Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор существующих динамических моделей рынка товаров, их модификация и обобщение и постановка задач исследования 16
1.1. Развитие вальрасовского подхода в описании динамики рынка 16
1.1.1. Модели рынка без учета запаздывания в поставках товара 16
1.1.2. Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель 27
1.1.3. Модели вальрасовского типа с запаздываниями 29
1.2. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа 33
1.2.1. Случай малого запаздывания при линейных функциях спроса и предложения 35
1.2.2. Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения 40
1.3. Построение модификаций моделей рынка вальрасовского типа 42
1.3.1. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа второго порядка 42
1.3.2. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа третьего порядка 44
1.3.3. Модели вальрасовского типа со многими товарами 46
1.4. Сводка динамических моделей рынка. Постановка задач исследования 49
2. Глава 2. Численные методы решения систем с запаздыванием. Моделирование рынка товаров 54
2.1. Обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 54
2.1.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом 54
2.1.2. Аналитическое решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и запаздыванием 56
2.1.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов 57
2.1.4. Численные методы типа Адамса 58
2.1.5. Алгоритм Рунге-Кутты численного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием 59
2.2. Альтернативные численные методы решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием 62
2,2А. Построение алгоритма численного решения линейной системы с запаздыванием, кратным шагу интегрирования, методом Эйлера с уравниванием 62
2.2.2. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией 64
2.2.3. Численное решение нелинейной системы дифференциальных уравнений со многими запаздываниями на основе метода шагов и метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности 68
2.2.4. Построение приближенного аналитического решения системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздыванием 70
2.3. Моделирование рынка товаров. Исследование моделей 76
2.3.1. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа при произвольном запаздывании 76
2.3.2. Исследование модели рынка вальрасовского типа второго порядка 83
2.3.3. Исследование модели рынка вальрасовского типа третьего порядка 89
2.3.4. Исследование модели вальрасовского типа со многими товарами 93
3. Глава 3. Построение границ области устойчивости состояний равновесия моделей рынка вальрасовского типа 104
3.1. Существующие методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 104
3.2. Описание метода построения границы области устойчивости 107
3.3. Построение области устойчивости для модели рынка вальрасовского типа 108
Глава 4. Стабилизация рынка вальрасовского типа в состоянии равновесия 113
4.1. Модификация метода Минюка стабилизации состояния равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием 113
4.2. Квазиоптимальное управление 120
4.3. Исследование стабилизируемых моделей рынка 121
4.3.1. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка 122
4.3.2. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа третьего порядка 127
5. Глава 5. Идентификация динамических моделей вальрасовского типа 133
5.1. Алгоритм идентификации 133
5.2. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа с одним товаром 137
5.3. Оценка точности идентификации модели вальрасовского типа в зависимости от шага идентификации и от запаздывания 140
5.4. Идентификация модели вальрасовского типа с одним товаром при наличии случайной составляющей в функции спроса 143
5.5. Частный случай идентификации модели вальрасовского типа при известных равновесных ценах 148
5.6. Идентификация модели рынка вальрасовского типа со многими товарами 149
5.7. Идентификация модели вальрасовского типа со многими товарами при наличии случайных составляющих в функциях спроса 155
5.8. Идентификация модели вальрасовского типа для рынка компьютерных комплектующих 161
Заключение 169
Список использованных источников
- Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель
- Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения
- Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов
- Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка
Введение к работе
Актуальность работы
В настоящее время математическое моделирование динамики товарного рынка является одним из важнейших, но еще слабо изученных направлений исследования экономических процессов. Представляет большой теоретический и практический интерес построение и исследование математических моделей, описывающих с возможно большей адекватностью динамику рыночных цен и объемов поставок и продаж товаров на рынке в зависимости от соотношений спроса и предложения товаров, конкуренции товаров и продавцов, дисциплины поставок товаров, маркетинговой политики и стратегии участников рынка и других факторов, влияющих на устойчивость положения рыночного равновесия и характер рыночных переходных процессов.
Основополагающие классические работы, положившие начало математическому описанию рыночных процессов, связаны с именами Антуана Курно [1], Уильяма Стенли Джевонса [2], Леона Вальраса [3], Альфреда Маршалла [4], Вильфредо Парего, Карла Менгера [5].
Идея «нащупывания» равновесия (tatonnement - фр.) между объемами спроса и предложения товаров впервые была высказана Л. Вальрасом [3] в 1874 г., затем эта идея применительно к проблеме равновесия между ценами спроса и предложения была развита в 1890 г. А. Маршаллом [4]. Вальрас и Маршалл считаются основателями теории рыночного равновесия. Рыночное равновесие устанавливается в точке пересечения линий спроса и предложения в пространстве координат «цена-объем» (по Вальрасу) и «объем-цена» (по Маршаллу). Математический аппарат этой теории - системы алгебраических уравнений.
В течение более полувека шло развитие этой теории в плане учета различных факторов производства, обмена, сбыта и т.д., влияющих на поведение линий спроса и предложения (А. Вальд [6], Дж.В. Нейман [7], К. Эрроу и Дебре, В. Маккензи, Раднер, Ауман). И только в конце 30-х - начале
40-х годов XX века были сформулированы разностные и дифференциальные
соотношения, определяющие динамику процесса перехода рынка к состоянию
равновесия (П. Самуэльсон [8]), положившие начало развитию
дифференциально-разностных моделей рынка такими учеными, как Дж. Хикс
[9], А. Смизис (1942) [10], Л. Метцлер (1945) [11], К. Эрроу и Л. Гурвиц
(1958) [12], Ф. Хан (1958) [13], Т. Негиши (1958) [14], Л. Маккензи (I960)
[15], Никайдо и Узава (1960) [16]. Почти одновременно с появлением
динамических моделей рынка вальрасовского типа была осознана
необходимость учета в динамических моделях рынка запаздывания,
порождаемого задержками в поставках товара. По-видимому, первой моделью,
учитывающей запаздывание в уравнениях динамики перехода рынка к
равновесию в дискретном времени, была разностная «паутинообразная»
модель, предложенная Езекилем в 1938 г. [17]. Однако дифференциальные
модели рынка в течение длительного времени развивались без учета
запаздывания в связи, по-видимому, с определенной сложностью
математического аппарата (Дж.К. Ченг и М.П. Веллман [18], Дж.И. МакКоли
и К.М. Кёффнер [19]). В дальнейшем, по мере развития теории и методов
решения дифференциальных уравнений с запаздываниями, стали развиваться
и непрерывные динамические модели рынка, учитывающие запаздывание
(Н.К. Обросова [20-24], 1996, Ю.А. Кузнецов [25], 2002, В.В. Поддубный [26,
27], 2004, И.К. Коханенко [28], 2005). Такие динамические модели вслед за
Н.К. Обросовой будем называть моделями вальрасовского типа.
Если статические модели рынка можно считать изученными с математической точки зрения более или менее хорошо (теория рыночного равновесия) [29-31], то динамика рынка еще слабо исследована в связи со сложностью соответствующего математического аппарата теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. До сих пор остаются мало исследованными вопросы устойчивости, стабилизации и идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, а, следовательно, и динамических моделей рынка.
7 Различные методы аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом предложены А.Д. Мышкисом [32], Л.Э. Эльсгольцем [33], К.Г. Валеевым [34-36], Т.С, Зверкиной [37], А.Д. Горбуновым и В.Н. Поповым [38], Л.С. Гноенским и Г.А. Каменским [39], Л.Н. Белых и А.Л. Асаченковым [40], В.Б. Колмановским [41], А.В. Прасоловым [42], С. Sartori [43], A. Bellen [44-46], R. Verraiglio [47], С.Т.Н. Baker и С.А.Н. Paul [48, 49], A. Karou и R. Vaillancourt [50]. К сожалению, эти методы не являются универсальными и не всегда применимы (например, при малых запаздываниях). Кроме того, в ряде случаев предложенные алгоритмы оказываются достаточно громоздкими. Поэтому остается актуальной проблема разработки и построения альтернативных численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Что касается устойчивости уравнений с запаздыванием, то этим занимались такие отечественные ученые как Л.Э. Эльсгольц [51, 52], Н.Н. Красовский [53-56], Б.С. Разумихин [57-59], Я.З. Цыпкин [60], Ю.И. Неймарк [61], Н.Н. Мейман и Н.Г. Чеботарев [62], Э. Пинни [63], С.Н. Шиманов [64-66], Ю.М. Репин [67], В.Б. Колмановский [68, 69], Б,Г\ Гребенщиков [70-75], А.В. Прасолов [76], Н.В. Азбелев и П.М. Симонов [77], Ю.Ф. Долгий и С.Н. Нидченко [78-81], Н.К. Обросова [82], и зарубежные ученые H.W. Stech [83], K.L. Cooke и J. Turi [84], Guglielmi [85], A. G. Ulsoy [86], M.M. Peet [87, 88], L. E. Kollar [89], L. Berezansky и L. Idels [90], T. Kalmar-Nagy [91], B. Cahlon и D. Schmidt [92]. Аналитические методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом достаточно сложны и плохо реализуемы численно. Они не дают явных рецептов нахождения границ областей устойчивости для состояния равновесия систем с запаздывающими аргументами в пространстве запаздываний. Поэтому остается актуальной разработка конструктивных численных методов построения границ областей устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
8 Задачами оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с запаздыванием, занимаются P. Wang [93], К. Kunisch [94], F. Gozzi и С. Marinelli [95], L. Berezansky и Е. Braverman [96], И. М. Борковская и В.М. Марченко [97], С.А. Минюк [98], И.Е. Зубер [99-100], А.В. Клименко [10Ї], ГЛ. Терновая [102], И.Б. Фуртат [103], А.В. Прасолов [76]. Применительно к задачам стабилизации динамических моделей рынка в положении равновесия первыми, по-видимому, являются работы В.В. Поддубного [26,27].
Идентификация модели рынка вал ьрасовс кого типа осложнена наличием временных лагов, запаздываний реакций поставщиков товаров на изменение цен этих товаров. Работ по идентификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом довольно мало. Среди них можно указать, например, работы D.W. Brewer [104], С. Baker и E.I. Parmuzin [105], В.И. Ловчакова [106], А.В. Прасолова [107], В.Ф. Лебедева и Е.А. Ситникова [108], С.А. Минюкаи А.В, Метельского [109].
Настоящая работа посвящена разработке численных методов и алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, используемых для построения математических динамических моделей товарного рынка вальрасовского типа, исследованию характера и особенностей поведения этих моделей, изучению вопросов устойчивости их равновесных состояний, стабилизации в состоянии равновесия и идентификации моделей рынка. Цель работы
Целью работы является исследование математических моделей рынка, учитывающих наличие конкуренции товаров и запаздывание реакции поставщиков товаров на изменение цен товаров. Модели задаются с помощью систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами. Запаздывания считаются постоянными. В рамках указанной цели поставлены и решены следующие задачи:
Построение вычислительных схем решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, пригодных для работы с произвольными запаздываниями, в том числе как угодно малыми.
Построение и исследование различных модификаций динамических моделей рынка вальрасовского типа с использованием разработанных вычислительных схем.
Разработка конструктивного численного алгоритма построения границ области устойчивости положения равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.
Исследование стабилизируемых в состоянии равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.
Разработка метода идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.
Методы исследований
В ходе решения поставленных задач использовались методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений (в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом), теории оптимального управления и стабилизации, теории устойчивости и теории идентификации систем.
Научная новизна работы
1) На основе численного метода Эйлера с уравниванием для решения дифференциальных уравнений без запаздывания разработан аналогичный численный метод второго порядка точности для решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предложено две модификации этого метода: без интерполяции и с интерполяцией. Первая модификация ограничивает выбор шага интегрирования условием кратности запаздывания этому шагу. Вторая модификация свободна от этого ограничения и позволяет, в отличие от известного метода шагов, работать с
10 любым, в том числе как угодно малым запаздыванием, и выбирать любой шаг интегрирования, обеспечивающий желаемую точность решения.
Разработан новый конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В отличие от существующих способов исследования устойчивости, алгоритм не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома. Метод сводится к численному поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми. С использованием этого алгоритма впервые построены границы областей устойчивости динамических моделей рынка вальрасовского типа.
На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями. Алгоритм позволяет совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания.
Практическая ценность работы
Практическая ценность работы заключается в развитии математических моделей рынка товаров в направлении повышения ее адекватности и в разработке прикладных численных методов решения задач моделирования, идентификации и построения границ областей устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Эти методы могут использоваться при исследовании динамических моделей не только в экономике, но и в других областях науки.
Положения, выносимые на защиту
Модификация и обобщение динамических моделей рынка вальрасовского типа: линейные модели второго и третьего порядков для рынка одного товара и нелинейные модели для рынка со многими товарами.
Модификации численных методов для интегрирования систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Новый конструктивный алгоритм построения границ области устойчиюсти положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Новый алгоритм идентификации системы с запаздыванием на основе метода наименьших квадратов.
Внедрение полученных результатов
Результаты работы используются в учебном процессе факультета информатики Томского государственного университета при проведении учебных занятий по курсу «Дифференциальные уравнения и основы теории управления».
Апробация работы
По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:
IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2005), Анжеро-Судженск, ноябрь 2005 года.
VI Международная научная конференция "Наука и образование": Математическое моделирование и информатика, Белове, март 2006 года.
XLIV Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс": Математика, Новосибирск, апрель 2006 года.
V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2006), Анжеро-Судженск, ноябрь 2006 года.
XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, апрель 2007 года.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, основного текста, заключения, списка использованной литературы (139 наименований). Основной текст состоит из 5 глав и содержит 152 рисунка и 6 таблиц. Общий объем работы составляет 184 страницы.
12 Публикации по теме работы
Основное содержание работы отражено в 9 публикациях [110-118], в том числе 4 статьях в журнале из списка ВАК.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава работы посвящена обзору существующих динамических моделей рынка вальрасовского типа, а также построению более адекватных реальности модификаций и обобщений этих моделей.
Рассматривая существующие динамические модели рынка вальрасовского типа, включая модели, построенные Н.К. Обросовой [20-24], Ю.А. Кузнецовым [25], В.В. Поддубным [26, 27] и И. К. Коханенко [28], приходим к необходимости построения ряда модификаций и обобщений моделей рынка. Рассматриваются следующие модификации и обобщения моделей Вальраса и Маршалла, более адекватно описывающие динамику рынка:
- линейная динамическая модель рынка второго порядка, содержащая
только две зависимые переменные - рыночную цену товара P(t) и объем
продаж Q(t);
более реалистичная линейная динамическая модель третьего порядка, учитывающая изменения во времени не только рыночной цены товара и объема продаж, но и объемов предложения Qs{i) и спроса QD{t). При этом объем продаж в каждый данный момент времени определяется как минимальная из величин Qs{t) и QD{t): Q{t) = mm[Qs(t),QD{t)).
нелинейная модель рынка вальрасовского типа со многими товарами, учитывающая наличие конкуренции на рынке. Эта модель рынка описывается системой связанных дифференциальных уравнений N-vo порядка с N постоянными запаздываниями.
Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию рынка товаров. В главе сделан обзор существующих методов аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием. В связи с громоздкостью большинства существующих численных методов
13 решения дифференциальных уравнений с запаздыванием, обязательно включающих в полученное решение все точки разрыва производных, а также в связи с непригодностью этих методов в случае как угодно малых запаздываний, разработаны модификации численных методов, обеспечивающие требуемую точность решения без обязательного включения в решение всех точек разрыва производной- Разработано две формы обобщения на случай уравнений с запаздыванием методов численного интегрирования дифференциальных уравнений: без интерполяции и с интерполяцией. В первой форме шаг интегрирования выбирается как общий делитель всех запаздываний, обеспечивающий требуемую точность решения. Это позволяет включить в решение все точки разрывов производных. Вторая форма допускает выбор любого шага интегрирования, обеспечивающего желаемую точность, безотносительно к запаздываниям, которые могут быть любыми, в том числе как угодно малыми. При этом информация о некоторых точках разрыва производных может быть потеряна, что не является существенным для задач моделирования рынка. В работе используются обобщения методов Рунге-Кутты и Эйлера с уравниванием в первой форме и метода Эйлера с уравниванием во второй форме.
Проведено численное исследование моделей рынка, представленных в первой главе. Исследован характер переходных процессов при выведении рынка в некоторый начальный момент времени из состояния равновесия при различных запаздываниях.
Результаты, полученные в главе, опубликованы в работах [110-114]. Третья глава посвящена исследованию устойчивости моделей рынка вальрасовского типа. Сделан обзор существующих методов исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздываниями. Отметим, что на сегодняшний день не существует конструктивных алгоритмов нахождения границ областей устойчивости для состояний равновесия систем с запаздывающими аргументами.
В связи с этим разработан оригинальный конструктивный численный алгоритм построения границ области устойчивости в пространстве
14 запаздываний для точки равновесия рынка многих товаров. Алгоритм основан на анализе характеристического квазиполинома, но не предполагает нахождения бесконечного множества его корней. Метод сводится к поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми.
С помощью разработанного алгоритма исследована устойчивость рассматриваемых в работе моделей рынка.
Результаты, полученные в третьей главе, опубликованы в работах [115-117].
Четвертая глава работы посвящена исследованию динамической модели рынка вальрасовского типа, стабилизируемой в положении равновесия. Целью стабилизации является как можно более быстрое приведение рынка в состояние равновесия и увеличение области устойчивости положения равновесия рынка. В главе разработана модификация одного из методов стабилизации системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим на основе представления решения уравнения схемой Р. Беллмана и К. Кука.
С помощью описанного метода построены траектории управляемых моделей рынка с запаздыванием поставок товаров в сравнении с неуправляемыми моделями. Показано, что при устойчивом положении равновесия рынка свободное движение рынка к равновесию происходит значительно медленнее, чем управляемое. Управление при достаточном ресурсе эффективно стабилизирует рынок в положении даже неустойчивого равновесия, возникающего при больших запаздываниях. Таким образом, стабилизация рынка, описываемого линейными моделями вальрасовского типа, в положении равновесия позволяет расширить область устойчивости равновесия рынка.
Результаты, полученные в главе, опубликованы в работе [114].
15 В пятой главе разработан новый метод идентификации параметров рынка (коэффициентов модели и запаздываний) на основе метода наименьших квадратов. Этот алгоритм используется для идентификации модели рынка вальрасовского типа с одним и несколькими товарами. В работе проводится оценка точности идентификации в зависимости от шага идентификации и от запаздывания. Показано, как с увеличением шага увеличивается ошибка оценивания параметров модели.
Рассматривается идентификация модели рынка при наличии случайных составляющих в функциях спроса на товары. Случайный спрос моделируется нормально распределенными величинами с нулевым средним и дисперсией сг2. Показано, что чем больше дисперсия случайной составляющей спроса на товары, тем хуже идентифицируются параметры модели рынка и тем больше доверительная область для этих параметров. Отмечено, что параметры модели идентифицируются намного лучше при больших значениях запаздываний, когда положение равновесия рынка неустойчиво. Это можно объяснить тем, что увеличение запаздывания ведет к увеличению времени переходного процесса рынка. А идентификация возможна только на переходном процессе. Чем он длиннее, тем больше информации можно получить из наблюдений за ценой товара при идентификации параметров модели и, соответственно, тем лучше можно их оценить.
Один из разделов пятой главы посвящен решению практической задачи идентификации параметров реального рынка одного из типов компьютерных комплектующих - видеокарт. Модель вальрасовского типа хотя и не вполне адекватна реальным данным, не учитывает, возможно, какие-то важные особенности реального рынка, но, тем не менее, достаточно правильно отражает главную закономерность динамики рынка - зависимость цены товара от соотношения спроса и предложения.
Результаты пятой главы опубликованы в работе [118].
В заключении подводятся итоги проделанной работы.
Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель
Аналогом паутинообразной модели в непрерывном времени является модель, описываемая дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом вида: d iQDm)-Qs(P{t-.)% (1.10) где т - запаздывание, задержка во времени, связанная с тем, что для производства товара и доставки его на рынок требуется некоторое время т.
Модели вальрасовского типа, основанные на (1.10), исследованы в настоящее время недостаточно хорошо в связи со сложностью соответствующего математического аппарата - дифференциальных уравнений с запаздываниями.
Работы Н.К. Обросовой (1996-1999 гг. [20-24]), по-видимому, являются первыми работами, в которых производится исследование решения и устойчивости состояния равновесия моделей рынка вальрасовского типа, описываемых с помощью дифференциальных уравнений с запаздываниями. Рассматривается рынок однородного товара. Считаются выполненными следующие предположения: 1) в каждый момент времени товар продается по единой цене Р; 2) поведение потребителей и производителей описывается соответственно функциями спроса QD = QD(P) и предложения Qs =QS(P), причем характерное время изменения функций спроса и предложения много больше характерного времени изменения цены, т.е. эти функции не зависят явно от времени. Н.К. Обросова в своих работах рассматривает модель вальрасовского типа с запаздываниями следующего вида: dP(t)_ QD(P(t ))-Qs{P{t-x2)) Л -J Qs{P{t-b)) () где коэффициент у 0 имеет размерность Г1 и характеризует скорость реакции рынка на изменение цены, т, 0, т2 0 - постоянные запаздывания, одновременно не равные 0.
В работах исследуются устойчивость равновесных цен и сценарий потери устойчивости в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. Для рынка однородного товара показано, что потеря устойчивости равновесных цен происходит в результате превышения эластичностью предложения некоторого критического значения. Полученная зависимость устойчивости от параметров модели имеет реальную экономическую интерпретацию. В работе исследовано также поведение системы после потери устойчивости. Показано, что в случае, когда товар не является товаром первой необходимости, потеря устойчивости происходит в результате бифуркации Хопфа и после потери устойчивости возникает или гибнет периодическая траектория. Проведено также исследование устойчивости равновесных цен в аналогичной модели в случае рынка двух частично взаимозаменяемых товаров. В этом случае представляет интерес исследование влияния эластичности замещения товаров на устойчивость. Показано, что уменьшение эластичности замещения приводит к уменьшению области устойчивости равновесных цен.
В последнее время появилось несколько работ, в которых производится объединение подходов Вальраса и Маршалла.
Если Вальрас оперирует понятиями «объем спроса» и «объем предложения» в зависимости от цены, то А. Маршалл [4] вводит в экономическую науку совершенно новые категории - "цена спроса" и "цена предложения". Под ценой спроса (т.е. под ценой покупателя) Маршалл понимает ту максимальную цену, которую потребитель согласен уплатить за тот или иной товар в зависимости от его полезности. Цена предложения - это минимальная цена, по которой продавец согласен продавать данное количество товаров по данной цене. Маршалл показал, что цена находится в функциональной зависимости от спроса и предложения. Он представил эту зависимость в графической форме и совместил кривые спроса и предложения. Цена равновесия устанавливается на пересечении этих кривых.
Ю.А. Кузнецов (2002 г.) в работе [25] предлагает некоторые модели типа Вальраса-Маршалла динамики ценообразования, задавая их системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом учитывается «инерционность» реакции потребителя и производителя, а также наличие на рынке взаимозаменяемых и взаимодополняемых товаров. Рассматривается рынок нескольких товаров.
Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения
В работе [26] предложена и исследована модификация линейной модели рынка вальрасовского типа в пространстве переменных «цена -предложение» без учета запаздывания реакции рынка на изменение цены (или в предположении пренебрежимо малого запаздывания). Запаздывание связано с тем, что предложение товара на рынок в данный момент времени определяется на самом деле рыночной ценой товара в некоторый предыдущий момент времени, поскольку требуется некоторое отличное от нуля время для заказа товара, исполнения заказа, транспортировки и доставки товара на рынок. В данной части главы рассматривается та же модель, что и в работе [26], но с учетом запаздывания реакции поставщика товара на изменение рыночной цены.
Пусть Q(t) - объем продаж в текущий момент времени t, P(t) рыночная цена товара. Пусть т - запаздывание, задержка во времени, связанная с тем, что для производства товара и доставки его на рынок требуется некоторое время т. Объем предложения в момент времени t определяется рыночной ценой товара в предшествующий момент времени
Тогда изменение во времени цены товара и объемов его поставок на рынок определяется в модифицированной модели рынка вальрасовского типа второго порядка решением начальной задачи для системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: dP(t) dt dQ{t) = -a{P{t)-P )-q{Q(t)-Q l = г}(Р(і)-Р ) + г2(Р(і-т)-Р )-Ь(0(і)-12 ) (1-38) at при заданных в начальный момент /„ = 0 начальных условиях P(0) = PQ,Q(0) = Q0 (1.39) и заданных начальных значениях вектора решения (начальных функциях) на интервале [- т,0), P(t) = P(t),Q(t) = Q(t),te[-x,0). (1.40) В системе уравнений (1.38) Р - равновесная цена товара, Q -равновесный объем продаж, а 0, 6 0, g 0, г, 0, г2 0 - некоторые константы (коэффициенты системы уравнений), т - постоянное запаздывание. Поведение рынка будем рассматривать на некотором конечном промежутке времени t є [tQ, Т].
Как видно из первого уравнения системы (1.38), рыночная цена падает, если она больше равновесного значения и (или) если рынок затоварен (объем предложения больше равновесного). И наоборот, рыночная цена растет, если она меньше равновесного значения и (или) если имеется дефицит товара на рынке (объем предложения меньше равновесного). Точно так же, как видно из второго уравнения системы (1.38), объем предложения растет, если имеется дефицит товара и (или) если рыночная цена выше равновесного значения в данный момент (слагаемое rx (P(t) - Р ) в правой части) или в предыдущий момент (слагаемое r2(P(t т) - Р ) в правой части). И наоборот, объем предложения падает, если рынок затоварен и (или) если рыночная цена меньше равновесного значения. Введем векторно-матричные обозначения: at V at at y(t-j) = (p(t)-P Q{t-x)-Q )T, ( A = U -ЬУ U, -Ь) Щ {Q(t)-Q-) где Г-знак транспонирования. Тогда система линейных дифференциальных уравнений (1.38)-(1.40) с запаздыванием т в векторно-матричных обозначениях запишется следующим образом: at Я0 = ф( ), єН,0],у0=ф(0). (1.41) Состояние равновесия (точка покоя рынка) в этих обозначениях есть нуль-вектор у =0.
Линейная динамическая модель рынка второго порядка (1.38)-(1.40) содержит только две зависимые переменные - рыночную цену товара P(t) и объем продаж Q(t). Очевидно, более реалистичной была бы модель, учитывающая изменения во времени не только объема продаж, но и объемов предложения Qs(t) и спроса QD{t). При этом объем продаж в каждый данный момент времени определялся бы как минимальная из величин Qs(t) KQD(t):Q(t) = rnm{Qs{t),QD{t)).
В работе [27] предложена и исследована динамическая модель рынка, описываемого в пространстве переменных «цена - предложение - спрос» системой линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, модифицирующая и обобщающая модель рынка вальрасовского типа в отсутствие запаздывания реакции рынка на изменение цены. В данной части главы рассматривается та же модель, что и в работе [27], но с учетом запаздывания реакции поставщика товара на изменение рыночной цены.
Пусть равновесная рыночная цена товара равна Р\ а равновесные объемы спроса, предложения и продаж (естественно, одинаковые) равны Q .
Тогда изменение во времени цены товара и объемов его предложения и спроса определяется в модифицированной модели вальрасовского типа третьего порядка решением начальной задачи для системы трех линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: dP{t)
Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов
Наиболее естественным методом решения уравнения с отклоняющимся аргументом является так называемый метод шагов, который заменяет дифференциальное уравнение с запаздыванием серией дифференциальных уравнений без запаздывания [33]. На первом шаге решается уравнение: F O--», \0.9ofri).» ,frj...,90(r-xJ...)9 )(fB))=0, f0 f , (f0) = q 0(f0), где fj выбирается таким образом, чтобы аргумент t — xt V/ на отрезке t0 t T не превышал t0.
Это обыкновенное дифференциальное уравнение. Предполагая существование решения этой задачи х = ф,(ґ) на всем отрезке [tQttt], аналогично получим F 40v.- (mokO,9,( j,..,9!Wl)(r1)!...,91( x„),..,9im )( - ))=0 t, t t2,x{tx) = {tx), и, продолжая необходимое число раз, получим
Таким образом, для нахождения решения основной начальной задачи методом шагов и доказательства его существования и единственности достаточно выполнения следующих условий: 1) Существование точек tlt удовлетворяющих условию ti tM; 2) Существование и единственность решения всех промежуточных задач.
Традиционные численные методы предполагают существование непрерывных производных вплоть до некоторого порядка включительно, что может не выполняться для некоторых классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, Поэтому предложены модификации этих методов, опирающиеся на следующую теорему [37]. Теорема. Для заданной в (а,Ь) кусочно-непрерывно дифференцируемой функции f(t), имеющей на участках дифференцируемости производные до /-ого порядка включительно (/ 1), а в точках tk из (а,Ь) терпящей разрывы 1-го рода, свои либо своих производных 4/ () существует единственная функция ,v м g(0 e(/- )A//;,(/-/J//! такая, что разность u{t) = x{t) - g(t) k=l i=0 непрерывно дифференцируема в (a,b) (/-1) раз.
Эта теорема позволяет применять методы, разработанные для гладких функций, для приближенного решения уравнений с отклоняющимся аргументом.
Например, основываясь на обобщенной формуле Тейлора где в точках tk (A t0 tl „.) производные функции имеют разрывы Ьгк= xl, (tk+0)-x(r)(tk-0), Т.С. Зверкина [37] вывела аналоги формул Адамса для кусочно-гладкой функции.
Методы типа Адамса приближенного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием, также учитывающие интерполирование разрывных функций производных, предложены А. Д. Горбуновым и В. И. Поповым [38].
В случае переменной функции запаздывания т метод Адамса становится неприменим, так как разная длина интервалов метода шагов требует непостоянности шага интегрирования. Конечно, и для этого случая можно вывести формулы, аналогичные формулам метода Адамса, однако при этом теряется главное преимущество метода Адамса - простота вычислений. Поэтому Л.Н. Белых [40] предложил применить модификацию метода Рунге-Кутты, которая не только позволяет идти с переменным шагом интегрирования, но и "обходить" точки разрыва производных. Включая все точки разрыва производных функции в число точек интегрирования, на каждом шаге метода Рунге-Кутты будем иметь дело с функцией, производные которой до и-го порядка включительно непрерывны на интервале (?Д+1) и имеют конечные пределы на его концах соответственно справа и слева. В качестве значений функции x(t-x) в точке (г + сс h) Л.Н. Белых предложил использовать результаты метода Рунге-Кутты в точке t - х: Kl(t) = F(t,x,x(t-x))j KJ(t) F(t + aJkx + aJhKHtx(t x)+aJhK._l(t-x))} ./ = 2,..., где a, - стандартные коэффициенты метода Рунге-Кутты L-ото порядка.
Если функция ф(/) задана аналитически, то на первом шаге можно использовать ее точные значения: K](t) = F{t,x,x(t xj)! KJ(t) = F(t + ajh,x + aJhKJ_l,(p(t-ajh))t j = 2,...,L;
Из этих формул видно, что для работы метода Рунге-Кутты требуется, чтобы для всех точек интегрирования t. выполнялось условие {і-]к =h,k V/ij- При этом шаг tn+x tn является непостоянным, и основное воздействие на погрешность численного решения оказывает величина Н = max /а+1 - іц \.
Если расставлять точки интегрирования, руководствуясь исключительно правилом # # , то на маленьких шагах метода шагов точки могут стоять неравномерно, поскольку интервалы между ними не будут влиять на величину Н. При этом может накопиться ошибка вычислений, связанная с попыткой многократного сложения величин, отличающихся на несколько порядков. Поэтому целесообразнее воспользоваться относительным критерием: М- г (2.9) Алгоритм расстановки точек при этом будет выглядеть следующим образом:
1. На первом шаге метода шагов ставится N точек интегрирования t0k с равным шагом. Ставятся все точки tik такие, что tlk-x(tu)Qk, аналогично ставятся точки tik.
2. На каждом последующем шаге делается проверка. Если для каких то и не выполняется условие (2,9), то интервал (tlk,tlk+]) разбивается на несколько равных подынтервалов, чтобы обеспечить его выполнение.
Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка
При получении управления вида (4.16) u = -{F+N) Xf требуется вычислять матрицу F и вектор f9 размерность которых увеличивается при увеличении точности вычислений (уменьшении шага h дробления интервала [t0,T\ точками ti =fM +Л9 f = J,2,..jV, где T-N/h). При этом время, требуемое на получение всех элементов матрицы и вектора, существенно растет. Чтобы уменьшить время, необходимое на получение траектории управляемого рынка, получим управление, близкое к оптимальному, но требующее меньше расчетов.
Разобьем рассматриваемый промежуток [0, Т] на к промежутков, длины которых не меньше запаздывания, точками t =t09t\t2 „,tk =Т, В нашем случае будем считать длины этих промежутков равными, в общем случае они могут отличаться друг от друга. На каждом из к промежутков будем решать задачу нахождения оптимального управления вида (4.16) из условия минимума квадратичного функционала J tJ IJ(u) = yT(T)Ly(T) + \yT(t)My(t)dt + \N(t)u\t)dtJ = \X При этом, если на первом промежутке в качестве начальных условий берутся функции У(/) = р(0? /є[/0-т,/0)5 yx{t0) = yQ9 то на каждом последующем промежутке начальные условия выражаются через траекторию, полученную на предыдущем промежутке, т.е. yJ(t) = yjA(t), Є[(;_Х-Ї И]9 j = 29k. Здесь yJ(t)J = l9k, -траектория управляемого на промежутке [tjAJj] рынка.
В результате от вычисления матрицы F и вектора / большой размерности мы перейдем к вычислению матриц Fj и векторов fJ9j = l9k гораздо меньшей размерности, что приведет к значительному уменьшению времени расчетов.
Полученное управление u(t) представляет собой скалярную кусочно-непрерывную функцию со скачками в точках t\t2,,..,tk \ Причем на промежутке [/о,/1] траектория управления полностью совпадет с траекторией оптимального управления, полученного ранее по всему промежутку [tQtT]
Характер свободного (неуправляемого) движения рынка из начального состояния определяется параметрами системы уравнений, описывающих поведение рынка, - матрицами А и 5, а также величиной запаздывания т, Если матрица А+В выбрана так, что в отсутствие запаздывания (при т-0) точка покоя (равновесия) устойчива, т.е. вещественные части всех собственных чисел матрицы А +В отрицательны, то точка равновесия рынка будет устойчивой и при не равном нулю, но сравнительно малом запаздывании. С увеличением запаздывания приближение траектории состояния рынка к точке равновесия замедляется, и при некотором критическом значении запаздывания т-ткр траектория рынка перестает приближаться к точке равновесия, точка равновесия становится изолированной точкой, и рынок начинает совершать периодические колебания вокруг точки равновесия. При дальнейшем увеличении запаздывания (т ткр) точка равновесия теряет устойчивость, в случае
линейности модели траектория состояния рынка удаляется от точки равновесия и рынок «разваливается», в случае, если модель нелинейна, траектории рынка начинают совершать колебания все возрастающей до некоторого насыщения амплитуды. То же самое происходит и в случае, если точка равновесия рынка неустойчива даже в отсутствие запаздывания, т.е. если матрица коэффициентов А +5 выбрана так, что вещественная часть хотя бы одного собственного числа этой матрицы положительна. В дальнейшем мы будем предполагать, что в отсутствие запаздывания положение равновесия рынка устойчиво, и потеря устойчивости может возникнуть лишь из-за чрезмерного запаздывания. Чтобы рыночное равновесие не теряло устойчивость даже при больших запаздываниях, необходимо иметь механизм стабилизации рынка в положении равновесия. Этот механизм обеспечивается оптимальным управлением рынком, стабилизирующим рынок в состоянии равновесия,
Система дифференциальных уравнений, описывающая управляемую линейную динамическую модель рынка вальрасовского типа второго порядка при наличии постоянного запаздывания, в векторно-матричной форме принимает вид;
