Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные проблемы описания высокоэффективной хроматографии, постановка задачи 12
1.1. Задачи аналитической хроматографии 12
1.2. Современное состояние исследований в данной области 14
1.3. Законы, управляющие процессами сорбционного разделения 20
1.4. Постановка задачи и проблемы математического моделирования переменных режимов в хроматографии 27
1.5. Заключение к главе 1 29
Глава 2. Модель высокоэффективного хроматографического процесса общего вида 31
2.1. Математическое описание процессов хроматографии 31
2.2. Формулировка задачи и асимптотическая оценка решения 35
2.3. Заключение к главе 2 53
Глава 3. Особенности математического моделирования процессов высокоэффективной жидкостной хроматографии (ВЭЖХ) 55
3.1. Особенности ВЭЖХ.. 55
3.2. Применение общей модели хроматографического процесса к решению системы уравнений ВЭЖХ 56
3.3. Сравнение результатов описания градиентной ВЭЖХ с существующими исследованиями 66
3.4. Модель ВЭЖХ с линейным приближением силы элюента 77
3.5. Заключение к главе 3 83
Глава 4. Особенности математического моделирования процессов газовой хроматографии (ГХ) 85
4.1. Особенности ГХ 85
4.2. Неизотермический режим в ГХ 87
4.3. Программа Inkoverti, как инструмент для оценки индекса Ковача для ГХ 90
4.4. Заключение к главе 4 97
Глава 5. Комплекс компьютерных программ Ionchrom для моделирования процессов ионной хроматографии (ИХ) с переменными условиями элюирования 98
5.1. Введение 98
5.2. База данных, описывающая свойства ионов 100
5.3. Описание элементов модели 102
5.4. Результаты работы алгоритма моделирования хроматографической системы 118
5.5 Заключение к главе 5 156
Глава 6. Теоретический подход к оптимизации градиентной ионной хроматографии 157
6.1. Введение 157
6.2. Краткие описание математической модели ИХ 159
6.3. Понятие эффективности градиентной хроматографии 161
6.4. Постановка задачи оптимизации процесса ионной хроматографии... 165
6.5. Траектория хроматографического опыта на динамической карте 170
6.6. Математическое исследование моделей двухкомпонентной градиентной оптимизации ионной хроматографии.. 172
6.7. Алгоритм оптимизации изократического режима ионной хроматографии путём градиентного усиления элюента. 183
6.8. Квазиизократические режимы оптимизации, градиентный режим «змейка» 189
6.9. Заключение к главе 6 199
Заключение. 200
Выводы 200
Рекомендации по использованию полученных результатов и научных выводов.. 201
Список обозначений 203
Список литературы
- Современное состояние исследований в данной области
- Формулировка задачи и асимптотическая оценка решения
- Программа Inkoverti, как инструмент для оценки индекса Ковача для ГХ
- Понятие эффективности градиентной хроматографии
Современное состояние исследований в данной области
Современные методы хроматографии появились в середине прошлого века и сразу зарекомендовали себя как насущно необходимые для аналитической химии. Развитие аналитической хроматографии шло в направлениях модернизации аппаратуры (сорбенты, режимы, детекторы), математического моделирования процессов разделения, развития способов получения качественной и количественной информации из данных хроматографического эксперимента и поиска новых областей приложения хроматографии [68].
Задачи аналитической хроматографии заключаются в том, чтобы: для заданных аналитов подобрать селективные и эффективные фазы (подвижную и неподвижную), найти наиболее подходящее аппаратурное оформление, выбрать наилучшие режимы разделения, определить состав смеси с минимальной ошибкой.
На схеме организации хроматографического анализа блок «Первичная информация» содержит априорные сведения об объекте и цели анализа; под «Формализацией аналитической задачи» подразумевается выбор метода анализа, аналитического инструмента, оценка сложности объекта для выбранного метода анализа, уточнение цели анализа; далее необходимо настроить хроматограф для выполнения поставленной цели, оценить вероятный результат («Выбор условий, прогноз и анализ результатов эксперимента»), провести эксперимент («Прибор») и на основании сравнения ожидаемого результата и данных эксперимента («Сравнение прогноза и данных эксперимента») сделать вывод о качественном и количественном составе пробы (правая стрелка вверх). В том случае, когда результаты эксперимента на качественном уровне не соответствуют ожидаемым, делается вывод о большей сложности объекта («Уточнение характеристики сложной смеси»), и левая стрелка вверх замыкает цикл постановки и проведения эксперимента. Этот цикл повторяется столько раз, сколько требуется для достижения цели анализа. В схеме также отражена возможность накопления информации о хроматографической системе и аналитах (веществ пробы) в БД («База данных») и ее использования. Пунктирная стрелка говорит о необязательности пополнения базы данных при каждом анализе.
Отметим, что не случайно блок «Выбор условий, прогноз и анализ результатов эксперимента» осуществляет сразу три функции: априорный выбор условий, прогноз поведения аналитов, а после эксперимента – анализ экспериментальных данных. Несмотря на сильно различающийся характер, все три функции вносят элемент сознания: если попытаться автоматизировать процесс хроматографического анализа, то главные трудности возникнут именно здесь.
Так, в реальном эксперименте по анализу конкретного химического объекта (пробы) максимально полно учитывается методика анализа объектов этого класса. Однако практически всегда, когда искусственно созданная процедура применяется к природному объекту, возникают трудности, связанные с мешающим влиянием неизвестных компонентов, которые часто требуется преодолевать в дополнение к методике. Поэтому при всех современных возможностях по автоматизации анализа, роль и требуемый уровень знаний химика-аналитика, применяемых для управления процедурой анализа, возрастают. Компьютерная модель процесса при этом становится необходимым инструментом анализа.
Необходимость настоящего исследования связана с появлением современных прецизионных хроматографов, способных с высокой точностью обеспечивать произвольные переменные режимы анализа. Как уже было отмечено во введении, произвольные переменные режимы хроматографии требуют теоретического описания, базирующегося на физико-химических исследованиях. Проблемам сорбционного разделения в хроматографической колонке посвящена обширная литература. В обзоре Гельфериха [6] и монографиях Схунмакерса [65], Сенявина и Рубинштейна [63] приведено описание различных вариантов взаимодействия веществ в подвижной и неподвижной фазах и выведены формулы их взаимодействия. Малые концентрации исследуемых компонентов ( 10-3 — 10-7) позволяют пренебречь всеми нелинейными взаимодействиями в колонке, а также взаимодействием разных компонентов между собой и записать все химические и сорбционные взаимодействия в виде единой системы линейных дифференциальных уравнений. Ещё одна малая величина – это размер неоднородностей (зёрен) сорбента в колонке, что, как замечено в [105], даёт возможность перейти от разностных уравнений к дифференциальным. Линейная постановка задач хроматографии позволяет, решая соответствующие дифференциальные уравнения, исследовать произвольный хроматографический процесс по отклику на малые колебания граничных и начальных данных. Линейное приближение весьма упрощает задачу, делая возможным унификацию модели для самых разных видов хроматографии. Хотя в линейном приближении не учитываются сложные нелинейные эффекты хроматографии и влияния одного компонента пробы на другой, но можно рассмотреть достаточно сложные превращения одного и того же компонента. Превращения могут быть как химические (диссоциация, комплексообразование), так и фазовые (растворение), и чисто сорбционные, например, в газовой хроматографии условия сорбции зависят от того каким боком сорбируется молекула… Уравнения, управляющие процессами хроматографической системы общего вида даны наших работах [46, 54].
Переменные режимы хроматографии позволяют получить в одном опыте, на одной хроматограмме как слабо, так и сильноудерживаемые компоненты, но этим не ограничиваются возможности хроматографии с переменными режимами. Как показали наши исследования, переменные режимы способны не только значительно уменьшить время анализа, но и добиться лучшего разрешения компонентов. Добиться максимальной эффективности переменного режима возможно только путём тонкой настройки режима разделения, что невозможно без априорного моделирования хроматографического процесса.
В немногочисленных работах по моделированию градиентной ВЭЖХ представлены упрощенные модели удерживания: со ступенчатым [98], или линейными [94, 95, 102] режимами, — позволяющие рассчитывать только системы с однокомпонентными элюентами.
Так, хотя в работе [98] и используется ступенчатый режим элюирования, однако не исследован вопрос об оптимальном выборе параметров этих ступенек. Особой тщательной проработкой всех аспектов градиентного анализа отличается работа [94], в которой вполне корректно выведены не только формулы для положения пиков на хроматограмме, но и приближённые формулы для ширины пиков, однако, в связи с отсутствием общей теории в работах [94, 102] рассмотрено только линейное задание логарифмов коэффициентов распределения G:
Формулировка задачи и асимптотическая оценка решения
Как было упомянуто выше, процессы хроматографии основаны на возможности существования каждого вещества пробы в нескольких формах. Некоторые из этих форм находятся в подвижной фазе, некоторые – на неподвижном сорбенте. Кроме того, и в неподвижной, и в подвижной фазе может быть несколько форм одного и того же вещества, в ионной хроматографии это может происходить из-за диссоциации, в газовой – из-за разницы положений молекул на сорбенте [11]. Каждая форма может с некоторой вероятностью и скоростью переходить в другие формы, что порождает систему уравнений этих переходов, объединённых с уравнениями диффузии и переноса подвижной фазе. Требование высокоэффективности хроматографии накладывает требования малости коэффициентов диффузии как продольной, так внешней и внутренней, определяющих процессы сорбции. С другой стороны, наличие малого параметра позволяет искать решение задачи методом асимптотических приближений.
Метод решения систем дифференциальных уравнений с малым параметром при операторе дифференцирования известен ещё со времени построения асимптотических решений матричного уравнения Шредингера [38-41]. Метод состоит в разложении системы по малому параметру и в разделении первоначальной системы на систему обыкновенных уравнений для нахождения характеристик системы и уравнения переноса по каждой из характеристик. Каждая система характеристик соответствует своему собственному значению характеристической матрицы системы. Основные сложности построения решений указанных систем возникали в окрестности областей пересечения характеристик. Если пересекающиеся (или близкие) характеристики относились к одному и тому же собственному значению, то такое пересечение приводило к возникновению так называемой фокальной точки, полное решение этой проблемы дано в [39]. Если же пересекающиеся характеристики относятся к разным собственным значениям характеристической матрицы, то эта проблема получила название проблемы перемены кратности, так как основные сложности возникают при переходе через границу слияния двух или более собственных значений, первоначально отличающихся друг от друга, или наоборот сначала одинаковых, а затем расщепляющихся. Эта проблема для гиперболических систем с эрмитовыми матрицами решена в наших работах [43, 45], приложения к моделированию конкретных задач дано в работах [42, 44] . Асимптотические решения параболических систем (с учётом фокальных точек) описаны в работе [39]. Следует отметить также работы [2, 3, 66, 67], посвященные параболическим системам с нелинейными членами, в этих работах применён метод статистических моментов для нахождения асимптотик решения. Вернёмся теперь к рассматриваемой здесь задаче описания хроматографического процесса. Отвлекаясь от частностей конкретной реализации процесса, отметим то общее, что присуще высокоэффективной хроматографии: 1. вещество каждого компонента пробы в общем случае имеет несколько форм, концентрация вещества в той или иной форме, а также в той или иной фазе, обозначим через с,;
При движении по колонке некоторая часть компонента ct находятся на неподвижном сорбенте, а некоторая - движется со скоростью \ вместе с подвижной фазой. Для подвижных частей с концентрациями Cj в уравнение следует добавить стандартный член переноса: —L = jAjcj-Si {vq), где 8І равен единице для движущихся Cj и нулю для неподвижных. Условия анализа могут меняться, так что все коэффициенты уравнения зависят от координат пространственных и временных (x,t). 4. Необходимо также учитывать процессы продольной диффузии, особенно в жидких и газообразных средах, так что в уравнение следует добавить ещё стандартный диффузионный член с добавочными множителями o)ik(x,t) 0 для случая, когда і-ая форма пробы существует в нескольких эффективности хроматографии требует малости величин о2(0), в, и Д., что препятствует построению решения уравнения с помощью разностных схем в силу неустойчивости этого метода по отношению к малым погрешностям. Уравнения подобного вида можно решать асмптотическими методами, раскладывая решение в ряд по формальному безразмерному параметру h:
Как показало исследование, характеристическая матрица системы A2j несимметрична (неэрмитова), её собственные значения (кроме одного) имеют отрицательную действительную часть и поэтому описывают быстроубывающие моды, двигающиеся с различными скоростями (фокальные точки отсутствуют). Последнее собственное значение тождественно равно нулю и именно оно ответственно за перенос массы пробы. Этот факт и то, что матрица системы неэрмитова, порождают солитоно-подобное решение, состоящее из множества мод, локально движущимися с разными скоростями и переходящими друг в друга. Для нахождения основных параметров получившегося решения в работе использован метод статистических моментов, который позволил свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты работы опубликованы в статьях [47, 48, 55, 57].
Рассмотрим задачу Коши для обобщённой системы уравнений высокоэффективной хроматографии. Каждый компонент при прохождении через колонку состоит из нескольких форм, как в подвижной, так и в неподвижной фазе. Подвижная фаза движется по колонке со скоростью v{x, t). Система уравнений, описывающая движение п форм одного компонента пробы, где zt{x, t) - плотности вероятности нахождения пробы в i-ой форме и/или фазе в сечении колонки х в момент времени t, а (xj) -безразмерные временные и пространственные координаты задачи, - будет следующей: преобразования форм одного компонента пробы. Отличительной особенностью уравнения (2.4) является то, что термин форма не всегда идентичен химической форме вещества, так в газовой хроматографии одна и та же молекула может находиться в виде разных форм на сорбенте, в зависимости от её положения, от которого зависит сила её связи с сорбентом, а в ионной хроматографии одна форма может объединять несколько разных химических форм диссоциированных молекул с разными коэффициентами продольной диффузии, которые следует учитывать в уравнении с помощью коэффициентов coik(x,t) 0 (k = \...kmJ. Подробнее вывод коэффициентов уравнения (2.4) для уравнений конкретных видов хроматографии (жидкостной и газовой) дан в следующих главах.
Программа Inkoverti, как инструмент для оценки индекса Ковача для ГХ
В разделе 5.4.1 описаны принципы построения хроматографической карты КХУ и её возможности для определения свойств хроматографического процесса. В частности, отмечено, что точка пересечения линий, соответствующих разным компонентам, определяет режим, при которых эти компоненты не разделяются. На самом деле, компоненты не разделимы и при режимах близких к точке пересечения. Для определения степени этой близости вокруг линий компонентов рисуется полоса. При пересечении полос разделение компонентов невозможно. Так мы приходим к определению динамической карты хроматографической системы (ДКХС), на которой каждый компонент представлен полосой, средняя линия которой соответствует равновесному поведению компонента, а ширина полосы определяется кинетическими характеристиками и требуемым критерием разделения с другими компонентами. Динамическая карта представляет собой развитие хорошо известной идеи карты хроматографического удерживания в направлении учета кинетических характеристик системы.
Как было показано выше, карта хроматографического удерживания в самом общем виде – это совокупность графиков зависимости коэффициентов селективности аналитов по отношению к селективности опорного иона от силы элюента j – интегральной характеристики многокомпонентного элюента, зависящей от концентраций, зарядов, констант обмена и диссоциации компонентов элюента. Диаграмма строится в логарифмических координатах. Таким образом, карта хроматографического удерживания является пределом для ДКХС при отсутствии кинетических эффектов (при «мгновенной» кинетике).
На рис. 5.5 представлен пример динамической карты для заданной хроматографической системы, каждая из цветных полос на ней соответствует одному из исследуемых компонентов пробы, места перекрытия полос соответствуют режимам, при которых нет разделения.
Динамическая карта заданной хроматографической системы. Ось ординат y соответствует десятичному логарифму отношения исправленных времен удерживания аналита и опорного иона. Ось абсцисс представляет собой логарифм силы элюента X.
Средние линии полос для простых аналитов, согласно (5.64), представляют собой прямую, наклон которой связан с зарядом иона.
На форму полос полиморфных компонентов (5.62) влияет распределение ионных форм, зависящее от рН элюента, поэтому рН элюента является еще одной, помимо силы элюента, независимой переменной. Для удобства вместо построения трехмерного графика в методе ДКХС выбирается секущая поверхность с образующими, параллельными вертикальной оси y, а линия пересечения с горизонтальной плоскостью (pH, X) отвечает хронологическим последовательностям для концентраций компонентов элюента при заданном градиентном режиме (рис.5.6). В случае изократического режима берется плоскость, параллельная плоскости ( X, y) и пересекающая ось pH в точке, соответствующей элюенту. исправленное время удерживания, т. е. время, соответствующее максимуму концентрации рассматриваемого компонента на выходной кривой; х1 = 2о2-л/21п2 — ширина пика на уровне половины высоты пика компонента. Следует заметить, что формула (5.73) не учитывает разницы концентраций (или высоты пиков) при вычислении Ry, в связи с этим для микрокомпонентов следует задавать большее Я,., уширяя соответствующую полосу на динамической карте.
Таким образом, ширина полосы зависит от кинетических свойств иона и заданной величины степени разделения. Отрезки на оси абсцисс, для которых ни одна пара полос не пересекается, соответствуют элюентам, при использовании которых достигается степень разделения ионов не хуже заданной. В областях пересечения полос требуемое качество разделения ионов не достигается. Соответственно, условию достижения требуемых степеней разделения на ДКХС соответствует непересечение полос компонентов пробы. Это условие может выполняться для различных («разрешенных») интервалов на оси абсцисс. В изократическом режиме, для Х = const, порядок выхода компонентов пробы соответствует очередности расположения полос снизу-вверх в сечении карты с этой координатой. Так как разрешенные интервалы разделены областями пересечения полос, в которых порядок компонентов меняется, то различным разрешенным интервалам соответствует различный порядок элюирования компонентов смеси. Более сильным элюентам, т.е. более правым точкам на оси абсцисс, отвечают меньшие времена удерживания - и меньшие времена анализа в целом. Следовательно, оптимальным элюентам соответствуют крайние правые точки разрешенных интервалов. Абсолютный минимум времени анализа достигается для правого разрешенного интервала.
В изократическом варианте задача оптимизации автоматизирована в рамках программы. Задавая степень требуемого разделения для каждого компонента пробы, запускаем программу автоматического перебора с заданным шагом произвольных варьируемых параметров хроматографа и элюента от минимального их значения до максимального, расчета времени выхода пиков и оценки степени их разделения в соответствии с заданными критериями Ri . Сила элюента варьируется путем изменения суммарной концентрации компонентов элюента с сохранением первоначально заданных пропорций между ними.
В окне программы IonChrom каждый оптимизируемый параметр, задается в виде трех величин: начального значения, шага поиска и конечного значения (рис.5.8).
Приведем пример использования оптимизации в рамках программы Ionchrom для создания методики определения нитратов на уровне 1 мг/л в морской воде. Ввиду близости сорбируемости ионов бромида и нитрата, а также из-за присутствия макрокомпонентов – хлорида и сульфата, эта задача трудна для ионной хроматографии. Важность же постановки таких исследований диктуется необходимостью экологического мониторинга морей и других природных объектов.
Итак, зададим исходные данные для расчета:
Ионный состав элюента: анионы угольной кислоты (H2CO3) и гидроксил (задается значением рН элюента), значения концентрации: варьируются от 0.01 до 100 (мМ), рН: варьируется от 8.00 до 11.00, расход: варьируется от 1.00 до 3.00 (мл/мин), предельное рабочее давление насоса: 8 МПа. колонка: диаметр 0.6 см, порозность укладки 0.33, длина: варьируется от 10 до 30 см, сорбент: зернение 14 мкм, ширина фракции 0.2, тип структуры ЦПИ, толщина оболочки 5.7 мкм (согласно [30] оптимальная толщина оболочки сорбента составляет 1/3 от диаметра зерна, что учитывается при синтезе сорбента КанК-АСт), емкость сорбента 0.010 мэкв/мл.
Понятие эффективности градиентной хроматографии
В правой части неравенства (6.50) стоит малая величина 1/jN, умноженная на (ф0 -Ф1), слева величина порядка единицы, также умноженная на (ф0-Ф1), поэтому единственным вариантом соблюдения условия (6.50) является условие Ф1 ф0. Подставим это условие во второе уравнение в (6.49) и получим, что АК1 АК1.
Доказательство теоремы 6.1 легко обобщается на случай, когда существует некоторое множество отрезков {ti ,ti+1} 0 ti ti+1 tM , на которых задан некоторый произвольный режим элюирования, где tM tM+1-времена выхода двух разделяемых компонентов, предположим также, что компоненты разделены с заданным критерием разделения R0. Тогда оптимальным по времени на отрезках, не входящих в множество {ti ,ti+1}, будет некоторый постоянный режим с силой элюента j0 , соответствующей силе элюента в момент выхода первого из этих двух компонентов. Алгоритм оптимизации изократического режима ионной хроматографии путём градиентного усиления элюента.
В данном разделе предложен алгоритм градиентной оптимизации, позволяющие уменьшить общее время анализа. За основу на ДКХС выбирается оптимальный изократический режим, затем производится уменьшение времени анализа путём выбора градиентного изменения свойств элюента в соответствии с математическими оценками, доказанными выше для каждой пары компонентов. Так для оптимизации разделения двух компонентов в соответствии с доказанной теоремой 6.1 требуется изократический режим до момента выхода первого пика, далее желательно максимальное усиление элюента. На основании этого можно построить следующий алгоритм градиентной оптимизации:
Градиентная оптимизация с сохранением порядка выхода компонентов. Алгоритм построен на основании доказанной выше теореме 6.1 и замечании 6.1. 1. 1. Шаг первый - изократическая оптимизация, состоящая в том, что на оси абсцисс ДКХС находятся все разрешённые интервалы (для изократических режимов) и в качестве оптимального режима выбирается самая правая точка выбранного интервала, задающего порядок выхода компонентов. 2. Второй этап - поиск критичных компонентов на выбранном интервале. Если этих компонентов одна пара, то выбор единственный, если несколько, то выбор самой верхней (по оси y ) пары 3. Далее, из точки выхода первого компонента t =t1 выбранной критической пары строим на ДКХС линию максимально допустимого градиента до момента выхода второго критического компонента t =t2 , величина градиента определяется возможностями оборудования. 4. Рассчитываем новую ДКХС для t t2 , исключая из рассмотрения те компоненты, которые уже вышли из хроматографа, затем ищем следующую пару критических компонентов, сдвигая направо отрезок вертикальной траектории над уже построенным отрезком (после выхода второго компонента критичной пары). 5. Далее возвращаемся к пункту 2 алгоритма. Схема градиентной оптимизации процесса хроматографии при заданном порядке выхода компонентов.
Фрагмент динамической карты с траекторией изократического режима (A,B) и оптимального градиентного режима (A,C,D,E,F,G,H).
Вышеописанный алгоритм можно записать аналитически в виде системы уравнений. Занумеруем критические точки индексом m=1,… , а компоненты, полосы которых пересекаются в этих точках индексами m1 – для нижнего компонента, m2 – верхнего компонента, тогда время пересечения полос можно выразить формулой: (tm1 + R0tm1 =tm2 -R0tm2 ). Силу элюента jm и отрезок времени Dtm (когда j=jm = const ) от точки пересечения предыдущих критических (m-1)–ых компонентов до текущего m-ого пересечения можно найти из системы уравнений:
