Введение к работе
Актуальность темы. Во многих публикациях последних лет отмечается революционное, взрывообразное развитие систем телекоммуникации как вширь, в направлении охвата широкого круга пользователей, так и вглубь для достижения резкого увеличения ассортимента коммуникационных услуг. Развитие цивилизованного общества предполагает непрерывное повышение качества во всех сферах деятельности. Это связано с совершенствованием техники. Одно из направлений улучшения техники радиосвязи и телекоммуникационных систем связано с более широким применением нелинейных элементов. Состояние теории нелинейных радиоцепей не может удовлетворить требований современной практики, является фрагментарной, недостаточно систематизированной и плохо поддается обобщениям. Она нуждается в развитии и более широком охвате актуальных практических задач.
Теории нелинейных систем и развитию соответствующего математического аппарата посвящены многочисленные публикации, в том числе и выдающихся ученых AM. Ляпунова, Ван дер Поля, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова, А.А. Харкевича и др. Однако, с развитием техники возникают новые актуальные нелинейные задачи, отличающиеся сложностью и разнообразием.
В радиотехнике большое значение имеют колебательные системы, в основе которых находится резонансный контур с постоянными элементами, который хорошо изучен и широко применяется на практике. Однако, переход от линейного контура к нелинейному связан с большими трудностями, которые в настоящее время не вполне преодолены. В частности, процесс в нелинейном контуре нельзя выразить конечным числом элементарных функций.
Существует неиспользованный вариант систематизации теории нелинейных систем - принцип линейного включения, утверждающий, что любое решение произвольного нелинейного уравнения может быть реализовано в специально подобранном линейном уравнении. Этот принцип для линейных систем играет примерно такую же роль, как принцип суперпозиции для линейных систем, значительно превосходя его по общности. Поэтому первым шагом построения теории нелинейных систем должна быть разработка метода анализа параметрических систем общего вида, т.е. со всеми изменяющимися во времени элементами по любым функциям. Удобным объектом для этого является параметрический контур, простой по структуре, но сложный по существу.
Ранее И.С. Гоноровским был рассмотрен усилитель на основе параметрического контура с периодической емкостью, однако усилитель с периодической индуктивностью более сложен для анализа.
Кроме того, анализ параметрических радиоцепей приводится к бесконечным системам алгебраических уравнений. Это делалось и раньше для
более простых частных случаев. В радиотехнике такие уравнения приближенно решались методом редукции. Такой подход может привести к нужному результату только в том случае, когда анализируемая бесконечная система уравнений сходится. Анализ такой сходимости в научных публикациях по радиотехнике отсутствует. В диссертации разработан более совершенный метод анализа параметрического контура с привлечением теории радиоцепей, теории устойчивости Ляпунова, разработанной Л.И. Мандельштамом концепции резонанса, причем уделено большое внимание сходимости полученных бесконечных систем уравнений. Доказательство сходимости основано на нормировании полученных дифференциальных уравнений и приведении их к специальному виду. Судя по доступным публикациям, такой подход ранее не применялся.
Работа выполнялась в соответствии с координационными планами научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ ОАО «Концерн «Созвездие».
Целью настоящей работы является исследование колебаний в параметрическом контуре, в котором индуктивность, емкость и активные сопротивления изменяются во времени по достаточно гладким функциям, оставаясь положительными. В данном случае математическая часть анализа приводится к бесконечным системам уравнений, поэтому основное внимание уделено сходимости таких систем, ранее этот вопрос применительно к радиоэлектронным задачам не рассматривался.
Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, предусматривают решение следующих задач:
Критический анализ существующих и впервые полученных математических моделей параметрического контура.
Анализ сходимости бесконечных систем уравнений, получающихся в результате преобразований математических моделей контура.
Проблема устойчивости по Ляпунову параметрического контура, привлечение физических соображений к решению этой сложной математической задачи.
Формулировка математической задачи о резонансе параметрического контура, физический смысл резонанса, его общие свойства и отличия от резонанса обычного контура.
Решение задачи о параметрическом усилителе как частном случае параметрического контура.
Методы проведения исследований. Выполненные исследования базируются на методах теории электрических цепей, комплексных амплитуд, математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, теории линейных дифференциальных уравнений, методах аппроксимации и теории устойчивости Ляпунова.
Научная новизна. Отдельные результаты диссертации, содержащие научную новизну.
При анализе параметрического контура может быть предложено бесконечное множество математических моделей в виде линейных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка, при этом элементы главной диагонали матрицы системы неположительны. Показано, что наиболее удобной для анализа является система двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно заряда конденсатора и магнитного потока индуктивности.
Все математические модели могут быть преобразованы в другую модель -линейную бесконечную систему алгебраических уравнений. Предложен метод ее преобразования к регулярному и вполне регулярному виду.
Развитие и конкретизация концепции резонанса предложенной советской научной школой нелинейных колебаний.
Анализ устойчивости параметрического контура, в том числе и машинными методами. Новые достаточные условия устойчивости контура.
Потенциальные возможности параметрического контура, используемые и пока не используемые на практике. Параметрический контур как усилитель синусоидальных колебаний, обладающий низким уровнем собственных шумов.
Достоверность результатов работы. Исходные допущения в настоящей работе ближе к реальным, чем было ранее принято в аналогичных случаях. При проведении исследований использованы надежные и многократно проверенные математические методы, линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, метод комплексных амплитуд, бесконечные системы алгебраических уравнений, а также теория устойчивости Ляпунова. Частные случаи совпадают с известными положениями, а приведенные математические формулы соответствуют физическому смыслу описываемых ими явлений.
Практическая значимость работы. В работе рассмотрены свойства параметрического контура и особенности протекающих в нем процессов при самых общих начальных условиях. Это дает возможность проанализировать ряд практических важных случаев. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при разработке радиоаппаратуры, систем радиосвязи, при чтении спецкурсов в вузах по специальностям «радиофизика», «электроника», «радиотехника».
Реализация результатов. Результаты диссертации использованы при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ОАО «Концерн «Созвездие» по темам «Аметист», «Креатив», «Таллин», «Москва», «Созвездие-М» и «Кассиопея», ОАО «Воронежский «НИИ Вега» по темам «Кавказ-7М10» и «Кавказ-9», что подтверждено актами внедрения.
Кроме того, отдельные положения диссертации используются в учебном процессе в Воронежском государственном университете, Воронежском институте МВД и Международном институте компьютерных технологий.
Научные положения, выносимые на защиту.
Линейные векторные дифференциальные уравнения параметрического контура с отрицательной главной диагональю матрицы. Среди них выделены как наиболее удобные для анализа, как с математической, так и с физической точки зрения, дифференциальные уравнения относительно заряда конденсатора и магнитного потока индуктивности. Преобразования этих уравнений к полному и усеченному дифференциальному уравнению второго порядка.
Бесконечные системы уравнений параметрического контура, их преобразования к квазирегулярным, регулярным и вполне регулярным бесконечным системам.
Реализация на примере параметрического контура общей концепции резонанса, предложенной советской школой нелинейных колебаний.
Машинное решение задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрическом контуре.
Формулировка задач для будущего исследования, являющихся естественным продолжением задачи о параметрическом контуре.
Апробация работы. Основные методические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
ХШ, XIV и XV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2007-2009 г.);
Всероссийской научно-практической конференции «Охрана, безопасность, связь» (ВИ МВД России, 2007 г.);
Международной научной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» (МИКТ, Воронеж, 2007 г.);
Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищенных телекоммуникационных систем» (ВИ МВД России, 2007-2008 г.);
VI и VII международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007; Самара, 2008 г.);
VIII международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы методология, технологии» (Воронеж, 2008 г.);
Ежегодных отчетных научных конференциях Воронежского государственного университета (2007-2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в
том числе 5 статей, из них 4 - в ведущих изданиях, входящих в перечень
рекомендованных Высшей аттестационной комиссией, 10 трудов
международных конференций, а также получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. .
В работах, выполненных в соавторстве, автором лично выполнено: в работах [1,4,6] анализ существующих и разработка новых математических моделей, в работах [2,10] формулировка критериев устойчивости, в работах [3,4,8] исследование колебательных процессов, в работах [4,7] анализ блочных матриц бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, в работе [2] применение метода комплексных амплитуд, в работах [11,12] разработка программного продукта.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 132 наименования. Работа изложена на 161 странице, включает 27 рисунков и 6 таблиц.
Похожие диссертации на Математические модели и свойства колебательных процессов параметрического контура как элемента радиотехнических систем
