Содержание к диссертации
Введение
1 Теория хааровских интерполяций безарбитражных фи нансовых рынков 38
1.1 Хааровские фильтрации 40
1.2 Свойство хааровской единственности 42
1.3 Свойство универсальной хааровской единственности 48
1.4 Основные леммы 51
1.5 Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности 55
1.6 Полное описание мартингальных мер, удовлетворяющих свойству универсальной хааровской единственности, для одного финансового рынка 61
1.7 Максимальные и минимальные интерполяции финансовых рынков 67
2 Применение хааровских интерполяций к моделированию финансовых рынков 70
2.1 Моделирование и исследование финансового рынка с дву мя агрессивными скупщиками акций 71
2.2 Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ, мар-тингальными мерами, удовлетворяющими СУХЕ 85
2.3 Построение интерполирующего (В, !3)-рынка при некоторых специальных предположениях и расчет компонентов хеджирующего портфеля 90
2.4 Интерполяционные методы и хеджирование в среднеквадратичном 99
2.5 Расчет оптимального хеджа для динамического платежного обязательства 102
Заключение 114
Литература 116
- Свойство хааровской единственности
- Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности
- Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ, мар-тингальными мерами, удовлетворяющими СУХЕ
- Расчет оптимального хеджа для динамического платежного обязательства
Введение к работе
Общая характеристика диссертации. Настоящая диссертация посвящена моделированию и исследованию финансовых рынков. В ней систематически используется идеология и технические средства стохастической финансовой математики, призванной исследовать свойства финансовых структур и оптимизировать процесс распоряжения финансовыми ресурсами с учётом факторов времени, риска и случайного характера окружающей среды. Кроме того, аналитическим аппаратом, примененным в диссертации, являются так называемые хааровские фильтрации, связанные в своей основе с системами функций Хаара (см. [67]), образующими базисы во многих функциональных пространствах.
В диссертации предложен новый метод исследования достаточно широкого класса финансовых рынков, который естественно назвать методом интерполяции финансовых рынков с помощью хааровских фильтраций (метод хааровских интерполяций финансовых рынков). Существо этого метода состоит в следующем. Рассматривая безарбитражные, но неполные рынки мы расширяем исходную фильтрацию финансового рынка таким образом, что она превращается в хааровскую фильтрацию, в которой при переходе от момента времени п к моменту п + 1 ровно
Введение 9
один атом дробится на две части, а остальные атомы остаются неизменными. Затем, используя вероятностное (мартингальное) решение задачи Дирихле для дисконтированной цены акции по отношению к хааровской фильтрации, мы получаем однозначно определенную интерполяцию дисконтированной цены акции на специальным образом выбранные промежуточные времена. Наконец, с помощью таким образом полученной мар-тингальной интерполяции, мы строим финансовый рынок, определенный как на исходных, так и на вновь введенных промежуточных значениях временного параметра. На исходных значения временного параметра цены акции и цены банковского счета этого рынка совпадают с изначально заданными, т.е. мы получаем интерполяцию исходного финансового рынка.
В диссертации изучен вопрос о том, когда полученный в результате интерполяции рынок является полным (свойство безарбитражности при такой интерполяции всегда сохраняется). Таким образом, достаточно большое число моделей финансовых рынков (состоящих из банковского счета и акций одного типа) могут быть преобразованы к моделям финансовых рынков, обладающим хорошей вычислимостью (таковыми являются полные и безарбитражные рынки). В частности, вводится и исследуется модель финансового рынка, подверженного скупке акций со стороны двух агрессивных скупщиков. С помощью метода интерполяции вычислительные процедуры, связанные с этой моделью, сводятся к вычислительным процедурам модели, впервые введенной в докладе И.В. Павлова [45] и подробно изученной в дальнейшем в работах[2,4,23-31,44-
Введение 10
47,78].
Заметим, что задача преобразования неполных рынков в полные была рассмотрена еще в 1987 году в работе М. Такку и В. Виллингера [79], где переход от неполных рынков к полным осуществлялся заменой исходной мартингальной меры неэквивалентной ей мартингальной мерой. Однако, с помощью полученной таким образом единственной мартингальной меры невозможно вычислять цены финансовых контрактов, справедливые для изначально рассматриваемого финансового рынка. Этот недостаток впервые был преодолен А.В. Мельниковым и К.М. Феоктистовым в 2001 году в работе [39] (см. также [53]). В этой работе пополнение финансового рынка проводилось посредством добавления к рисковым активам исходного рынка дополнительных активов, функционально зависимых с изначальными.
Идеи, разработанные в настоящей диссертации, существенным образом отличаются от концепций вышеупомянутых работ. Ниже приводятся точные определения и обзор результатов, полученных в диссертации.
Финансовые рынки: эвристическое описание. Под финансовым рынком будем понимать совокупность рынка ценных бумаг, реализуемых на бирже (акции, облигации и производные (вторичные) ценные бумаги), и внебиржевого рынка финансовых ресурсов (кредиты, банковские услуги и т.д.).
На финансовом рынке его участники проводят финансовые операции с помощью финансовых инструментов. Участниками финансового рынка являются финансовые компании, банки и другие финансово-страховые
Введение іі
структуры, включая индивидуумов.
Основу финансового рынка составляют активы, реализуемые через ценные бумаги: банковский счёт, облигации, акции. К производным финансовым инструментам относятся: опционы, фьючерсные контракты, варранты, свопы, комбинации, сочетания.
Дадим краткую характеристику интересующих нас в дальнейшем понятий; материал, касающийся не затронутых в данной работе финансовых инструментов может быть найден в [15, 47, 57, 58, 80].
Акции — это долевые ценные бумаги, выпускаемые корпорациями, компаниями, фирмами с целью аккумулирования капитала.
Акции в основном бывают двух типов: обыкновенные и привилегированные. Они различаются выплатой дивидендов, степенью риска вкладывания в них финансовых средств и другими чертами, на которых мы не будем акцентировать внимание.
Многих инвесторов покупка акций привлекает не дивидендами, а возможностью зарабатывать деньги на колебаниях цен акций, покупая их по низкой цене перед тем, как остальные начнут это делать, и раньше конкурентов продавая их по высокой цене.
Облигации — это долговые ценные бумаги, выпускаемые государством или теми или иными фирмами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. В отличии от акций, они выпускаются на некоторый срок, по истечении которого изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Характеристиками облигации являются: время погашения, стоимость погашения, выплаты до погашения. Вы-
Введение 12
платы по облигациям, в сущности, эквивалентны банковской процентной ставке.
Банковский счёт может рассматриваться как ценная бумага, относящаяся к облигациям, суть которой состоит в том, что банк обязуется выплачивать по вашему счёту определённый процент от суммы счёта.
В дальнейших рассмотрениях банковский счёт будет возникать не раз, что во многом объясняется его универсальностью удобной "единицы измерения "цен разнообразных ценных бумаг.
Опционы — производные ценные бумаги некоторого актива. Чтобы стать держателем такой бумаги, нужно заплатить некоторую премию эмитенту. При этом приобретается право (но не обязанность) предъявить данную бумагу к исполнению в оговоренный срок и получить выплату в фиксированном размере.
Опцион на покупку (call-option) даёт право его владельцу (держателю опциона) купить актив по фиксированной договором цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Владелец опциона может отказаться от указанной покупки актива без всяких штрафов.
Аналогично, опцион на продажу (put-option) даёт право его владельцу продать актив по фиксированной цене не позже определённой даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион).
Поскольку в настоящее время математическая теория расчета справедливых цен опционов хорошо развита, мы далее подробно рассматриваем связанные с ней понятия при описании нужных нам фактов стоха-
Введение 13
стического анализа.
Практическая работа на финансовом рынке требует проведения достаточно точных расчётов цен активов, торгуемых на рынке. Однако делать состоятельные прогнозы и вырабатывать приносящие прибыль стратегии невозможно без определённых допущений, позволяющих привлекать для анализа научные доводы. К этим допущениям относятся:
"Скрытые"параметры типа психологических мотивов не учитываются.
Предполагается, что дальнейшее развитие рынка пойдёт примерно так же, как это происходило в прошлом (с учётом изменений, происшедших на рынке). Такой способ анализа можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как случайные величины. Это, в свою очередь, открывает путь к использованию теоретико-вероятностных методов.
Об анализируемом финансовом инструменте (или о близких в некотором смысле к нему) должна быть накоплена определённая информация. Перечисленные выше предположения служат основанием для исследования финансовых рынков научными методами (математическими, с использованием компьютерной техники и т.д.).
Гипотеза поведения цен как случайного блуждания далеко не сразу была принята как экономистами, так и математиками (см., например, [57]), но именно она привела к классической концепции эффективного, или "рационального"рынка. Под этим подразумевается, что на рынке: 1) мгновенно производится коррекция цен на изменения внешних уело-
Введение 14
вий, цены становятся "справедливыми", т.е. полностью исключается арбитраж (купля-продажа активов, позволяющая извлечь прибыль из разницы цен на разных рынках);
участники рынка однозначно интерпретируют информацию, мгновенно корректируя свои решения при обновлении этой информации;
участники рынка преследуют свои (собственные) эгоистические интересы, которые характеризуются некоторым объективным образом; данное предположение позволяет анализировать действия конкретного участника, опираясь на некоторые его устремления.
Эти предположения выражены чисто словами, тем не менее, они вместе с гипотезой о случайном блуждании цен позволяют развить стройную и довольно сложную математическую теорию финансовых рынков.
Метод интерполяции и основные теоретические результаты диссертации (обзор главы 1). В стохастической финансовой математике финансовые рынки акций называются (В, 8)-рынками и моделируются в большинстве случаев следующим образом. Вводятся в рассмотрение:
1. безрисковый актив В = (Вк)к=о (банковский счет), представляющий собой (чаще всего) детерминированную последовательность положительных чисел, где Вк выражает собой цену банковского счета в момент времени к\ например, Bk может изменяться по формуле сложных процентов Вк = Во(1 + г)к, где г — банковская процентная ставка;
Введение 15
2. вектор цен акций S = (^,. ,...,5 )jJL0, где верхний индекс отражает тип акции, a S% есть строго положительная случайная величина (св.), выражающая цену акции г-го типа в момент времени к.
В настоящей работе всегда предполагается, что N < со (в этом случае говорят, что горизонт финансового рынка конечен). Ясно, что для практических нужд изучение финансовых рынков с конечным горизонтом особенно важно. Поскольку «S^ — св., то они должны быть определены на некотором вероятностном пространстве (в.п.) (0,,Т), где Q — множество исходов (ситуаций) на финансовом рынке, а Т — сг-алгебра подмножеств из Q, которая трактуется как совокупность всевозможных событий, могущих произойти на рынке за все время наблюдения над ним (то есть во временном периоде от к = 0 до к = N ).
В нашей работе Q всегда конечное множество, а через J- обозначается совокупность всех подмножеств множества Г2, представляющая собой конечную «j-алгебру событий на О,.
Рассмотрим момент времени к = 0. В этот момент времени всю ситуацию на рынке естественно считать известной. Например, так как мы знаем конкретную цену Sq акции г-го типа, то каждое высказывание об этой цене мы можем квалифицировать как истинное или ложное. Поэтому вектор Sq = (Sq \Sq ,... ,
Момент времени к = 1 — это момент объявления новых цен на акции. Так как цены акций ведут себя случайным образом (могут падать, сохра-
Введение 16
няться, расти), то в этот момент возникает ряд новых (нетривиальных) событий; ст-алгебру которых обозначают через Т\. Она описывает совокупность всех событий, которые могут произойти на рынке в данный момент времени. Таким же образом, при переходе к моменту времени к = 2 возникает еще более богатая событиями сг-алгебра Тч и т.д. Дойдя до горизонта к = N, получаем Тдг = Т. В результате возникает возрастающая последовательность сг-алгебр событий:
{П,Т} = Т0 С Т\ С ... С TN = Т.
Такой поток F = (Тк)ь=о а~алгебр называют фильтрацией, а каждую а - алгебру Тк трактуют как множество событий, доступных для наблюдения в момент времени fc, или как совокупную информацию о рынке на этот момент времени.
Так как каждая сг-алгебра Тк конечна, то она имеет атомарную структуру, то есть в Тк существует набор событий (атомов) А\, Ак,..., Arkk, удовлетворяющих условиям: А\ П Ак = 0 при і ф j и U А\ = Г2. Осталь-ные события из Тк представимы в виде сумм атомов. Таким образом, атомы являются "базисными"событиями в Тк- Совокупность всех атомов из Тк обозначим через Vk.
Перейдем к описанию метода хааровской интерполяции. Рассмотрим сначала одношаговую модель (т.е. iV = 1). Будем исходить из того, что новые события возникают на рынке неодновременно. Возникновение новых событий, очевидно, связанно с возникновением новых атомов. В момент к = 0 имеем один атом (А = А\ = 2). Допустим, что при переходе от момента к — 0 к моменту к = 1 этот атом раздробился на m атомов
Введение 17
jE?i, В2,..., Вт (также как и в основном тексте диссертации мы отходим от двойных индексов в целях упрощения обозначений). В промежутке между моментами к — 0 и к = 1 сначала возникает одно событие из Х>1, затем другое и т.д. Не нарушая общности, можно считать, что порядок их появления таков: В\} B
Сначала определяем следующие а-алгебры событий: Но = То, Hi = {Q, 0,?і, Бі} (эта сг-алгебра порождена атомом В\, т.е. Hi = а{Ві}). Далее полагаем
Hi — ст{В\, В2},..., Hm-i = сг{Ві, В2,..., Дп-і}.
Ясно, что Нт-\ — Т\. Обозначим щ = m — 1. Таким образом, НПі = Т\. Полученная фильтрация {Сі, 0} = Но С Ні С ... С Нщ = Ті обладает следующим свойством: при переходе от п к п+1 только один атом из Нп дробится на две части, а остальные атомы этой сг-алгебры остаются неизменными. Следуя Ж. Неве (см. [73]), такие фильтрации мы называем хааровскими фильтрациями. Так как крайние сг-алгебры построенной хааровской фильтрации совпадают с исходными сг-алгебрами То и Ті, то естественно говорить, что фильтрация ('Hn)„L0 интерполирует фильтрацию [Т^)\-о- При этом исходная временная шкала "растягивается":
Jfc-D Jfc-1
л=0 л = 1 я = 2 я=3 п = пх-\ п=пх
Введение 18
Заметим, что интерполирующие хааровские фильтрации (и.х.ф.) можно строить и по-другому. Например, можно положить
Пі = {П:0:В1иВ2,В1иВ2},
а на следующем шаге дробить В\ U В2 или В\ U В2. Общее определение (когда N — любое натуральное число) выглядит следующим образом (см. определение 1.5): хааровскую фильтрацию Н = (7іп)^=0 будем называть и.х.ф. исходной фильтрации F, если существует последовательность натуральных чисел 0 = п0 < пі < ... < пдг = L, для которой Т-1Пк = Тк, ЩО
Рассмотрим теперь хааровскую интерполяцию цен акций. Введем стандартным образом "дисконтированный"финансовый рынок (1,Z), на котором Z = [Zk ) := («Sjfc /Вк) , а цена банковского счета тождественно равна единице. Н-адаптированный векторнозначный процесс Y = (Yn, WjLo' гДе Yn = (YjfK YA2\ , Y^), будем называть интерполяцией векторнозначного процесса Z = (Z/b,^)^L0, где Zk = [Z\ \z\ , ..., Z\'), относительно хааровской фильтрации Н, если Ynk = Zk,Ук(0 < к < N). Определим новый (В,Ё)-рынок следующими соотношениями:
Вп = Вк при пк<п< nk+i(0 <к< N),BL- BN;
(первое соотношение реализует естественное предположение, что проценты начисляются только в моменты времени к = 1,2,..., N). Очевидно,
ЧТО При П = Пк Вп = Вк И Sn — Sk, ТО ЄСТЬ ПОСТроеННЫЙ (В, S)-pbIHOK ИНТерПОЛИруеТ ИСХОДНЫЙ (В, S)-pbIHOK.
Введение 19
Понятно, что средствами интерполяции можно предсказывать "рыночные "цены акций в промежутках между объявлением новых цен на них. Если интерполяция построена удачно, то из этого всегда можно извлечь выгоду (например, быстро избавляясь от одних акций и покупая другие или более эффективно формируя хеджирующие портфели). Более того, с помощью интерполяций можно улучшать некоторые свойства рынка. Самыми важными свойствами финансового рынка являются без-арбитражность и полнота. Арбитражный рынок нельзя интерполировать до безарбитражного (это очевидный факт). Однако, очень часто неполный рынок можно интерполировать до полного, то есть преобразовать
НеПОЛНЫЙ ИСХОДНЫЙ (B,S)-pbIHOK В ПОЛНЫЙ (B,S)-pbIHOK.
Эконометрические определения безарбитражности и полноты хорошо известны (см. [57, 73]), и приведены далее во введении. Из фундаментальных теорем финансовой математики (см. теоремы 0.1-0.3) следует, что безарбитражность (B,S)-pbiHKa равносильна существованию вероятностной меры Р, относительно которой (дисконтированный) процесс Z = (Zk, Fkjk^o является мартингалом, а полнота безарбитражного рынка равносильна единственности такой мартингальной меры. Обозначим через Л ET>k произвольный атом и рассмотрим его представление:
A = (J А, (0.2)
г=1
где Вг — атомы из Т>и+\. Положим также
Zu\a = а, Zjfc+іів, = Ьг. (0.3)
Тогда мартингальность вероятностной меры Р означает выполнение
Введение 20
равенства: а = -щт 6j-P(^i),VA;(0 < к < iV),VA Є Vk. Мартингальную меру часто называют также риск-нейтральной мерой. Обозначим через V множество всех вероятностных мер на в.п. (Q,^), нагружающих все атомы из Т>н, а через V(Z, F) — множество мер Р из V, относительно которых векторнозначный процесс Z = (Zk, Тк, Р)к=о является мартингалом.
Предположим, что V(Z,F) ф 0, и зафиксируем меру Р Є V(Z, F). По мартингалу Z = (Zk,Tk, Р)к=о построим мартингальную хааровскую интерполяцию Y = (Уд;,?^п,Р)^=0, используя формулу: Yn = Е^^Ип] (вероятностное решение задачи Дирихле). Если и.х.ф. Н фильтрации F фиксирована, то мартингал Y определяется по мартингалу Z однозначно.
Определение 0.1 Будем говорить, что мартингалънал мера Р V(Z, F) удовлетворяет свойству хааровской единственности (СХЕ), если для исходной фильтрации F можно построить такую хааровскую интерполяцию Н, что для соответствующей мартингальной интерполяции Y = (Yn,7in)n-o процесса Z имеет место соотношение \V(Y,H)\ = 1 (то есть только относительно исходной меры Р процесс Y является мартингалом).
Определение 0.2 Будем говорить, что мартингальная мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности (СУХЕ), если для любой хааровской интерполяции Н исходной фильтрации F имеет место соотношение \V(Y,H)\ = 1, где
Введение 21
Y = (Yn, %n)^_0 — соответствующая мартингальная интерполяция процесса Z.
Существенная часть данной диссертации посвящена изучению свойств хааровской единственности и универсальной хааровской единственности.
В общей концепции определений 0.1 и 0.2 существуют лишь разрозненные результаты, связанные с вопросом о том, когда мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет СХЕ или СУХЕ (см. [18]). В настоящей диссертации рассматривается "усеченный" (В, 8)-рынок, состоящий из банковского счета и акций одного типа. При этом поток а-алгебр событий F = (^)к=о порождается, вообще говоря, всем развитием ситуации на рынке (в частности, он может порождаться ценами всех I типов акций). Экономически необходимость изучения таких "усеченных" (В, 8)-рынков обосновывается тем, что многие индивиды (граждане России) получили в собственность акции предприятий, на которых они работали, и в дальнейшем имели возможность оперировать только с этими конкретными акциями своего предприятия, а также с (относительно) безрисковым банковским счетом в Сбербанке (случай хранения денег "под подушкой "соответствует значению г = 0).
Таким образом, всюду в данной диссертации мы считаем процесс S скалярным, т.е. S = (еЩ^о- Вследствие этого и процессы Z = {Z^ Tk)k=o и Y = (Yn, 1-іп)п=о также являются скалярными.
Приведем основные результаты первой главы диссертации, используя обозначения (0.2) и (0.3).
Введение 22
Теорема 1.1
1) Если какая-нибудь мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет СХЕ, то \/к
(О < к < N) и для любого атома А Є T>k при т > 1 выполняется неравенство
min Ьг < а < max Ъг, (0.4)
l
а при га = 1 выполняется равенство
а = Ьг. (0.5)
2) Если V&(0 < к < N) и для любого атома А Є T>k при т > 1 вы-
полняется неравенство (0.4), а при т = 1 — равенство (0.5), то любая мера Р Е V(Z, F) удовлетворяет СХЕ.
Итак, наличие СХЕ отрицает при т > 1 выполнение равенства а = bi = &2 = = Ьт. Таким образом, если вернуться к терминам финансового рынка (см. (0.1)), нарушение СХЕ означает, что если в момент к совершилось событие А, то при переходе от момента времени к к моменту к + 1 цена акции ведет себя детерминированно (в точности, как банковский счет), несмотря на то, что биржевая ситуация эволюционирует, так как в рамках события А возникает много новых событий (а
ИМеННО, i, 2?2, . . . , Вт)-
Следствие 1.1. Если ЗР Є V(Z,F), удовлетворяющая СХЕ, то VP Є V{Z, F) удовлетворяет СХЕ.
Следующая теорема дает достаточное условие выполнения СХЕ.
Теорема 1.2 Пусть F — естественная фильтрация процесса Z, т.е. Th = a{Zo, Z\,..., Zk}. Тогда любая мера Р Є V{Z,T) удовлетворяет
Введение 23
СХЕ.
Как показывает пример 1.1 диссертации, условия теоремы 1.2 не являются необходимыми. В связи с этим обстоятельством отметим, что если (В, S)-pbiHOK безарбитражен и полон, то фильтрация F по отношению к которой он рассматривается, всегда совпадает с естественной фильтрацией (см. [57]).
Следующая теорема устанавливает критерий того, что фиксированная вероятностная мера Р удовлетворяет более сильному интерполяционному свойству — свойству универсальной хааровской единственности.
Теорема 1.3 Мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда Ук (0 < к < N) и для любого атома А Є T>k набор чисел {6i, &2) і Ьщ}, снабженных весами р\,Р2, ,Рт> удовлетворяет следующему условию несовпадения барицентров: для любых двух непересекающихся подмножеств индексов I = {i\: г'2,..., га} С {1,2,..., т} и J = {л, І2) з І/з} С {1,2,..., т} выполняется неравенство:
bj1plx + bl2pl2 + ... + blapla bhph + bnpj2 + ... + bJ0pJ0
Рч + P12 + + Pia P31 + Ph + + Pj0
Естественно возникает вопрос: при каких условиях на исходный (В, S)-рынок существуют мартингальные меры Р, удовлетворяющие СУХЕ, или, что то же самое, когда реализуются условия несовпадения барицентров. Ответом на этот вопрос является следующая
Теорема 1.4 Пусть Р Є V(Z,F) ф. В множестве Р Є V(Z,F) есть меры, удовлетворяющие СУХЕ, тогда и только тогда, когдаУк(0 < к < N) и для любого атома А Є Vk числа {&і, 62 > > bm} различны и ни
Введение 24
одно из них не совпадает с числом а.
Анализ доказательства теоремы 1.4 показывает, что при выполнении условий этой теоремы почти все мартингальные меры удовлетворяют СУХЕ ("почти все"понимается в смысле почти всюду относительно меры Лебега, заданной на гиперплоскости, в которую погружено множество V{Z,F)).
Следующий результат выделяет те (В,8)-рынки, которые не допускают мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ.
Теорема 1.5 Пусть V{Z, F) ф 0 и\/к(0 < к < N) при переходе от к и к+1 любой атом А из Vj- дробится не более, чем на 3 атома (т.е. т < 3). Тогда при выполнении условий теоремы 1.4 любая мартингалъная мера Р eV(Z, F) удовлетворяет СУХЕ.
Отметим, что теорема 1.5 весьма удобна для моделирования и анализа некоторых важных типов финансовых рынков (в частности, финансовых рынков, подверженных скупке акций со стороны двух агрессивных скупщиков).
К сожалению, как показывает следующий результат, в общем случае теорема 1.5 неверна.
Теорема 1.6 Пусть V(Z, F) ф 0 и 3fc(0 < к < N) и атом А из Vk, который при переходе от момента к к моменту к + 1 дробится более, чем на три атома (т.е. т > А). Тогда существует Р Є V(Z,F), не удовлетворяющая СУХЕ.
В параграфе 1.6 диссертации дано подробное исследование одноша-говой модели финансового рынка, где геометрически описываются все
Введение 25
мартингальные меры, не удовлетворяющие СУХЕ.
В параграфе 1.7 показано, что все другие (нехааровские) интерполяции безарбитражных рынков, приводящие к полным рынкам, можно свести к хааровским интерполяциям.
Приведенный обзор результатов главы 1 показывает, что все поставленные задачи для финансового рынка с одним типом акции, связанные с описанием мартингальных мер, удовлетворяющих СХЕ и СУХЕ, решены полностью.
Основные понятия стохастической финансовой математики.
Фундаментом вероятностной модели является стохастический базис,
(Q,Fk,F,P)k=Q
где N — финальный момент времени (горизонт), до которого включительно исследуется модель (в наших построениях полагаем, что N < со);
Г2 — пространство, состоящее из элементарных событий со, понимаемых как различные состояния рынка;
Т — сг-алгебра подмножеств пространства элементарных событий (совокупность всех событий, наблюдаемых на рынке до момента N включительно);
Р — вероятностная мера на Т\
{^к)к=о ~ возрастающая последовательность сг-подалгебр а-алгебры Т, где То = {Г2,0}, Tn = Т, а каждая сг-алгебра Тъ интерпретируется как информация о событиях, происходящих на рынке до момента к включительно.
Введение 26
Последовательность (Sk)k=0 Тк -измеримых строго положительных св. будем интерпретировать как последовательность цен акций (Sk — цена акции в момент времени к). Другую строго положительную последовательность (Bk)k=:Q понимают как стоимость банковского счёта в момент времени к. В большинстве случаев последовательность (Вк)к-о считается детерминированной.
Рынок, определяемый последовательностями (Sk) и (Вк), будем называть (В,8)-рынком.
Обозначим через / количество единиц банковского счёта, а через jk — количество акций в момент времени к. Инвестиционная стратегия (или портфель) 7г определяется как двумерная предсказуемая последовательность (/3fc,7fc)fc=0 (Т0 ЄСТЬ @к И ^к ЯВЛЯЮТСЯ ^*А;-1-ИЗМЄрИМЬІМи),
Капитал портфеля 7г — это последовательность случайных величин {Xk)k=o> задаваемая формулой
XI = ркВк + TkSk + hk, (0.6)
где (hk)k=0 — некоторая адаптированная к (Тк) последовательность. Для упрощения обозначений мы будем часто отбрасывать индекс 7г.
Рассмотрим подробнее как происходит формирование портфеля 7г. Начальный капитал в момент времени к = О имеет вид:
Х0 = /30В0 + 7о«5о
При переходе к следующему моменту времени к = 1 под воздействием различного рода обстоятельств капитал Хо может измениться и принять значение Xq + pi, где д\ — случайная величина, которая является
Введение 27
.^-измеримой. В зависимости от знака д\ капитал может увеличиться, уменьшиться или остаться прежним (при #1 = 0). Стремясь получить к моменту к = 1 как можно больший капитал Х\, производят различные финансовые операции (продают одни акции, покупают другие, вносят изменения в банковский счёт), тем самым модернизируя структуру портфеля. То есть непосредственно перед объявлением новых цен на акции (перед моментом к = 1) портфель будет состоять из Pi единиц банковского счёта и 7i акций. Таким образом,
Х0 + д\ = PiBo + 7i«S0.
Сразу после объявления новых цен на акции и процентного начисления на банковский счёт в момент к = 1 происходит добавление (или изъятие) суммы h\, после чего капитал портфеля принимает вид:
Так и во все промежутки между моментами к — 1и к капитал Xk-i изменяется на значение ^_і-измеримой случайной величины gk и происходит перераспределение портфеля так, что
Хк-1 + gk = РкВк-i + 7*
В момент к капитал портфеля выражается формулой (0.6).
Если при этом портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала (h^ = 0 \/к и дь = 0 Vn ), то такой портфель назовём самофинансируемым.
Отметим, что в состав gk обычно входят инвестиции, потребление, операционные издержки, в то время, как h}~ включает в себя дивиденды на
Введение 28
акции, премии за страховые полисы и выплаты по полисам . В дальнейшем мы будем часто использовать следующую теорему, составленную из результатов, которые можно найти в [57, с.493-503].
Теорема 0.1 Рассмотрим портфель 7Г = {flk,7k)k=o ценных бумаг с капиталом (0.6). Тогда следующие условия равносильны:
(a) Xk-\-\-gk — PkBk-i+lkSk-ii к = 1,2,... ,N (вид финансирования
портфеля);
Бк-і^Рк + «Зь-1 A7fc = 9к + hjfc-ij к = 1, 2,..., N, (балансовое соотношение);
АХк = Рк&Вк + 7к&$к + 9к + hk,k = 1,2,...,N , (формула приращения капитала);
(d) д(|*) = 7*Л ^)+^ + = 1,2,...,^, (формула
приращения дисконтированного капитала).
Заметим, что все выписанные в теореме 0.1 соотношения понимаются Р-п.н.
Перейдем к описанию таких важных понятий рынка, как безарбит-ражность и полнота.
Арбитражем называется наличие возможности получения прибыли без риска. Арбитражная стратегия — стратегия, приносящая прибыль при нулевых начальных затратах. Более точно (см. [57, с. 528, определение 2]), говорят, что самофинансируемый портфель 7г реализует арбитражную возможность, если Xq = 0, P(XJf > 0) = 1 и Р(Х^ > 0) > 0. (В,8)-рынок, на котором отсутствуют арбитражные возможности, называется безарбитражным.
Введение 29
Самофинансируемый портфель 7г = (/?а,7а)ь=о> такой, что в момент времени N его капитал мажорирует некоторое платёжное обязательство Рдг, являющееся ^/-измеримой случайной величиной (т.е. для которого Хх > Fn Р-п.н.), называется хедэюирующим портфелем. Процедура построения такого портфеля называется хеджированием данного обязательства. Если при этом Р-п.н. XJj = Рдг, то хедж называется совершенным. (B,S)-pbiHOK называется полным, если для любого платёжного обязательства Р/у существует совершенный хедж.
Дисконтированной ценой акции называется отношение — цены ак-ции к банковскому счёту. Основой для анализа различных стохастических моделей (В58)-рынка является предположение о наличии мартин-галъной меры, каковой мы называем такую вероятностную меру Р, эквивалентную исходной мере Р (записывают Р ~ Р), относительно которой процесс ( —, Тъ, Р) является мартингалом.
Для исследований (В,8)-рынков особо важны такие их качества, как полнота и безарбитражность. Именно эти экономические характеристики имеют математическое воплощение, выраженное в двух основных теоремах финансовой математики (см. [56, с.28-36]).
Теорема 0.2 (B,S)-puH0K является безарбитражным тогда и только тогда, когда существует мартингалъная мера Р.
Теорема 0.3 Без арбитражный (В,8)-рынок является полным тогда и только тогда, когда мартингалъная мера Р единственна.
Теперь остановимся подробнее на понятии опциона. Для определённости рассмотрим стандартный опцион на покупку Европейского типа.
Введение ЗО
Опцион такого типа даёт право его владельцу купить в фиксированный момент времени N некие рисковые активы (в данной работе это будут акции) по заранее оговоренной контрактной цене . Ясно, что в момент N фактическая стоимость акции может отличаться от контрактной . При «Sjv > К владельцу опциона выгодно предъявить его к исполнению, так как, немедленно продав эти акции, он получает в этом случае доход, равный Sn — К.
При обратной ситуации, когда Sn < К, опцион не предъявляется к исполнению, так как сделка становится невыгодной для владельца опциона, который может купить интересующие его акции на рынке по меньшей цене. Таким образом, в момент N доход покупателя (равный финансовому обязательству продавца) определяется по формуле
FN = {SN - К)+ = max{SN - К, 0}.
Получив за проданный опцион премию Cjv, продавец опциона должен к моменту N иметь возможность выполнить взятые на себя обязательства. Исходя из этого, он должен, имея начальный капитал Xq , так построить свою стратегию, чтобы в момент N достигнуть платёжного обязательства Fjsr, совпадающего с доходом покупателя, т.е. XJj = {S^ — К)
В связи с этим, весьма актуальны задачи о вычислении справедливой цены опциона См и о построении стратегии продавца опциона, хеджирующей его финансовое обязательство.
Очевидно, что продавец и покупатель опциона преследуют разные цели, назначая, соответственно, продажную и покупную цены опциона. Различие целей продавца и покупателя приводит к назначению, вообще
Введение Зі
говоря, разных цен продажи C*(N) и покупки C*(N). При отсутствии полноты рынка, это приводит к появлению ненулевой разницы С* — С*, называемой спрэдом. Если же рынок полон, то возможно совмещение противоположных интересов продавца и покупателя, выражающееся в существовании справедливой цены опциона См (см. [35, с.74]), когда
Cjv = С* = С*.
Можно существенно расширить класс платежных обязательств, если величину выплат F Є T\z считать F = {Fk)k=o,i,...,N неотрицательной стохастической последовательностью длины N. Такие платежные обязательства (F,N) будем называть динамическими платежными обязательствами с последней датой погашения N.
С динамическими платежными обязательствами (F,N) естественно связаны производные ценные бумаги, согласно которым держатель имеет право предъявлять их к исполнению в любой момент k = 0,1,..., N и получить выплату в размере F^. Продавец же такой ценной бумаги, получающий при ее продаже премию С (стоимость этой бумаги), обязан распорядиться ею так, чтобы в любой момент п капитал его портфеля Х^ превышал Fk, т.е. обеспечить хеджирование данного платежного обязательства. Такие ценные бумаги называются опционами американского типа.
Опционы американского типа, таким образом, представляют большую свободу их держателям в выборе момента исполения г. При этом держатель опциона принимает свое решение на основе имеющейся до этого момента информации и, следовательно, момент исполнения является
Введение 32
марковским моментом.
Кроме хеджирования сверху, которое применяется как на полных так и на неполных рынках, причем на полных рынках оно является совершенным, существуют и другие виды несовершенного хеджирования, к которым относятся квантильное хеджирование, когда XJ^ > F^ выполняется с заданной вероятностью; хеджирование в среднем, когда при заданном начальном капитале минимизируется математическое ожидание квадрата отклонения финального капитала от финального обязательства (этот показатель в расчетах является измерителем финансового риска).
Ключевой вопрос при исследовании (В,8)-рынка — определение законов, согласно которым эволюционируют цены активов рынка, иначе говоря, законов, формирующих последовательности Sk и Вк. Обычно эволюция банковского счёта считается детерминированной. Эволюция же цен акций носит, как было отмечено ранее, ярко выраженный случайный характер и поэтому задание последовательности Sk представляет особый интерес.
Основой для построения многочисленных моделей финансового рынка является модель Кокса-Росса-Рубинштейна, базирующаяся на том естественном предположении, что цены акций в любой момент времени могут как повышаться, так и понижаться. Считая эти изменения дискретными, Кокс, Росс и Рубинштейн разработали биномиальную модель (В,8)-рынка (см. [63]), где В и S эволюционируют согласно формулам:
Вк = (1 + г)Вк.ъ (0.8)
Введение 33
где Во > 0 и г — постоянная процентная ставка;
«й = (1 + р*)«й-і, (0.9)
а,
Ь,
где So > 0 и pk > —1 — последовательность независимых в совокупности одинаково распределённых двузначных случайных величин: pk =
причем —1 < а < г < Ь.
Данная модель исследуется в работах [33, 35, 38, 49, 51, 57]. Появление модели Кокса-Росса-Рубинштейна послужило толчком для развития методов современного стохастического анализа в математической теории финансов. При этом модель безарбитражного (B,S) рынка (0.8)-(0.9) часто обладает свойством полноты, которая, согласно теореме 0.3, означает единственность мартингальной меры. С нематематической точки зрения, свойство полноты обеспечивает доступность всех фигурирующих на рынке активов и отсутствие ограничений для инвестирования в эти активы. Общие формулы расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий приводятся в рамках полного безарбитражного рынка. Поэтому вопрос о пополнении безарбитражного рынка достаточно актуален.
Обзор результатов 2-ой главы диссертации. Вся вторая глава диссертации (за исключением параграфа 2.2) посвящена описанию и анализу модели финансового рынка с двумя агрессивными скупщиками акций. При этом основной упор сделан на построении совершенных хеджей в рамках интерполирующих моделей.
Применение теоретических результатов главы 1 основано на следую-
Введение 34
щих возможных ситуациях:
Продавец (хеджер) руководствуется результатами теоремы 2.1 (см. с. 76). Обладая определенной информацией, он моделирует значение дисконтированной цены акции на промежуточных временах, руководствуясь при этом условиями 2) теоремы 2.1. По теореме 2.1 полученный интерполирующий рынок безарбитражен и полон, следовательно он обладает единственной мартингальной мерой Р, которая вычисляется по формулам (2.3). Эту меру он предлагает покупателю как основу вычисления стоимости контракта и по ней (в случае реализации контракта) строит совершенный хедж. Эта ситуация реализована в параграфе 2.1.
Продавец и покупатель контракта соглашаются вычислять стоимость контракта, используя некоторую мартингальную меру Р. При этом:
а) Р удовлетворяет СУХЕ. Тогда продавец (хеджер) строит совершен
ный хедж по известным формулам полного и безарбитражного рын
ка. Эта ситуация реализована в параграфах 2.3-2.5.
б) Р не удовлетворяет СУХЕ. Тогда хеджер берет мартингальную меру
Р', приближающую Р с нужной точностью, и с использованием Р'
строит совершенный хедж (параграф 2.2).
В параграфе 2.4 рассматривается хеджирование в среднеквадратичном смысле. При этом учитываются дополнительно к предыдущему следующие элементы:
1) начального капитала недостаточно, чтобы осуществить хеджирование;
Введение 35
2) добавляется процесс потребления (инвестирования).
По отношению к вышеизложенному для продавца опциона добавлена дополнительная возможность, которая заключается в следующем: хеджер может выбирать периодичность осуществления финансовых операций. Для выбора отимального поведения на финансовом рынке продавец опциона руководствуется критерием — математическое ожидание квадрата отклонения финального капитала от финансового обязательства, взятого на себя продавцом опциона.
В параграфе 2.5 решается задача построения оптимального хеджа с точки зрения минимизации начального капитала портфеля для динамического платежного обязательства. При этом расчеты производятся как для финансового обязательства достаточного общего вида, так и для специального финансового обязательства.
Полученные вычислительные схемы реализованы в программном комплексе "Хедж". Программный комплекс создан в среде Visual FoxPro 6.0. и предназначен для:
статистической обработки реальных данных (пользователь выбирает конкретный тип акции и временной период, который хотел бы проанализировать);
проверки существования мартингальной меры (если множество мар-тингальных мер не пусто, то пользователю предоставляется возможность ввести дополнительную информацию по которой вычисляется мартин-гальная мера; если множество мартингальных мер пусто, то пользователю предлагается отказаться от использования данного актива);
Введение 36
пополнения рынка (автоматически происходит построение графиков эволюции дисконтированной стоимости акции);
выбора типа опциона (в случае европейского опциона выбирается контрактная цена, для американского же опциона выбирается контрак-ная цена и дисконтирующий множитель 0;
построения справедливой цены опциона, рисковых и безририсковых составляющих портфеля.
Системные требования к программному комплексу: Win98SE, Microsoft Excel 2000, 4Mb свободного дискового пространства.
В заключении приводятся и комментируются основные результаты работы, выносимые на защиту.
В приложении представлен код программного комплекса "Хедж"в среде Visual FoxPro 6.0, дано полное описание программного комплекса.
Основные результаты диссертации содержатся в 12 публикациях: [1], [5]-[14]. В совместных работах на долю соискателя приходится 70%. Основные результаты диссертации докладывались:
на Всероссийских школ ах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2000г.; г. Самара, 2001г.; г. Йошкар-Ола, 2001г.; г. Ростов-на-Дону, 2002г.);
на Международной конференции "Стохастический анализ и смежные вопросы"(г. Санкт-Петербург, 2001г.);
на третьих и четвертых межвузовских научных чтениях при РГЭУ (РИНХ) (г. Ростов-на-Дону, 2001, 2003г.г.);
Введение 37
на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004г.);
в отделе теории вероятностей и математической статистики Института математики им. В.А. Стеклова РАН (зав. отделом — академик РАН Ю.В.Прохоров);
на межкафедральных семинарах по стохастической финансовой математике при кафедрах высшей и прикладной математики РГСУ (рук. — проф. И.В.Павлов и проф. Г.И.Белявский );
на семинаре по вероятностным методам геометрии и анализа при РГУ (рук. — проф. СБ. Климентов).
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Павлову И.В. и заведующему кафедрой ПМ и ВТ, д.т.н., проф. Белявскому Г.И. за оказанную помощь и ценные советы.
Свойство хааровской единственности
Вновь рассмотрим ф.п. (1.1). Это ф.п. всегда можно расширить до ха-аровского ф.п. (1.5) в следующем смысле: существует такая однозначно определяемая последовательность натуральных чисел 0 = щ п\ ... пм = L, что Vfc(0 к N) %Пк = Fk- Ясно, что хааровское расширение Н исходного ф.п. (1.1) определяется неоднозначно: каждое такое расширение мы называем хааровской интерполяцией ф.п. F.
Процесс Y = Q u rOnsO будем называть хааровской интерполяцией процесса Z = (Zk,Fk)k=Qi если Vfc(0 к N) выполняется равенство Ynk = Zk Зафиксируем процесс (Zk,Tk)k=o и предположим, что V(Z,F) ф 0. Далее в этом пункте мы будем работать с фиксированной вероятностью Р Є V(Z, F). По мартингалу Z = (Zk, Fk, Р)к=о построим мартингальную хааровскую интерполяцию Y = (Yn: 7in, -Р)п=о используя формулу: Yn = ElZjsilHn]. Если хааровская интерполяция Н ф.п. F фиксирована, то мартингал Y определяется по мартингалу Z однозначно.
Определение 1.1 Будем говорить, что мартингалъная мера Р Є V[Z, F) удовлетворяет свойству хааровской единствености (СХЕ), если для ф.п. F можно построить такую хааровскую интерполяцию Н, что для соответствующей мартингальной интерполяции Y — (Yn,?in)n=Q процесса Z имеет место соотношение \V(Y,Н)\ = 1 (то есть только относительно исходной меры Р процесс Y является мартингалом).
Пусть теперь т 1. Предположим противное: пусть существуют к(0 к N) и атом А Є Ть такие, что не выполняется (1.3), т.е. а = Ь\ = &2 = = Ьт. Пусть Р — произвольная мера из V(Z, F), Н — произвольная хааровская интерполяция ф.п. F, a Y = (Yn, %п, Р)„=0 маР тингальная хааровская интерполяция мартингала Z = (Zk,Tk,P)k=Q. Ясно, что Зп такое, что А = # („). Из равенств а = Ь\ = &2 = = Ьт немедленно следует, что Уп\нп, = Уп+і\нп, Из пункта 3) леммы 1.2 вытекает, что \V(Y, Н) = со. Противоречие!
Таким образом получили, что 7іПк+т-\ = {Fk, В\, В2,..., Вт}. Взяв другой атом А Є .7-, определим следующую цепочку хааровских и-алгебр, начиная с 7СПк+Тп и так далее, пока не дойдем до Тъ+ъ Осуществив такого рода построение при всех к(0 к N), получим хааров-скую интерполяцию Н = (l,7in, ) ,=0 Рассмотрим теперь мартингальную хааровскую интерполяцию Y = (Yn, 7in, Р)п=о мартингала Z. Обозначим
Следствие 1.1 Если ЗР Є V(Z,F), удовлетворяющая СХЕ, то VP EV(Z,F) удовлетворяет СХЕ.
Доказательство. Обозначим через (z ) множество значений, принимаемых св. Zk, к = 1,2,..., N. Тогда любой атом А Є Т ь можно представить в виде:
Если при переходе от к к к + 1 атом А не дробится (т.е. га = 1), то для некоторого числа z+\ выполняется равенство:
Пусть теперь при переходе от к к к + 1 атом А дробится (т.е. т 1). Тогда существуют числа &і ф Ь2 такие
Условие теоремы 1.2, как показывает следующий простой пример, не являются необходимыми для выполнения СХЕ.
Определение 1.2 Будем говорить, что мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет свойству универсальной хааровской единтвенности (СУХЕ), если для любой хааровской интерполяции Н фильтрованного пространства F и соответствующей мартингалъной хааровской интерполяции Y = (У ,"Нп)„_о мартингала Z = (Zk,J7kjP)k=o имеет место равенство \V(Y,H)\ = l.
Для того, чтобы сформулировать критерий универсальной хааровской единственности, воспользуемся следующим определением.
Определение 1.3 Пусть {Ьі, 62,..., 6m} — конечный набор действительных чисел, снабженных, соответственно, весамиPi,P2 ,Рт где О рг 1,г = 1,2,...,т. Будем говорить, что этот набор чисел удовлетворяет условию несовпадения барицентров (УНБ), если для любых двух непересекающихся подмножеств индексов І = {г і,г 2,... ,га} С {1,2,..., га} и J = {ji, j2,... ,jp} С {1, 2,..., m} выполняется неравенство:
Критерий существования мартингальной меры, удовлетворяющей свойству универсальной хааровской единственности
Линдр с образующей, параллельной оси 0pj2). Предположим, что рассматриваемый конус (соответственно цилиндр) пересекается с V (Z, F) по множеству, плотному в V(Z,F). Тогда по непрерывности весь многогранник V (Z, F) содержится в конусе (цилиндре) и, следовательно, конус (цилиндр) расщепляется на произведение 2-х гиперплоскостей, проходящих через 0 (параллельно оси 0pj2).Получаем противоречие, так как эти гиперплоскости могут пересекаться с V (Z, F) лишь по множеству, лежащему в гиперплоскости размерности т — 3. Таким образом, в V (Z, F) существует открытое подмножество, не принадлежащее данному конусу (цилиндру). Из проведенных рассуждений следует, что после удаления из V (Z, F) точек, удовлетворяющих всем равенствам (1.19), остаток не будет пуст (он даже будет содержать бесконечное множество элеметов). Этот остаток порождает множество мер из V (Z, F), удовлетворяющих СУХЕ.
Расмотрим теперь следующий вопрос: при каких условиях на процесс Z множество V(Z, Необходимость. Пусть Р Є V(Z,F) удовлетворяет СУХЕ. Применим теорему 1.3. Если взять одноточечные I и J (см. определение 1.3), то получим попарное различие чисел Ь\, Ь2, , Ьт. Пусть теперь / = {2}, J = {1,3,4,..., га}. Тогда (1.10) принимает вид Достаточность. Пусть 0 I N и предположим, что мы построили меру , определенную на (Q, Т{) и удовлетворяющую СУХЕ относительно мартингала Z = {Z}., Tk, Р ){=о- Сконструируем меру Пусть A — атом в Ті вместе с обозначениями (2) и пусть сначала т 4. Рассмотрим измеримое пространство (A,TI+I\A) и св. ZI\A,ZI+I\A. Очевидно, для этих объектов выполняются условия леммы 1.4. Поэтому на (A,TI+I\A) существует вероятностная мера QA = {яіі Q2, , Ят) (где 2i = QA{B1)1 І і га), для которой выполняется мартингальное свойство где В — это атом из Ті, содержащийся в А.
Если m = 3, то по лемме 1.3 в качестве QA МОЖНО взять любую вероятную меру, удовлетворяющую соотношение (1.23). При га = 2 QA однозначно определяется условием (1.23). При га = 1 QA(A) = 1- Во всех этих случаях Pl+l также определяется формулой (1.24). Очевидно, что построенная мера р( +1) подчиняется всем описанным выше требованиям. Последовательное изменение I от 0 до N — 1 завершает доказательство теоремы. Замечание. Условия теоремы 1.2 не являются достаточными для существования меры Р Є V(Z, F) удовлетворяющей СУХЕ. Действительно, рассмотрим одношаговую модель из примера 1.1, в которой предположим выполнение следующих соотношений: Ь\ а = &2 Ьз- Имеем: Т = O{ZQ, ZI}. Однако по теореме 1.4 не существует мартингальной меры Р Є V(Z,F), удовлетворяющей СУХЕ. Если предполагать, что в обозначениях (1.2) m всегда меньше или равен 3, то можно получить следующее усиление теоремы 1.4.
Теорема 1.5 Пусть V(Z, F) ф 0 и \/к(0 к N) при переходе от к и к+1 любой атом А из Ть дробится не более, чем на 3 атома (т.е. т 3). Тогда при выполнении условий теоремы 1.4 любая мартингалъная мера Р EV{Z, IІ) удовлетворяет СУХЕ. Доказательство этой теоремы содержится в канве доказательства теоремы 1.4. Заметим, что важность теоремы 1.5 заключается в возможности ее непосредственного применения к моделированию финансовых рынков, акции которых подвержены целенаправленной скупке со стороны двух агрессивных скупщиков (модели при одном скупщике описаны в ([42], [29])). К сожалению, теорема 1.5 становится неверной, если хотя бы один атом А дробится более, чем на 3 части. Лемма 1.5 Пусть N — 1 и атом A = Q разбивает на т атомов В\, В11..., Вт Є J-\, причем т 4. Если V(Z, F) ф 0; то существует мера Р Є V(Z,F), не удовлетворяющая СУХЕ
Предположим, что Р Є V(Z,J:) и Н — максимальная интерполирующая фильтрация для F. Рассмотрим св. Yn — Ер^^\7іп] и процесс У = (Yn,7in)^=Q, интерполирующий процесс Z в том смысле, что Ynk = Zk, Vfc(0 < к < N). Будем говорить, что мера Р обладает свойством хааровской единственности (соотв., универсальной хааровской единственности), если существует (соотв., любая) максимальная фильтрация Н, интерполирующая Т\ такая (соотв., такова), что соответствующий интерполирующий процесс У допускает единственную мартингал ьную меру (то есть |Р(У, Н)| = 1 и единственной мартингальной мерой для У является исходная мера Р). Справедливы следующие свойства: 1. если мера Р Є V(Z,!F) не удовлетворяет свойству хааровской единственности, то не существует фильтрации R = (7)_0 интерполирующей F и приводящей к полному рынку; 2. если мера Р Є V{Z,J-') удовлетворяет свойству хааровской единственности, то любая допустимая фильтрация R, интерполирующая F и интерполируемая фильтрацией Н, приводит к полному рынку; 3. если мера Р Є V(Z,!F) удовлетворяет свойству универсальной хааровской единственности, то любая допустимая фильтрация R, интерполирующая F, приводит к полному рынку.
Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер, не удовлетворяющих СУХЕ, мар-тингальными мерами, удовлетворяющими СУХЕ
Пусть инвестор, обладая начальным капиталом х, принимает на себя платежное обязательство F . Рассмотрим (В, 8)-рынок на стохастическом базисе (Q, Тк, F)k=o-Известно, что в случае допущения потребления (Qk 0) или инвестирования (Qk 0) приращение дисконтированного капитала портфеля 7г = (/3jfc,7fc)fcLi выражается соотношением (см. [57, т.2]): В (2.24) Qk — предсказуемый процесс потребления (инвестирования), моделируемый следующим образом: Qk = A7fc«Sfc-i+цВк-ъ где Аид — некоторые неотрицательные коэффициенты. Такой вид Qk предполагает, что между моментами времени к — 1 и к первая (случайная) составляющая величины потребления (инвестирования) пропорциональна совокупному капиталу, вложенному в акции, а вторая (неслучайная) составляющая пропорциональна стоимости единицы банковского счета (в частности, если Вк = 1,к = 0,1,..., N, эта величина не зависит и от времени). В результате (2.24) приобретает вид:
Рассмотрим процесс Для этого процесса Л ( — = Ад f — 1, и следовательно, Рассмотрим (1, А)-"рынок" и будем считать его безарбитражным и неполным. Допустим, что на этом рынке выполнены условия теоре мы 1.4. Построим в соответствии с нашей методикой безарбитражный полный (1, УА)-рынок, интерполирующий исходный. В этом случае для финального обязательства FN, по которому определим также дискон тированное финальное обязательство —— = -= \- 2N/J,, существует совершенный хедж на (1,УА) с начальным XQ = BQE І — \-2Nfi\ и финальным дисконтированным капиталом —— = -= h 2Nfi и —i = нальное значение - - = ——. Составляющие портфеля вычисляются из уравнений: Начального капитала х может быть недостаточно, чтобы обеспечить хеджирование В этом случае одно из естественных решений дает стратегия с этим начальным капиталом и финальным капиталом, который минимизирует R(x, 7г) = E(F — X2N)2 или минимизирует R(x, 7г) =
На полном рынке можно найти такую стратегию, которая минимизиру результат приведен в работе А.В. Мельникова, М.Л. Нечаева [37]. Сократить риск можно за счет сокращения числа операций на финансовом рынке акций. Формализуем это обстоятельства следующим образом. Рассмотрим (В, 13)-рынок, для которого Вп = Bns и Sn = Sns, Yn = Yns, Кп = Uns, n = 0,1,..., L, причем Ls = 2iV. Процесс дисконтированных цен {Yn ni Pj является мартингалом. Применим технологию, приведенную в монографии А.Н. Ширяева [57], для вычисления оптимальной в среднеквадратичном смысле стратегии. В этой технологии используется разложение Кунита-Ватанабе. В соответствии с этой технологией вычисление оптимального портфеля осуществляется по следующим формулам: Осталось выбрать то значение s, при котором RS(X,TC) — минимально.
Расчет величины риска RS(X,TT) при заданном начальном капитале в соответствии с формулой (2.30) приведен в приложении. Будем предполагать, что эволюция дисконтированной стоимости акций определяется стохастической последовательностью Yk, адаптированной по отношению к специальной хааровской фильтрации (см. параграф 2.1): Остальные элементы разложения (2.39) произвольны.
Таким образом, задача построения оптимального с точки зрения минимизации начального капитала хеджа имеет множество решений в рассматриваемом случае. Для выбора единственного решения необходимо введение либо дополнительного условия, либо дополнительного критерия. Таким дополнительным критерием может быть критерий минимума информации, необходимой для реализации хеджа.
В этом случае неопределённые коэффициенты следует положить равными нулю, тогда оптимальный хедж определяется последовательностью (ъ )KN- Второй элемент портфеля определяется соотношением
Расчет оптимального хеджа для динамического платежного обязательства
Определение 1.1 Будем говорить, что мартингалъная мера Р Є V[Z, F) удовлетворяет свойству хааровской единствености (СХЕ), если для ф.п. F можно построить такую хааровскую интерполяцию Н, что для соответствующей мартингальной интерполяции Y — (Yn,?in)n=Q процесса Z имеет место соотношение \V(Y,Н)\ = 1 (то есть только относительно исходной меры Р процесс Y является мартингалом).
Пусть теперь т 1. Предположим противное: пусть существуют к(0 к N) и атом А Є Ть такие, что не выполняется (1.3), т.е. а = Ь\ = &2 = = Ьт. Пусть Р — произвольная мера из V(Z, F), Н — произвольная хааровская интерполяция ф.п. F, a Y = (Yn, %п, Р)„=0 маР тингальная хааровская интерполяция мартингала Z = (Zk,Tk,P)k=Q. Ясно, что Зп такое, что А = # („). Из равенств а = Ь\ = &2 = = Ьт немедленно следует, что Уп\нп, = Уп+і\нп, Из пункта 3) леммы 1.2 вытекает, что \V(Y, Н) = со. Противоречие! Таким образом получили, что 7іПк+т-\ = {Fk, В\, В2,..., Вт}. Взяв другой атом А Є .7-, определим следующую цепочку хааровских и-алгебр, начиная с 7СПк+Тп и так далее, пока не дойдем до Тъ+ъ Осуществив такого рода построение при всех к(0 к N), получим хааров-скую интерполяцию Н = (l,7in, ) ,=0 Рассмотрим теперь мартингальную хааровскую интерполяцию Y = (Yn, 7in, Р)п=о мартингала Z. Обозначим
Теорема 1.2 Пусть F — естественная фильтрация процесса Z, т.е. fk = a{Zo, Z\,..., Zk}. Тогда любая мера Р Є V(Z, Т) удовлетворяет СХЕ. Доказательство. Обозначим через (z ) множество значений, принимаемых св. Zk, к = 1,2,..., N. Тогда любой атом А Є Т ь можно представить в виде: Если при переходе от к к к + 1 атом А не дробится (т.е. га = 1), то для некоторого числа z+\ выполняется равенство: Таким образом, при m 1 выполняется неравенство (1.3), т.е. и в этом случае условие 2) теоремы 1.1 выполнено. Следовательно, любая мера Р Є V(Z, Т) удовлетворяет СХЕ. Определение 1.2 Будем говорить, что мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет свойству универсальной хааровской единтвенности (СУХЕ), если для любой хааровской интерполяции Н фильтрованного пространства F и соответствующей мартингалъной хааровской интерполяции Y = (У ,"Нп)„_о мартингала Z = (Zk,J7kjP)k=o имеет место равенство \V(Y,H)\ = l. Для того, чтобы сформулировать критерий универсальной хааровской единственности, воспользуемся следующим определением.
Определение 1.3 Пусть {Ьі, 62,..., 6m} — конечный набор действительных чисел, снабженных, соответственно, весамиPi,P2 ,Рт где О рг 1,г = 1,2,...,т. Будем говорить, что этот набор чисел удовлетворяет условию несовпадения барицентров (УНБ), если для любых двух непересекающихся Предположим теперь, что мы находимся в рамках обозначений (1.2) и пусть Теорема 1.3 Мера Р Є V(Z, F) удовлетворяет СУХЕ тогда и только тогда, когда У к (О к N) и для любого атома А Є Тк набор чисел {Ьі, &2, , Ьт}, снабженных весами рі,Р2, ,Рт, удовлетворяет УНБ.
Проведём рассуждения ещё для одного дробления. Обозначим через Ап-з( С А) — атом из %т_3, который раздробился в момент im-i- Здесь возможны два случая: либо Ат_з СОСТОИТ из Лт_2 и из какого-то Вг(г = 3,..., т), либо Ат_з СОСТОИТ из Вг и Bj, (г, j = 3,..., т; г ф j). Не нарушая общности, в первом случае будем считать, что Лт_з = An-2 + В$, а во втором — что Am-z — 3 + В±. Опять, обозначив т_3Цт_3 — о-т-з, применяем мартингальное свойство. В первом случае получаем:
Повторяя проведённое рассуждение, мы дойдём до момента і\. В результате получаем, что в любой момент г3{1 j т — 1) значение св. Yt на атомах из /Н1 составляющих Л, различны. Из этого факта, учитывая, что Р — мартингал ьная мера для процесса Y, и применяя лемму 1.2, получаем невозможность выполнения условия (1.9), влекущего неединственность.
Необходимость. Пусть существует к (1 к N), атом А Є Ти и непересекающиеся подмножества индексов /и J (см. определение 1.3), для которых вместо неравенства (1.9) выполняется равенство. Обозначим а также Anjt+1_a_ +i = АПк+1-а+і + ЛПл+1_а_/з+2. Знание Yu на атоме А„ обозначаем через av. Из вышесказанного следует, что anfc+1_a+i = аПк+і-а-р+2- В силу того, что Р Є V(Y,F) из пункта 1) леммы 1.2 имеем anfc+1-a+i = Ч+1-а-/ш = anfc+1-a-/?+2- Применяя теперь пункт 3) леммы 1.2, получаем неединственность мартингальной меры для процесса
Похожие диссертации на Модель безарбитражных финансовых рынков и интерполяционные методы ее исследования
