Введение к работе
Актуальность темы. Финансовые рынки за последние десятилетия стали оказывать существенное влияние на жизнь государства и общества как в отдельно взятой стране, так и, вследствие глобализации, на жизнь мирового сообщества. Положение на финансовых рынках влияет на экономику, на социальную жизнь, на развитие науки и техники и т.д. Поэтому понимание структуры финансовых рынков и их развития играет все более важную роль, что свидетельствует о необходимости их серьезного изучения и построения адекватных моделей.
Математическое описание финансовых рынков, разработка моделей их функционирования, и методов расчета стоимости финансовых инструментов являются важной задачей финансовой математики. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию различных моделей финансовых рынков и разработке аналитических и численных методов расчета цен одного из наиболее популярных классов производных ценных бумаг, а именно расчету цен американских опционов.
С математической точки зрения расчет цен американских опционов сводится либо к решению различных краевых задач для уравнений в частных производных, либо к решению задачи об оптимальной остановке некоторого случайного процесса, моделирующего цену базового актива, на который написан опцион. В частности, при этом возникает задача со свободной границей - одна из наиболее сложных краевых задач для эллиптических или параболических уравнений или систем второго порядка, а также задача Коши. Наряду с этим, в зависимости от модели, мы сталкиваемся с необходимостью решения соответствующих задач для интегро-дифференицальных уравнений и систем. При решении этих задач возникают как различные теоретические вопросы — существование и единственность решения рассматриваемой задачи в том или ином функциональном классе и интерпретация неклассических решений, так и технические и практические вопросы, связанные с эффективными алгоритмами построения численных решений, исследованием вопросов их сходимости, разработкой и применением программ, позволяющих получить численные результаты и использованием полученных программных продуктов для исследования финансовых рынков. Поскольку, как правило, рассматриваемые задачи не имеют явных решений, то построение эффективных численных методов их решения является крайне актуальным. Наконец, отметим, что необходимость решения задач со свободной границей возникает также в различных областях математической физики, теории фазовых переходов, теории горения и других.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численных методов расчета безарбитражных цен американских опционов в различных моделях финансовых рынков, построение алгоритмов и создание программ, позволяющих реализовать эти алгоритмы.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
-
разработать и исследовать модели современных финансовых рынков, позволяющие, в частности, учитывать влияние рейтинга компании на цену ее акций и непостоянство волатильности динамики базовых активов;
-
вывести уравнения для расчета безарбитражных цен американских опционов в этих моделях;
-
разработать аналитические и численные методы решения задачи со свободной границей для ряда эллиптических и параболических уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений, основанные на вероятностных представлениях ее решения;
-
на основе развитых в п. 3 методов создать алгоритмы расчета справедливых цен американских опционов;
-
разработать эффективные программы, реализующие эти алгоритмы, и проанализировать результаты численных экспериментов.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы и результаты классической и современной теории уравнений в частных производных, теории стохастических уравнений, теории марковских цепей и марковских диффузионных и скачкообразных процессов. Программирование осуществлялось в среде MATLAB и на языке C++.
На защиту выносятся следующие результаты:
-
модифицированные модели финансового рынка, позволяющие учитывать влияние различных факторов на безарбитражные цены контрактов;
-
численные методы расчета цен американских опционов ' в модифицированных моделях финансового рынка, основанные на вероятностных представлениях решений рассматриваемых задач;
3) комплекс программ, позволяющий получить численные решения задачи
со свободной границей.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:
1) предложены новые модели, позволяющие учитывать в портфеле наличие
акций, стоимость которых зависит от рейтинга компании, а также модель с
аффинной стохастической волатильностью, обобщающая модель Хестона;
2) разработаны новые модификации численных методов построения
решения краевых задач для ряда уравнений в частных производных,
основанные на вероятностных представлениях соответствующих решений;
-
показано, что численная схема, построенная на основе вероятностного подхода, к решению задачи со свободной границей в модели Блэка-Шоулса дает результаты, близкие к результатам, полученным другими численными методами. Показана также эффективность разработанных в диссертации численных схем при нахождении цен американских опционов в более сложных моделях таких, как модели с переключениями, аффинные модели и модели типа Мертона;
-
разработан комплекс программ, позволяющих получить численные решения задачи со свободной границей для уравнений и систем
параболического и эллиптического типа, а также для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость исследования состоит в разработке двух модифицированных моделей финансового рынка, позволяющих учитывать влияние рейтинга компании на цены ее акций и/или непостоянство волатильности, а также в построении вероятностных представлений решения задачи со свободной границей для системы параболических уравнений, описывающих цены опционов в этих моделях, а его практическая значимость заключается в создании комплекса компьютерных программ, который позволяет находить численные решения задачи со свободной границей для эллиптических и параболических уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в математических моделях финансовых рынков.
При этом разработанные алгоритмы и программы, реализующие их, могут использоваться как для анализа динамики фондовых рынков и расчета цен производных ценных бумаг, в частности цен американских опционов, так и для решения задач со свободной границей, возникающих в других областях - в математической физике, теоретической биологии и других.
Полученные в диссертации результаты будут полезны для финансовых аналитиков и используются в учебном процессе при чтении курсов лекций по финансовой математике и теории арбитража.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ряде научно-практических конференций:
на 61-й, 62-й и 63-й Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов "Актуальные проблемы современного строительства" СПбГАСУ (2008, 2009, 2010гг.);
на 66-й, 67-й и 68-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета СПбГАСУ (2009, 2010,2011гг.);
на Российской школе-конференции "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва, РУДН, 14-18 декабря 2009г.;
на международной конференции "Modern Stochastics: Theory and Applications II", Киев, Украина, 7-11 сентября 2010г.;
на научной конференции преподавателей, аспирантов и студентов Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого, Великий Новгород, март-апрель 2011г.;
на международной конференции "Third Northern Triangular Seminar", Санкт-Петербург, 11-13 апреля 2011г.
Работа поддержана грантом для студентов, аспирантов, молодых ученых, молодых кандидатов наук вузов и академических институтов расположенных на территории Санкт-Петербурга. Диплом серия ПСП № 10577, номер гранта 2.1/02-06/016 (2010 год). Тема проекта: "Развитие численных методов, основанных на вероятностных подходах к решению задач оптимального управления и задач со свободной границей для параболических уравнений".
Также работа выполнена при финансовой поддержке СПбГАСУ, проект №4-Ф-11 (2011-2012 гг.). Тема проекта: "Развитие вероятностных методов решения краевых задач для нелинейных задач математической физики и финансовой математики".
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1]-[10], в том числе 3 работы в научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений Библиография содержит 52 наименования. Общий объем работы 148 страниц.
