Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена фрактальному анализу временных рядов применительно к экономике: цены на нефть и на драгоценные металлы; и выявлению корреляции между минутными и суточными колебания отношения Euro/USD.
Б. Мандельброт установил фрактальность экономики [Л.1]. Он ввёл фрактальную гипотезу рынка вместо гипотезы эффективного ранка (Efficient Market Hypothesis (EMH)) - парадигмы эконометрики. Фрактальность временных рядов, с помощью которых обычно устанавливают количественные меры практически для всех показателей рынка. Наиболее употребляемой количественной мерой фрактальных процессов является показатель Херста Н. Если H^0.5, то временной ряд является фрактальным [Л.1]. Основная проблема определения динамики поведения временных финансовых рядов заключается в том, что показатель Хёрста, определяя зазубренности ряда в целом, требует большое количество измерений в разные моменты времени [Л.1, Л.2]. Временной ряд, как правило, много раз меняет характер своего динамического поведения. Чтобы связать локальную динамику соответствующего процесса с фрактальной размерностью временного ряда, необходимо определить корреляционную размерность Dc ряда локально. В [Л.3] предложено определять локальную характеристику временного ряда с помощью его минимального покрытия (индекс фрактальности, позволяющий предсказывать тренды).
Показатель Хёрста на настоящий момент является единственной характеристикой «чёрного» шума - шума катастроф (в частности финансовых) [Л.2]. Для сравнения дисперсия шума, который возникает при катастрофе, равна бесконечности. Это ещё одно доказательство, что функция распределения вероятности доходности рынка является не гауссовой. В [Л.3] описана причина катастроф как быстрого и резкого изменения в экономических системах - «самоорганизованная критичность». Катастрофы в сложных системах происходят не только вследствие внешних причин, но и вследствие того, что мелкие события, складываясь вместе, могут приводить к цепной реакции. Для иллюстрации самоорганизованной критичности используют метафору кучи песка, которая медленно насыпается сверху. Время от времени возникает ситуация, когда достаточно всего лишь одной песчинки, чтобы вызвать лавину. В [Л.4] на основе социальной имитации модели спиновых систем введена функция распределения вероятности доходности рынка, которая имеет принципиально не гауссову форму.
Известна реконструкция динамической системы по одновременным временным рядам [Л.5]. Фазовый портрет системы восстанавливается по скалярному временному ряду a(t), а в качестве недостающих координат используется тот же самый ряд, взятый с некоторым запаздыванием т, т.е. получается n - мерная реконструкция динамической системы. В результате имеем множество векторов [Л.5]:
{a(t), a(t + т),..., a(t + (n - 1)т)} . (1)
При этом n удовлетворяет условию теоремы Мане [Л.5]: n>2M +1, где M - ближайшее целое число к величине размерности системы, которую реконструируют, число n называют размерностью вложения. Для оценки размерности динамической системы часто используют корреляционную размерность
Dc = limlimln c^nI , (2)
E^Q N^ra In
где C(є, N) - корреляционный интеграл; є - размер ячейки разбиения фазового пространства; N - число точек, используемых для оценки размерности. Для определения Dc строят зависимость ln C(є, N) от ln є и ищут на ней линейный участок, наклон которого и определяет искомое значение размерности. Кроме того, анализируется зависимость Dc от размерности вложения. Если размерность динамической системы является конечной, то при увеличении n значение Dc испытывает насыщение.
Принципиальное отличие экономических систем от динамических систем, в частности рынка, заключается в том, что их поведение определяется гораздо большим числом независимых переменных. Однако экономика относится к сложным синергетическим системам, для которых справедлив принцип подчинения, т.е. большинство переменных подчинаяются нескольким, назовём их базовыми переменными, поэтому для синергетических сложных систем также справедливы основные закономерности динамических систем нескольких переменных [Л.6]. Исходя из таких соображений, представляется разумным обобщить реконструкцию динамических систем на экономику, где в качестве главных определены следующие задачи: определение фрактальной корреляционной размерности для экономических процессов и размерность пространства вложения, в котором будет анализироваться рынок.
Главной задачей исследований будем считать разработку математического метода анализа экономических процессов на основе реконструкции их поведения в псевдофазовом пространстве, подобно тому как это делается для динамических систем. В качестве базового метода предлагается использовать метод ложных ближайших соседей (ЛБС) [Л.7], кратко суть которого заключается в том, что определяется истинное число игроков показателей рынка, убирая мнимые (ложные), тем самым определяется количественная характеристика цены товара на рынке.
Цель работы - разработка математического метода и алгоритмов анализа одномерных фрактальных временных рядов, путём их реконструкции по аналогии с динамическими системами, выбор и модификация численных способов анализа, создание соответствующего комплекса программ, изучение динамики основных характеристик временных рядов, описывающих финансовую область экономики.
Основные задачи работы.
-
Применение метода ложных ближайших соседей (ЛБС) для анализа временных рядов как индикатора трендов цены (восходящих и нисходящих), построение алгоритма для данного метода.
-
Выявление степени корреляции между минутными и суточными колебаниями курса Euro/USD.
-
Фрактальный анализ динамики мировой цены на нефть и динамики цен на драгоценные металлы.
-
Создание комплекса программ для реализации численных способов решения поставленных задач.
-
Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения основных свойств временных рядов для поставленных задач.
Методы исследований. Методами, положенными в основу проведенных исследований, являются:
-
фрактальные меры временных рядов: показатель Хёрста и корреляционный интеграл;
-
методы эконофизики, в частности, волатильность и катастрофы рынка анализируется с помощью нелинейной динамической модели рынка и принципа подчинения переменных синергетики - науки о самоорганизации.
Научная новизна работы.
1. Разработка модели финансового рынка, основанная на предположениях его фрактальности, синергетичности и долговременной памяти, позволяет переходить с помощью реконструкции исходного одномерного временного ряда в многомерное псевдофазовое пространство вложения, описывать его долговременную память, ценовые тренды и экономические катастрофы.
-
-
Экспериментальное (с помощью ЭВМ) обнаружение эффекта предсказания поведения динамики курса Euro/USD по его минутной динамике.
-
Результаты исследования финансовых, временных рядов, описывающих динамику цен на нефть и драгоценные металлы, с помощью метода ЛБС.
Достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:
-
использованием обоснованной физической модели финансового рынка и апробированных математических методов решения поставленных задач;
-
сравнением отдельных полученных результатов, в частности, анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD и фрактальном анализе динамики мировой цены на нефть с данными, приведенными в научной литературе [Л.8];
-
совпадением расчетных данных показателя Хёрста, приведенным в работе, с результатами, полученными при использовании программы Fractan 4.4, разработанной в Лаборатории Обработки Данных Института Математических Проблем Биологии РАН (г. Пущино, Московской области) Сычёвым В.В. Получено совпадение показателей Херста для всех исследуемых временных рядов с погрешностью менее 0,5 %;
-
для проверки вывода об использовании метода ЛБС в качестве флагов (согласно теории катастроф), предсказывающих тренды цен, метод ЛБС апробирован на известных (уже прошедших) трендах повышения и понижения цены на нефть.
Практическая ценность работы.
Разработанный метод анализа поведения финансовых временных рядов на основе метода ЛБС и проведенная реконструкция их поведения в псевдофазовом пространстве позволяет прогнозировать динамику различных курсов и цен. Создан комплекс программ для получения критериев, предсказывающих положительные и отрицательные тренды цен на мировую нефть и драгоценные металлы. Разработанные методы и алгоритмы могут быть применены для построения ценовой политики продаж.
Основные положения, выносимые на защиту.
Модель фрактального финансового рынка, которая с помощью фрактальных мер (показателя Хёрста и корреляционного интеграла), реконструкции одномерных финансовых временных рядов в псевдофазовое пространство и предположении, что рынок - синергетическая система, описывает свойства, недоступные для описания эконометрических моделей рынка: самоподобные свойства, долговременную память, экономические катастрофы.
Фрактальный анализ степени корреляции между средними ежеминутными и ежедневными значениями показателя Хёрста.
Результаты анализа динамики цен на нефть и драгоценные металлы на основе метода ЛБС к реконструкции временных рядов, описывающих динамику цен, в псевдофазовом пространстве.
Функция зависимости P/ w (P - число ЛБС, w - число отсчётов) от числа членов ряда n в методе ЛБС - индикатор тренда цены на товар.
Личный вклад автора. В совместных работах научному руководителю и к.т.н. Антипову О.И. принадлежит постановка задач и определение направлений исследований. Подробные проведения рассуждений, доказательств и расчётов принадлежит диссертанту.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на
конференциях: IX Международная научно - техническая конференция
«Физика и технические приложения волновых процессов» - Миасс, сентябрь 2010; X Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов - Самара, сентябрь, 2011; конференция преподавателей и сотрудников ГОУ ВПО «ПГУТИ» 2011.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 4 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка использованных источников из 81 наименований и содержит 167 страниц текста, в том числе 51 рисунков.
Похожие диссертации на Математический метод и алгоритмы фрактального анализа динамики финансовых рынков
-
