Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные методы моделирования и принципы организации сканирующих зондовых микроскопов ближнего поля 11
1.1 .Введение 11
1.2. Физические основы сканирующей зондовой микроскопии 12
1.3. Режимы работы оптических микроскопов ближнего поля 14
1.4. Методы математического моделирования световых полей рассеяния в ближней зоне 18
1.5. Обработка изображений полученных посредством сканирующей зондовой микроскопии ближнего поля 20
1.6. Зонды для оптической сканирующей микроскопии 23
1.7. Выводы 24
Глава 2. Математические модели рассеяния световых полей в ближней зоне. Алгоритм обратной связи сканирующего оптического микроскопа ближнего поля (СОМБП) 26
2.1.Введение 26
2.2. Математические модели рассеяния световых полей в ближней зоне. 26
2.3. Алгоритм обратной связи сканирующего оптического микроскопа ближнего поля (СОМБП) 39
2.4 Выводы 45
Глава 3. Математические методы обработки изображений, полученных методами сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ) 47
3.1. Введение 47
3.2. Преобразования Фурье 47
3.3. Вейвлет — преобразования 49
3.3.1 Непрерывные и дискретные вейвлет — преобразования 49
3.3.2. Стационарные вейвлеты 60
3.3.3 Пакетные вейвлет - преобразования 63
3.4. Методы анализа фрактальных характеристик различных микроскопических объектов 65
3.4.1. Методы измерения фрактальных размерностей поверхностей микрообъектов 66
3.4.2. Метод WTMM 72
3.4.3 Фрактальные методы сжатия изображений 77
3.5 Выводы 80
Глава 4 Моделирование оптических элементов нанометровых размеров 82
4.1 Введение 82
4.2. Алгоритмы расчета фокусирующих характеристик микролинз для оптической микроскопии 82
4.3. Моделирование коаксиального оптического световода 89
4.4 Комплекс программ для сканирующей зондовой микроскопии ближнего поля 95
4.5 Выводы 97
Заключение 98
Литература 101
- Методы математического моделирования световых полей рассеяния в ближней зоне
- Алгоритм обратной связи сканирующего оптического микроскопа ближнего поля (СОМБП)
- Методы анализа фрактальных характеристик различных микроскопических объектов
- Алгоритмы расчета фокусирующих характеристик микролинз для оптической микроскопии
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время одним из основных методов исследования и модификации наноразмерных структур является сканирующая зондовая микроскопия (СЗМ), в том числе, оптическая микроскопия ближнего поля (СОМБП), использующая световые поля рассеяния в ближней зоне. Указанным вопросам посвящены работы зарубежных и отечественных авторов: Binnig G., Rohrer H., Young R., Hansma P., Pohl D., Quate C.F., Чаплыгина Ю.А., Эдельмана В.С., Яминского И.В., Панова В.И., Неволина В.К., Логинова Б.А., Быкова В.А., Емельянова В.И., Булатова А.Н., Вернера В.Д., Байбурина В.Б., Волкова Ю.П. и др. Вместе с тем следует признать, что ряд задач, формулируемых далее, связанных с теорией и практикой применения СЗМ, требуют дополнительных исследований и пока далеки от полного решения.
Следует отметить, что получаемые с помощью СОМБП изображения характеризуют картину распределения плотности энергии рассеянных световых полей. При этом картина распределения зависит от рельефа исследуемых поверхностей. В связи с этим, для правильной трактовки и анализа изображений, получаемых с помощью СОМБП, целесообразно установить соответствие между картиной распределения плотности энергии и некоторыми заданными эталонными поверхностями, например синусоидальными. Поскольку произвольную поверхность можно представить с помощью пространственных Фурье – гармоник, это позволит определять распределение плотности энергии для произвольной поверхности.
Не менее важной является задача обработки полученных с помощью СЗМ изображений, с целью устранения дефектов и искажений, специфичных для данного типа СЗМ (вздутие, наклон поверхности и др.), вызванных, в частности, прилипанием зонда, тепловым дрейфом, вибрацией острия и др. Используемые для этих целей методы (вычитание плоскости или поверхностей второго порядка, преобразования Фурье с удалением низкочастотных составляющих и др.) зачастую вносят дополнительные искажения. Поэтому возникает необходимость выбора и применения математических методов, позволяющих устранять указанные дефекты.
Значительную актуальность имеет также задача выбора конструкций зондов оптической микроскопии, обеспечивающих, в отличие от используемых в настоящее время, лучшие фокусирующие свойства и высокую разрешающую способность.
Изложенное определило следующую цель работы.
Целью работы являются использование и развитие математических моделей, позволяющих рассчитать распределение плотности энергии полей рассеяния световой волны на произвольных поверхностях в ближней зоне, применение эффективных математических методов обработки и анализа полученных изображений, выбор более эффективных конструкций микролинз и зондов микроскопии ближнего поля, а также создание комплекса программ, позволяющих проводить соответствующие оперативные расчеты.
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
Использование математических моделей для расчета рассеянных световых полей в ближней зоне для эталонных поверхностей с нанометровым рельефом, а также фокусирующих свойств микролинз и световодов.
Разработка и реализация новых алгоритмов обработки СЗМ изображений поверхности (вейвлет-преобразования, фрактальный анализ и др.).
Создание комплекса программ для расчета распределения электрических и магнитных полей при рассеянии вблизи поверхности в СОМБП при различном расстоянии от сканирующего элемента (от ближнего до дальнего поля), различном направлении падения волны (из вакуума, из среды), произвольной диэлектрической проницаемости исследуемой поверхности и произвольной поляризации световой волны.
На основе численного моделирования выбор конструкций зондов с улучшенными фокусирующими свойствами.
Методы и средства исследований.
В работе использовались методы решения задач волновой оптики, теория рассеяния света Ми, а также математические методы цифровой обработки сигналов, вейвлет-анализа, теории фракталов. В качестве оборудования использовались тестовые объекты и кантиливеры фирмы НТ – МДТ г. Зеленоград, электронный микроскоп HU-12A и сканирующий зондовый микроскоп (ООО «Пьезон» г. Саратов). Были использованы пакеты программ: Femlab, Matlab, а также «Программа управления универсальным комплексом сканирующей зондовой микроскопии» (авторы: Байбурин В.Б., Волков Ю.П., Якименко Р.А., Большаков А.А., свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2003611643 от 10 июля 2003 г.).
Научная новизна работы:
-
Применительно к задачам оптической микроскопии ближнего поля, применена и развита численная модель рассеяния света в ближней зоне на эталонных поверхностях с синусоидальным рельефом, отличающаяся тем, что расчеты производятся в ближней зоне для падающей под произвольным углом электромагнитной волны с произвольной поляризацией, в случае произвольной диэлектрической проницаемости поверхности и для больших амплитуд изменения рельефа, лежащих в пределах 1-10 нм.
-
Проведен сравнительный анализ различных математических методов (морфологическая фильтрация, Фурье-анализ, вейвлет-анализ и др.) обработки изображений поверхности и показано, что вейвлет-преобразования являются наиболее приемлемыми для обработки поверхностей произвольного рельефа.
-
Приведен сравнительный анализ различных методов расчета фрактальных размерностей изображений поверхностей, полученных с помощью СЗМ ближнего поля, и разработан математический алгоритм нахождения фрактальной размерности с помощью метода WTMM (метод модулей максимумов вейвлет-преобразования).
-
На основе теории Ми проведены расчеты фокусирующих свойств микролинз и показана целесообразность практического использования микролинз с диаметром не менее 10 мкм.
-
Проведен сравнительный анализ различных конструкций световодов (в случае идеального металла) и отмечены преимущества коаксиального световода (лучшие фокусирующие свойства).
-
Разработан комплекс программ, позволяющий:
Производить расчет плотности энергии световой волны для получения изображения поверхностей с синусоидальным рельефом, основываясь на решении задачи световых рассеянных полей в ближней зоне.
Производить обработку СЗМ изображений поверхностей различными математическими методами (морфологическая фильтрация, Фурье-анализ, вейвлет-анализ и др.) с целью устранения дефектов, вызванных спецификой микроскопа.
Сравнивать различные методы расчета фрактальных размерностей и оценивать сложность изображений при помощи одномерного и двухмерного WTMM анализа.
Научные положения, выносимые на защиту:
-
Примененная численная модель и разработанное на ее основе программное обеспечение позволяют рассчитывать световое поле в ближней зоне, для произвольного наноамплитудного рельефа поверхности среды с произвольной диэлектрической проницаемостью при различной поляризации падающего излучения.
-
По сравнению с другими математическими методами (дискретными преобразованиями Фурье, морфологическими фильтрами, вычитанием кривых 1-го и 2-го порядков) вейвлет-преобразования являются более эффективными, позволяя устранять наиболее специфичные для СЗМ искажения (наклон поверхности, вздутие и др.).
-
Нахождение фрактальной размерности с помощью метода WTMM дает возможность определить спектр фрактальных размерностей исследуемого объекта, позволяя оценить сложность рельефа поверхности объекта (гладкость поверхности, наличие дефектов и пор и др.).
-
Фокусирующие свойства коаксиальных острий СОМБП (в случае идеального металла) существенно превышают соответствующие параметры традиционных измерительных острий.
Практическая значимость.
Разработано программное обеспечение, позволяющее рассчитывать рассеянное поле любого порядка дифракции (проведены расчеты для 2-5 порядков, при этом увеличение порядка дифракции не приводит к существенным изменениям картины распределения светового поля) для произвольного рельефа поверхности с произвольной диэлектрической проницаемостью при различной поляризации падающего излучения.
Создан программный комплекс управления универсальным зондовым микроскопом, позволяющий производить сканирование, визуализацию изображений и обработку полученных объектов различными математическими методами. Указанное программное обеспечение используется при подготовке и проведении лабораторных работ по дисциплине «Компьютерное моделирование».
Создан программный продукт, исследующий фрактальные свойства заданной поверхности различными математическими методами.
Предложены конструкции оптических элементов для микроскопов ближнего поля различного типа, имеющие преимущества в сравнении с традиционно используемыми.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы доложены и обсуждены на Международной конференции SPIE «Fotonics West» (San Jose USA 2002), Международной конференции «Saratov fall meeting» (Саратов, 2002, 2009), Российском симпозиуме по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел РЭМ (Черноголовка, 2002, 2007), ХХI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008), Международной научно-технической конференции «АПЭП-2008» (Саратов, 2008), Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине – 2009» (Саратов, 2009), Международном форуме по нанотехнологиям «Rusnanotech – 09» (Москва, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ (статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ - 2, статей в научных сборниках - 13), получено 2 свидетельства об официальной регистрации программы для ЭВМ.
Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в участии в постановке целей и задач исследования, разработке алгоритмов и проведении расчетов. Обсуждение и анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами публикаций. Основные выводы по проведенной работе сформулированы автором работы.
Методы математического моделирования световых полей рассеяния в ближней зоне
На сегодняшний день задача математического моделирования получения изображений различных объектов с помощью оптической микроскопии дальнего [75] и ближнего полей (вычисление плотности энергии световых полей рассеяния для заданного участка поверхности) является весьма актуальной [13,23,29,84,86]. Расчет распределения плотности энергии рассеянных световых полей необходим для проведения теоретических исследований в оптике ближнего поля, объяснения новых оптических явлений и предсказания характеристик создаваемых нанометровых структур (фотонные кристаллы, среды Веселаго, ближнеполевые диффракционные элементы, эффекты пропускания массивов ноноразмерных отверстий и др.) [36, 37, 40,77].
Кроме того, при использовании оптических микроскопов ближнего поля зачастую возникают специфические искажения поверхностей исследуемых объектов, требующие устранений [26, 84,86].
Для решения подобных задач используется ряд методов, в частности, аналитическое или численное решение системы уравнений Максвелла [18], с использованием метода конечных разностей во временной области (FDTD) [38,39,84], метода конечных элементов (FEA) [69,74], численное решение уравнений Максвелла в интегральной форме методом вторичных источников [86,91,94], метод многих мультиполей (ММР) [86], аналитическое решение, основанное на теории Ми [14,82], и др.[32,83]. Аналитические методы решения уравнений Максвелла позволяют решить задачи преимущественно простой геометрии и поэтому их применение весьма ограниченно. Решение системы дифференциальных или интегральных уравнений требует разбиение исследуемой области на большое число элементов, что приводит к значительному возрастанию времени вычисления (особенно для трехмерного случая) [81,91]. Кроме того, получаемая в результате система уравнений может быть плохо обусловленной (например, в случае использования метода граничных интегральных уравнений, получаемая система содержит уравнение Фредгольма 1 рода), что приводит к необходимости использования различных методов регуляризации для корректного решения поставленной задачи. Использование сеточных методов (конечных элементов, конечных разностей, граничных элементов) зачастую требует так же вмешательство оператора для выбора типа элементов сетки и адекватной разбивки исследуемого объекта, поэтому, по выше перечисленным причинам, перечисленные методы трудоемки и требуют достаточной квалификации персонала и использования мощных ЭВМ.
Имеются также другие подходы, например, основанные на представлении рельефа исследуемой поверхности с помощью преобразования Фурье в виде суммы синусоидальных пространственных решеток различной амплитуды, фазы и частоты. Для каждой из полученных решеток рассчитывается поля рассеяния, которые суммируются, создавая поле, рассеянное исследуемой поверхностью. При этом в качестве упрощающего предположения используется гипотеза Релея о том, что рассеянное поле может быть представлено в виде суммы плоских волн (данное предположение справедливо, если амплитуда дифракционной решетки достаточно мала по сравнению с ее периодом). Данный подход развит в работах Greffet, Емельянова и др. [34, 73, 76].
Метод представленный в работах Greffet et al. [76], имеет ряд ограничений, в частности, он позволяет получить выражение для расчета только электрической компоненты Е поля, рассеянного синусоидальной дифракционной решеткой малой амплитуды. Для оценки энергии светового поля при произвольной поляризации падающего излучения необходимо вычислять электрическую и магнитную компоненты рассеянного поля. Поэтому, в случае произвольной поляризации падающего излучения для расчетов поля рассеяния в ближней зоне метод, предложенный Greffet, не применим и необходимо использовать другие подходы для решения данной задачи.
В качестве подобного подхода к вычислению поля в ближней зоне можно использовать аналитическое решение задачи дифракции света на синусоидальной решетке полученное Емельяновым с соавторами [34]. Данный подход был разработан для решения задач оптики дальнего поля (обоснование явления подавления зеркально отраженной компоненты при некоторых амплитудах и периодах дифракционной решетки). В данном методе также используется гипотеза Релея при выводе аналитического выражения для дифрагирующего и преломленного в среду поля, однако становится возможным вычислить как электрическую, так и магнитную компоненты светового поля, а, следовательно, оценить энергию с помощью вектора Пойнтинга. Значительным преимуществом данного метода является возможность вычисления дифрагировавшего поля произвольного порядка (а не только первого, как в методе Greffet).
Алгоритм обратной связи сканирующего оптического микроскопа ближнего поля (СОМБП)
Точность отображения рельефа напрямую зависит от выбора алгоритма регулирования обратной связи, который используется системой и реагирует на любые изменения управляющего параметра [64]. Чаще всего, в качестве алгоритма цифровой обратной связью используются пропорционально - интегрально - дифференциальный алгоритм (ПИД). ПИД алгоритм использует комбинацию трех составляющих сигнала: интегральной, пропорциональной и дифференциальной, каждая из которых выполняет свою задачу и оказывает специфическое воздействие на систему. ПИД алгоритм является основной программной частью микроскопа, позволяющей оптимально отображать рельеф сканируемой поверхности и характеризующейся гибкостью управления зондом. В качестве регулируемого параметра можно выбрать какую-либо переменную процесса, так например силу тока, величину прогиба консоли, интенсивность света и Др. Для работы цифровой ОС (Рис. 2.3.1.) значение контролируемого параметра усиливается предусилителем, расположенным в измерительной головке, затем оцифровывается АЦП и считывается во встроенный компьютер. ПИД - регулятор, поддерживая постоянным параметр (силу тока, напряжение или частоту), подает сигнал пьезо - элементу, указывая направление движения зонда (приближение или удаление по отношению к объекту). Таким образом, основным регулирующим элементом обратной связи выступает алгоритм управления, заложенный в компьютере, в отличие от аналоговой обратной связи, где регулирующим элементом является электронная схема управления. Разница между заданными (SP) и полученными данными (PV) определяет невязку (Е): E = SP-PV (2.3.1) Общая формула расчета управляющего воздействия по ПИД алгоритму определяется [51] следующим образом: где Et - невязка в момент времени t, a Ts и Td время интегрирования и дифференцирования соответственно. Формула определяет пропорциональную составляющую управляющего воздействия, которая равняется текущей невязке умноженной на некоторый коэффициент. Формула определяет интегральную составляющую управляющего воздействия, учитывающую предыдущие отклонения сигнала (невязки). Интегральная составляющая делает систему менее чувствительной к резким перепадам с учетом накопленных данных.
Особо актуально использование интегрального управления в системе с шумами. Формула определяет дифференциальную составляющую управляющего воздействия, которая реагирует на изменения сигнала и предназначена для усиления воздействия на эти изменения. Таким образом, соответствие (2.3.2) примет вид Цифровая система управления характерна тем, что накладывает значительные требования на быстродействие используемой цифровой техники (компьютер, АЦП, ЦАП) [65]. При этом, основные вычислительные затраты связаны с расчетом интегральной составляющей, поэтому, возникает необходимость разработки модифицированных ПИД алгоритмов, позволяющих снизить требования к быстродействию основных компонентов цифровой обратной связи. Входные данные реализованного нами модифицированного ПИД — алгоритма с обратной связью представляются следующим уравнением где Zt управляющее значение в момент времени t, Et — невязка (разница между заданным и регистрируемым значением регулируемой величины) в момент времени t, а = р + у + Р Td , Ъ = -Р +1-- 2Р Td , с = Р Г, , где Р, и P rrf " коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной частей соответственно.
Сравнительный анализ показал, что при одинаковых результатах работы обоих алгоритмом модифицированный ПИД алгоритм работает в 2-10 раз быстрее. Система регулирования нуждается в настройке перед запуском. Настройка зависит от параметров консоли и свойств поверхности. Кроме этого, в процессе исследования образца выбирается допустимый порог реакции обратной связи, и в случае, когда невязка ниже порога реакции обратной связи, система ее игнорирует, что позволяет повысить частоту сканирования. Пропорциональные, интегральные и дифференциальные коэффициенты определяются при тестовом запуске. Существует несколько методик их задания: отклик на ступенчатую кривую, сканирование вперед - назад и эволюционное программирование. Сканирование вперед — назад подразумевает неоднократное сканирование участка поверхности в обоих направлениях с последующим сравнением результатов (рельеф должен повторяться с некоторым смещением, вызванным гистерезисом сканера).
При тестировании с помощью эволюционного программирования, программа сама находит наилучшие значения коэффициентов, однако этот метод характеризуется большим объемом вычислений, что значительно увеличивает время выбора оптимальных коэффициентов и снижает скорость работы системы. В нашем случае, для выбора оптимальных коэффициентов используется тестирование откликом на ступенчатую кривую. При этом объект опускается и поднимается на высоту до 40 нм, при этом обратная связь автоматически восстанавливает заданное значение прогиба кантилевера с помощью ПИД — алгоритма с заданными начальными коэффициентами. Оптимальный подбор коэффициентов позволяет добиться высокой скорости работы алгоритма, неправильный подбор коэффициентов либо замедляет работу системы, либо приводит к возбуждению обратной связи и возникновению звона. На основе данного алгоритма был разработан программный продукт, встроенный в систему управления микроскопом. На рис. 2.3.2 показано окно выбора параметров ПИД. После установки заданных коэффициентов и нажатия кнопки PID Test, в отдельном окне появляется кривая реакции ОС микроскопа на ступенчатый сигнал, на основе анализа которой, добываются оптимальные данные.
Методы анализа фрактальных характеристик различных микроскопических объектов
Фракталы - геометрические объекты, имеющие сильно изрезанную форму и демонстрирующие некоторую повторяемость (самоподобие) в широком диапазоне масштабов, т.е. при увеличении масштаба фрагменты объекта будут подобны фрагментам предыдущего уровня. Свойство самоподобия не может быть бесконечным, и сохраняется на некотором определенном промежутке, пропадая при переходе через граничное масштабирование [47].
Различают фракталы двух видов: регулярные (характеризующиеся точным самоподобием) и случайные (характеризующиеся внесением элемента случайности в детерминированный закон построения). Структура случайных фракталов на малых масштабах не является точно идентичной всему объекту, их самоподобие возможно только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта [45].
В природе фрактальными свойствами обладает большое количество различных объектов, в частности длина береговых линий, горный ландшафт, структура земной поверхности на снимках из космоса, микрофотографии различных поверхностей, спекл - поля, структура молекул ДНК, микроскопическая поверхность и др. Измерение фрактальной размерности дает важную, зачастую уникальную информацию о структуре поверхности, в частности для оценки качества работы микроскопа, остроты зонда, уровне шумов и др.
Фрактальная размерность (показатель меры неоднородности объекта) — единственный параметр дающий количественное описания фракталов (в случае монофракталов) и спектр параметров (в случае мультифракталов). Показателем гладкости кривой является экспонента Гельдера, взятая из Гельдеровского условия регулярности.
Вещественная функция f, заданная на пространстве R", обладает свойством точечной регулярности в точке хо, т.е. принадлежит пространству Са(х0) при а -п, если существует полином Р, порядка не меньше а, такой что выполняется свойство где С - некоторая постоянная. Максимальное значение показателя а, при котором имеет место соотношение (3.4.1.1) называется экспонентой Гельдера в точке Хо. При значениях а 1 и выполнении условия f(x) - f(y)\ С\х - у\ на малых интервалах, точка х0 называется точкой сильной сингулярности.
Если функция / регулярна по Гёльдеру с показателем а и о п в окрестности точки х0, то это означает что функция обязательно п раз дифференцируема в этой окрестности, показатель Гёльдера для функция имеющая разрыв в хо, равен нулю в этой точке.
Для того, чтобы функция f обладала свойством однородной регулярности, необходимо выполнение условия (3.4.1.1) для всех вещественных п - мерных значений х0 и фиксированной константе С.
Показатель регулярности по Гёльдеру является мерой фрактальности поверхности и, существующие методы измерения фрактальной размерности, связаны с оценкой данного параметра.
Фрактальные объекты имеют дробные размерности, большие, чем топологические (например, для двумерных объектов размерность Dn (2;3)) [19,57].
Существует ряд методов измерения фрактальных размерностей. Классическим методом является метод подсчета кубов. Пусть d — топологическая размерность пространства, в котором находится фрактальный объект. Покроем данный объект целиком d — мерными шарами (кубами) радиуса R. Количество необходимых шаров зависит от R и равно N(R) Тогда, если при достаточно малых R величина N(R) меняется как функция от R по степенному закону N(R) 1/RD, (3.4.1.2) то D - называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью данного объекта.
Метод треугольников. Поверхность покрывается сеткой треугольников со стороной г, и определяется местоположение вершин треугольников, касающихся поверхности. Затем подсчитывается сумма площадей треугольников содержащих точки исследуемого объекта, после чего размерность сетки уменьшается вдвое и процесс повторяется до тех пор, пока длина г не будет описывать расстояние между двумя точками равное пикселю. Фрактальная размерность поверхности Df определяется следующим образом: строится график зависимости log(S(r)) от log(l/r), где S(r) — сумма площадей треугольников со стороной г, затем по полученной кривой проводится прямая (методом наименьших квадратов), измеряется угол наклона р данной прямой, и вычисляется Df=P+2.
Вариационный метод. Исходная поверхность покрывается квадратной сеткой со стороной г. Внутри каждого квадрата проводится плоскость наиболее близкая к исследуемой поверхности, в смысле наименьших квадратов. Из высот неровностей поверхностей каждого квадрата вычитается проведенная плоскость (удаляется тренд - постоянный наклон поверхности) и квадраты полученных величин суммируются (величина обозначаемая V(r)). Далее размерность сетки уменьшается вдвое и процесс повторяется до тех пор, пока длина г не будет описывать расстояние между двумя точками равное пикселю. По полученным данным строится график зависимости log(V(r)) от log(l/r). Затем по полученной кривой проводится прямая (методом наименьших квадратов), измеряется угол наклона 3 данной прямой. При этом фрактальная размерность объекта подсчитывается по формуле: Df=3-p72.
Алгоритмы расчета фокусирующих характеристик микролинз для оптической микроскопии
Совершенствование технологических процессов, разработка и миниатюризация интегральных оптических компонентов, создание и использование линз малых размеров приводят к необходимости проведения расчетов их оптических свойств (размеров и положения фокусов и др.). Для оптических элементов, размеры которых сравнимы (или меньше) длины волны, формулы дифракции Френеля и Фраунгофера не применимы, так как для их вывода используется так называемое оптическое приближение, в котором предполагается, что размеры оптических элементов и расстояние от линзы до фокального пятна значительно больше длины волны фокусируемого излучения. Теоретически и экспериментально доказано, что частицы размером менее 0,1 мкм равномерно рассеивают свет по всем направлениям, поэтому интерес представляет также вопрос, начиная с какого диаметра, сферическая линза будет работать как линза, то есть будет иметь фокус.[14330]
Для расчетов фокусирующей способности сферических микролинз в ближнем поле была использована теория Ми [15, 82] (основанная на системе уравнений Максвелла) рассеяния света на сферах. Эта теория была выбрана ввиду точности и многочисленных теоретических и экспериментальных подтверждений ее справедливости, как в ближнем, так и в дальнем поле. Формулы Ми [82] позволяют вычислить интенсивность электрической и магнитной компонент электромагнитного поля в произвольной точке пространства (как для ближнего поля, так и для дальнего поля сферического рассеивания). Во всех расчетах предполагалось, что плоская линейно поляризованная монохроматическая волна дифрагирует на сфере радиуса а, помещенной в изотропную непроводящую и немагнитную среду. Сфера считается немагнитной, но может быть как проводящей, так и диэлектрической. Амплитуда электрического вектора падающей волны нормирована на 1. Величины, относящиеся к среде, имеют индекс I, а относящиеся к рассеивающей сфере -индекс П.
В соответствии с теорией Ми, компоненты векторов поля рассеянной частицей волны в сферической системе координат записываются в виде бесконечных знакопеременных рядов, количество членов которых зависит от размера частиц и заданной точности.
Как показали расчеты, для диэлектрических сфер (стекло с показателем преломления 1,25) радиуса 0,01 мкм и меньше распределение интенсивности Е2,Н2И Е2 + Н2 равномерное, что совпадает с распределением поля диполя (Рис 4.2.2.) У микролинз начиная с диаметра 6 мкм (рис. 4.2.3) проявляются фокусирующие свойства (темное пятно, после которого виден расходящийся конус лучей) [20,21,63,96].
Для линз диаметра более 10 мкм появляется первый фокус (рис 4.2.4) и многочисленные фокусы (рис 4.2.5) для микролинз большего диаметра. Для полученных микролинз остается в силе «дифракционный предел» (0,1-0,3 микрометров), однако, несмотря на это, их использование в сканирующей микроскопии может быть достаточно перспективным. При расчете размеров фокального пятна (длина волны 0,63 мкм) по классической формуле (где Х- длина волны фокусируемого излучения; а- числовая апертура линзы (или объектива)), для «сухих» (не использующих иммерсионной жидкости) объективов, имеющих максимальную апертуру около 0,65, получаем диаметр пятна около 0,6 мкм. В случае же микролинз мы имеем для аналогичных условий размеры фокального пятна около 0,3 мкм, и, следовательно, можно ожидать, что их использование позволит увеличить разрешающую способность сканирующего микроскопа дальнего поля почти в два раза.
