Содержание к диссертации
Введение
1 Математический аппарат и методология исследования 21
1.1 Методология оценки производных финансовых инструментов . 21
1.2 Подход к определению цены опциона путем решения задачи Коши 25
1.3 Мартингальный подход к определению справедливой цены опциона 28
2 О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора 31
2.1 Описание модели рынка 31
2.2 Начально-краевая задача для аналога уравнения Блэка-Шоулса . 33
2.3 Сведение к полулинейному параболическому уравнению . 37
2.4 Условия формирования контрастной структуры типа ступеньки . 39
2.5 Формирование КСТС в задаче 42
2.6 Численное решение задачи 44
2.7 Рассмотрение модели реального опциона в недропользовании . 45
2.8 Доказательство арбитражности и явный вид хеджирующей стратегии 49
3 О зависимости волатильности от доходности актива в рамках модели Хестона 53
3.1 Введение 53
3.2 Лемма об условном математическом ожидании 55
3.3 Модель Хестона 57
3.3.1 Равномерное начальное распределение доходности 58
3.3.2 Гауссовское начальное распределение доходности 60
3.3.3 Степенное начальное распределение доходности с "тяжелыми хвостами" 61
3.3.4 "Улыбка волатильности" и асимптотическое поведение при малых временах 61
3.3.5 О модифицикациях модели Хестона 63
3.4 Возможные приложения 64
3.4.1 Задача, возникающая в недропользовании 64
3.4.2 Оценка рейтинга компании по имеющимся котировкам акций 65
3.5 Заключение 65
4 Модель реального опциона в задаче определения величины стартового платежа за право пользования участком недр 71
4.1 Описание задачи 71
4.2 Модель реального опциона в недропользовании 75
4.3 Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье . 77
4.4 Пример расчета стартового платежа 80
Преимущества и недостатки метода реальных опционов в недропользовании
- Подход к определению цены опциона путем решения задачи Коши
- Условия формирования контрастной структуры типа ступеньки
- Равномерное начальное распределение доходности
- Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье
Введение к работе
Актуальность темы.
Математическое моделирование в экономике является неотъемлемой частью современной теории финансовых рынков и теории инвестиций. Уже более 30 лет в мире существуют организованные рынки производных финансовых инструментов, и в то же время различные консалтинговые компании совершенствуют методы оценки инвестиционных проектов. В российской экономике биржевая торговля фьючерсами и опционами была организована несколько позже. Тем не менее, математический аппарат теории опционов стал часто использоваться как для нужд срочного рынка, так и для разного рода вычислений в реальном секторе экономики.
Как известно, российская экономика во многом зависит от положения дел в так называемом нефтегазовом секторе. Разумеется, на нефтегазовом рынке существует много проблем как чисто научного, так и прикладного характера (см., например, Ю.П. Ампилов (2008)). В наше время трудно представить себе любой товарный рынок, функционирующий без производных и фьючерсных контрактов, использование которых позволяет получить некоторые гарантии сбыта продукции в будущем по приемлемым ценам.
Диссертация содержит три основных результата, два из которых — теоретиче-
ские. Они могут рассматриваться независимо от приложений. Однако их выводы позволяют получить инструмент для решения некоторых практических задач, в частности, возникающих в недропользовании. Третий результат — чисто прикладной. Он касается оценки величины бонуса за пользование месторождением (на его основе был создан программный комплекс).
Остановимся подробнее на теоретической части исследования. В книге Т. Bjork (2008) содержится утверждение, состоящее в том, что на рынке существуют арбитражные возможности в случае, когда количество торгуемых активов превосходит число источников случайности. Некоторые варианты этого утверждения доказываются при помощи мартингального подхода. В данной диссертации применен совершенно иной метод, опирающийся на свойства решений краевых задач полулинейных параболических уравнений (см. [1], [3], [4]).
Метод позволяет, в частности, явно предъявить стратегию, приводящую к арбитражу. Арбитражная стратегия выписывается в предположении наличия на рынке двух активов, зависящих от одинакового случайного фактора. Тем самым, отсутствие арбитража на реальном рынке можно проверить опытным путем: если выбранная стратегия не реплицирует платежное обязательство, то арбитражной возможности, возникшей по причине дисбаланса количества активов и случайных факторов, не существует.
Вторая теоретическая задача связана со стохастической моделью Хестона. Конечно, до определенного момента данная модель изучена, но в представленном исследовании предлагаются несколько оценок волатильности в следующем смысле: ищется условное математическое ожидание волатильности при фиксированной доходности и полученное значение, ввиду наличия наблюдаемых величин доход-
ностей, принимается за оценку для волатильности.
Как показали вычисления, результат сильно зависит от начальных условий. А именно, важен вид распределения доходности в начальный момент времени. В частности, в случае с равномерным начальным распределением оценка волатильности как условное математическое ожидание совпадает с оценкой в виде безусловного математического ожидания.
В более сложных ситуациях с гауссовским и степенным начальным распределением доходности удалось получить явные интегральные формулы для оценки волатильности. Анализ этих формул показал наличие эффекта "улыбки волатильности" около среднего значения на графике зависимости волатильности от доходности. Заметим, что ранее в финансовой математике в связи с моделью Хестона рассматривалась зависимость волатильности от цены исполнения.
В практическом смысле на основании полученной оценки для волатильности был сконструирован рейтинговый показатель для определения инвестиционной привлекательности компании. Отметим, что введенный в качестве примера вариант рейтинга рассчитывается на основании фондовых показателей компании и может быть вычислен по ним на основании явных формул. Это позволяет оценить неизвестный параметр стандартного отклонения (волатильности) в условиях наблюдаемых котировок акций или иных котируемых активов (см. [5], [6]).
Рассмотренная в диссертации прикладная задача очень важна для российской экономики. Кратко опишем основные ее моменты (см. [2]).
На текущий момент нераспределенный фонд недр РФ составляет порядка 1000 месторождений. Государству необходимо наиболее выгодно для себя продать лицензии на эти месторождения, задав нижний порог для участников торгов. С
другой стороны у инвесторов задача не переплатить и выиграть наиболее привлекательные тендеры. Возникает вопрос: как в условиях неопределенности относительно объемов запасов месторождения определить предельно допустимые цены для участников торгов?
Проблема важна не только потому, что ни те, ни другие участники торгов не имеют готового адекватного метода оценки величины бонуса за месторождение. Согласно существующему на сегодняшний день регламенту, установлен только минимальный порог, который составляет 10% от суммы среднегодового налога на добычу. Но такой размер бонуса может устроить государство только при условии отрицательного чистого дисконтированного дохода (ЧДД) при низкой ставке дисконтирования.
В свою очередь инвестор сталкивается с двумя проблемами. Во-первых, в условиях отрицательного ЧДД при корпоративной ставке он просто не знает, что делать, а большинстве случаев не берется участвовать в конкурсе. Во-вторых, существует масса примеров расчета бонуса для одного и того же участка недр, которые отличаются друг от друга в несколько раз. Порядок цен составляет миллионы долларов, поэтому такая разница неприемлема для принятия адекватного решения.
Государство
Нераспределенный фонд
Лицензионный участок 2
Лицензионный участок 3
Рис. 1: Аукцион по приобретению лицензии на участок недр
Методы исследования.
В работе использовались идеи и методы теории контрастных структур типа ступеньки для краевых задач полулинейных параболических уравнений, в частности, использовался основной результат В.Ф. Бутузова, С.А. Кряжпмского и И.В. Неделько (2004) об области влияния стационарного решения в случае с начал-ным условием "опционного" типа. Также использовались методы мартингального подхода в финансовой математике, теория стохастических дифференциальных уравнений и теория преобразования Фурье.
Целями работы являются:
1. Построение арбитражной хеджирующей стратегии на финансовом рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора.
Получение оценки неизвестного параметра волатильности при фиксированной доходности. Введение экономически обоснованного показателя рейтинга компании на основе этой оценки, а также оценка неопределенности в объемах сырья при имеющейся информации о стоимости проекта.
Определение предельного значения величины стартового платежа за право пользования участком недр.
Научная новизна.
Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Доказано существование арбитражных возможностей на рынке с активами, зависящими от одного случайного фактора. Новизна состоит в методе получения этого результата. Оказалось, что теория контрастных структур типа ступеньки в краевых задачах для параболических уравнений дает возможность построить в явном виде хеджирующий портфель из двух ценных бумаг, который реплицирует европейский опцион-колл, но имеет в начальный момент времени стоимость, близкую к нулю.
В модифицированной модели стохастической волатильности Хестона определено условное математическое ожидание волатильности при фиксированной доходности в виде явной интегральной формулы для нескольких вариантов начального распределения доходности: равномерного, гауссовского, степенного. Было найдено асимптотическое поведение условного математического ожидания при малых временах. Обнаружено явление "улыбки волатильно-
сти" на графике зависимости квадрата стохастической волатильности от доходности (это явление отличается от того, которое традиционно рассматривают в финансовой математике).
3. Для решения проблемы определения предельной величины стартового платежа за право разработки участка недр был предложен новый метод, основанный на понятии "опциона в недропользовании". Такой подход к определению величины бонуса позволяет значительно расширить область применения широко используемого ныне метода дисконтированных платежей. Также доказано, что полученный метод более адекватно оценивает плохо изученные месторождения и позволяет государству иметь более обоснованные запросы в вопросе взимания стартового платежа за лицензию на участок недр.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит как теоретический так, и практический характер. Теоретические результаты могут применяться для дальнейшего исследования структуры финансовых рынков. Полученные практические результаты могут применяться оценочными структурами крупных нефтегазовых компаний или оценочными компаниями для расчета размера бонуса за лицензию на участок недр, а также результаты расчетов по модели Хестона могут найти применение в методике вычисления рейтинга компании на основании имеющихся котировок ценных бумаг.
Апробация работы.
Результаты диссертации обсуждались и докладывались на семинаре под руководством А. С. Шамаева, О. С. Розановой и Э. Р. Розендорна (МГУ, 2008-2010), на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2010", на миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (МЭСИ, 2010), на 52-й международной конференции МФТИ (2009), на II международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2010), в головном научном центре ОАО "Газпром" в области экономики, организации управления и прогнозирования развития отрасли институте "НИИГазЭкономика".
Исследования поддержаны аналитической ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.
По результатам главы 4 настоящей диссертации был создан программный комплекс для вычисления размера бонуса за месторождение. В научно-исследовательском институте природных газов и газовых технологий (ООО "Газпром ВНИИГАЗ") в период с 1 по 30 сентября 2009 г. проходил апробацию программно-методический комплекс "GEO-Bonus". Апробация проходила на базе центра "Морские нефтегазовые месторождения". С помощью данного комплекса были проведены расчеты потенциальной ценности нескольких лицензионных участков недр, представляющих интерес для ОАО "ГАЗПРОМ". Полученные результаты были оценены как весьма объективные, в значительной мере совпадающие с независимой экспертной оценкой. Было отмечено, что после небольшой оптимизации пользовательского интерфейса комплекс может представлять коммерческий интерес для большого круга нефтегазодобывающих компаний, планирующих освоение новых участков
недр.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместных работ [2], [5], [6] в диссертацию вошли только принадлежащие М.А. Мартынову результаты. Работы [1], [2] опубликованы в журналах, входящих в перечень научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.
Структура и объем диссертации.
Подход к определению цены опциона путем решения задачи Коши
Вычисление математического ожидания в формуле для европейского опциона- са11 в указанных условиях немедленно приводит нас к формуле (1.2.3). Теперь становится очевидной причина отсутствия объективного сноса актива в итоговой риск-нейтральной формуле для премии опциона.
Наконец озвучим основное преимущество мартингального подхода. Для вывода справедливой цены опциона в случае с задачей Коши мы предположили существование рынка производных ценных бумаг, на котором, разумеется, существуют цены этих деривативов. В случае с действительно торгуемыми опционами это так, но если нужно выяснить справедливую цену неторгуемого дериватива? Рассуждения в этой ситуации рассыпаются, так как невозможно сформировать портфель с производным инструментом. Зато можно попытаться его реплицировать с помощью имеющихся торгуемых активов. В частности, для оценки опциона из главы 4 пользоваться можно лишь мартингальным подходом. Радует то, что результаты применения обоих методов для простых платежных обязательств, а значит, для европейских опционов, совпадают. О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора
В данной главе речь пойдет о модели ценообразования финансового инструмента, который может быть интерпретирован как опцион на рынке, подчиненном некоторым дополнительным условиям. Напомним, что опцион (европейского типа) — это договор, дающий право его владельцу на покупку (или продажу) некоторого актива со стоимостью () в заранее назначенный срок Т по фиксированной цене X. Под активом чаще понимают инструменты фондового и денежного рынков, но с появлением понятия реального опциона нередко рассматриваются такие объекты, как инвестиционный проект, капитализация предприятия и прочие. Опцион определен в терминах базового актива, то есть является производной ценной бумагой (дернватнвом). Иными словами, опцион — это контракт, по которому его держатель в момент исполнения получает платеж. Так как опцион представляет собой финансовый актив, цену которого определяет рынок, то предполагается, что его стоимость зависит от времени и цены 3(Ь) на базовый актив. Задача определения рациональной цены опциона на финансовый актив была решена Блэком, Шоулсом [5] и Мертоном [6]. В дальнейшем построенная ими модель для определения справедливой цены опциона подвергалась многочисленным модификациям. Основное предположение, которое делается для получения формулы Блэка-Шоулса, однозначно определяющей цену опциона, — безарбит- ражность рынка. Напомним, что наличие арбитража на отдельно взятом рынке эквивалентно существованию возможности с вероятностью 1 получить положительный доход, имея нулевой стартовый капитал. Отметим также, что при выводе формулы Блэка-Шоулса строится хеджирующая стратегия, то есть такой специальный самофинансируемый портфель П(), который позволяет покрыть платежное обязательство Р в момент времени Т, что означает П(Т) = .Р.
Предположим, что на рынке присутствуют по крайней мере два актива, стоимости которых и 2 () являются случайными процессами, зависящими от- одного и того же броуновского движения. Утверждение об арбитражное рынка с такими активами не является новым. В книге [2] сформулирован принцип, утверждающий, что рынок безарбитражен тогда и только тогда, когда число торгуемых активов (за исключением безрискового) не превосходит числа источников случайности. В этой же книге с помощью мартингального подхода показано, что для того чтобы рынок, включающий несколько рисковых активов, стоимости которых заданы процессами Ито, был безарбитражным, необходимо и достаточно, чтобы на рынке присутствовало по крайней мере столько независимых винеров- ских процессов, сколько имеется рисковых активов.
В настоящем разделе доказывается арбитражность рынка с присутствующими на нем активами, зависящими от одних и тех же случайных факторов, альтернативным способом и предъявляется явная хеджирующая стратегия, используя математический аппарат, описывающий формирование контрастных структур типа ступеньки у решений полулинейных параболических уравнений. Следует отметить, что принципиальное наличие хеджирующей стратегии не всегда означает возможность применить ее на практике (вспомним принцип удвоения ставок), поэтому предъявление стратегии, которую легко можно реализовать, представляется весьма ценным.
Далее обсуждается вопрос о возможности реализации найденной стратегии на сложившемся в настоящий момент рынке реальных опционов. Некоторое представление о реальных опционах можно получить в данной работе в главе 4.
Необходимо уточнить, что для определенности в рассуждениях будет рассматриваться опцион на покупку. Все получаемые результаты с минимальными изменениями справедливы для опциона на продажу.
Условия формирования контрастной структуры типа ступеньки
Государство проводит тендер-аукцион по продаже лицензии на проведение геологоразведочных работ (ГРР) на участке недр не распределенного фонда РФ. Инвесторам, участвующим в аукционе, необходимо выдвинуть на тендер сумму, называемую стартовым платежом или бонусом. Основной вопрос в том, какое предельное значение величины стартового платежа будет приемлемо для инвестора, чтобы победить на тендере и не переплатить. Для решения этой проблемы обратимся к методу реальных опционов. Сначала определим понятие реального опциона в недропользовании.
Напомним, что реальный опцион в недропользовании — это лицензионный договор, дающий право купившему его инвестору на изучение и освоение недр в пределах некоторого участка. Справедливую цену такого опциона будем считать равной сумме, установленной инвестором на тендере. Таким образом, задача определения величины бонуса свелась к широко известной проблеме вычисления премии опциона. Возникает резонный вопрос: как в случае с реальным опционом в недропльзовании интерпретировать дату истечения, цену исполнения и базовый актив. Датой истечения Т вполне естественно считать срок действия лицензии на право проведения ГРР на участке недр. Под ценой исполнения, вполне ожидаемо, можно подразумевать затраты, которые инвестор потратит за все Т лет на ГРР участка недр. Для простоты будем полагать, что затраты распределены на всем сроке ГРР равномерно и их размер определим равным дисконтированному потоку одинаковых платежей. Осталось условиться о том, что в ситуации с реальным опционом в недропользовании представляет собой актив. Активом п ) в момент времени будем считать чистый дисконтированный доход (ЧДД), рассчитанный на основании имеющихся на момент данных о разведанных запасах. Поясним подробнее, что мы будем понимать под ЧДД в определении актива.
Пусть г — ставка дисконтирования; г () — объем разведанных запасов к моменту времени Ь [О, Т]; с() — рыночная цена сырья в момент времени N — срок от начала эксплуатации и до окончания освоения участка недр (часто полагают А = 25 в случае средней величины месторождения нефти или газа, в случае с твердыми полезными ископаемыми берут N из диапазона от 15 до 25); — доля от объема разведанных запасов, которую предполагается добыть в г-й период; — эксплуатационные затраты па добычу единицы объема полезных ископаемых в г-й период; кг — капитальные затраты в г-й период; п1, п2 коэффициенты, учитывающие налоги по годам освоения, причем щ — совокупность налогов с выручки, П2 — совокупность налогов с чистого дохода. Понятно, что реальная налоговая модель несколько сложнее, однако для наших целей на данном этапе считаем ее достаточной. Тогда для актива () можно написать формулу в которой слагаемое у(1)с()п\ соответствует притоку денежных средств в г-й период, а слагаемые и — оттоку денежных средств в г-й период. Отметим еще один фактор, влияющий на стоимость лицензии на участок недр. А именно, стоимость геологической информации по рассматриваемому месторождению (см., например, [12]). Разумеется, в процессе проведения ГРР стоимость геологической информации изменяется, причем с увеличением объемов разведанных запасов цена информации растет, а с уменьшением — падает. Обозначим ее за ?2(). Естественно считать, что 1 () и Э2() зависят от одних и тех же случайных факторов. Если предположить, что цены активов изменяются по законам с13г = [ Б И + «т сШ , с132 = то мы попадаем в условия решенной выше задачи нахождения справедливой стоимости опциона и = /( 1, Зг, ) и хеджирующей стратегии. Для расчетов возьмем такие же числовые характеристики месторождения, как в работе [13]. Единицей измерения для цен на активы будем считать 10 миллионов (долларов), поэтому = 0.1, = 100 означает, что стоимость актива 1 находится в интервале от миллиона до миллиарда долларов. Остальные параметры установим такими: N = 100, т = 2 10_4,«1 = 1,о"1 = 0.02, X — 20. Точкой перехода в таком случае будет 5о = 31.6, а величина, характеризующая размер ступеньки, А — 40. На рис. 2.1 сплошной линией изображена "финальная" функция 1 (51,62, Т), а точками — решение разностной задачи У(3\, 2, при = 0, так как исходную задачу мы решаем в обратную сторону. Уже при Т = 0.25 (то есть при сроке истечения в 3 месяца) график решения разностной задачи на последнем слое становится похож на ступеньку. При увеличении Т и при стремлении к нулю точка перехода (на графике примерно 60) будет двигаться к 5о = 31.6 и при Т = 0.5 будет мало отличаться от 5о На рис. 2.2 изображен график той же функции У = У(51,) при = 0 (снова сплошной линией) и при = Т в предположении невозможности использования второго актива при формировании портфеля (то есть 62 = 0) как в классической модели Блэка-Шоулса. Отметим, что мы вольны выбирать величины К_, К+, а\ произвольным образом. Постоянные /Зх, /?2 и В зависят от выбора К+, а\, но в свою очередь также могут быть выбраны с некоторой долей произвола. К примеру, коэффициент можно взять любым малым отрицательным, а значит, точку перехода хо = р 2 можно двигать по оси вплоть до К+ вправо. Поэтому всегда можно добиться того, чтобы точка перехода 5о в первоначальных координатах лежала намного правее цены исполнения X. А это в свою очередь означает, что мы можем выбрать такую хеджирующую стратегию (1, 2), что стоимость опциона в начальный момент времени будет пренебрежимо мала.
Равномерное начальное распределение доходности
Проблема стоимостной оценки участков недр уже не раз обозначена в специальной литературе [34], [11], [35], однако общепринятого подхода к ее решению до сих пор не выработано. Уже более 5 лет в МПР России рассматриваются различные варианты методических документов по этому поводу. В то же время один из аспектов этой многоплановой задачи постоянно возникает перед многими недропользователями. А именно, при участии в тендере (конкурсе-аукционе) на тот или иной участок недр инвестор для победы в нем должен внести государству стартовый платеж, который заведомо превысит предложения конкурентов. Но как определить верхнюю границу этого платежа, чтобы самому не оказаться потом в убытке. Ответ на этот вопрос можно получить разными путями.
Наиболее распространенным способом является оценка, полученная при использовании доходного метода в его стандартном варианте. В качестве максимально возможной величины стартового платежа в [35] рассматривается чистый дисконтированный доход (ЧДД) со ставкой дисконтирования, равной предельно допустимой для инвестора внутренней норме доходности (ВНД) проекта. При этом, как могло бы показаться на первый взгляд, рентная составляющая для инвестора не исчезнет, а лишь сократится на величину уплаченного бонуса. Такой подход не лишен здравого смысла. Главный же его недостаток в том, что на момент оценки неизвестны запасы полезного ископаемого на участке, а значит, и объемы добычи и обустройства, цены на добываемое сырье в последующие годы реализации проекта, то есть весь сконструированный денежный поток является чисто умозрительным.
Оценить некоторые неопределенности в оценках можно с помощью имитационного статистического моделирования по Монте-Карло [36], однако объективность конечного результата это не сильно повышает.
Некоторые исследователи предлагают решать эту проблему с помощью аппарата опционов [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [12], [44].
Изначально теория финансовых опционов использовалась в области операций с ценными бумагами, основным прикладным результатом которой стала модель Блэка-Шоулса для определения справедливой цены опциона. Позднее эта теория (а вместе с ней и основной результат) стала находить применение в бизнесе, поскольку выяснилось, что многие процессы в реальной экономике можно представить в виде опционов. Путем расширения основных понятий определяющих финансовый опционный конракт возникли новые виды опционов, такие как реальный опцион, опцион расширения, опцион отказа.
Краткое описание схожих между собой по своей сути опционов расширения и отказа можно найти в [37]. Стоит отметить, что для выбранной тематики понятие об опционе расширения привело к появлению показателя ожидаемой стоимости запасов [11]. Но важно понимать, что премия или стоимость такого типа опционов определяется из элементарных соображений и не имеет ничего общего с моделью ценообразования финансового опционного контракта, а потому ничем не отличается от простой детерминированной модели, в которой все параметры статичны во времени. Поэтому к данному виду опциона следовало бы относиться лишь как к очередному "модному" понятию, а не как к серьезной попытке перенесения наработанной практики из области финансовых активов на реальный сектор экономики.
Перейдем к более общему понятию реального опциона. Приведем его типичный пример, описанный в немногочисленной литературе по данной тематике. Например, кредит, взятый фирмой для инвестирования в проект, по сути представляет собой выписанный этой фирмой реальный опцион на покупку. Значит, она фактически имеет возможность в любой момент погасить кредит. При этом, если к моменту истечения срока кредита инвестированные средства дадут прибыль выше основного долга фирмы, то произойдет погашение кредита и фирма получит прибыль. В противном случае, фирма предпочтет не выплачивать остаток долга и лишится залога или подвергнется процедуре банкротства. Понятно, что это несколько идеализированная модель, поскольку реальные кредиты имеют фиксированный амортизационный план.
Реальные опционы возникают в различных экономических ситуациях, где требуется корректная интерпретация относительно известной финансовой модели опционов на ценные бумаги. В работах [41], [42] при оценке стоимости бизнеса и деловой репутации компании проблема интерпретации преодолевается наикратчайшим путем — параметрам финансового опциона ставятся в соответствие аналоги из реальной ситуации и затем применяется в исходном виде формула Блэка- Шоулса. В действительности же может оказаться, что аналог не так просто точно определить и тем более решить вопрос о том, насколько адекватным является соответствие между аналогом из реальной ситуации и финансовым параметром. Проблема адекватности поднималась в [39], где рассматривается широкий круг вопросов корректности модели реального опциона относительно известной финансовой конструкции и, более того, делается попытка найти решение в конкретном примере. Однако как и во многих других работах, решение описывается общими словами и не дает ясного представления об используемой модели. Тем не менее бесспорным остается тот факт, что основная проблема корректной интерпретации реальных опционов состоит в определении актива, на который выписывается опцион, и в адекватном описании его поведения с течением времени.
Теория финансовых опционов предполагает, что характер изменения актива, являющегося акцией (или их суммой), имеет логнормальное распределение. В случае с реальным опционом может быть все, что угодно, вплоть до отсутствия какого-либо известного типа распределения. Воспользоваться в этой ситуации готовой формулой Блэка-Шоулса не представляется возможным, что заставляет разрабатывать новый математический аппарат для решения задачи о реальных опционах.
В настоящем разделе предпринимается попытка адекватно интерпретировать параметры опциона в недропользовании и решить задачу определения справедливой цены опциона. Проблема с правильным распределением актива в этом случае также решилась в пользу модели Блэка-Шоулса.
Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье
Реальный опцион в недропользовании — это лицензионный договор, дающий право купившему его инвестору на изучение и освоение недр в пределах некоторого участка и согласованного периода времени. Необходимо пояснить введенное понятие. Государство выставляет на тендер по проведению ГРР некоторый участок недр, инвестор выдвигает справедливую, на его взгляд, сумму за право пользования недрами этого участка. Задача определения предельного значения этой суммы в той или иной степени решается в данной главе. Справедливую цену опциона в недропользовании будем считать равной сумме, установленной инвестором для участия в тендере.
Предположим, что все сложилось для инвестора удачно, то есть он выиграл тендер. В таком случае новый владелец лицензии на проведение ГРР берет кредит на Т лет в банке на сумму X, выражающую собой оцененную инвестором величину затрат на проведение ГРР за весь период Т. По окончании срока действия купленной у государства лицензии на ГРР инвестор сравнивает величину ожидаемой от добычи и реализации разведанных запасов полезных ископаемых прибыли с X. Если разница в пользу дохода, то инвестор пролонгирует кредит и берется за эксплуатацию месторождения, в противном случае он уступает месторождение. Таким образом, уже фактически определены основные параметры опциона в недропользовании, то есть срок истечения опциона Т и цена исполнения. Если быть более точным, срок истечения опциона составляет чаще всего пять лет (Т = 5). Цена исполнения X — это затраты, которые инвестор потратит за все Т лет на ГРР участка недр. Для простоты будем полагать, что затраты распределены на всем сроке ГРР равномерно и их размер определим равным дисконтированному потоку одинаковых платежей. Осталось условиться о том, что в ситуации с реальным опционом в недропользовании представляет собой базовый актив, на который выписывается опцион. Под активом 5() в момент времени будем считать ЧДД, рассчитанный на основании имеющихся на момент t данных о разведанных запасах. Поясним подробнее, что понимается под ЧДД в определении актива.
Введем следующие обозначения: г — ставка дисконтирования; — объем разведанных запасов к моменту времени t [0,Т]; -- рыночная цена сырья в момент времени — срок от начала эксплуатации и до окончания освоения участка недр (часто полагают N = 25 в случае средней величины месторождения нефти или газа, в случае с твердыми полезными ископаемыми берут N из диапазона от 15 до 25); — доля от объема разведанных запасов, которую предполагается добыть в г-й период; — эксплуатационные затраты на добычу единицы объема полезных ископаемых в г-й период; кг — капитальные затраты в г-й период; — коэффициенты, учитывающие налоги по годам освоения, причем щ — совокупность налогов с выручки, П2 совокупность налогов с чистого дохода. Понятно, что реальная налоговая модель несколько сложнее, однако для целей представленного исследования считаем ее достаточной. Тогда размер актива S(t) определяется по формуле: — соответствует притоку денежных средств в г-й период, а и кг — оттоку денежных средств в г-й период. Искомую величину справедливой цены опциона обозначим через U. Из формулы (4.2.1) видно, что значение S(t) в любой момент времени t зависит от значений объема разведанных к тому моменту запасов v(t) и от цены на сырье c(t). Следовательно, стоимость опциона U в момент времени t будет зависеть от 3 переменных, а именно U = U(S(v, c),t). Значит, для нахождения величины U необходимо определить законы изменения v(t) и c(t). Решение этой задачи рассматривается в следующем разделе. 4.3 Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье Вначале обсудим вопрос о подходящем законе изменения объема запасов полезных ископаемых, разведанных к определенному моменту времени. Не секрет, что объем разведанных запасов v(t) может сильно уклоняться от той цифры, которая имеется на момент начала ГРР на участке недр. Поэтому резонно предположить, что функция объема может вести себя с течением времени как некоторая акция, потому что помимо заранее неизвестного в любой момент значения данной функции, у акции и объема просматриваются следующие схожие черты в поведении во времени: у обеих функций имеется тренд, пусть и незначительный, в сторону увеличения их значений; разброс значений у обеих функций носит "разумный характер", то есть вряд ли можно ожидать резкий рост или падение стоимости акции или величины объема за короткий отрезок времени. Ввиду приведенных выше обстоятельств можно принять, что разведанные объемы запасов полезных ископаемых изменяются в соответствии с уравнением: где постоянные (1, а 0, а У/ Ь 0 — винеровский случайный процесс (то есть непрерывный с независимыми нормальными приращениями). К вопросу определения закона изменения стоимости сырья стоит подойти с точки дискретности. Как показали недавние события, цена нефти не может быть принята фиксированной либо постоянно увеличивающейся. Рассмотрим модель, в которой функция стоимости сырья имеет ступенчатый вид, со случайными значениями на каждой ступени.
