Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблемы математического моделирования и количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью 24
1.1 Математическое моделирование и количественный анализ показателей стоимости акций на фондовом рынке с высокой волатильностью 24
1.2 Математическое моделирование и количественный анализ структур показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью 30
1.3 Математическое моделирование и количественный анализ рисков инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью 38
Выводы к Главе 1 47
ГЛАВА 2. Математические модели показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондовых рынков 48
2.1 Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций 48
2.2 Математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций 57
2.3 Математические модели структур статистической зависимости показателей стоимости акций 64
2.3.1 Математические модели многомерных функций распределения экстремальных значений показателей стоимости акций 64
2.3.2 Математические модели функций копулы 66
2.3.3 Математические модели структур эллиптической статистической зависимости показателей стоимости акций 78
2.4 Математические модели структур статистической зависимости экстремального типа
показателей стоимости акций 87
Выводы к Главе 2 95
ГЛАВА 3. Методы количественного анализа структур экстремальных зависимостей показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью 97
3.1 Непараметрические методы оценивания показателей хвостовой зависимости 98
3.2. Параметрические методы оценивания коэффициентов хвостовой зависимости ... 105
3.2.1 Параметрический подход для эллиптических распределений 108
3.2.2 Методы оценивания показателей хвостовой зависимости на основе теории экстремальных величин 109
3.3 Анализ структур экстремальных зависимостей показателей стоимости акций российского фондового рынка 117
Выводы к Главе 3 122
ГЛАВА 4. Математические модели и методы количественного анализа рисков инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью 123
4.1 Математические модели показателей рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью 123
4.2 Математические модели показателей чувствительности стоимости акций к высокой волатильности фондового рынка 138
4.3 Методы количественного анализа рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью 147
4.4 Методы оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с
высокой волатильностью 153
Выводы к Главе 4 164
ГЛАВА 5. Математические методы и вычислительные алгоритмы оценивания экстремальных значений показателей финансовых рынков 166
5.1 Вычислительный алгоритм оценивания параметров модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций 166
5.2 Вычислительный алгоритм оценивания параметров функции распределения иадпороговых значений показателей стоимости акций 170
5.2.1 Статистическое оценивание параметров обобщенного распределения Парето 170
5.2.2 Оценивание качества приближения эмпирической функции распределения иадпороговых значений показателей стоимости акций моделью обобщенного распределения Парето 175
5.2.3 Методы построения доверительных интервалов для параметров модели функции распределения иадпороговых значений 179
5.2.4 Методы построения доверительных интервалов для квантилей функции распределения иадпороговых значений 183
5.3 Вычислительные алгоритмы моделирования структур статистической зависимости 187
5.4 Вычислительные алгоритмы оценивания параметров моделей структур статистической зависимости 195
5.5 Алгоритм вычисления страховой премии в схемах эксцедентного перестрахования 199
Выводы к Главе 5 207
Заключение 209
Литература
- Математическое моделирование и количественный анализ структур показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью
- Математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций
- Параметрические методы оценивания коэффициентов хвостовой зависимости
- Математические модели показателей чувствительности стоимости акций к высокой волатильности фондового рынка
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Диссертация посвящена исследованию современных фондовых рынков в периоды воздействия на них внешних возмущающих факторов или экстремальных событий, например, наступления природных катастрофических явлений, политических событий, негативно отражающихся на экономическом развитии как отдельных компаний так регионов и стран в целом. Последствиями экстремальных событий могут стать значительные колебания стоимости энергоносителей и природных ресурсов; негативные изменения в корпоративной среде, такие как снижение кредитных рейтингов, банкротства крупных корпораций и банков, дефолты по корпоративным и государственным долгам; снижение темпов роста основных макроэкономических показателей, ухудшение социальной обстановки и политической атмосферы, рост социально-экономической напряженности регионов и стран. Все это, как следствие, приводит к высокой волатильности ценных бумаг на фондовых рынках, возрастанию рисков значительных убытков от инвестирования в них, а также возникновения существенного ущерба от некорректного формирования видов вложения капитала, вида ценных бумаг для инвестирования.
Широко используемыми математическими методами количественного анализа показателей стоимости ценных бумаг являются классическая теория вероятностей и математическая статистика, в основе которых лежит нормальный закон распределения. Однако, общеизвестным является тот факт, что эмпирические распределения показателей стоимости ценных бумаг являются тяжелохвостыми и асимметричными. Кроме того, обнаружены новые эффекты в поведении фондовых рынков в периоды высокой волатильности1, описать которые классическими методами теории вероятностей и статистики оказалось невозможным, так как проблемой в использовании этих методов является то, что статистика экстремальных значений стоимостных показателей невелика. Это не позволяет обоснованно применить предельные теоремы классической теории вероятностей для получения законов распределения экстремальных значений показателей стоимости акций. Поэтому необходимо разрабатывать новые математические модели показателей стоимости акций, позволяющие в рамках единого теоретического подхода описывать их вероятностные свойства, как в спокойные периоды, так и в периоды высокой волатильности фондовых рынков.
Классические методы количественного анализа инвестиционных рисков, использующие статистические выводы, основанные на применении гипотез о статистической независимости или нормальности совместного распределения стоимостных показателей инвестируемых акций значительно недооценивают возникающие риски убытков в условиях высокой волатильности фондовых рынков. Кроме того, исследования фондовых рынков с высокой волатильностью обнаружили существование нелинейных статистических связей экстремальных значений показателей стоимости акций. Известные методы анализа статистических связей, как правило, исследуют в основном линейные корреляционные связи, тогда как актуальной является проблема анализа хвостовых корреляционных зависимостей, которые и несут информацию о характере нелинейных статистических связей, возникающих между стоимостными показателями объектов инвестиций в условиях высокой волатильности. Кроме того, необходимо постоянно проводить мониторинг чувствительности инвестиционных объектов к внешним возмущающим факторам. Классические методы, как правило, используют в этих целях различные характеристики волатильности, в том числе и дисперсию, которая далеко не всегда достоверно отражает качественный характер экстремальных изменений показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка. Поэтому нужны новые математические модели показателей рисков инвестирования, учитывающих экстремальный характер изменений стоимости акций, а также экстремальный тип их статистических связей.
Современный инвестиционный риск-менеджмент представляет собой сложный комплекс мероприятий, осуществляемых компаниями и предприятиями в целях наращивания стоимости своих активов, оптимизации структуры инвестиционных проектов в различных условиях ведения бизнеса. Высокая волатильность фондовых рынков, как правило, негативным образом влияет на успешность достижения этих целей, приводит к возникновению существенного ущерба от некорректного выбора ценных бумаг, недооцененных размеров рискового капитала при формировании инвестиционного портфеля. Решение проблемы оптимального размещения рискового капитала требует учета влияния возросшей в условиях высокой волатильности рискованности акций на состав инвестиционного портфеля, на размеры резервируемого под них рискового капитала, а также учета зависимости формируемой структуры рискового капитала от структуры статистических связей показателей рисков акций, включенных в состав инвестиционного портфеля.
Изложенные выше научные проблемы исследований фондовых рынков с высокой волатильностью сформулировали следующие цели диссертации.
Цели диссертационной работы:
1) совершенствование существующих и разработка новых математических моделей и методов количественного анализа показателей стоимости акций;
2) разработка новых математических моделей экстремальной зависимости показателей стоимости акций и математических методов их количественного анализа;
3) разработка новых математических моделей показателей рисков инвестирования в акции и новых математических методов их количественного анализа;
4) разработка новых математических методов оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка.
На защиту выносятся следующие результаты:
1) Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью;
2) Математическая модель функции асимметричной зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса;
3) Математическая модель предельной копулы многомерных эллиптических распределений из области притяжения копул экстремального типа в форме представления Пикендса;
4) Новая математическая модель структур хвостовой зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа;
5) Параметрический метод оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы. Метод позволяет получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов, по сравнению с другими методами, использующими копулы экстремального типа;
6) Математические модели показателей рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью. На их основе разработан метод анализа рисков инвестирования в акции с учетом типа структуры статистических связей показателей их стоимости;
7) Пороговый ковариационный принцип оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка. На его основе построен метод оптимального размещения рискового капитала, позволяющий вычислить величину рискового капитала в акцию, входящую в состав структуры инвестиций, как долю от совокупного рискового капитала с учетом типа структуры статистической зависимости показателей стоимости акций.
Научная новизна результатов диссертации состоит:
1) В разработке математической модели функции распределения экстремальных значений стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. Традиционно используемые в этих целях модели функций распределения, такие как нормальный закон, тяжелохвостые распределения, типа Стьюдента, Парето, не обеспечивают адекватного описания статистических свойств экстремальных значений показателей стоимости акций одновременно во всей области значений показателей стоимости, тогда как предложенная модель позволяет это делать с высокой точностью как в области малых изменений стоимости акций так и при их экстремальных значениях, т.е. при высокой волатильности фондового рынка;
2) В разработке новой математической модели функции зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса. Она расширяет известные модели зависимости на класс функций асимметричной зависимости, что позволяет описывать эмпирические эффекты асимметризации структур статистической зависимости показателей стоимости акций в результате воздействия на фондовые рынки экстремальных событий и возникающей вследствие этого высокой волатильности;
3) В доказательстве теоремы о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа, а также разработке ее математической модели в форме представления Пикендса для функций копулы экстремального типа;
4) В математической модели структур хвостовой статистической зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа. Это позволяет более гибко описывать различные типы хвостовых зависимостей по сравнению с известными моделями хвостовых зависимостей, такими как модели копул Гумбеля, Клейтона;
5) В модификации порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы, позволяющей получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов экстремальной зависимости, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;
6) В математических моделях показателей рисков инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В методе анализа рисков инвестирования в акции с учетом структуры статистических связей показателей их стоимости на фондовом рынке. Метод позволяет оценивать риски инвестирования в портфель акций как сумму показателей риска инвестирования в каждую отдельную акцию, входящую в портфель инвестиций. Применение структур статистической зависимости эллиптического типа в качестве структуры зависимости показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка является наиболее эффективным по сравнению с другими типами структур статистической зависимости, такими как независимость, многомерное нормальное распределение, комонотонность;
7) В методе вьиисления оптимальной структуры рискового капитала, резервируемого в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В отличие от известных методов аллокации он использует в качестве статистических связей показателей стоимости акций структуры эллиптической зависимости из области притяжения структур экстремального типа. Доказанные свойства аддитивности и бесконечной делимости структур статистической зависимости этого класса позволяют корректно учитывать влияние фактора высокой волатильности фондового рынка на состав портфеля инвестируемых акций, а их применение в пороговом ковариационном принципе позволяет оптимальным образом вычислять размеры резервируемых в них денежных средств как долю от совокупного рискового капитала.
Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в математическую теорию экстремальных величин, в математическое моделирование и методы количественного анализа многомерных статистических зависимостей, в математические методы количественного анализа рисков инвестирования и методы размещения капитала на фондовых рынках в периоды высокой волатильности.
Практическая значимость:
Разработанные в диссертации математические модели и методы, вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:
1) Оценивания параметров математической модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовом рынке, оценивания квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, а также расчетов доверительных интервалов для них. Полученные выражения для показателей рисков Value at Risk, Expected Shortfall с использованием оценок квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений стоимости акций позволяют с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью;
2) Моделирования многомерных случайных величин и расчета их вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков);
3) Оценивания коэффициентов экстремальной зависимости структур статистических связей показателей стоимости акций и их применения для анализа текущего состояния фондового рынка;
4) Оценивания рисков портфельного инвестирования в акции на фондовом рынке. Использование предельных эллиптических структур статистических связей позволяет построить наиболее точные оценки величин рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью;
5) Расчетов оптимальной структуры рискового капитала портфеля ценных бумаг с учетом существующей структуры статистических зависимостей показателей стоимости входящих в портфель ценных бумаг, а также управления портфелем акций на основе количественного анализа показателей рисков и чувствительности портфеля к воздействию внешних возмущающих факторов.
Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальным курсам "Стохастический анализ", "Математические методы в экономике", "Прикладная статистика".
Личный вклад автора:
Результаты, выносимые автором на защиту, получены автором лично.
Апробация работы:
Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики проф. Л.А. Уваровой (МГТУ СТАНКИН 2000-2005 г.г.), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Москва, 2000 г.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), Международной конференции "Наука. Компьютер. Образование", г. Пущино 2003 г., 2005г., Дубна 2002, 2004,2006 г., VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.-Новгород, 2004 г.), научных семинарах кафедры прикладной математики МИФИ 2005-2006 г.г., научных семинарах отдела информационных технологий Вычислительного Центра им. А.. А. Дородницына РАН 2006 г.
Достоверность результатов основана
1) на корректности математической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;
2) на доказательстве теоремы о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа;
3) на доказательстве теоремы о том, что предложенная модификация порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы позволяет получать более точные и устойчивые оценки, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;
4) на доказательстве теоремы о равенстве коэффициента экстремальной зависимости коэффициенту хвостовой зависимости предельного распределения максимумов блоков выборки;
5) на строгом выводе выражений для показателей рисков инвестирования в акции на фондовом рынке с высокой волатильностью, на доказательстве теорем о свойствах их аддитивности;
6) на строгом обосновании порогового ковариационного принципа оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью;
7) на реализации требований свойств несмещенности и состоятельности оценок параметров математических моделей структур статистической зависимости, полученных с использованием вычислительных алгоритмов, разработанных в диссертации.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 39 работах, в числе которых 12 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 8 - в трудах Всероссийских и Международных конференций, 19 - в научных сборниках.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 220 страниц. Диссертация содержит 60 рисунков, 28 таблиц, список литературы из 118 наименований.
Краткое содержание диссертации
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задачи, поставленные в диссертации, научная новизна и практическая значимость работы. Приведен список конференций, семинаров, где была проведена апробация результатов работы. Приведено описание структуры и объема диссертации, а также изложено краткое описание содержания диссертации по главам.
В Главе 1 исследованы проблемы математического моделирования и количественного анализа современных фондовых рынков в периоды высокой волатильности, вызванной воздействием на них экстремальных событий, показана актуальность этих исследований в силу того огромного и непредсказуемого, с точки зрения стандартных методов количественного анализа, ущерба, который они наносят экономике компаний, регионов и целых стран. Здесь же описаны основные показатели финансовых рисков, такие как стандартное отклонение, Value at Risk, Expected Shortfall. На примерах американских фондовых индексов Dow Jones, NASDAQ, российских фондовых индексов ММВБ, РТС проведен их сравнительный анализ, выявлены их основные недостатки в использовании для оценивания экстремальных рисков. Обоснована необходимость в разработке новых математических моделей показателей стоимости акций на фондовых рынках, находящихся под воздействием внешних возмущающих факторов.
В этой же главе описаны математические методы количественного анализа фондовых рынков и приведены постановки основных задач, решаемых диссертации: исследование и анализ структур статистических зависимостей, возникающих на фондовых рынках в периоды их высокой волатильности; анализ и оценивание рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью; формирование рискового капитала инвестиционного портфеля на фондовых рынках с высокой волатильностью.
Глава 2 посвящена проблемам математического моделирования показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. В п.2.1 описана математическая модель одномерной функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, в основе которой лежит обобщенное распределение экстремальных величин
( W
G,(x) = exp -(1+ )" V
где параметр называется экстремальным индексом.
В п.2.2 описана математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций. Она имеет следующий вид
Fu(x) = P(X-u x\X u),
где и 0 - порог, 0 X U)(F)-M, CO(F)- крайняя правая точка функции
распределения F(x). Согласно теореме А. Балкема, Л. де Хаана2 функция Fu(x}
слабо сходится к функции G p(x) при стремлении порога и к правой границе
co(F),T.e.
lim sup \Fu(x)-G {x)\ = 0 (0.2)
тогда и только тогда, когда F(x) принадлежит области притяжения обобщенного
распределения экстремальных величин G {x): FeDAyGA. Функция G p{x) называется обобщенным распределением Парето и имеет вид
(0.1)
2 P. Embrechts, С. Kluppelberg, Т. Mikosch, Modeling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin, 1997.
в.,(x)-{HWWwf-ft, (0.3)
где /? 0, 0, когда 0, и 0 -/?/, когда 0. Таким образом, для моделирования надпороговых значений показателей стоимости акций используется обобщенное распределение Парето (0.3), а при значениях показателей стоимости акций, не превышающих пороговое значение и, используются модели функций распределения, параметры которых подбираются на основе статистических критериев, например, максимального правдоподобия. Для вычисления пороговой величины и построена адаптивная процедура на основе оценок Хилла в сочетании с графическим методом Резника-Старицы.
В п.2.3 описаны математические модели структур статистической зависимости показателей стоимости акций. В п.2.3.1 описаны математические модели многомерных функций распределения экстремальных значений показателей стоимости акций. Математическое моделирование предельных функций совместного распределения экстремумов совокупности Х = Х],...,Х,,...,X„j п случайных последовательностей Xj =(XJl,...,Xji,...,Xjm), j = \,..,n основано на теории многомерных случайных величин3. Пусть функция #(х), х = (хх,...,х,,...,xAeR" является совместным распределением максимумов Mm=(M]m,...,Mjm,...,Mnm) векторов Х-, / = 1,...,/и, где Mjm=max(Xjl,...,Xjj,...,Xjm), и она обладает непрерывными невырожденными частными распределениями Н ,• ( /) • Тогда, если и
только если существуют такие константы а . т 0, b • m є R , что существует предел
г,
lim Р
/я-»оо
(М\,т - а\,т ) (Mj,m aj,m ) (К ап,т ) 1 L Xj,...,± - хп
°\,т "j,m "п.т
j j j її
= lim Hn[h xx +ax ..,bj Xj +a- b xn +a ) = G(xb...,xn), (0.4)
m-»oo ч функция G(x) является предельным совместным распределением максимумов.
3 J. Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.
В двумерном случае Дж.Пикендсом4 предложено следующее представление
предельной функции распределения G(x,у), х,у О
( (1 П/ х -+—
(0.5)
G(x,y) = exp
\Х + У.
х у)
Функция Л:[0,і]-»[0,і] в представлении (0.5) называется функцией зависимости и обладает следующими свойствами
1) тах( у,1-й ) Л(й ) 1, да є [0,1].
2) A(0) = A(l) = l, -1 Л(0) 0, 0 Л(і) 1, А(со) 0.
В п.2.3.2 описаны математические модели структур зависимости показателей стоимости акций с использованием понятия функции копулы5, показаны преимущества ее применения для моделирования статистических зависимостей показателей стоимости акций.
Определение 1. Функцией копулы С называется совместная функция распределения «-мерного вектора случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0,1], и отображающая и-мерный куб с единичным ребром в отрезок [0,1],
С: [0,1] -»[0,1]. Для функции С(и,,..., ип) справедливы следующие свойства:
1. С[щ,...,ип) непрерывная справа
2. С(и1,...,м,_,,0,м,+1,...,м„) = 0, 1 = 1,2,...,/1, У(щ,и2,...,ип)єІ",
3. C(l,...,l,w/,l,...,l) = w,, V/ = 1 л , VM, Є /,
4. Щк А 0, , = 1,2,...,,,, Ч(щ,и2,...,ип)еІ",
5. длявсех (ai,...,an),(bi,...,bn)e[0,\] и at Ьп / = 1,2,...,n выполняется
/,=1 /„=1 где xJ{ =aj и xJ2 =bj, V/ =1,...,n.
В этом же параграфе рассмотрены такие важные классы копул, используемые нами для моделирования структур статистических связей показателей стоимости
4 Н. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London, 1997. R.B. Nelsen, An introduction to copulas, Springer, N.Y., 1999.
акций, как архимедовы копулы. Выражение функции копулы для них имеет следующий вид
С(щ,...,щ,...,ип) =
(п \ п
2 (" ) Z (M/) (0) \i=\ ) 1=1
(0.6)
где функция p(t): [0,1] - R+ называется генератором архимедовой копулы.
В п.2.3.3 приведено описание новых математических моделей структур
статистических зависимостей показателей стоимости акций, использующих многомерные эллиптические распределения.
Определение 2. «-мерный случайный вектор Х = [Х{,...,Хп) является
эллиптически распределенным с математическим ожиданием JU(H 1) И
ковариационной положительно определенной матрицей (лхя), если его
характеристическая функция рх (х) представима в виде
x(x) = exp(/x/ ) f-xSx , где функция у(х)- характеристический генератор такой, что у/(;с):[0,оо) - /?", а
V
( я \ ы /
является n-мерной характеристической функцией. Если существует
плотность распределения для вектора X, то она имеет вид
/ W = -ferft, r(x-//)V( -/ ) , (0.7)
VFl u ;
где функция gn{x) называется генератором плотности при условии \x"l2 lgn (x)dx co. Нормализующая константа сп имеет следующий вид
о
Г(«/2)
сп =
nil
\xnl2-xgn{x)dx
М
Здесь же рассмотрен класс обобщенных многомерных распределений Стьюдента с плотностью распределения следующего вида
n+v
/ « = \
n + v
п I у\
( )2. Г
( +
(х-ц)Г-1Г -(х-ц)
v , V 0.
В п. 2.4 описаны математические модели структур статистической зависимости экстремального типа, обоснованы необходимые и достаточные условия существования предельной копулы структур статистической зависимости показателей стоимости акций, состоящие в следующем. Пусть Н - «-мерное распределение с частными распределениями # ),..., ( ,,) и соответствующая
ему копула С, такая что Н(х1,...,хп) = С(Н1(х1),...,Н„(х„))- Пусть Я, согласно условию (0.4), принадлежит области притяжения функции распределения G с частными распределениями G1(x1),...,G„(x„), HeDAyG I, а функции G соответствует копула С . Тогда копула С лежит в области притяжения копулы С ,
если и только если Hj€DA\Gj\, 1 j п, и существует функция копулы С такая,
что существует предел
lim С"(М; ,...,МГ)=С (М„...,М„). т- оо
Функция С называется предельной копулой экстремального типа. Из условия (0.8), в частности, следует, что функция С удовлетворяет соотношению
С (и[,...,и т) = (с (щ,...,ит)), Vf 0. Воспользовавшись определением копулы, выражение (0.5) можно представить в следующем виде
( { 1пи 1п(щи2)
С (ui,u2) = ехр ]п(щи2)А
\
J)
(0.9)
Наиболее известными примерами функции А [со) являются логистическая модель
A(o)) = m-o)f+coa\ ,а \ (0.10)
и смешанная модель
А(со) = ва)2-во) + \, 0 в \, (0.11)
Здесь же рассмотрена новая математическая модель функции зависимости в следующем виде
А(со) = [{в{\-0))а +((ра )а +Sa(m(\-a ))a 2
Ма
(12)
-9(\-со)-(рсо + \,
где 0 5 \, 0 р \, 0 # 1, а \. Она расширяет свойства моделей (0.10)-(0.11) на класс асимметричных функций зависимости, что позволяет описывать эмпирические эффекты асимметризации структур статистической зависимости показателей стоимости акций в результате воздействия на фондовые рынки экстремальных событий и возникающей вследствие этого высокой волатильности. Эта модель включает в себя предельные модели структур зависимости, такие как независимость (а = 1 ,ср = в = 1, А(со) = 1) и полная зависимость (а -»оо, ср = в = 1,
А(о)) = гжх.(а ,\-в)))- Кроме того, при ср = в = \ получим логистическую модель
(0.10).
Здесь же сформулирована и доказана теорема о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа, а также получена ее математическая модель в форме представления Пикендса для предельной копулы экстремального типа (0.9)
Теорема 1. Пусть С - эллиптическая копула и С - копула экстремального типа (9).
Функция С лежит в области притяжения функции С , если и только если выполнено
\-C(l-sx1,...,\-sxn)
lim = -logC (exp(-x,),...,exp(-x„)). (0.13)
В этом же параграфе доказана теорема о том, что копула С(щ,и2) двумерного эллиптического распределения лежит в области притяжения копулы экстремального типа С , если функция зависимости в представлении (10) имеет вид
у+\
А(й)) = о)(
v+\
СО л
1-й)
7Й
-Р
ЛІУ + Ї
+ (1-©)/.
СО х
1-й)
fc
-Р
4vT\
, (0.14)
где ty+l (•) - плотность одномерного распределения Стьюдента, v + І - число степеней
свободы.
В Главе 3 изложены методы количественного анализа структур хвостовых зависимостей показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью.
Определение 3. Двумерный случайный вектор Х = (Х,,Х2) обладает верхней
хвостовой зависимостью, если существует предел
Xv = lim P(JT, Ff1 () X F2- ( )), (0.15)
7-»i
где F{ ,F2_1 означают обобщенные обратные функции распределения случайных
величинХх,Х2, qe(0,l].
Определение 4. Вектор X обладает нижней хвостовой зависимостью, если
XL m?{x, F{x(q)\Xi F {q)). (0.16)
Выражения (0.15) - (0.16) можно переписать с использованием функции копулы в следующем виде:
,. C(v,v) C(v,v)
\j = lim - -A XL = lim - - , (0.17)
v- l" 1-V v-»0+ V
где C(v,v) = l-2v+C(v,v) - копула выживания. Очевидно, что XU,XL є [0,1]- Если XL = 0, то говорят о независимости на нижнем хвосте структуры зависимости. Вектор X = (Х1,Х2) является независимым на верхнем хвосте, если Хи =0. Для симметричных распределений X = XL-XU. Кроме того, например, для гауссовой
копулы X = 0, для копулы Стьюдента Я 0.
Для описания структур экстремальных зависимостей, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью, в диссертации разработана комбинированная хвостовая копула, параметризованная коэффициентами хвостовой зависимости XL,Xy и сочетающая в себе различные типы верхней и нижней
хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа. Выражение для нее имеет следующий вид
CCT(u,v,Xu,XL) = -(C(u,v,Xu,XL) + C(\-u,l-v,Xu,XL) + u + v-\), (0.18) где
C(u,v, t\) = l-(l-lz + q-\\Urfk,
S = —,Є = -і г, z = (l-(l-W)T, = (l-(l-v)M"r.
log2V l°g2(2-A/) [ y )] l v )]
В этой же главе описана модификация порогового метода параметрического оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением копулы (0.18). Метод позволяет получать более точные и устойчивые оценки, по сравнению с пороговым методом, использующим модели структур зависимости экстремального типа, например, модель Гумбеля. Здесь же приведено описание параметрического метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости, основанного на
теореме о равенстве коэффициента экстремальной зависимости коэффициенту хвостовой зависимости предельного распределения максимумов блоков выборки вектора X = (Хх, Х2).
Теорема 2: Для структуры зависимости Н(х],х2) вектора X из области притяжения структуры зависимости экстремального типа G : HeDAyG J
справедливо равенство %=/(/ , где /у вычисляется как предел (15) для
функции G .
В Главе 4 описаны математические модели и методы количественного анализа рисков инвестирования и размещения рискового капитала в ценные бумаги фондовых рынков с высокой волатильностью. В п.4.1 рассмотрены новые математические модели показателей рисков инвестирования в акции на фондовых рынках. В качестве одного из показателей рисков инвестирования в акции предложено условное математическое ожидание показателей ее стоимости при условии ее превышения порогового значения и = х
Mx(xq) = E(x\x xq), (0.19)
где xq=FxX{q) q -квантиль функции распределения Fx(x) показателя стоимости акции X Нами введен показатель стоимости структуры акций Х = [Х1,...,Хп) в виде суммы показателей их стоимости
S = t,X,. (0.20)
Здесь же доказано, что если случайный вектор X имеет плотность многомерного эллиптического распределения (0.9), то вектор (Xj,S) имеет совместное
эллиптическое распределение 2(/ /,5 /,5 2) с математическим ожиданием
ai aLS
\?iJS as)
Mt,s =
п \ ( -2
МІ МІ и ковариационной матрицей Z;;s = V /=1 )
, где rf=(Tu,
or/„s=Sffij (Ts= (Ti,j Mi - математическое ожидание Xt, = ((7,-,),
i,j = 1,..., n - ковариационная матрица многомерного эллиптического распределения вектора X. Это позволяет построить показатель риска инвестирования в
компоненту Xt инвестиционной структуры при условии высокой волатильности стоимости показателя (20)
Mx,\s(zs,g) = E(xi\s zStq). (0.21)
С учетом сложившегося типа структуры статистических связей вектора X для jux\s (zSq J может быть вычислено следующим образом
Mx,\s (zs,q ) = Mi+ Xs°i,s. (О-22)
где Zs=G\ zlqj/(asFs(zs )Y z5(? =(х?-//5)/о"5 , /fs=E"=i# M генератор плотности эллиптического распределения, G(z)= Fg(u)du кумулятивный генератор эллиптического распределения, Fs{z) = \-Fs(s), G(s) = G(oo)-G(s).
На основании доказанной теоремы об аддитивности показателя рисков (0.21) структурный показатель рисков инвестирования jus(zsA в портфель акций X может быть вычислен следующим образом
п
M bz is ). (0-23)
или, применяя (23) и свойство аддитивности, получим
Ms(zs,q) = Ms+Zs°s- (°-24)
Необходимо заметить, что такие известные показатели риска как Value at Risk и Expected Shortfall в общем случае не обладают свойством аддитивности, тогда как показатель (0.24) аддитивен для любых типов структур статистических связей. Введенные таким образом показатели рисков инвестирования (0.23)-(0.24) позволяют учесть влияние высокой волатильности фондового рынка на рискованность инвестирования в ценные бумаги, входящие в состав сформированного портфеля ценных бумаг, а меру влияния рискованности каждой ценной бумаги на рискованность всего портфеля как вклад ее соответствующего показателя риска (0.23) в показатель риска портфеля (0.24).
В п.4.2 описан показатель чувствительности акций, составляющих инвестиционный портфель, к высокой волатильности фондового рынка. Его математическая модель представлена как условная ковариация
/?Xi\s{zS,q) = Cov(Xi-Mi,S-Ms \S zs q),
выражение для которой в случае эллиптической структуры зависимости (X,, S) имеет вид
Pxi\s(ZS,q) = Pi,S yi°S
итЫ:
ТІ \ s Fs(zs,q)
(0.25)
°i,s
где Т(-) - хвостовой генератор, pt s = — коэффициент корреляции Х:тл. S. На
основании доказанной теоремы об аддитивности показателя (0.25), получено выражение для показателя чувствительности инвестиционного портфеля к высокой волатильности фондового рынка
1+1 ГЫ
l + ZS,qlT
&ы=
4- (0.26)
Fs(zS,a)
В п.4.3 описаны методы количественного анализа рисков инвестирования в акции фондового рынка с использованием показателей (0.23)-(0.26). Далее приведены результаты анализа рисков портфельного инвестирования в акции ведущих эмитентов российского фондового рынка в различные периоды его функционирования. Период 1 составил временной интервал 02.03.04 - 14.04.04. Период 2 составил временной интервал 15.04.04 - 02.06.04. Расчеты бьши проведены для следующих типов структур статистической зависимости:
1) независимость и нормальное распределение показателей стоимости акций Xt;
2) многомерный нормальный закон распределения вектора X;
3) многомерное обобщенное распределение Стьюдента вектора X;
4) комонотонность вектора X (детерминированная покомпонентная зависимость);
5) непараметрическая оценка совместного распределения вектора X.
В случае использования структур независимости и нормального закона совместного распределения показателей стоимости компонент портфеля риск инвестирования в него оказывается значительно недооцененным, а для структуры комонотонности переоцененным как за Период 1, так и за Период 2. Эти различия особенно заметны при высокой волатильности показателей стоимости акций, характерной для современного российского фондового рынка.
В п.4.4 описан метод оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью. Аллокацией капитала К( в / - ю акцию
при наличии структуры статистических связей между показателями стоимости акций составляющих инвестиционный портфель будем называть отображение
A(Xi\X) = Ki, (0.27)
п
причем, если К = К1;, то говорят о полной аллокации капитала.
/=1
Решение этой задачи основано на пороговом ковариационном принципе минимизации функционала возможных убытков от размещения рискового капитала в сформированный портфель акций. Функционал совокупных убытков от инвестирования в такой портфель акций с учетом структуры статистической зависимости показателей стоимости X = {Хх,...,Хп) имеет следующий вид
д(ад)- min ,
где D(Xi,Ki) = E
(г п2
S Fs-]{q)
(0.28)
В соответствии с пороговым ковариационным принципом (0.28) предложенный метод позволяет вычислить величину рискового капитала на акцию, входящую в состав структуры инвестиций, как аддитивную долю Kt совокупного рискового капитала К инвестиционного портфеля, т.е. обладает свойством полной аллокации (0.27). Выражения для вычисления величин Kt имеет следующий вид
Кі= Ф4к, (0.29)
Ps(zs,q)
где величины Px\s[zs,q) Ps\zs,q) вычисляются по формулам (0.25), (0.26)
соответственно. По сравнению с известными принципами размещения капитала, такими как пропорциональный, вариационный и ковариационный, пороговый ковариационный принцип более точно учитывает влияние высокой волатильности фондового рынка на рискованность ценных бумаг, входящих в состав сформированного инвестиционного портфеля. Его применение позволяет не только снизить риски значительных убытков от инвестирования путем повышения размеров рискового капитала в наиболее рискованные ценные бумаги портфеля за счет снижения его размеров в менее рискованные, но и определить оптимальную совокупную величину рискового капитала в соответствии со сложившейся структурой инвестиционных рисков.
В Главе 5 описаны вычислительные алгоритмы оценивания показателей стоимости акций на фондовом рынке с высокой волатильностью. В п.5.1. приведено описание вычислительного алгоритма оценивания параметров модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, описанной в /1.27. В п.5.2 описан вычислительный алгоритм оценивания параметров математической модели функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций, приведенной в п.2.2. В п.5.3, п.5.4 приведены вычислительные алгоритмы моделирования структур статистических зависимостей и оценивания их параметров. Описаны универсальный алгоритм моделирования многомерной случайной величины с заданной функцией копулы, алгоритм моделирования многомерной случайной величины с функцией архимедовой копулы, а также алгоритм моделирования многомерной эллиптической случайной величины. Здесь же описаны вычислительные алгоритмы оценивания параметров структур статистической зависимости экстремального типа. В и. 5.5 дано описание алгоритма оценивания страховой премии в схеме эксцедентного перестрахования и приведены результаты его применения для данных Европейского Страхового Союза.
Заключение
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, и даны рекомендации по их возможному практическом применению.
Математическое моделирование и количественный анализ структур показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью
В п. 1.1 описаны эмпирические эффекты, возникающие на фондовых рынках в результате наступления экстремальных событий и был сделан вывод о необходимости разработки новых математических моделей экстремальных значений показателей стоимости акций. Наряду с возникновением существенных колебаний стоимости, высокой волатильности акций мы также обнаружили [10], что существенное изменение стоимости одной акции может повлечь значительные изменения стоимости акций других эмитентов и даже других секторов финансового рынка. В результате проведенных исследований нами было обнаружено, что даже в условиях относительно стабильного состояния исследуемого фондового рынка, сектора рынка капитала, на них существуют скрытые связи между показателями стоимости акций эмитентов. В отсутствие внешних дестабилизирующих факторов, несмотря на локальные кризисы или отдельные экстремальные события на рынках капитала (например, невозврат кредита, банкротство банка), подобные связи возникают довольно редко, что свидетельствует об их неявном, скрытом характере, проявляющем себя лишь при некоторых условиях или ситуациях. Они становятся явными лишь в моменты наступления экстремальных событий и переходе рынков в кризисное состояние. Такие переходы сопровождаются, как правило, и качественными изменениями в самой структуре статистических связей стоимостных показателей фондовых рьшков. В этих ситуациях линейный корреляционный анализ показывает отсутствие статистических связей между показателями стоимости акций, тогда как нелинейный корреляционный анализ обнаруживает наличие хвостовых зависимостей между ними [13], т.е. статистических связей возникающих при превышении одним из показателей некоторого порогового значения. Такие статистические зависимости мы называем контагионами [10,11]. Исследования контагионов важны, поскольку возникновение кризиса в одном секторе капитала существенно повышает вероятность его распространения на другие, возможно никак не связанные с ним, секторы рынка капитала.
Итак, пусть случайные величины Z,, Z2 обозначают показатели стоимости акций, например, логарифмические приращения значений их стоимости и т.д. Тогда эффект контагиона можно охарактеризовать с помощью следующего условия P(Zl zl\Z2 z2) P(Zl zl), (1.1) где величины Zj, 2"2 - соответствующим образом выбранные пороги или мера критичности преодоления этого значения соответствующим показателем. Выбор порогов можно осуществить, например, на основе методологии Value at Risk (VaR). Пусть a - вероятность того, что значение случайной величины Z превысит число ZER. Тогда a = P(Z z) = l-F(z) и VaR(Z,a) = F l(\-a) является а квантилью функции распределения F\z)- Положим Z\=VaR\Z\,(x) и Z2 = VaR Z2,OC). Тогда в рамках концепции копул [12] выражение (1.1) можно переписать в следующем виде где u = Fx{VaR(Zx,a)) = F2(VaR(Z2,a)). Кроме того, мы наблюдали смену области притяжения структур зависимости показателей стоимости акций, существующих на исследованных нами фондовых рынках [10,11].
С целью исследования этого явления мы провели исследования различных секторов мировых рынков капитала: рынок валют FOREX, ведущие мировые фондовые индексы, а также российский фондовый рынок. В Таблицах 1.2, 1.3 приведены значения условных и безусловных вероятностей падения/повышения цен акций РАО ЕС на 0,5% при условии падения/повышения цен акций НК ЮКОС на 0,5% для трех экстремальных событий, указанных ниже. Во всех случаях мы наблюдаем значительные различия условных и безусловных вероятностей, т.е. контагион(І.І).
Одним подходов к математическому моделированию и количественному анализу хвостовых зависимостей, контагионов является использование структур статистических зависимостей экстремального типа и показателей хвостовой зависимости [14]. Показателем нижней хвостовой зависимости и показателем верхней хвостовой зависимости называются пределы соответственно XL= ton piXuF WYuF iv)), (1.2) v- 0+0 v и Xu= lim p(x Ffl (v)\Y Fl (v)) . (1.3) v-»l-0 \ Более подробно методы вычисления показателей (1.2),(1.3) описаны в Главе 3. Нами были исследованы структуры статистических связей показателей стоимости акций ведущих эмитентов российского фондового рынка. В Таблицах 1.4, 1.5 приведены оценки показателей верхней и нижней хвостовых зависимостей совместного распределения логарифмических приращений стоимости акций НК ЮКОС и РАО ЕЭС, НК ЮКОС и ОАО Лукойл в различные периоды функционирования российского фондового рынка. Левая колонка содержит значение показателя до наступления экстремального события, повлекшего за собой экстремальное снижение котировок акций НК ЮКОС, и, вслед за ними, снижение стоимости акций РАО ЕЭС и ОАО Лукойл. Правая колонка содержит соответствующие значения после экстремального события. Для всех трех событий, указанных в таблицах 1 .4, 1.5, мы наблюдаем значительные изменения показателей, в ряде случаев довольно
значительные. Кроме того, наблюдалась асимметризация структур статистической зависимости двух типов. Первый: хвосты соответствующей функции плотности копулы обладают различным весом, т.е Лц Ф Яг. Второй: сама функция плотности
копулы становится асимметричной. На Рис. 1.7 построены графики структур хвостовых зависимостей показателей стоимости акций РАО ЕЭС - НК ЮКОС до и после 02.07.03 г. В качестве математической модели структуры статистических связей использована функция хвостовой комбинированной копулы [14].
Математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций
Напомним, что теоретическая проблема моделирования экстремальных значений показателей стоимости акций, поставленная нами в п. 1.2, состоит в необходимости построения математической модели их надпороговых значений, когда нам известна некоторая цензурированная выборка [Х ,...,Хп), Xt u, і = 1,...,п. Итак, будем рассматривать экстремальные величины, превышающие некоторое значение и О. Значения Х-и мы будем в дальнейшем называть эксцессами. Определение 2.2. Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F с верхней границей o)(F). ДЛЯ любого порога U CD[F) определим функцию распределения эксцессов как Fu(x) = P(X-u x\X u) для 0 X U)(F)-U, (2.19) следовательно, функция среднего значения эксцессов случайной величины X ех(и) = Е(Х-и\Х и). (2.20)
Заметим, что для 0 х xF -и мы можем выразить Fu [х) через F F (A_F(U + X)-F(U) Л) 1-F(«) а функция среднего значения эксцессов ех (и) может быть выражена через функцию распределения эксцессов следующим образом: xF-u ех(и)= J xdFu(x). Определение 2.3. Обобщенное распределение Парето Ех 1 \ (2.21) %,/?( ) = ( 1-ехр 4 0 = 0 ч и J где /? 0, д: 0 когда 0 и О х -0/ !;, когда 0. Иногда в определение G p{x) необходимо ввести параметр локализации //, тогда мы будем рассматривать обобщенное распределение Парето в виде G рM{x) = G р{х-/л). Распределение является тяжелохвостым в случае f 0. Распределения (2.21) при /7 = 1 изображены на рисунке 2.3. Справедлива следующая теорема А.Балкема, де Хаана [42].
Теорема 2.5. Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F. Тогда для любого еП функция распределения F принадлежит области притяжения экстремальных величин X є MDA[HA, если и только если lim sup \FU{X)-G P{U){X) = для некоторой положительной функции P(u), где G« n(u\(x) - функция обобщенного распределения Парето (2.21).
Для моделирования надпороговых экстремальных значений финансовых показателей воспользуемся результатами и выводами, вытекающими из теоремы 2.5. Она утверждает, что функция распределения эксцессов Fu может быть аппроксимирована обобщенным распределением Парето при значениях порога и, близких к правой границе функции распределения F. Чтобы продемонстрировать, как это может быть использовано, заметим, что вместо выражения (2.19) мы можем записать F(x) = F{u)Fu(x-u) для х и. Полагая, что значение и достаточно велико, мы можем аппроксимировать Fu функцией Gc giu\ и использовать эмпирическую оценку для F(u) n /=1 где n - общее количество наблюдений. Верхний хвост F{x) может быть оценен как W w -1/1 для всех х и. (2.22) F(JC) = 1-F = 1- п
Это позволяет экстраполировать условную функцию распределения эксцессов за пределы присутствующих в выборке данных, что невозможно в случае использования эмпирической оценки F{x) для х и. Параметры Е, и /? функции распределения G a/U\ могут быть получены, например, методом максимального правдоподобия при фиксированном пороге и. Члены выборки для метода максимального правдоподобия: Xi-u,...,Xi -и, где Х{,...,Х: - наблюдения превышающие порог и. Для выбора значения порога и часто используют графический метод Резника-Старицы [23], используя график средних эксцессов (и,ёх(и))
В основу методов характеризации функций распределения многомерных экстремальных величин положено использование так называемых устойчивых распределений экстремумов [13]. Функция G называется т -мерной устойчивой функцией экстремумов, если для V7 О она удовлетворяет соотношению G {x) = G{ax{t)xx + p,{t),...,am{t)xm+Pm{t)), (2.3.1) где aj(t) 0,fij(t) 0, j = l,...,m,x = (xl,...,xm)eUm.
Из определения (2.3.1) очевидно следует, что для V7 0 функция G также является функцией распределения, и, следовательно, всякое устойчивое распределение является бесконечно делимым. С. Резник, де Хаан [14] предложили характеризацию распределений многомерных экстремальных величин в следующем виде.
Параметрические методы оценивания коэффициентов хвостовой зависимости
В основе параметрического подхода к оцениванию значений коэффициентов хвостовой зависимости лежит использование математической модели структуры исходных данных в виде параметрической модели функции копулы Сд. Оценки нижнего и верхнего коэффициентов хвостовой зависимости при этом могут быть найдены как функция от параметров модели CQ\ Л = Л(б\. Для получения оценок параметров функции структуры зависимости Сд необходимо перейти от совокупности исходных выборок X},1 =\x\l ,...,Xy , \ i m к выборкам равномерно распределенных на [0,1] случайных величин Щ ={щ ,...,Щ , \ i m. Прежде чем перейти к построению параметрических оценок, нам необходимо охарактеризовать частные распределения Fitl / т. В том случае, если каждая из частных функций распределения характеризуется набором параметров 3itl i m, подход называется полностью параметрическим. В противном случае, если частные распределения заменяются эмпирическими (т.е. применяется операция ранжирования), подход называется полупараметрическим [57].
Параметрическое оценивание может быть произведено в один или в два этапа. В первом случае параметры частных распределений 3{,1 1 т, а также параметры структуры зависимости 0 оцениваются совместно. Обычно используется метод максимального правдоподобия. Во втором случае оценивание происходит в два этапа. Благодаря весьма полезному свойству функции копулы, согласно которому функция копулы не зависит от частных распределений, возможно разделить операции оценивания параметров частных распределений #,-,1 / т и параметров структуры зависимости в. На первом этапе проводится оценивание параметров «9;- частных функций распределения _/ } для 1 і т. Затем на основе найденных оценок формируется совокупность выборок по которой оцениваются параметры структуры зависимости в. Данный метод известен также как метод псевдомаксимального правдоподобия. Как показано в [58,89], получаемые этим методом оценки практически не отличаются от оценок, получаемых в один шаг. Однако поэтапный метод оказывается эффективнее, особенно в случае больших размерностей, так как позволяет существенно снизить сложность оптимизационной задачи и сократить время вычислений.
Полупараметрический подход подразумевает, что частные распределения i J-,l / т заменяются эмпирическими функциями распределения. Затем, как и в предыдущем методе, параметры структуры зависимости в оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия. Получаемая таким образом оценка параметров модели, равно как и оценка хвостовых коэффициентов, является асимптотически устойчивой и нормальной. Численные эксперименты показали, что по своим свойствам полупараметрические оценки практически идентичны полностью параметрическим оценкам. Применение параметрических моделей частных распределений /),1 z m может приводить к существенным ошибкам на этапе оценивания параметров структуры зависимости, и, как следствие, неточным и неадекватным оценкам значений коэффициентов \r,AL. Полупараметрический подход является в этом смысле более устойчивым, поскольку лишен описанного недостатка.
Нами был проведен качественный анализ свойств различных копул [97,101], который показал, что в качестве моделей структур статистической зависимости, способных моделировать хвостовую зависимость в двумерном случае, удобно использовать функции из числа двухпараметрических архимедовых копул. Ниже приведены выражения для функций копулы и архимедова генератора моделей ВВІ и ВВ7
Отдельного рассмотрения заслуживает случай, когда исследуемое распределение выборки IХ ,...,X J ,...,Х т \ является эллиптическим. Определение и свойства эллиптических распределений нами приведены в п.2.3.3 Главы 2 настоящей диссертации. Поскольку распределения эллиптического типа симметричны [55], очевидно, что для ViJ, Ці =Ц9и (в дальнейшем используется обозначение /L).
В работах [34,35] показано, что коэффициент хвостовой зависимости /L между компонентами Лт и X J зависит только от значения коэффициента парной линейной корреляции ри .и индекса регулярной вариации a = v -1 эллиптического генератора, если он является регулярно изменяющимся [66]. Как можно, заметить, условие регулярной вариации аналогично условию (1.0) на функцию распределения показателей стоимости ценных бумаг. При этом коэффициент хвостовой зависимости Лу выражается следующим образом [35]: Теорема 3.1. Для функции распределения F, лежащей в области притяжения функции распределения экстремальных величин G, показатель хвостовой зависимости Хц совпадает с предельным показателем хвостовой зависимости Щ . Доказательство: Воспользуемся преобразованием, предложенным в работе [45], и перейдем к распределению
Математические модели показателей чувствительности стоимости акций к высокой волатильности фондового рынка
Как нами уже отмечалось в Главе 1, основной проблемой анализа инвестиционных рисков на фондовом рынке является проблема корректного учета влияния возникающей высокой волатильности одной ценной бумаги на волатильность остальных ценных бумаг, прежде всего входящих в инвестиционный портфель. Такие явления были названы нами контагионами, в Главе 3 мы описывали их с помощью структур хвостовых зависимостей, в частности разработали ряд математических моделей структур статистической зависимости экстремальных значений показателей стоимости акций. В этой же главе был сделан вывод о том, что в условиях высокой волатильности наиболее адекватной моделью таких структур являются многомерные эллиптические распределения.
В п.4.1, 4.2 были построены показатели рисков инвестирования, позволяющие учесть влияние высокой волатильности фондового рынка на рискованность инвестирования в ценные бумаги, входящие в состав сформированного портфеля Х = (Х],...,Хп), для их вычисления построены выражения (4.1.13)-(4.1.17). Нами предложено оценить меру влияния рискованности каждой ценной бумаги на рискованность всего портфеля как соответствующий вклад показателя риска инвестирования (4.1.16) в показатель риска портфеля (4.1.17). Введем структурный показатель риска инвестирования в портфель акций в виде суммы показателей их стоимости S = n Xj. Для вычисления вклада компоненты Xt в структурный показатель S выше нами доказано (см. Лемму 4.1), что совместное распределение (Xt,S) ЯВЛЯеТСЯ ДВумерНЫМ ЭЛЛИПТИЧеСКИМ распределением E2(Mi,S i,S g2) с ковариационной матрицей ( п \ математическим ожиданием /лі8 = 1,-,5 = ( гт1 п \ \i,S as) , of =au, Gi,s=YjaiJ a\ = Z aiJ Mi математическое ожидание X;, Z = (fy), i,j = \,...,n - ковариационная матрица многомерного эллиптического распределения вектора X. Это позволило нам описать показатель инвестирования в/-ю ценную бумагу из сформированного портфеля ценных бумаг с показателем стоимости Х{ как вклад показателя стоимости Х{ в показатель стоимости S с учетом эллиптической структуры их статистической зависимости (Xj,S) в следующем виде //,( ,.S) = /// + A5cr,i5, (4.3.2) где = -z j/(o-5F5(z )),z =(z9-//5)/ff5, Ms = 1 1- где Fs(s)= Г giu jlMu - функция распределения S, g(u) - генератор плотности эллиптического распределения, G(z)= \g(u)du - кумулятивный генератор эллиптического распределения, Fs(s) = l Fs(s), G(z) = G( n)-G(z).
Тогда, в соответствии с выражением (4.17), показатель рисков инвестирования с портфель X принимает вид Ms(zq) = Ms+Zs J,s- (4-3-3)
С использованием показателей рисков (4.3.2), (4.3.3) мы исследовали риски портфельного инвестирования в акции российского фондового рынка. Нами построен структурный индекс S инвестирования в акции российских компаний ОАО Лукойл, Сургутнефтегаз, Ростелеком, Сбербанк и НК ЮКОС в виде суммы логарифмических приращений стоимости их акций и проведен анализ его поведения в течение периодов 2004 г. с различной изменчивостью фондового индекса РТС (Российская Торговая Система). Период 1 составил временной интервал 02.03.04-14.04.04. Период 2 составил временной интервал 15.04.04-02.06.04.
В Таблицах 4.1,4.2 приведены оценки корреляционной матрицы совместного распределения показателей стоимости акций перечисленных российских компаний за Период 1.2 с использованием модели многомерного распределения Стьюдента с индексом v
В Таблицах 4.3.3, 4.3.4 приведены результаты расчетов показателей (4.3.2), (4.3.3) для структурного индекса S, состоящего из акций указанных выше российских компаний. Расчеты были проведены для следующих типов структур статистической зависимости: 1) независимость и нормальное распределение компонент Х{; 2) многомерный нормальный закон распределения вектора X;
Как показал анализ результатов проведенных вычислений, в случае использования структур 149 независимости и совместного нормального закона распределения компонент индекса показатель Ms\sq) оказывается значительно недооцененным, а для структуры комонотонности переоцененньм как за Период 1, так и за Период 2. В Период 2 наблюдается значительное увеличение показателя Ms\sq) п0 сравнению с
Периодом 1. Как видно из Рис.4.1, 4.2, эти различия особенно заметны при высокой волатильности, характерной для современного российского фондового рынка. Анализ величин вкладов каждой из компонент Х{ в структурный индекс S показал, что подобные различия связаны главным образом с ростом рискованности инвестиций в акции НК ЮКОС за Период 2. Необходимо также отметить, что применение структур зависимости эллиптического типа 3) в отличие от других рассмотренных структур зависимости показателей стоимости акций позволяет с высокой степенью точности приближения оценить вклад отдельной компоненты в величину структурного индекса, и, следовательно, рискованность инвестирования как в отдельную акцию так и в сформированный портфель акций.
