Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор 15
1.1. Обзор дискретных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений 15
1.1.1. Методы разложения в ряд Тейлора 16
1.1.2. Методы Рунге-Кутты 17
1.1.3. Многошаговые методы Адамса-Бсшфорта и Адамса-Мултона 17
1.1.4. Блочные методы 19
1.1.5. Гибридные методы 19
1.1.6. Методы Обрешкова 20
1.2. Сходимость и устойчивость численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений 20
1.2.1. Понятие о сходимости и согласованности численных методов 20
1.2.2. Нуль-устойчивость 22
1.2.3. Области абсолютной и относительной устойчивости 23
1.3. Краткое описание Солнечной системы 27
1.3.1. Краткое описание Солнечной системы 27
1.3.2. Малые тела Солнечной системы 28
1.4. Постановка задачи 30
Глава 2. Дифференциальные уравнения движения. Метод Эвер харта 33
2.1. Связь координат, скоростей и элементов орбит
2.1.1. Элементы орбит 33
2.1.2. Системы координат 36
2.1.3. Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и скорости в начальный момент 38
2.1.4. Вычисление прямоугольных координат и компонент скорости по элементам орбит 40
2.1.5. Эклиптические и экваториальные координаты 41
Время и его измерение 44
2.2.1. Координаты и время 44
2.2.2. Эфсмсриднос время 45
2.2.3. Юлианская дата 46
2.2.4. Звёздное время 47
Влияние прецессии на координаты и элементы орбиты 49
2.3.1. Преобразование прямоугольных координат от одной зпохи к другой 49
2.3.2. Преобразование элементов орбит от одной эпохи к другой 50
Математическая модель движения малых тел Солнечной си тсмы 51
2.4.1. Дифференциальные уравнения движения 51
2.4.2. Обоснование выбора математической модели 57
Метод Эверхарта 59
2.5.1. Основные уравнения 59
2.5.2. Алгоритм интегрирования 62
2.5.3. Модификация метода Эверхарта 65
Численное интегрирование уравнений движения небесных телмодифицированным методом Эверхарта 71
Выводы Описание программного обеспечения 74
Общий обзор 74
Описание базы данных 76
Java-апплеты для наглядного представления эволюции орбит малых тел на web-сайте 79
3.3.1. Общее описание 79
3.3.2. Описание пакетов s DateClasses и s MathClasses 80
3.3.3. Описание пакета s Graph2DApplet 82
3.3.4. Описание пакетов s Graph3DApplet, s OrbitClasscs 85
3.3.5. Описание пакета s CalcApplet 94
Программный комплекс для исследования эволюции орбитастероидов 96
3.4.1. Общее описание 96
3.4.2. Библиотеки, реализующие вычислительные алгоритмы 98
3.4.3. Библиотека для сохранения результатов вычислений 101
3.4.4. Библиотеки для работы с базой данных и файловой системой 102
3.4.5. Приложения для автоматизации вычислений — серверная часть 103
3.4.6. Приложения для автоматизации вычислений — клиентская часть 109
3.4.7. Приложения для автоматизации обновления базы данных 112
3.4.8. Приложения для работы с базой данных 113
3.4.9. Приложения для исследования эволюции орбит астероида 116
Выводы 123
Глава 4. Исследование эволюции движения малых тел Солнечной системы 125
4.1. Создание каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы 125
4.2. Распределение численности астероидов групп Аполлона. Амура. Атона в зависимости от элементов орбит 133
4.3. Исследование эволюции движения астероидов 142
4.4. Исследование эволюции орбит астероида 99942 Apophis 145
4.5. Сравнение результатов вычислений с наблюдениями 149
4.6. Влияние начальных данных на результаты вычислений эволюции орбит астероидов 150
4.7. Оценка погрешности эфемерид метода Эвсрхарта с помощью экстраполяции 155
4.8. Сравнение метода Эверхарта с методом Адамса 181
4.9. Выводы 188
Заключение 189
Литература
- Многошаговые методы Адамса-Бсшфорта и Адамса-Мултона
- Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и скорости в начальный момент
- Java-апплеты для наглядного представления эволюции орбит малых тел на web-сайте
- Влияние начальных данных на результаты вычислений эволюции орбит астероидов
Введение к работе
Актуальность работы В решении проблемы астероидной опасности одним из важнейших этапов является исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона, так как орбиты астероидов этих групп в процессе эволюции могут пересекать орбиту Земли.
Дифференциальные уравнения, описывающие движения астероидов, сложны и в общем случае не имеют аналитического решения, поэтому для их интегрирования используются численные методы. Разработка алгоритмов численного интегрирования является одним из составных этапов решения «проблемы астероидной опасности».
Помимо разработки алгоритмов численного интегрирования необходимо провести исследования их устойчивости и получить надёжные оценки погрешности получаемых результатов.
Проблеме астероидной опасности в последне время уделяется повышенное внимание1234, помимо этого остаётя актуальной разработка моделей, описывающих движение объекта5, методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения6 и программного обеспечения для исследования эволюции движения малых тел Солнечной системы .
Как было сказано выше астероиды из групп Аполлона, Амура, Атона могут пересекать орбиту Земли. Исследование эволюции таких объектов является особенно актальной задачей и требует разработки более точных математических моделей и метовов.
На текущий момент известно более 8500 астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона, поэтому разработка программного обеспечения, позволяющего автоматизировать процесс исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы, так же является актуальной задачей.
Объектом исследования являются математические модели, описывающих движение малых тел Солнечной системы, представленные в виде
1 Заботин А. С, Кочетова О. М., Шор В. А. сближение малой планеты (99942) Apophis = 2004 MN4
с Землёй в 2029 г. // Всероссийская конференция «Астероиднокометная опасность — 2005» (АКО-2005).
- 2005. - С. 134-137
2 Ивашкин В. В., Стихно К. А. Анализ проблемы коррекции орбиты астероида Apophis. — 2008.
3 Башаков А. А., Питьев Н. П., Соколов Л. Л. Особенности движения астероида 99942 Апофис. —
2008. - Т. 42, № 1 . - С. 20-29.
4 Виноградова Т. А. , Железнов Н. Б. , Кузнецов В. Б. Каталог потенциально опасных астероидов
и комет // Тр. ИПА РАН. - 2003. - Т. 9. - С. 11-218.
5 О влиянии эффекта Ярковского на орбиту Апофиса /В. А. Шор, Ю. А. Чернетенко, О. М.
Кочетова, Н. Б. Железнов // Астрономический вестник. — 2012 . — № 46 (2) . — С. 131-142.
6 Смирнов Е. А. Современные методы численного интегрирования уравнений движения астероидов,
сближающихся с Землёй. — 2007.
7 Железнов Н. Б., Шор В. А. Компьютерные разработки лаборатории малых тел солнечной си
стемы ИПА РАН // Физика Космоса: Труды 32 Международной студенческой научной конференции. —
2003. - Т. 1-3. - С. 88-96.
диффиренциальных уравнений, алгоритмы и методы их численного интегрирования.
Предметом исследования является разработка программных комплексов для моделирования эволюции движения астероидов групп Аполлона, Амура и Атона на основе метода Эверхарта численного интегрирования дифференциальных уравнений и математических моделей, описывающие движение малых тел Солнечной системы.
Цель и задачи работы работы. Для математической модели, представленной в виде дифференциальных уравнений второго порядка, учитывающей гравитационные и релятивистские эффекты, разработать вычислительных алгоритмы на основе модифицированного одношагового метода Эверхарта и создать на их основе программный комплекс для исследования эволюции малых тел Солнечной системы, с помощью которого провести исследование эволюцию движения астероидов из групп Аполлона, Амура и Атона, представляющих потенциальную опасность.
Достижение поставленной цели связано с решением нижеследующих задач.
-
Разработать вычислительные алгоритмы и программное обеспечение для модифицированного одношагового метода Эверхарта с высоким (до 33-го включительно) порядком аппроксимирующих формул.
-
Выполнить исследование сходимости и устойчивости как используемого численного метода, так и решаемой задачи Коши; произвести оценки погрешности полученных результатов.
-
Автоматизировать процесс численного интегрирования дифференциальных уравнений небесных тел и обработки получаемых результатов с использованием возможностей современных многоядерных процессоров.
-
При помощи разработанного программного обеспечения провести исследование и создать информационный банк данных эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона на интервале времени с 1800 по 2206 годы.
-
Разработать программное и информационное обеспечение для создаваемого научно-информационного сайта, позволяющее в наглядной и удобной пользователю форме представлять и обрабатывать полученные результаты, в интерактивной форме работать с созданной базой данных.
-
Выявить астероиды из групп Аполлона, Амура и Атона, проходящие через сферу действия больших планет, и объекты, представляющие потенциальную опасность для Земли.
Методы исследования. В диссертационной работе применялись следующие методы:
-
Методы математического моделирования управляемых систем.
-
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
-
Методы теории устойчивости и управления.
-
Методы объектно-ориентированного программирования. Научная новизна.
-
Для исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы предложена модифицированная математическая модель, применяемая ранее для создания численной теории движения планет, Луны и Солнца DE4058, что позволило повысить точность проводимых исследований для объектов, сближающихся с Землёй.
-
Для математической модели эволюции движения малых тел Солнечной системы разработаны вычислительные алгоритмы для модифицированного одношагового метода Эверхарта, которые, в отличие от ранее существующих, обладают более высоким (до 33-го включительно) порядком аппроксимирующих формул.
-
Разработан универсальный программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы и обработки получаемых результатов, на основе которого создан научно-информационный ресурс .
-
Проведено исследование эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона на основе разработанных современных модифицированных математических моделей и методов, выявлены астероиды, представляющие потенциальную опасность для Земли.
Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:
1. Модификация математической модели, описывающей ранее движение планет, Луны и Солнца, и её применение для исследования эволюции движения малых тел Солнечной системы, сближающихся с Землёй.
8 Standish Е. М. Jpl planetary and lunar ephemerides, DE405 / LE405 // JetProp Lab Technical Report, IOM 312, F-048. — 1998. — P. 1-7
-
Вычислительный алгоритмы для исследования математической модели эволюции орбит малых тел Солнечной системы, созданные на основе модифицированного численного метода Эверхарта с высоким (до 33-го включительно) порядком аппроксимирующей формулы и переменным шагом интегрирования.
-
Информационный банк данных эфемерид астероидов групп Аполона, Амура и Атона, сближающихся с Землёй, на интервале времени с 1800 по 2206 годы, созданный на основе разработанных математических моделей и методов.
-
Разработанные алгоритмы и Java-апплеты для работы с научно-информационным ресурсом , позволяющие производить вычисления с размещёнными на сайте данными и в наглядной форме представлять получаемые результаты.
-
Разработанный универсальный программный комплекс, автоматизирующий процесс исследования эволюции движения малых тел Солнечной системы и обработки получаемых результатов.
Теоретическая и практическая значимость работы.
-
Разработанный программный комплекс имеет универсальный характер, позволяет исследовать эволюцию движения астероидов, короткоперио-дических комет и метеорных потоков; сохранять, обрабатывать и анализировать результаты расчётов; автоматизировать процесс исследования и получать результаты в удобной и наглядной форме.
-
Созданный банк данных эволюции орбит астероидов групп Аполлона, Амура и Атона на интервале времени с 1800 по 2206 годы может быть использован при исследовании их движения и планирования наблюдений, а также для выявления потенциально опасных объектов.
-
Созданный на основе разработанных алгоритмов и программ научно-информационный сайт , который не уступает, а по некоторым параметрам — превосходит, зарубежные аналоги, может быть использован как для научных, так и учебных целей.
Достоверность полученных результатов обеспечивается:
-
сравнением численных и аналитических решений рассматриваемых задач с известными результатами в частных случаях;
-
частичным соспоставлением теоретических исследований с результатами наблюдений;
3. апробацией результатов диссертации на международных и всероссийских конференциях и семинарах.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений»); проекта Федерального агентства по образованию РФ (проект РНП 2.1.1.1689): «Создание информационной среды на базе современных математических моделей и методов для исследования эволюции малых тел в Солнечной системе» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг)»; проекта министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.1.1.745): «Создание научно-информационной базы данных эволюции орбит малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг)»; проекта министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.534.2011): «Разработка математического и программного обеспечения для исследования эволюции орбит главных метеорных потоков».
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международной конференция «Астероидно-кометная опасность — 2009» (г. Санкт-Петербург, 2009 г.), XIV Международной научной конференции «Решетневские чтения» (г. Красноярск, 2010 г.), Седьмой всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.), Международной молодёжной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу —- творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.), Шестой всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009 г.), Международной конференции «100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее» (г. Москва, 2008 г.), Пятой всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.), Международной молодёжной конференции XXXIV Гагаринские чтения (г. Москва, 2008 г.), Международной молодёжной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу — творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2008 г.), Четвёртом Международном форуме молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2008 г.), Третьем Международном форуме молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2007 г.), Четвёртой всероссийской научной кон-
ференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007 г.), Зимней сессии Седьмого Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (г. Москва, 2007 г.), Втором Международном форуме молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2006 г.), Третьей всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2006 г.), Второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2005 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», (г. Самара, 2005 г.), на научных семинарах «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (руководитель профессор В.П. Радченко, 2010-2012 гг.), семинаре Института астрономии Российской академии наук (г. Москва, 2012
г-)
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 24 печатных работах, из которых 5 входят в список изданий, рекомендованных ВАК и 1 монография. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора Работы [3, 7, 9-16, 18] выполнены самостоятельно, в работах [4, 17, 19-21] диссертанту принадлежит совместная постановка задачи и разработка методов решений, ему лично принадлежит алгоритмизация, реализация методов в виде программного продукта и анализ результатов. В остальных работах [1, 2, 5, 6, 8, 22-24], опубликованных в соавторстве, автору в равной степени принадлежат как постановка задачи, так и результаты выполненных исследований.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографии и трёх приложений. В конце каждой из глав, за исключением обзорной, приводятся краткие выводы. Общий объём диссертации 206 страниц, включая 126 рисунков и 18 таблиц. Библиография включает 131 наименований на 16 страницах. Приложение включает 6 таблиц и основные листинги разработанных программ на 51 страницах.
Многошаговые методы Адамса-Бсшфорта и Адамса-Мултона
Из (1.33) следует, что если /г.Л = 0, то ri = 1, и если величина Rh мала и положительна, то rj 1. Таким образом, граница области RA абсолютной устойчивости всегда проходит через начало координат комплексной плоскости hX, и внутренность RA всегда лежит слева от начала координат.
Одним из распространённых методов нахождения области абсолютной устойчивости является метод геометрического места точек границы.
Решается уравнение вида Точка hX уравнения (1.34) будет лежать на границе области устойчивости, если при этом hX полином устойчивости имеет корень, по модулю равный единице. Для простых методов часто удаётся решить (1.34) аналитически. Область абсолютной устойчивости можно следующим образом использовать для выбора шага интегрирования: определяются собственные значения матрицы Якоби и h изменяется так, чтобы произведение h на любое собственное значение лежало внутри Яд.
Метод из класса (1.15) называется сильно устойчивым, если он согласован и удовлетворяет сильному корневому условию.
Метод (1.15) называется относительно устойчивым для каждого hX. если при этом /гА все корни полинома устойчивости по модулю меньше ehX.
Область R, комплексной плоскости называется областью относительной устойчивости метода (1.15), если он относительно устойчив при всех hX Є Яг.
Согласно современным представлениям, в состав Солнечной системы входят Солнце, восемь больших планет с их спутниками, астероиды, кометы, бесчисленное количество мелких, так называемых метеорных тел [105].
Центральное положение в Солнечной системе занимает Солнце. Его масса в 750 раз превосходит массу всех остальных тел, входящих в эту систему. Гравитационное притяжение Солнца является главной силой, определяющей движение всех обращающихся вокруг него тел.
Наиболее удобной единицей измерения расстояний в пределах Солнечной системы служит астрономическая единица (а.е.), то есть среднее расстояние от Земли до Солнца, которое равно 149597870 км. Расстояния планет от Солнца образуют закономерную последовательность — промежутки между соседними орбитами возрастают с удалением от Солнца.
Все большие планеты обращаются в направлении осевого вращения Солнца вокруг общего центра масс Солнечной системы практически совпадающим с Солнцем по почти круговым орбитам, которые мало наклонены друг к другу и к солнечному экватору.
Плоскость земной орбиты называется эклиптикой и принимается за основную плоскость при отсчёте наклонов орбит планет и других тел, обращающихся вокруг Солнца.
Планеты вращаются также вокруг своей оси, причём у всех планет. кроме Венеры и Урана, вращение происходит в прямом направлении, то есть в том же направлении, что их обращение вокруг Солнца. Чрезвычайно медленное вращение Венеры происходит в обратном направлении, а Уран вращается как бы лёжа на боку.
Благодаря почти круговой форме планетных орбит и большим промежуткам между ними исключена возможность тесных сближений между планетами, при которых они могли бы существенно изменять своё движение в результате взаимных притяжений.
Множество малых планет — астероидов — обращается вокруг Солнца в основном между орбитами Марса и Юпитера.
По оценкам, суммарная масса всех астероидов составляет в нашу эпоху всего 6% массы Луны; половина этой массы заключена в трёх крупнейших — 1 Церере, 2 Палладе и 4 Весте. Номер в обозначении астероида указывает порядок его открытия. Астероидам с точно известными орбитами присваи вают не только порядковые номера, но и имена. На сегодня открыто уже более пятисот семидесяти тысяч астероидов.
Открыто около двухсот астероидов с радиусом более 50 км и около тысячи — более 15 км. По оценкам, существует около миллиона астероидов с радиусом более 0.5 км.
Яркость многих астероидов периодически меняется, что естественно для вращающихся неправильных тел. Периоды вращения лежат в интервале от 2.3 до 80 часов и в среднем близки к 9 часам. Своей неправильной формой астероиды обязаны многочисленным взаимным столкновениям. Примеры экзотической формы дают Эрос и Гектор, у которых отношение длин осей достигает 2.5.
Классификация астероидов, основанная на их спектрах, группирует тела по составу поверхности. Но если рассматривать элементы их орбит (большую полуось, эксцентриситет, наклонение), то выделяются динамические семейства астероидов. Систематическое изучение Солнечной системы приводит нас к пониманию, что крупные столкновения являются скорее правилом, чем исключением, и что Земля также не застрахована от них.
Астероиды, подчиняясь влиянию Солнца и планет, движутся по самым разнообразным траекториям. Большинство малых планет удалены от Солнца, в среднем, на 2.2-3.6 а.с., то есть находятся между орбитами Марса и Юпитера. Все астероиды обращаются в прямом направлении, но орбиты многих из них заметно вытянуты и наклонены. Эксцентриситеты орбит большинства малых планет заключены в пределах от 0.1 до 0.8 и составляет в среднем 0.3, а наклонение достигает 16.
Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и скорости в начальный момент
Информация, относящаяся к астероидам, заносится в таблицы asteroids, asteroid_description, asteroid_catalogue, asteroid_ephemerids, asteroid_app-roaches. В таблицу asteroids заносятся кодовое обозначение, абсолютная звёздная величина и имя и номер, если они присвоены. В таблицы asteroid_descripion и asteroid_cataloguc заносятся краткая информация и начальные данные для вычислений соответственно. Вычисленные на стандартные даты элементы орбит астероидов заносятся в таблицу asteroid_cphemerids, а наиболее тесные сближения с планетами в таблицу astcroid_approachcs.
Информация, относящаяся к короткопериодическим кометам, заносится в таблицы comets, comet_description, comet_catalogue, comet_ephemcrids, comet_approaches. В таблицу comets заносятся название и номер кометы. В таблицы comct_description и comet_catalogue заносятся краткая информация и начальные данные для вычислений соответственно. Вычисленные на стандартные даты элементы орбит комет заносятся в таблицу comet_epheme-rids, а наиболее тесные сближения с планетами и Солнцем в таблицу comet_-approaches.
Для удобства, наиболее часто используемые SQL-запросы сохранены в базе данных в виде хранимых процедур. За счёт этого так же повысилась скорость выполнения запросов, т.к. СУБД оптимизирует запросы, сохранённые в базе данных [75]. 3.3. Java-апплеты для наглядного представления эволюции орбит малых тел на web-сайте
Общее описание Java-апплеты для наглядного представления информации на сайте SmallBodics.Ru были написаны на языке Java SE б [76, 77]. В качестве среды разработки использовался Eclipse 3.2. Апплеты были сгруппированы в пакеты исходя из их смысла [39, 118]: пакеты, которые содержат классы для отображения 3-х мерной картины движения астероида по своей орбите (визуальная и математическая часть соответственно). Для размещения на сайте SmallBodics.Ru эти пакеты собраны в jar-архивы согласно следующим правилам, изложенным в Таблице 3.1. Такое распределение позволяет минимизировать объём трафика, когда пользователь просматривает один апплст на сайте, т.к. в этом случае ему передаются только необходимые для этого апплета архивы.
Пакеты s_DateClasscs и s_MathClasses содержат классы, которые осуществляют все необходимые преобразования и расчёты. Эти классы используются классами из других пакетов для осуществления всех необходимых вычислений. Такое разделение на два пакета вызвано тем, что классы для работы с датами нужны всем апплстам, а классы для вычислений и работы с координатами, скоростями и элементами орбит — нет.
Пакет s_DatcClasaes содержит 3 класса: GregoriariDa.teTime. MjdDate, MjdDateComparator. Класс GregorianDateTirne необходим для хранения григорианской даты в удобной для расчётов форме, вывода даты в форматированном виде и преобразование её в класс java.utils.GregorianCalendar — встроенный класс Java для работы с датой. Класс MjdDatc служит для хранения юлианской даты, преобразования её в григорианскую и обратно, а так же для получения стандартных дат (дат, на которые занесены данные в созданный нами банк данных).
Класс MjdDateComparator — вспомогательный класс, служащий для сравнения дат, хранящихся в виде объектов класса MjdDate. Пакет s_MathClasses включает в себя следующие классы Elements, Еросі Integration, PhisicsNBody, PhisicsRelSun, Spline и интерфейс IPhisics.
Класс Elements служит для преобразования координат и скоростей в элементы орбит и обратно, а также для их хранения в удобной форме. Он реализует вычисления описанные в пунктах 2.1.3 и 2.1.4.
Класс Ephcmerids служит для преобразования координат в эфемериды, а также хранения информации о пункте наблюдения в удобной для расчёта форме. Он реализует вычисления описанные в пунктах 2.1.5 и 2.2.4.
Класс Epoch реализует алгоритм преобразования координат от одной эпохи к другой, описанный в пункте 2.3.1.
Класс Integration реализует алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений движения методом Эверхарта (не модифицированным, с постоянным шагом) до 19-го порядка включительно. Порядок метода,начальные барицентрические скорости объектов и математическая модель передаются в качестве входных параметров. Дифференциальные уравнения движения передаются через интерфейс IPhisics.
Классы PhisicsNBody и PhisicsRelSun реализуют интерфейс IPhisics для математических моделей задача п тел (2.32) и дифференциальных уравнений движения (2.37) с учётом ньютоновских и шварцшильдовских членов, обусловленных Солнцем, соответственно. Класс Spline служит для интерполяции кривых многочленами 3-го порядка и используется для построения гладких линий и орбит.
Java-апплеты для наглядного представления эволюции орбит малых тел на web-сайте
Орбиты астероидов, комет и метеорных тел принадлежат одной и той же области межпланетного пространства, но имеют различные области в фазовом пространстве скоростей. Орбитальные характеристики этих тел можно описать тремя параметрами: большой полуосью а, эксцентриситетом е и наклонением і, где а — мера среднего расстояния от Солнца, е — мера радиальных колебаний и г — мера осевых колебаний.
Группы Аполлона. Амура. Атона можно выделить по перигслийным расстояниям (q) и размерам большой полуоси (а) орбиты. Для астероидов группы Атона — а 1, для Аполлона — q 1 и а 1, Амура 1 q 1.3.
В соотношениях (4.1)-(4.3) большая полуось, эксцентриситет, и наклонения предполагаются независимыми величинами. Предположив зависимость между величинами a, q, и е для астероидов групп Аполлона. Амура и Атона, рассмотрим эту зависимость.
На Рис. 4.4 показан график зависимости значений эксцентриситета от большой полуоси для всех открытых в настоящее время астероидов групп Аполлона, Амура и Атона. Красным цветом изображены астероиды, принадлежащие группе Атона, синим цветом — группе Аполлона и зелёным — группе Амура.
Рис. 4.4. Значения эксцентриситета в зависимости от большой полуоси для астероидов групп Аполлона, Амура и Атона
Из рисунка видно, что каждая группа расположена строго в своей двумерной области. При этом плотность распределения эксцентриситетов в зависимости от большой полуоси в группе Амура приблизительно одинаковая, в то время как в группах Атона и Аполлона имеет место существенное понижение плотности распределения при значениях эксцентриситетов от 0.5 до
Возможно, это различие обусловлено родственной связью астероидов с кометами или с астероидами находящимися в главном поясе. На Рис. 4.5 показан график зависимости значений наклонения от большой полуоси для всех открытых в настоящее время астероидов групп Аполлона, Амура и Атона. Рис. 4.5. Значения наклонения в зависимости от большой полуоси для астероидов групп Аполлона. Амура и Атона
Из Рис. 4.5 видно, что астероиды групп Аполлона и Амура не принадлежат строго своей двумерной области, что указывает на слабую зависимость большой полуоси и наклонения. Как видно из Рис. 4.5, у преобладающего количества астероидов наклонения лежат в пределах от 0 до 40 градусов. Вероятно, эти астероиды ранее принадлежали главному поясу, остальные астероиды с большими наклонениями, возможно, имеют кометное происхождение.
На Рис. 4.6 показана зависимость числа астероидов от большой полуоси для групп Аполлона, Амура и Атона. Как видно, большинство астероидов располагается в области между 1.1 и 2.5 а.е., образуя группы Аполлона и Амура. На рисунке имеется ряд провалов, где находится меньше астероидов по сравнению с соседними областями. Положение этих провалов по-видимому связано с эффектами резонанса. Провалы в областях вблизи 1.0 а.е. и
1.5 а.с., по-видимому связаны с траекториями движения больших планет -Земли и Марса. С течением времени эти планеты в результате столкновений расчистили свои пути от небесных тел, движущихся по схожим траекториям. показана зависимость числа N астероидов в зависимости от эксцентриситета. Среднее значение эксцентриситета равно 0.46, что существенно превышает среднюю величину эксцентриситета главного пояса астероидов, приближенное значение которого равно 0.14. Можно предположить, что изначально астероиды групп Аполлона, Амура, Атона принадлежали главному поясу, но в результате столкновитсльных процессов и возмущающего действия больших планет изменили свои траектории. Также следует отметить, что в отличие от астероидов главного пояса, движущихся в кольце между Марсом и Юпитером, вытянутость орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона позволяет им сближаться практически со всеми внутренними планетами.
Если значение эксцентриситета астероидов имеет вполне определённый диапазон распределения без ярко выраженных максимумов, то такой картины для функции распределения числа астероидов в зависимости от накло 136 показана зависимость числа N астероидов от наклонения. Среднее наклонение составляет около 14 градусов. Среднее наклонение главного пояса составляет около 10 градусов.
Число астероидов групп Аполлона, Амура и Атона как функция наклонения На Рис. 4.9 показана зависимость числа N астероидов от большой полуоси для группы Атона. Из Рис. 4.9 видно, что у большинства астероидов группы Атона значение большой полуоси находится в пределах от 0,8 до 1 а.е. Астероиды, принадлежащие к группе Атона представляют наибольшую Число астероидов группы Атона как функция большой полуоси
На Рис. 4.10 показана зависимость числа N астероидов группы Атона в зависимости от эксцентриситета. Весь диапазон распределения составляет от 0.00 до 0.85. Основная же часть астероидов сконцентрирована в более узком интервале от 0.12 до 0.55 а.е. Гистограмма распределения имеет закон распределения близкий к нормальному. Среднее значение эксцентриситета равно 0.36.
Влияние начальных данных на результаты вычислений эволюции орбит астероидов
В формулах (4.4) и (4.5) в качестве ХІ и V{ выступают соответственно координаты и скорости астероида, вычисленные с шагом 1 день, а в качестве х\ и v\ — с шагом 0.5 дня для Рис. 4.25, 4.28 4.31 4.34 4.37. На Рис. 4.26, 4.29 4.32 4.35 4.38 располагаются графики для сравнения результатов вычислений с шагами 0.1 и 0.05, а иа Рис. 4.27, 4.30 4.33 4.36 4.39 для 0.01 и 0.005 дня.
На Рис. 4.25 - 4.44 минимальные значения по оси у установлены в -15 и -20 для координат и скоростей соответственно. Это сделано для наглядности. а так же так как меньшие значения выходят за предел точности используемых типов данных.
Как видно из Рис. 4.25 - 4.44 расхождение в скоростях ведёт себя аналогично координатам, только оно на два порядка меньше. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только расхождение в вычисленном положении.
В Таблицах 4.10 - 4.11 показании полученные в результате расчётов тесные сближения для астероидов 99942 ApopMs и 2004 FU162. Астероиды 1221 Amor, 1862 Apollo. 2062 Atcn на рассматриваемом интервале времени не имеют тесных сближений с большими планетами и Луной. с методом 15-го порядко, однако при меньшем шаге оба метода дают схожие результаты, для астероидов 1862 Apollo и 2062 Aten методы обоих порядков дают одинаковую точность, однако при шаге в 0.5 мы получаем большую ошибку по сравнению с результатами полученными при интегрировании с шагом в 1 день и 0.01 дня. Это связано с тем, что интегрирование с шагом 0.01 даёт наибольшую точность, а при интегрировании с шагом 1 день ошибка дискретизации меньше.
Принципиально другая картина проявляется при исследовании объектов, имеющих тесные сближения, на интервале времени после этого момента. Как видно из Рис. 4.34 - 4.39 при интегрировании с шагом в 1 день сразу же после сближения точность вычислений скачкообразно падает ниже допустимого уровня. При интегрировании с шагом в 0.1 для астероидов 99942 Apophis и 2004 FU1C2 получаем принципиально различную картину для метода 27-го порядка: для 99942 Apophis результаты получаются с необходимой точностью, а для астероида 2004 FU162 погрешность вычислений слишком велика. Метод 15-го порядка при данном шаге не обеспечивает необходимой точности. При интегрировании с шагом 0.01 дня модифицированный метод
Эверхарта 27-го порядка обеспечивает необходимую точность на рассматриваемом промежутке времени. Метод Эверхарта 15-го порядка при данном шаге интегрирования обеспечивает необходимую точность только для астероида 99942 Apophis.
Следовательно модифицированным методом Эверхарта 27-го порядка при постоянном шаге в 0.01 обеспечивает необходимую точность для всех рассматриваемых объектов на исследуемом интервале времени, метод Эверхарта 15-го порядка при постоянном шаге в 0.01 обеспечивает необходимую точность для всех рассматриваемых объектов, кроме 2004 FU162, на исследуемом интервале времени.
Как видно из графиков Рис. 4.40 -4.42, модифицированный метод 27-го порядка с переменным шагом интегрирования даёт тс же результаты, что и модифицированный метод 27-го порядка с шагом 0.01 дня. При этом использование переменного шага интегрирования позволяет сократить время вычислений более чем в 6 раз по сравнению с вычислениями с шагом 0.01 дня.
Помимо этого, на Рис. 4.40 - 4.42 приводится сравнение модифицированного метода Эверхарта 27-го порядка с переменным шагом интегрирования и метода Эверхарта 15-го порядка с постоянным шагом 0.01 дня. Как видно из графиков, разность между результатами вычислений не превышает величину ошибки, за исключением астероида 2004 FU162, для которого метод 15-го порядка не обеспечивает необходимой точности.
Если сравнивать результаты расчётов момента тесного сближения для астероидов 99942 Apophis и 2004 FU162, то получим следующую картину: при интегрировании с постоянным шагом в 1 день невозможно вичислить момент наиболее тесного сближения, при интегрировании с шагом в 0.1 моменты сближений вычисляются достаточно точно для астероида 99942 Apophis, для астероида 2004 FU162 необходимую точность получить не удаётся, что, по-видимому, связано с очень тесным сближением. Также следует отметить. что для астероида 99942 Apophis при интегрировании с шагом 0.1 дня методом 15-го порядка получается расчётное сближение в 2030 году, что связано с необеспечением у данного метода необходимой точности после тесного сближения. При интегрировании с шагом 0.01 дня и с переменным шагом расчётные сближения получаются с высокой точностью.
Таким образом показано, что для исследования эволюции орбит астероидов эффективнее всего использовать метод Эверхарта 27-го порядка с переменным шагом интегрирования, т.к. он обеспечивает необходимую точность. как при интегрировании методом с постоянным малым шагом интегрирования. но. в отличие от них. обладает более высоким быстродействием.
