а. е. соответствует соизмеримость 1:6 с Юпитером. Видимый люк при значении большой полуоси в районе 1.91 а. е. вызван соизмеримостью с Юпитером 2:9. В соизмеримости 1:3 движутся астероиды с большой полуосью 2.5 а. е.
В целом еще раз отметим, что при рассмотрении распределения астероидов по большой полуоси, в силу своей быстрой эволюции, мы не наблюдаем явно выраженной неравномерности в распределении астероидов групп Аполлона Амура Атона. Исключением являются аполлонцы, у которых слабо просматриваются разреженные области. Это связано с тем, что они могут в афелиях орбит иметь тесные сближения с планетами-гигантами Юпитером и Сатурном. Также отметим, что преобладание больших полуосей, близких к 1.0 а. е., у астероидов групп Атона и Амура можно объяснить условиями наблюдаемости.
Таким образом, на основании проведенных исследований распределения элементов орбит можно сделать следующее заключение: несмотря на то, что орбиты астероидов групп Аполлона Амура Атона и главного пояса астероидов занимают различные области в фазовом пространстве, имеется много общих черт в распределении их элементов орбит.
