Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые подходы к анализу движения зарядов в скрещенных полях 10
1.1 Аналитический подход 10
1.2 Численный анализ хаотических режимов в скрещенных полях (в условиях магнитного поля Земли, приборах магнетронного типа) 13
1.3 Выводы 15
Глава II. Математическая модель, критерии и методы анализа динамических режимов 17
2.1 Математическая постановка и базовая вычислительная схема задачи 17
2.2 Методы анализа характера траекторий зарядов в скрещенных полях 21
2.3 Описание разработанного программного комплекса 27
2.3.1 Архитектура и основные особенности разработанного программного обеспечения 27
2.3.2 Проведение расчетов с использованием разработанного программного обеспечения 28
2.4 Выводы 32
Глава III. Особенности движения зарядов в электрическом поле стоячей волны и при различных неоднородностях магнитного поля 33
3.1 Движение заряда в переменном электрическом и однородном магнитном поле 33
3.2 Движение заряда в переменном электрическом и желобковом магнитном поле 37
3.3 Движение заряда в переменном электрическом поле и гармонически изменяющемся неоднородном магнитном поле 46
3.4 Движение заряженной частицы в электрическом поле стоячей волны и магнитном поле, гармонически изменяющемся вдоль радиуса 51
3.5 Выводы 59
Глава IV. Исследование различных режимов колебаний в магнетронном диоде 60
4.1 Постановка задачи. Основные соотношения модели 60
4.2 Движение заряда в магнетронном диоде при желобковом магнитном поле 63
4.3 Движение заряда в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся магнитном поле 66
4.4 Движение заряда в магнетронном диоде при гармонически изменяющемся магнитном поле 70
4.5 Выводы 71
Заключение 73
Список используемых источников 75
- Численный анализ хаотических режимов в скрещенных полях (в условиях магнитного поля Земли, приборах магнетронного типа)
- Методы анализа характера траекторий зарядов в скрещенных полях
- Движение заряда в переменном электрическом и желобковом магнитном поле
- Движение заряда в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся магнитном поле
Введение к работе
Одним из важнейших событий в науке и технике последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса — колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов. Оказалось, что для большинства физических, химических, биологических и других систем природного или технического происхождения простые периодические колебания являются скорее исключением, а правилом — хаотические, с той или иной степенью хаотичности.
Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого явления, в частности, к исследованию поведения заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях.
Известен ряд работ, посвященных теоретическому исследованию хаотического поведения заряда в скрещенных полях: классические работы Г.М. Заславского и Р.З. Сагдеева, в которых уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора [28, 31, 33 и др.]; работа СВ. Поршнева по движению заряда в неоднородном магнитном поле Земли [57]; работы, выполненные В.Б. Байбуриным с сотрудниками: А.В. Юдиным , О.А. Мантуровым , Н.Ю. Хороводовой, К.В. Каминским, связанные с исследованием систем «заряд-скрещенные поля» применительно к приборам магнетронного типа, в магнитных ловушках и др, например [8, 9, 12, 80, 81, 83]. Хаотические режимы в магнетроне рассмотрены в теоретических и экспериментальных работах В.Г. Усыченко, А.В. Смирнова, В.М. Малышева и др [64, 74, 75].
Вместе с тем в этих работах не исследованы особенности поведения зарядов при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного поля, например при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны и гармонически изменяющемся воздействии магнитного поля, желобковым характере изменения магнитного поля и др.
Изложенное и определило цели и задачи диссертационной работы.
Целью диссертационной работы являются развитие математических моделей и исследование хаотического и регулярного поведения заряженных частиц в нелинейных динамических системах «заряд — скрещенные поля» при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного полей. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:
Развитие математической модели, описывающей нелинейную динамическую систему «заряд-скрещенные поля», выбор вычислительной схемы для решения нелинейных уравнений движения заряда в скрещенных полях.
Разработка соответствующего программного комплекса для моделирования различных режимов исследуемых систем, описывающих движение заряженной частицы в скрещенных полях.
Применение разработанной математической модели и программного комплекса при исследовании режимов колебаний заряда в скрещенных полях различного вида: электрическом поле стоячей волны, желобковом и экспоненциально меняющемся магнитном поле и др.
Научная новизна.
1. Развитие математических моделей различных режимов
динамической системы «заряд — скрещенные поля», позволяющих описывать траектории заряженной частицы, движущейся под воздействием нелинейных неоднородных электрического и магнитного полей.
С применением предложенных математических моделей и вычислительных схем показано, что в условиях электрического поля, имеющего вид стоячей волны, и постоянного магнитного поля, размеры области хаотичности зависят преимущественно от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты магнитного поля. При этом периодичность следования хаотических и регулярных областей определяется периодичностью изменения электрического поля.
Показано, что при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в желобковом магнитном поле возможна смена вида траекторий: от хаотического к регулярному, по мере движения частицы в область сильных магнитных полей.
Исследованы режимы движения заряженных частиц в условиях электрического поля стоячей волны и гармонически изменяющегося в пространстве магнитного поля. Показано, что степень хаотичности движения зарядов (по Ляпунову) уменьшается с увеличением циклотронной частоты. Имеет место периодичность, связанная с периодичностью областей хаотического и регулярного движений стоячей волны.
Показано, что при электрическом поле стоячей волны и неоднородном магнитном поле, изменяющемся гармонически вдоль радиуса, области регулярных и хаотичных траекторий периодичны вдоль радиуса, в соответствии с периодическим изменением
магнитного поля, и зависят от амплитуды изменения магнитного поля и частоты электрического поля. Также имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, обусловленная периодическим изменением амплитуды стоячего электрического ПОЛЯ.
В магнетронном диоде обнаружен эффект смены знака дрейфа заряда в скрещенных полях, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магнетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле.
Исследованы режимы движения заряженных частиц в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся вдоль радиуса и по одной из ортогональных координат магнитном поле. Показано, что имеет место переход от хаотического характера колебаний к регулярным по мере попадания заряженной частицы в возрастающее магнитное поле.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Предложенная математическая модель движения заряженной частицы в скрещенных электрических и магнитных полях и разработанный на ее основе программный комплекс позволяют рассчитывать траектории зарядов при движении в неоднородных электрических и магнитных полях различного вида, исследовать особенности динамических режимов, с учетом показателей Ляпунова, спектров мощности, вейвлстного анализа.
Воздействие возрастающего магнитного поля в системе «заряд — скрещенные поля» приводит к регуляризации траекторий
при попадании заряда в область сильных магнитных полей.
Воздействие гармонически изменяющегося магнитного поля (вдоль радиуса и по одной из пространственных координат) приводит к зависимости режимов колебаний от периода гармонически изменяющегося магнитного поля.
Результаты анализа различных режимов колебаний заряженной частицы в электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в однородном магнитном поле.
В магнетронном диоде при возрастающем вдоль радиуса магнитном поле имеет место эффект смены дрейфа заряда, обусловленный двумя фундаментальными эффектами: электрическим дрейфом и дрейфом, пропорциональным градиенту изменения магнитного поля.
Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в экспериментах и общефизическим представлением о характере процессов в динамических системах со скрещенными электромагнитными полями.
Практическая значимость.
Результаты изучения областей существования динамических режимов, условий их устойчивости и реализации в зависимости от параметров, как самой системы, так и параметров скрещенных полей могут использоваться как при создании сверхвысокочастотных приборов, таких, как магнитные ловушки, приборы удержания плазмы и др., так и при конструировании генераторов хаотических колебаний.
Апробация работы.
Основные результаты работы обсуждались в выступлениях на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008).
Публикации.
Основные результаты и положения диссертационного исследования опубликованы в 7 печатных работах [13-19].
Численный анализ хаотических режимов в скрещенных полях (в условиях магнитного поля Земли, приборах магнетронного типа)
Как показали результаты исследований, в работе [57], траектория движения заряда в неоднородном магнитном поле, создаваемом магнитным диполем, в координатном пространстве, является финитным квазипериодическим движением, т.е. заряд движется по поверхности тора; так как существование для каждого начального условия тороидальной поверхности является следствием сохранения энергии заряда, движущегося в постоянном магнитном поле.
В проведенных численных исследованиях особенностей движения электрических зарядов в постоянном неоднородном поле, создаваемом магнитным диполем, обнаружены хаотические решения системы. Для магнитного поля, параметры которого соответствуют параметрам магнитного поля Земли, определены условия возникновения динамического хаоса и описан механизм перехода к хаотическому режиму. Показано, что условия возникновения хаоса реализуются для нерелятивистских протонов с кинетической энергией 84 Мэв и релятивистских электронов с энергией 50 Мэв.
Начало теоретических исследований нелинейных явлений в сверхвысокочастотных приборах было положено созданием нестационарной нелинейной теории лампы обратной волны М-типа [76].
В работах [10, 23, 52, 64, 65, 66, 68, 69, 88, 89, 93] посвященных численному анализу методом крупных частиц процессов в усилителях и генераторах магнетронного типа проведены расчеты электронных траекторий в номинальных рабочих режимах. При этом устойчивость электронных траекторий в смысле критериев нелинейной динамики не рассматривалась.
В экспериментальных работах Смирнова, Усыченко [28, 29, 31, 32] делаются выводы о том, что многие явления в магнетроне, включая избыточный шум, определяются особенностями динамики стохастических волновых и колебательных процессов, развивающихся в пространственном заряде. В теоретической работе Малышева, Усыченко [51] подтверждена принципиальная возможность существования устойчивых вихреподобных электронных структур.
Вместе с тем, систематическое численное исследование хаотического и регулярного характера движения зарядов в скрещенных полях, в том числе, в приборах М-типа, с использованием критериев нелинейной динамики связана, по-видимому, с работами Байбурина, Юдина, Хороводовой, Каминского [9, 11, 12, 35, 80, 81 и др.]. В указанных работах на основе расчета показателя Ляпунова, Фурье-спектра, карт динамических режимов, установлено влияние азимутально-неоднородных магнитного и электрического полей на устойчивость траектории в магнетронном диоде, показана зависимость времени удержания зарядов в магнитной ловушке от устойчивости их движения, установлено регуляризирующее влияние сильных магнитных полей, а также связь устойчивости электронных траекторий с избыточным шумом.
Следует отметить, что библиография работ, посвященных анализу стохастических режимов не только в приборах М-типа, но также и в других типах СВЧ-приборов весьма обширна (см. например [7, 38, 39, 42, 44, 45, 64, 70, 72, 77] и др.).
В целом, результаты упомянутых выше работ позволяют сделать вывод, что общая картина физических механизмов формирования хаотических и регулярных режимов в системах «заряд — скрещенные электрические и магнитные поля (переменные и неоднородные)» весьма далека от завершения и требует дополнительных исследований. 1. На основе приближенных аналитических подходов (дрейфовое решение, метод усреднения) не удается отразить основные особенности траекторий зарядов в скрещенных полях, прежде всего их циклоидалыюсть, идентифицировать их устойчивость, а, следовательно, обнаружить хаотические режимы. 2. Систематическое исследование хаотических процессов в скрещенных полях должно основываться на исследовательском применении достаточно точных конечно-разностных схем и критериев нелинейной динамики (показатель Ляпунова, Фурье-и вейвлет-спектр, карты динамических режимов и т.д.) 3. На настоящем этапе исследований необходимо накопление теоретических и экспериментальных фактов по поведению зарядов в различного вида переменных и неоднородных, электрических и магнитных полей, что и обусловило перечень задач, рассмотренных в диссертации.
Методы анализа характера траекторий зарядов в скрещенных полях
В работе при исследовании характера движения заряженной частицы на «хаотичность» и «регулярность» использовались показатели Ляпунова, Фурье- и вейвлет-спектры.
Известно, что хаотический характер поведения динамической системы связан с неустойчивостью поведения фазовых траекторий. Если первоначально близкие траектории с течением времени расходятся по экспоненциальному закону, то это свидетельствует о неустойчивости по Ляпунову [37, 48, 50, 54].
Показатель Ляпунова рассчитывается по формуле: где d[t)=v 5x?(t) - расстояние между двумя соседними фазовыми точками в момент времени t, d{o)=v 6x {0) - расстояние между двумя соседними фазовыми траекториями в начальный момент времени t-0.
Для регулярных траекторий показатель Ляпунова имеет отрицательное или равное нулю значение, а в случае хаотического поведения положительные. В работе для расчета показателей Ляпунова применялся алгоритм, достаточно полно описанный в работе [94].
В работе также применялся метод исследования режимов движения зарядов с помощью карт динамических режимов (карты показателей Ляпунова) [90]. При построении карт динамических режимов в исследуемой области задавались начальные значения параметров и варьируемые параметры, в области которых, строится карта динамических режимов. При этом проводился расчет движения для двух зарядов, у которых начальные параметры отличались на задаваемую малую величину. В случае если показатель Ляпунова оказывался меньше нуля, то на карте динамических режимов соответствующая точка в области параметров отмечалась белым цветом, если показатель Ляпунова был больше нуля, то соответствующая точка отмечалась в оттенках от серого цвета (в зависимости от значения показателя Ляпунова) до черного цвета (максимальный показатель Ляпунова).
Одним из важнейших признаков хаотического режима колебаний является наличие сплошного шума в спектре мощности (Фурье спектре) исследуемой временной реализации сигнала [25, 49, 67]. Спектральный анализ проводится для характеризации частотного состава исследуемого временного ряда. Для систем демонстрирующих периодическую динамику с периодом Т Фурье-спектр будет содержать набор компонент, соответствующий частотам колебаний ш и кратным ей гармоникам.
Математической основой, которая связывает временной сигнал с его представлением в частотной области, является преобразование Фурье. В работе при расчетах Фурье спектра применялся алгоритм быстрого преобразования Фурье методом Cooleyukey [79, 92], позволяющий вычислить дискретное преобразование Фурье для числа отсчетов N - 2к за время порядка Nlog2 N.
В последние годы широкое применение в исследованиях и анализе временных рядов получил вейвлетный анализ [6, 24, 26, 27, 40, 41, 55] результаты которого хорошо дополняют данные Фурье-анализа. Базис собственных функций, по которому проводится разложение сигналов, обладает многими специальными свойствами и возможностями. Они позволяют сконцентрировать внимание на тех или иных особенностях анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционных преобразований Фурье и Лапласа.
Одна из главных и особенно плодотворных идей вейвлетного представления сигналов на различных уровнях декомпозиции (разложения) заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую - грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую - с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов.
Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами [91].
Известно, что непрерывное вейвлетное преобразование осуществляется путем свертки анализируемой функцией f(t) с двухпараметрической вейвлетной функцией Фа,ь(0 .
Движение заряда в переменном электрическом и желобковом магнитном поле
Приложение позволяет сохранить результаты, выводимые на графики в виде файла графического формата BMP. Также результаты моделирования сохраняются в виде объектных файлов для последующего использования данных при расчетах Фурье-спектра и непрерывного вейвлет-спектра и повторного использования для визуализации графиков. Для каждого графика по отдельности предоставляется возможность задания масштаба графика и единиц измерения.
В верхней части приложения расположена панель быстрых кнопок, позволяющая облегчить доступ пользователя к часто употребляемым функциям приложения. Старт и остановка моделирования осуществляется с помощью кнопок «старт моделирования» и «остановка моделирования» соответственно.
В левой части приложения находиться панель для различных служебных и вспомогательных функций.
Для расчета и построения карт динамических режимов служит пункт меню «расчет карт». При активации данного пункта меню пользователю с помощью нового модального окна предлагается выбрать один из трех возможных вариантов варьирования начальных параметров: в плоскости пространственных координат (х,у), в плоскости частотных параметров системы (О,со) и в плоскости варьирования частоты электрического поля и пространственной координаты (со, х). Также пользователь задает область варьирования по каждой из переменных. После ввода всех данных и начала исследования приложение производит расчет карт динамических режимов с выводом полученных данных на соответствующий график карты динамических режимов.
Таким образом, разработанное программное обеспечение позволяет проводить комплексное исследование динамики движения заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях различного вида, а модульная архитектура приложения позволяет достаточно быстро модифицировать его для новых исследовательских задач.
В общем виде сформулирована математическая модель, описывающая движение зарядов в переменном во времени и пространстве электрическом и неоднородным в пространстве магнитном полях.
Развита базовая вычислительная схема, основанная на неявном методе П-го порядка точности изложенным в работе Поттера. Указано на необходимость ее адаптации при учете различного характера неоднородностей действующих полей.
Изложены особенности примененных критериев нелинейной динамики (показатель Ляпунова, Фурье- и вейвлет-спектры, карты динамических режимов).
Описаны функциональные свойства созданного программного обеспечения в частности, такие важные для пользователя возможности, как вывод на экран динамики траекторий для нескольких зарядов одновременно, а также соответствующие графики Фурье и вейвлет спектров. Модульный характер программного комплекса позволяет оперативно вводить в качестве входных данных наряду с постоянными коэффициентами также и произвольные аналитические выражения для действующих полей.
В данной главе исследована устойчивость траекторий зарядов в электрическом поле стоячей волны в однородном магнитном поле, магнитном поле желобкового вида, в гармонически меняющемся вдоль радиуса магнитном поле. Построены двумерные и трехмерные фазовые траектории.
Рассмотрим движение заряженной частицы в переменном электрическом и однородном магнитном поле. Зададим в качестве возмущающего электрического поля плоскую стоячую волну, которая описывается уравнением: где Ей - амплитуда, со - частота колебаний электрического поля. Разностная схема будет иметь вид, описываемый выражением (2.11).
На рис.4 показаны карты динамических режимов, которые показывают зависимость режимов колебаний от пространственной координаты х заряженной частицы и частоты со. Видно, что при малых по модулю значениях частот со тг колебания в системе носят исключительно хаотический характер. При увеличении частоты переменной в исследуемой динамической системе появляются области, в которых возможны регулярные режимы колебания. Эти области зависят от фазовой координаты х таким образом, что в случаях, когда фазовая переменная кратна тт в системе возникают хаотические колебания. При этом в случае если со 2тт ширина чередующихся хаотических и регулярных областей остается неизменной.
Движение заряда в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся магнитном поле
В данном разделе рассматривается движение заряженной частицы в магнетронном диоде при экспоненциально возрастающем по радиусу магнитном поле. где г — модуль радиус-вектора заряженной частицы. При этом составляющие электрического поля в магнетронном диоде задавались в виде: где Ет введено как аналог тангенциальной составляющей ВЧ-поля. Вычислительная схема для экспоненциально возрастающего магнитного поля будет иметь следующий вид: Видно, что заряженная частица движется по циклоидальной траектории, а Фурье-спектр отражает регулярный характер колебаний. На рис.42 представлена типичная траектория заряженной частицы, стартующей с катода с нулевой скоростью, при этом учитывалось воздействие тангенциального поля (Ет-const). Рис.42 Демонстрирует эффект смены знака скорости дрейфа заряженной частицы. Как показали расчёты, вначале имеет место так называемый электрический дрейф, в направлении по часовой стрелке (1), затем по мере продвижения заряда в область относительно сильного изменения магнитного поля начинает преобладать эффект дрейфа в неоднородном магнитном поле уже в направлении против часовой стрелки (2). Участок, отмеченный на рис.42 квадратом, соответствует области, где скорости двух видов дрейфа сравниваются. Следует отметить, что описанный эффект может оказать существенное влияние на условия синхронизма в приборах магнетронного типа и должен учитываться при их проектировании.
Из характера траектории на рис.42 видно также, что по мере продвижения в область относительно сильного магнитного поля циклотронный радиус уменьшается. В данном разделе рассмотрено движение заряженной частицы в магнетронном диоде при гармонически изменяющемся вдоль радиуса магнитном поле, описываемым соотношением: Электрическое поле при этом описывалось соотношением (4.2). Расчетная схема имеет вид: На рис.43 приведена типичная хаотическая траектория движения заряженной частицы, стартующей с катода с нулевой начальной скоростью и соответствующий ей Фурье-спектр, носящий шумовой характер. Из рис.43а видно, что заряд, стартующий с катода с нулевой начальной скоростью движется хаотически и характер движения заряженной частицы остается хаотическим в течении всего времени моделирования. Фурье-спектр представленный на рис.436 носит шумовой характер, что также говорит о нерегулярном характере движения заряда. Предложены математические модели, описывающие движение заряженной частицы в магнетронном диоде при неоднородном магнитном поле, имеющим вид желоба; при магнитном поле экспоненциально возрастающем по радиусу; при гармонически изменяющемся магнитном поле. Результаты моделирования представлены траекториями движения заряженной частицы, расчетами Фурье-спектров и непрерывных вейвлет-спектров.
В магнетронном диоде обнаружен эффект смены знака дрейфа заряда при экспоненциально возрастающем магнитном поле, который является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле. Обнаруженный эффект может оказать влияние на условия синхронизма в магнетронном диоде. В магнетронном диоде при желобковом характере изменения магнитного поля присутствует эффект смены режима колебаний заряженной частицы с хаотических на регулярные при попадании заряженной частицы в относительно сильное магнитное поле, которое оказывает фокусирующее воздействие на заряженную частицу. К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие: 1. Развита математическая модель и выбрана вычислительная схема для исследования хаотических и регулярных режимов движения зарядов в скрещенных полях с учетом неоднородных нелинейно изменяющихся электрических и магнитных полей. 2. Показано, что в условиях электрического поля типа стоячей волны степень хаотичности колебаний заряженных частиц преимущественно зависит от соотношения частоты переменного электрического поля и циклотронной частоты. 3
Показано, что при электрическом поле типа стоячей волны и желобковом магнитном поле происходит регуляризация хаотических траекторий по мере движения в область относительно сильного магнитного поля. 4. При гармонически изменяющемся в пространстве магнитном поле и электрическом поле типа стоячей волны степень хаотичности уменьшается с увеличением циклотронной частоты и имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, связанная с периодичностью стоячей волны и периодичностью изменения магнитного поля. 5. Установлен эффект смены знака дрейфа заряда в магнетронном диоде, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магнетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов:
