Содержание к диссертации
Введение
1 Расчёт цен валютных опционов в моделях с диффузией и скачками 31
1.1 Расчёт цен ванильных опционов 31
1.2 Расчет цен азиатских опционов в диффузионных моделях валютных рынков 35
1.3 Калибровка моделей 39
1.4 Предполагаемое риск-нейтральное распределение (РНР) . 46
1.5 Стандартные котировки валютных опционов и их использование при оценке предполагаемой функции распределения . 52
2 Расчёт цен валютных опционов в современных моделях валютных рынков 56
2.1 Модели с локальной волатильностью 57
2.2 Калибровка в моделях со скачками 52
2.3 Модели со стохастической волатильностью 70
2.3.1 Расчет цен ванильных опционов в диффузионных моделях. Модель Хестона 71
2.3.2 Расчёт цен ванильных опционов в моделях со скачками. Модель Бэйтса 80
2.4 Калибровка параметров модели Хестона 85
3 Численные методы и схемы. Результаты расчетов 90
3.1 Метод Монте-Карло 90
3.2 Методы уменьшения дисперсии 92
3.3 Расчет цен опционов в моделях типа Мертона 99
3.4 Расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической волатильностью 110
Приложение 118
- Расчет цен азиатских опционов в диффузионных моделях валютных рынков
- Стандартные котировки валютных опционов и их использование при оценке предполагаемой функции распределения
- Расчёт цен ванильных опционов в моделях со скачками. Модель Бэйтса
- Расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической волатильностью
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи моделирования динамики валютных рынков и расчет справедливых цен новых финансовых продуктов, появляющихся на рынках, являются наиболее важными и актуальными проблемами, стоящими перед финансовыми аналитиками. Если задана динамика цен базовых активов, роль которых на валютном рынке играют курсы обмена одной валюты на другую, то следующая задача состоит в том, чтобы описать динамику цен производных ценных бумаг-новых контрактов на базовые активы, роль которых могут играть также производные ценные бумаги, уже присутствующие на рынке.
В диссертационной работе рассматривается ряд вероятностных моделей финансовых рынков как известных, так и новых и проводится расчет цен валютных контрактов, наиболее часто торгуемых на этих рынках. При этом разработана методика расчета цен финансовых продуктов, основанная как на численном решении уравнений в частных производных, так и моделировании соответствующих случайных процессов с последующим применением метода Монте-Карло. Особое внимание в последнем случае уделяется уменьшению дисперсии полученных таким образом оценок. Теоретические цены контрактов, рыночные цены которых известны, используются для определения параметров модели самого рынка.
Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение существующих и построение новых вероятностных моделей валютных рынков, а также разработка эффективных аналитических и приближенных методов расчета справедливых цен широкого класса опционов европейского типа.
Общая методика работы. В работе используются методы теории уравнений в частных производных, теории стохастических уравнений для процессов с диффузией и скачками, методы функционального анализа, а также методы и подходы численного анализа. Программирование осуществлялось в среде Matlab.
Задачи работы. Задачи работы состоят в рассмотрении широкого класса вероятностных моделей валютных рынков, включающего модель Блэка-Шоулса, различные модели с локальной и стохастической волатильностью, калибровке этих моделей и развитии эффективных аналитических или численных методов расчета цен различных опционов европейского типа, в частности колл- и пут-опционов, азиатских опционов и других.
В диссертационной работе решены следующие задачи:
1. Современные модели финансовых рынков адаптированы к задачам, возни-
кающим при расчете безарбитражных цен опционов на валютных рынках.
Построена новая стохастическая модель валютного рынка, аналогичная модели с локальной волатильностью, но позволяющая учитывать наличие скачков с локальной интенсивностью.
Проведено численное моделирование динамики валютных рынков в моделях с диффузией и скачками.
Получены аналитические результаты и разработаны программы расчета безарбитражных цен наиболее популярных опционов на валютных рынках-стрэддлов, стрэнглов, опционов разворота риска и опционов азиатского типа в ряде моделей валютных рынков. Полученные результаты являются важными для задач калибровки. Найдены соотношения, связывающие локальные характеристики (локальную волатильность и локальную интенсивность) с соответствующими предполагаемыми характеристиками.
Разработан программный комплекс, позволяющий проводить расчеты безарбитражных цен новых финансовых продуктов в различных моделях валютных рынков.
Научная новизна.
В диссертационной работе впервые рассмотрены стохастические уравнения с диффузией и скачками, описывающие валютные рынки с локальной волатильностью и локальной интенсивностью.
Для ряда моделей разработаны новые алгоритмы и комплекс программ для расчета безарбитражных цен новых финансовых продуктов на валютных рынках.
Разработаны новые алгоритмы и создан комплекс программ для расчета цен опционов в моделях с диффузией и скачками на основе методов Монте-Карло с уменьшенной дисперсией.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность данной работы состоит в построении новой стохастической модели валютного рынка и использовании этой и других стохастических моделей при расчете безарбитражных цен с помощью метода Монте-Карло. При этом впервые построены оценки Монте-Карло цен валютных оционов с уменьшенной дисперсией для моделей с различными распределениями скачков.
Построенные модели, алгоритмы и программы, реализующие их, могут использоваться для анализа динамики валютных рынков и расчета цен финансовых инструментов. Они будут полезны для финансовых аналитиков и могут быть использованы также в учебном процессе при чтении курсов лекций по финансовой математике.
Полученные в диссертационной работе результаты строго доказаны, достоверность численных расчетов подтверждена сравнением результатов, полученных в простых моделях численно и аналитически.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 64-й и 66-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2007,2009, 2010 г.г.); на 60 и 61-й научно-технических конференциях молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ, (2007, 2008 г.г.); на Международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе", Псков, сентябрь 2006 г.; Воронежской зимней конференции, Воронеж, январь 2008г; на международной конференции "6th St.Petersburg Workshop on Simulation", St. Petersburg, June 28-July 4, 2009 r.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1]-[9].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Библиография содержит 25 наименований. Общий объем работы 136 страниц.
Расчет цен азиатских опционов в диффузионных моделях валютных рынков
Как упоминалось выше, динамика курса обмена на современных рынках далеко не всегда является непрерывной и часто демонстрирует скачки. На случай, позволяющий учесть скачки ценовых процессов, непрерывная модель Г-К была обобщена в работе Мертона [12]. Модели, позволяющие учесть скачки ценовых процессов, строятся на основе процессов Леви. Пусть задано вероятностное пространство (Q,F,P). Процесс Леви-это процесс с характеристической функцией вида где фх(ц) имеет вид Здесь коэффициент сноса /л, коэффициент диффузии сг-константы, и 7r(z)-плотность меры 7г(с?г)-меры Леви. Заметим, что мера Леви конечна на R = R/0. Если заменить функцию 2lz i, определяющую поведение скачков в окрестности сингулярной точки 0, ограниченной функцией h(z) с компактным носителем, удовлетворяющей соотношению h(z) = z в окрестности нуля,то мера станет конечной. Наиболее часто используемые функции Рассмотрим несколько вариантов меры Леви 1. тг (dz) - нормальное распределение с плотностью 2. ir(dz) - равномерное распределение на интервале [а, Ь], а 0 Ъ с плотностью Напомним, что модель валютного рынка, в которой X(t) удовлетворяет (1.6), где Zk распределены по нормальному закону, называется моделью Мертона. Моделями типа Мертона мы будем называть модели, в которых используются процессы Леви с распределением величин скачков отличными от нормального. Вероятностное представление цены колл-опциона C{t, х:Т,К) в модели типа
Мертона имеет вид Наряду с ванильными опционами и их комбинациями на валютных рынках популярными являются азиатские опционы. АО представляют собой популярные финансовые инструменты, платежные обязательства по которым зависят от траекторий цен базовых активов, активно исследуемые в последние годы. Целью этого параграфа является расчет безарбитражных цен АО на валюту. Пусть динамика курса обмена имеет вид Здесь r Є [t,T] и а(т) Є Rn х Rn-неслучайная ограниченная функция. Платежное обязательство по колл-опциону азиатского типа имеет вид общего опциона азиатского типа зададим в виде выбор соответствует платежному обязательству азиатского типа и цена ct т в момент t колл-опциона на У с моментом исполнения Т и ценой исполнения К при этом вычисляется по формуле Поскольку явный вид функци F(t,x) найти крайне сложно, то можно воспользоваться другим подходом к определению цены производной ценной бумаги.
Подход основан на понятии хеджирующего портфеля П, состоящего из рисковых и безрисковых активов h,B,hx и обладающего свойством, что его цена в финальный момент времени Т совпадает с платежным обязательством X, а цена в текущий момент времени t определяется стоимостью платежного обязательства. Для использования этого подхода необходимо, чтобы рынок был полным. Рынок называется неполным, если существует платежное обязательство, которое нельзя захеджировать. На полном рынке процедуру определения цены можно построить следующим образом. Рассмотрим портфель, то есть новое платежное обязательство У, цена (капитал) которого имеет вид где В (і), X (і)-цены безрисковых и рисковых активов и F(t,X(t))-безарбитражная цена платежного обязательства X, которую предстоит определить. Задача состоит в том, чтобы найти hB,hx,hp- Если удастся подобрать их так, чтобы капитал V(t) удовлетворял соотношению и V(T) = F{T,X{T)) = Ф(Х(Т)), то капитал портфеля в момент времени t совпадет со стоимостью платежного обязательства, то есть V(t) = F(t,x), t 9 Т. Рассмотрим рынок, на котором присутствует п рисковых активов, по которым выплачиваются непрерывные дивиденды. Q -динамика рисковых активов определяется стохастическим уравнением где 7 -непрерывно выплачиваемые дивиденды по к -тому активу. Рассмотрим колл-опцион азиатского типа с платежным обязательством
Стандартные котировки валютных опционов и их использование при оценке предполагаемой функции распределения
Другой подход к аппроксимации РНР связан с интерполяцией улыбки волатильности, проводимой в терминах предполагаемой волатильности, определенной по рыночным данным. Как было сказано выше, особенности внебиржевого (OTC-overhe-counter) валютного рынка состоят в следующем: 1. Котировки на ОТС рынке производятся не в терминах (С, К) (цена опциона - договорная цена базового актива), а в терминах (дс, (с)) (дельта предполагаемая волатильность). В момент заключения контракта волатиль-ности переводятся в цены опционов с помощью формулы Г-К и соотношения определяющего дельту. В результате дилерам не нужно изменять котировки всякий раз, когда изменяется их представление о будущей цене валюты. При этом использование формулы Г-К вовсе не означает, что дилеры верят в модель Г-К. Формула Г-К используется просто как взаимно-однозначное преобразование пары волатильность-дельта в пару цена опциона-договорная цена. 2.
По большей части на ОТС валютном рынке торгуют комбинациями ванильных опционов. Напомним, что котировки стрэддлов, RR-опционов и стрэнглов в терминах (S(J; і), 6) имеют вид (1.21)-(1.23). И, преобразуя полученные соотношения, мы приходим к равенствам (1.24)-(1.25), позволяющим определить предполагаемую волатильность по котировкам наиболее распространенных опционов. Предполагаемую волатильность S(T, К), оцениваемую по рыночным данным с помощью формулы (7) или с помощью формул (1.24)-(1.25) и (1.20), можно определить лишь как дискретную величину, поскольку на рынке присутствуют опционы лишь с небольшим дискретным набором значений страй-ка К или значений 5. С другой стороны, для определения локальной во-латильности нужна непрерывная функция Е(Т, К) и, следовательно, непрерывная функция (с; t), для определения которой используют различные интерполяционные схемы. Например, можно использовать квадратичную интерполяцию функции Е( 5С;) в окрестности точки 5С = 0,5 При такой интерполяции из соотношений (1.25), (1.40) следует, что bo = 1, Ъ\ (1.41) Напомним, что в модели Г-К и, подставляя полученное выражение в (1.41), мы получим Решая уравнение (1.43) относительно E, мы найдем значение предполагаемой волатильности как корень Е = v этого уравнения. Зная предполагаемую волатильность v и соответствующую ей дельту, мы можем воспользоваться формулами (7), (1.20) для вычисления цены С колл-опциона и договорной цены К.
Наконец, используя формулу (1.39), мы получим выражение для плотности РНР /(Т, у) Как уже упоминалось выше, попытка адаптировать модель к рыночным данным приводит к необходимости рассматривать более сложные модели, чем модель Гармана-Кольхагена, а именно, моделям с локальной и стохастической волатильностыо. Существуют различные подходы к построению моделей финансовых рынков, согласованных с эмпирическими данными. При описании динамики цены базового рискового актива с помощью случайного процесса X(t) наблюдаемые цены опционов используются для определения параметров этого процесса, после чего полученные результаты применяются для построения функции распределения цены этого актива и расчета безарбитражных цен новых опционов на этот актив. В некоторых случаях требуемую функцию распределения удается задать аналитически, что имеет место в модели Г-К и в модели Мертона, и задача калибровки носит, параметрический характер, в других - эта задача может быть и непараметрической. Можно также вначале сформулировать гипотезу о виде и свойствах функции распределения и подобрать параметры, минимизируя расстояние между наблюдаемыми ценами опционов и теоретическими ценами, рассчитанными на основе предполагаемой функции распределения.
При этом в случае простого платежного обязательства вида X = Ф(Х(Т)), например колл-опциона, достаточно задать лишь плотность терминальной функции распределения, т.е. плотность f(T, у) функции распределения F(T, у) случайной величины Х(Т), а не всей траектории процесса X(t), 0 t Т.
Расчёт цен ванильных опционов в моделях со скачками. Модель Бэйтса
В главе 1 были приведены явные формулы, позволяющие вычислить безарбитражные цены колл- и пут-опционов в модели Гармана - Кольхагена. Однако, в более сложных моделях и для многих других опционов найти такие явные выражения не удается, и поэтому крайне важно развитие численных методов нахождения соответствующих цен. Одним из эффективных методов нахождения цен является метод Монте-Карло. Для удобства приведем сначала грубый метод Монте-Карло, а затем опишем методы уменьшения дисперсии: метод антитетичных переменных и метод контрольных переменных. Рассмотрим платежное обязательство X = Ф(Х(Т)) европейского типа. Его безарбитражная цена в момент времени t задается выражением v(t, х) = e TdTEx[X], где X(t) = х и (5-мартингальная мера.
Предположим, что мы умеем генерировать случайные величины Х\, А2, Хп, имеющие тот же закон распределения, что и X. Тогда из закона больших чисел следует, что при п - со Р-п.в.. Генерируя достаточно большое количество экземпляров Xk (при большом числе симуляций п), мы получим достаточно хорошую оценку для Хп. Несмещенная оценка для выборочной дисперсии S имеет вид Таким образом, построенная выше оценка Хсг для ЕХ имеет стандартную ошибку (MSE-mean standard error) вида Величину Хсг называют грубой оценкой ЕХ по методу Монте-Карло. Типичная схема получения грубой оценки по методу Монте-Карло имеет следующий вид: 1 шаг. Инициализация. Запускаем генератор случайных чисел. 2 шаг. Симуляция. Этот шаг представляет собой последовательность повторяющихся процедур - цикл, в рамках которого последовательность псевдослучайных чисел используется для вычисления интересующей нас величины. Кроме того, на этом шаге можно вычислять и оценку приближения. 3 шаг. Окончание процедуры и остановка генератора случайных чисел. Недостаток грубой оценки Хсг величины ЕХ по методу Монте-Карло состоит в ее малой скорости сходимости. Для того чтобы уменьшить стандартную ошибку MSE(Xcr) = 77= в 10 раз, нужно увеличить число симуляций п в 100 раз.
Поэтому важно использовать другие способы уменьшения стандартной ошибки. Поскольку расчет безарбитражных цен опционов сводится к вычислению величины в виде естественно применить методы уменьшения дисперсии при оценке этой величины по методу Монте-Карло. Приведем вначале необходимые для этого известные результаты, позволяющие уменьшать дисперсию оценки, построенной по методу Монте-Карло. Метод антитетичных переменных (antithetic variate -AV) В основе применения метода антитетичных переменных для вычисления величины ЕХ лежат следующие простые соображения. Пусть УЇ и Y2 одинаково распределенные случайные величины со средним в. Тогда EYl = E( ), и дисперсия уменьшается в том случае, когда УЇ и У2 отрицательно корре-лированы. Пусть Y = Ф(/), гДе (0,1)- равномерно распределенная на [0,1] случайная величина.
Для вычисления среднего значение в = ЕФ(и) случай ной величины Ф{и), введем случайную величину где случайные величины Uk,k = 1,2, (возможно зависимые) имеют равномерное распределение на [0,1]. При этом Ева — в = /0 Ф(и)(іи, и откуда следует, что если U\ и U2 отрицательно коррелированы и Ф - монотонная функция, то дисперсия полученной оценки будет меньше, чем \уаг{Ф{и{))) - половина дисперсии грубой оценки по методу Монте-Карло. Поскольку Ф - монотонная функция, то Ф(1 — Ui) убывает, если ФШі) возрастает. Таким образом, выбор U2 = 1 — U\ приводит к получению отрицательно коррелированных случайных величин. Случайная величина U2 называется антитетичной величине U\ и при этом Эта конструкция распространяется и на случай п 2, и справедливо следующее утверждение. Пусть Ф(щ, ...,ит) Є R1 - монотонная функция по каждому аргументу Uk Є [0,1], к = 1,... , т. Тогда для множества независимых одинаково распределенных случайных величин (и.о.р.с.в.) U = (Ui, ...,Um) с распределением /(0,1)
Расчет цен европейских опционов в моделях со стохастической волатильностью
В этом параграфе мы рассмотрим численные схемы, позволяющие провести расчет цен интересующих нас опционов в модели Хестона, описанной в параграфе 2.3.1. Поскольку в модели Хестона, которая по мартингал ьной мере задается системой уравнений вида не удается найти явное решение системы (3.29)-(3.30) , то безарбитражную цену европейского опциона с контрактной функцией Ф(х, v), которая задается соотношением можно найти, численно решая СДУ и используя далее метод Монте-Карло Метод Монте-Карло Прежде всего заметим, что при использовании численного моделирования для решения системы уравнений (3.29)-(3.30), удобно свести ее к эквивалентной системе, в которой вместо коррелированных винеровских процессов wi(t) и W2(t) будут использоваться независимые винеровские процессы W\(t) и u)2(t) при сохранении исходной корреляционной матрицы.
Воспользуемся для этого методом Холецкого, позволяющим представить положительно определенную матрицу ковариаций в виде произведения верхне-треугольной матрицы на ее сопряженную, т.е получить разложение вида Используя полученные соотношения, мы заменим пару wi(t),W2(t) с ковариационной матрицей G парой wi(t), w2(t) = pwi(t) + y/l - p2w2(t), где винеровские процессы W2{t) и w\(t) независимы. При этом модель Хестона (3.29)-(3.30) приобретет вид Метод Эйлера-Мару ямы решения стохастического уравнения. Напомним, что метод Эйлера-Маруямы для решения стохастического уравнения состоит в следующем: - рассмотрим равномерное разбиение интервала [0, Г] 0 = to ... tn tn+i ... tN = Т, где tn+i - tn = 5 = T/N и уравнения (3.29)-(3.30) заменим дискретными соотношениями. Следовательно, дискретные решения уравнений цены и волатильности в модели Хестона имеют следующий вид где Z1, Z2 - независимые случайные величины с распределением N{0,1). С помощью разложения Холецкого и формул (3.37) можно моделировать дискретные значения цен опционов. Программа для расчета цен европейских колл-опционов по методу
Монте-Карло представлена в приложении В. При этом для определения цены платежного обязательства использовалось приближение где Xff,Vff - это элементы к-й выборки X и V, полученные по формулам (3.37). Для симуляции X и V по формуле (3.37) коэффициенты к, 9, а, р, VQ взяты из результатов калибровки, описанной в параграфе 2.4. Количество симуляций равно 10 000. Количество элементов в выборке Хк и Vk: N = 365Т, где Т - срок погашения контракта (в годах). Расчет цен опционов методами теории уравнений в частных производных Как уже упоминалось выше, альтернативный метод определения цены колл-опциона в модели Хестона состоит в решении задачи Коши (2.39). Во второй главе было показано, что решение этой задачи
