Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИИ. В последнее время резко возрос интерес к математическому моделированию молекулярных структур на микроуровне. Он обусловлен появлением новейших технологий и приложений в биологии, оптике, микроэлектронике и других прикладных дисциплинах. Одним из интереснейших объектов исследования в этой связи являются молекулярные пленки Ленгмюра-Блоджетт (моно- и мультислои), состоящие из длинных органических макромолекул. Они применяются в качестве диэлектриков и туннельных барьеров, для изготовления фоторезистов, в устройствах интегральной оптики, в нелинейных оптических приборах и в других областях традиционной микроэлектроники. Простейшая пленка - ленгмюровский .монослой "толщиной в одну молекулу" представляет собой пример редко встречающихся в природе двумерных систем.
Большинство теоретических работ, посвященных изучению свойств ленгмюровских пленок, сводится к исследованию либо индивидуальных свойств молекул, составляющих пленку, либо различных вариантов феноменологического макроскопического подхода. Однако, наибольший интерес с точки зрения понимания процессов, протекающих в пленках, и практических приложений представляет как раз построение микроскопической теории моно-и мультислоев, а также компьютерное моделирование на основе известных принципов взаимодействия длинных органических макромолекул.
Весьма перспективным в этой связи представляется квазиклассический механический подход, в райках которого молекулярная система получает описание как объект классической механики. Необходимость учета различного рода внешних и параметрических воздействий, которым может быть подвергнута молекулярная структура, приводит к формулировке незамкнутой механической модели. Наиболее подходящей с точки зрения автора обобщенной математической моделью таких структур является гамильтонова система с внешним воздействием.
dq дН dp дН
dt dp dt д q
где t - время, q - вектор обобщенных координат, р - вектор обобщенных импульсов, H(t,q,p) - гамильтониан, f(t,q,p) -векторная функция, описывающая внешнее воздействие.
Уравнения классической механики являются одним из старейших объектов изучения в математике и играют исключительно важную роль во многих приложениях. Однако, гамильтоновым системам с внешним воздействием уделялось до последнего времени сравнительно мало внимания. В основном изучались уравнения движения Ньютона, к которым сводится (1) в ряде важных частных случаев. В связи с возникшими новейшими приложениями в области моделирования микроструктур возникает необходимость в интегрировании уравнений (/) на достаточно больших временных промежутках. Эта необходимость возникает при исследовании динамических режимов в математических моделях ленгмюровских монослоев, изучении статистических свойств траекторий и вычислении различных средних на траекториях (показатели Ляпунова и т.п.). Поэтому исключительно важное значение приобретают нелокальные вопросы общей и качественной теории систем вида (7) и разработка эффективных численных алгоритмов для их ре-. шения.
Математическое моделирование любого объекта включает в себя формулировку модели в виде соответствующих уравнений, разработку алгоритмов их решения и создание пакетов прикладных программ. Вместе с тем по-прежнему остаются актуальными вопросы, традиционно относимые к области "чистой" математики, такие как исследование существования, единственности, продолжимости, ограниченности и устойчивости решений уравнений, рассматриваемые в рамках общего и качественного исследования модели. Ответы на эти вопросы весьма важны, так как они дают представление о состоятельности изучаемой модели.
При построении численных алгоритмов целесообразно учитывать свойства решении, выражающиеся в присущих им законах сохранения. В связи с этим следует подчеркнуть важность соблюдения принципа консервативности для гамильтоновых систем с внешним воздействием, которые удовлетворяют соотношению баланса гамильтониана на фазовой траектории
(2)
dll дії дН
dt ~ Зі 'dp
В диссертации ключевыми являются как теоретические, так и прикладные вопросы математического моделирования молекулярных микроструктур.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Научная новизна работы состоит в решении теоретических вопросов, относящихся к нелокальной качественной теории гамильтоновых систем с внешним воздействием, разработке и обосновании численных алгоритмов, получении качественных и количественных результатов математического моделирования ленгмюровских монослоев на микроуровне, состоящих в раскрытии механизма перехода устойчивых состояний монослоя друг в друга и описании характерных динамических режимов.
Практическая значимость работы определяется с одной стороны разработкой основ механического подхода в математическом моделировании структур на микроуровне, а с другой стороны -предсказанием при помощи математического моделирования конкретных свойств ленгмюровских монослоев, которые при последующем экспериментальном подтверждении могут лечь в основу разработки новых приборов и устройств микроэлектроники.
. Общность предпринятого подхода позволяет распространить методику исследования не только на ленгмюровские пленки других типов, но и на иные молекулярные структуры на микроуровне.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является создание методологического подхода в моделировании молекулярных микроструктур, решение возникающих при этом вопросов нелокальной качественной теории, разработка вычислительных алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов по исследованию статических и динамических свойств ленгмюровского монослоя.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В методическом аспекте работа базируется на аппарате общей и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, механики и вычислительной математики. Формулировка математических моделей основывается на теоретических и экспериментальных положениях, принятых в оте-
чественной и зарубежной научной литературе. Обоснованность и достоверность математических моделей и результатов моделирования подтверждается сопоставлением полученных результатов с аналитическими решениями, экспериментальными данными и численными результатами других авторов и при использовании других методов. Надежность результатов подтверждена тестовыми расчетами.
ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА состоит в формулировке обобщенной математической модели молекулярной микроструктуры, решении вопросов общей и качественной теории, разработке и обосновании вычислительных алгоритмов, проведении компьютерного моделирования ленгмюровского монослоя.
Разработка математической модели ленгмюровского монослоя, постановка задачи и интерпретация результатов осуществлялись совместно с сотрудниками Института радиотехники и электроники РАН В.В.Кисловым и И.В.Тарановым.
Большая помощь в проведении численных расчетов при определяющем участии автора оказана сотрудником Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН В.М.Агаяном.
АППРОБАВДЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались, на семинарах Института прикладной математики им. Ы.В.Келдыша (1991 г.), лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова (1994 г.), кафедры математики физического факультета МГУ (1994 г.), Института математического моделирования РАН (1995, 1996 гг.). Автором сделано четыре доклада на семинаре по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (1994-1996 гг.). По результатам работы сделаны доклады на Всероссийской школе-семинаре молодых ученых (Абрау-Дюрсо, 1995 г.), на международной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" (г. Ижевск, 1996 г.)..
ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 36 печатных работ: в научных журналах и научных сборниках - 22, в трудах конференций и семинаров - 3, в препринтах - II. Две статьи депонировано в ВИНИТИ. Основными из них являются рабо-
ТЫ [1-21].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и работ автора общим количеством 237 названий. Нумерация формул, определений, замечаний и утверждений осуществляется в каждой главе независимо от других глав. Объем диссертационной работы составляет 306 страниц текста, в том числе: рисунков II, таблиц 3.
