Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Равновесные модели рынка труда 16
1. Оптимизационные модели рынка труда региона. Равновесие по Вальрасу 16
2. Моделирование поведения участников рынка труда в виде бескоалиционной игры 30
3. Равновесие по Нэшу. Существование и признаки 38
4. Олигополистические равновесия на рынке труда 53
5. Сравнительный анализ равновесий 62
6. Вычисление равновесных цен на рынке труда 65
ГЛАВА II. Моделирование рынка труда в виде игры в форме характеристической функции 75
1. Характеристическая функция рынка труда региона и ее свойства 75
2. Кооперативное поведение фирм - работодателей на рынке труда 85
3. Кооперативное поведение индивидов - наемных работников на рынке труда 95
4. Исследование с-ядра и вектора Шепли в кооперативной игре рынка труда 103
ГЛАВА III. Динамическая модель рынка труда 108
1. Построение динамической модели рынка труда региона 108
2. Динамическая устойчивость ситуации равновесия по Нэшу в модели рынка труда в форме бескоалиционной игры 123
3. Анализ динамической модели рынка труда в форме кооперативной игры 137
Литература
- Моделирование поведения участников рынка труда в виде бескоалиционной игры
- Олигополистические равновесия на рынке труда
- Кооперативное поведение фирм - работодателей на рынке труда
- Динамическая устойчивость ситуации равновесия по Нэшу в модели рынка труда в форме бескоалиционной игры
Введение к работе
Актуальность работы. Актуальность темы диссертационного исследования объясняется тем, что соблюдение равновесия на рынке труда региона является определяющим условием динамичного и стабильного развития экономики территории. Одним из наиболее эффективных способов изучения ситуации равновесия на региональном рынке труда является использование математических методов. Математическое моделирование рынка труда дает возможность обосновать условия существования ситуации равновесия на рынке труда региона и анализировать механизмы его реализуемости. В диссертационной работе изучается концепция равновесия на рынке труда с помощью теоретико-игрового подхода.
Вопросы регулирования рынка труда до недавнего времени преимущественно исследовались зарубежными авторами, причем модели предложения и спроса на труд рассматривались автономно.
Исследование рынка труда выполнено на описательном уровне в работах, в основном, экономистов (Л. Роббинс, Р. Гронау, Г. Беккер, Р. Лейнард, Е.Р. Лэйзера, Я. Минсера, Ш. Розена, Ч. Браун, Р.С. Смит, Р.Г. Эренберг, Р.Б. Фримен, М. Спенс), в то время как необходимо его детальное исследование методами математического моделирования.
До перехода к рыночной экономике в нашей стране математические исследования отдельных вопросов экономики труда проводились для плановой экономики. Тем не менее, в последние десятилетия в отечественной научной литературе появились работы И. Бушмарина, Н. Вишневской, М. Гарсии-Исер, В. Гипельсона, А. Кашепова, А. Котляра, Л. Немова, С. Рощина и др., охватывающие элементы рынка труда.
Несмотря на расширение круга исследований по рынку труда, практически отсутствуют работы, применяющие математические модели оптимизационного характера, а проводимый анализ спроса и предложения на рынке труда большей частью имеет вербальный характер. Отметим в этой связи работы Данилова Н.Н., Чернядьевой Н.В., в которых рынок труда формализован в виде оптимизационных задач участников рынка труда, исследовано равновесие по Вальрасу и взаимовлияние основных факторов рынка в моделях участников рынка, а также вычислены оптимальные траектории участников рынка труда. В имеющихся работах по математическому моделированию и исследованию рынка труда не рассматривается конкурентный характер взаимодействия участников рынка труда, а также принимаемых ими решений.
Диссертационное исследование проводилось в рамках гранта Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Математический анализ конфликтно-управляемых систем» - НШ-2174.2003.1. (совместно с факультетом ПМ-ПУ Санкт-Петербургского государственного университета).
Целью данной работы является построение и исследование математических моделей развития рынка труда, позволяющих обосновать существование, найти необходимые и достаточные признаки равновесного состояния рынка труда, а также изучить условия его устойчивого функционирования.
Методика исследования. Диссертационное исследование проводилось с использованием методологии математической экономики, теории игр,
математического программирования, теории оптимального управления, математического анализа и линейной алгебры.
Кроме этого, в работе применялась новая концепция моделирования временного равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости, впервые предложенного Л.А. Петросяном в работах по кооперативным дифференциальным играм, и получившая развитие во многих областях прикладной математики.
Научная новизна. Новизна диссертационного исследования заключается в разработке новой методологии исследования рынка труда и объясняется отсутствием в научной литературе математических моделей рынка труда в форме бескоалиционных и кооперативных игр, как в статическом, так и в динамическом аспектах, и вытекающей отсюда новизной всех полученных результатов.
Теоретическая ценность работы. Предлагаются модели и концепции нахождения равновесия на рынке труда, т.е. разработана теоретическая база таких исследований. Предложенные математические модели рынка труда и полученные результаты могут быть перенесены на отраслевые рынки труда, являющиеся подсистемами регионального рынка.
Практическая ценность работы. Практическая значимость работы заключается в том, что предложенные модели и найденные условия существования равновесий на рынке труда региона и их динамической устойчивости могут быть полезны при выработке стратегий социально-экономического развития территории.
Результаты, выносимые на защиту.
Впервые предложен теоретико-игровой подход к математическому моделированию рынка труда региона.
В разработанной взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников рынка доказано существование равновесного состояния по Вальрасу.
В модели рынка труда в виде бескоалиционной игры его участников найдены достаточные условия существования ситуации равновесия по Нэшу, разработан способ ее нахождения и проведен сравнительный анализ условий существования экономического (по Вальрасу), теоретико-игрового (по Нэшу) и олигополистических равновесий (по Курно и Штакельбергу) на рынке труда.
Сформулирован критерий непустоты оядра и критерий принадлежности дележа оядру, найдены формулы для вычисления компонент вектора Шепли в явном виде в разработанной модели рынка труда региона в виде кооперативной игры в форме характеристической функции.
С применением принципа динамической устойчивости исследован вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда: найдены необходимые и достаточные условия динамической устойчивости ситуаций равновесия по Вальрасу и Нэшу, множества недоминируемых дележей (о ядро) и вектора Шепли.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 15 ноября 2002 г.);
Всероссийской научной конференции «Наука и образование» (г. Белово, 20-21 февраля 2003 г.);
VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество
молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 2004 г.);
III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря 2004 г.);
III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря
2004 г.);
IX Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.);
IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября
2005 г.),
а также на научных семинарах кафедры математической кибернетики математического факультета Кемеровского государственного университета.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 59 наименований. Общий объем работы составляет 155 страниц, в том числе основной текст - 145 страниц.
Моделирование поведения участников рынка труда в виде бескоалиционной игры
При изучении вопросов принятия решения в сложных системах (в экономических, социальных и других областях человеческой деятельности) с применением математических методов, прежде всего, требуется формализация исходных задач. При этом одна и та же задача, в зависимости от целей ее исследования, может быть формализована на различных уровнях абстракции (моделирование на макроуровне с учетом небольшого числа основных факторов и условий; моделирование на микроуровне, т. е. с более подробным учетом интересующих параметров и функциональных взаимосвязей) или с применением различных классов математических моделей (оптимизационных моделей с одним или несколькими критериями качества; теоретико-игровых моделей и других, которые могут быть по содержанию детерминированными или стохастическими, статическими или динамическими).
В предыдущем параграфе с целью изучения вопросов, связанных с понятием равновесия по Вальрасу, задачи участников рынка труда были описаны в виде оптимизационных моделей. Поэтому принималась во внимание зависимость целевой функции в моделях каждой фирмы и каждого индивида лишь от их собственных трудовых ресурсов.
Для изучения того же рынка труда с целью исследования оптимального поведения его участников с учетом конкурентного характера принимаемых ими решений, несомненно, наиболее подходящими являются теоретико-игровые модели. Для построения таких моделей рынка труда проведем анализ зависимости достижения целей каждым участником рынка от действий остальных его участников. В процессе реального функционирования рынка труда фирмы -работодатели стремятся максимизировать каждая свою прибыль от производства своей продукции, а индивиды стремятся устроиться на работу с целью максимизации своего дохода. В теории игр всякое взаимодействие по поводу принятия решения, в исходах которого заинтересованы разные субъекты, называется конфликтом. С этой точки зрения столкновение экономических интересов фирм и индивидов в сфере труда носит конфликтный (или конкурентный) характер. Исходя из сути реальных условий рынка труда, в нем можно заметить пересечение экономических интересов (конфликтность) на двух уровнях.
Конфликтность принятия решений участниками объясняется следующими признаками конкурентного рынка труда: 1) наличие фирм, конкурирующих друг с другом за наем определенного вида труда на одинаковые рабочие места (должности); 2) наличие работников, имеющих одинаковую квалификацию и независимо друг от друга предлагающих свои трудовые услуги; 3) установление заработной платы как согласованной между фирмой и индивидом объективной оценки труда (денежного эквивалента труда).
Для достижения своих целей на рынке труда каждая из сторон оперирует своей стратегией: фирмы нанимают работников на имеющиеся вакантные должности; индивиды распоряжаются распределением своих трудовых ресурсов согласно своей профессии и квалификации.
Пересечение интересов всех участников рынка труда формально отражается в зависимости величин их прибылей от стратегий всех участников. Покажем это.
Обоснуем сначала зависимость цен труда z k, к = 1,...,1, от трудовых ресурсов и\,...,и\, определение конкретных значений которых находится в компетенции фирм (/ = 1,...,п). С учетом условия П.2 упорядочим виды труда (к = 1,...,1) в каждой фирме в порядке возрастания их цены. Пусть последовательность {Г,...,/ } такова, что z k z k+l для любого к = Х,...,/ -1. Такое упорядочение соответствует неравенствам - -Щ-,к = \ ,...,Г-\ {i = \,...,n), ди[ ди. к+1 (1.2.1) т. е. предельная производительность (предельный продукт) труда тем выше, чем выше квалификация работника. Отсюда, во-первых, следует, что оплата труда зависит от вида труда и от квалификации работника. Во-вторых, по законам рынка, чем выше спрос по профессии к, т. е. чем больше величина ик =и\ + ... + ик, тем выше цены z\ для всех i = \,...,n (см. рис. 1).
Олигополистические равновесия на рынке труда
В этом параграфе проанализируем рынок труда М = { \}"МЛ Р[}ММ ) (см. (1.1.8)) с использованием сугубо олигополистического подхода и рассмотрим для этой модели новые понятия равновесия - равновесия Курно и Штакельберга для фирм.
Олигополия является преобладающей формой современной рыночной структуры на уровне региона. Поэтому естественным является попытка представления рынка труда М в форме олигополии.
Применительно к модели (1.1.8) олигополистические принципы означают, что фирма принимает решение по определению трудовых ресурсов и установлению оплаты труда, взвешивая свои решения с учетом реакции остальных фирм (соперников). Каждая фирма учитывает реакцию конкурентов, зная, что те, в свою очередь, тоже будут поступать так же. Так как любая фирма может восстановить рассуждения конкурентов, то она должна поставить себя на место конкурентов и рассуждать как они.
Как будет видно ниже, модель олигополии весьма близка к игровой модели. Согласно условий олигополии в моделях рынка труда (1.1.8) будем считать, что z =z (u\...,u"), / = 1,...,п, и = и (и1 ,...,и"), / = 1,...,п. Тогда модель задачи /-ой фирмы, как олигополиста на рынке труда (1.1.1)-(1.1.3), принимает вид: Р;(и\...,и") = (р,у )-(г (и\ ...,и"\и\и\...,и"))-\\К1 - max (1.4.1) при ограничениях у =/ (и\К ), (1.4.2) {г\их,...,ип),и {и\...,ип)) + \ К1 Z1, 0 и а , (1.4.3) где a =(a[t...ta\).
Обозначим эту модель 0\. Тогда модель фирм — работодателей, как олигополии на рынке труда, может быть представлена как 0[ = (О/ }.eN
Определенный интерес для моделирования рынка труда региона представляет дуополия - как частный случай олигополии с двумя фирмами -работодателями (например, два высших учебных заведения региона одного профиля).
Если затраты на факторы производства (Z ) используются фирмами без остатка, тогда первое условие дополняющей нежесткости можно опустить, считая, что А, , может принять произвольное неотрицательное значение. Без потери общности можно полагать, что ії О и освободиться от последнего условия.
Частные производные —-, і, к = 1,2 {іФк) оценивают реакции дії дуополистов на имеющиеся друг у другу трудовые ресурсы. Мы их назовем (следуя классической терминологии) предположительными вариациями. Модель (1.4.4)-(1.4.6) назовем дуополией Курно, если дії - = 0,і,к = \,2 (іФк), (1.4.8) дії т. е. когда каждая фирма предполагает, что ее конкурент определяет величину своих трудовых ресурсов независимо от величины трудовых ресурсов конкурента. Если выполняется (1.4.8), то фирмы будем называть дуополистами Курно. Четверку \йх ,й2 ,z\z2), где \й\її2) - решения оптимизационных задач (1.4.4)-(1.4.6) при условии (1.4.8), a \z\z2)- цены, соответствующие паре [її1,її2), будем называть равновесием Курно. Для равновесия Курно, с учетом наших предположений, необходимые условия запишутся как — /=12 Р (1.4.9) 1 П4 4& 1 - Я, , дії \ дії, Х2(ії -а ) = 0, /,= 1,2, где числа А, , интерпретируются как предельные стоимости продукции, приходящиеся на одну единицу почасовой оплаты труда.
Рассмотрим еще один способ формирования экономической стратегии дуополистов - дуополию Штакельберга. Фирму - работодателя будем назвать S -стратегом, если она считает, что фирма — конкурент будет вести себя как дуополист Курно.
Модель (1.4.4)-(1.4.6) называется дуополией Штакельберга, если одна или обе фирмы являются S -стратегами. Четверку [й\й2 ,z\z2), где \йх ,й2) - решения оптимизационных задач (1.4.4)-(1.4.6) при условиях дуаполии Штакельберга, a (z\z2)- цены, соответствующие паре (й\й2), называется равновесием Штакельберга. Проанализируем дуополии Курно и Штакельберга на конкретном примере. Пример 1.1. Пусть в дуополии (1.4.4)-(1.4.6) заданы параметры р, ц, К , Z , а , а производственная функция и функция оплаты труда имеют вид: у =с и +е1 , / = 1,2, z (ul,u2) = a -p(ul+u2), / = 1,2, где с , d ,a ,fi - положительные числа. Затраты Z на факторы производства используются фирмами без остатка. На каждую должность к в каждой фирме принимается хотя бы один индивид.
Кооперативное поведение фирм - работодателей на рынке труда
Рассмотрим кооперативную модель взаимодействия фирм-работодателей на региональном рынке труда. В этом случае стратегическое поведение фирм осуществляется при условии предварительного договора о совместных действиях с целью увеличения совокупной и индивидуальной прибыли через объединение усилий, обмена информацией и совместных действий. Заметим, что координация действий нескольких крупных фирм, в сфере поддающихся контролю параметров рынка, носят название картельных соглашений. Целью образования картели является получение в общих интересах прибыли путем устранения и регламентации конкуренции между участниками картели, а также путем подавления «внешней» конкуренции.
В случае же рассматриваемого регионального рынка труда цель кооперации (объединения в максимальную коалицию типа корпораций и др.) заключается в согласованных распределениях индивидов на работу по фирмам, назначении заработной платы и решения других вопросов, что, в конечном счете, должно привести к наиболее эффективному использованию работников, чем, например, в случае бескоалиционной игры.
Коллективные действия фирм на рынке (1.2.17) будем моделировать с помощью кооперативной игры в форме характеристической функции.
В этом случае имеем игру п лиц (фирм - работодателей), а коалицией будет любое подмножество S є 2N множества игроков Ni =(1,...,ri). Возможно образование следующих видов коалиций: SciV, (коалиция нескольких фирм), S = N. (максимальная коалиция фирм), S = 0 (пустая коалиция). Характеристическую функцию для кооперативной игры п лиц -фирм - работодателей построим исходя из общего определения (см. (2.1.4)): val T\INKS, если S zNx\ 1),(5) = -max PNi(uNl), если S = NX; О, если 5 = 0. Согласно обозначениям, принятым в предыдущем параграфе, характеристическая функция и, (5) запишется в виде: Pys(us, й 5), если SczNx; 1),(5) = ( ), если S = NX; О, если 5 = 0. Согласно лемме 2.1, введенная таким образом характеристическая функция всегда супераддитивна.
Таким образом, для исследования коалиционного взаимодействия фирм - работодателей в игре (1.2.17) определили кооперативную игру п лиц в форме характеристической функции (iV,,u,). (2.2.1)
Разработанные принципы оптимальности в кооперативных играх в форме характеристической функции указывают на способы определения компромиссных дележей общих доходов.
Наиболее распространенной концепцией «решения» в кооперативных играх является понятие с-ядра. Как показывают свойства характеристической функции (см. 1 главы II) в кооперативной игре с супераддитивной характеристической функцией наиболее выгодным для всех фирм является образование максимальной коалиции Nx.
Рассмотрим принцип оптимального поведения фирм, продиктованный концепцией с-ядра, применительно к коалиционному взаимодействию всех п фирм.
Если в кооперативной игре [N1,vi) возможно соглашение о распределении совокупной прибыли цС/У,) всей коалиции TV, (дележ ), при котором не существует дележа, доминирующего дележ , т0 дележ % устойчив в том смысле, что никакой коалиции S aNx не выгодно отделяться от коалиции TV, и распределять между членами этой коалиции выигрыш i i(S). Определение 2.3. Множество недоминируемых дележей игры (Л ц) называется ее с -ядром. С-ядро в игре (iV",,u,) обозначим символом С, (и,). Ясно, что С, (и, )(=,(«,), где Ех (и,) - множество дележей в игре (TV,, и,). Множество дележей, принадлежащих с-ядру, считается решением кооперативной игры, и по существу представляет собой множество приемлемых всеми фирмами дележей.
Вследствие жесткости условия, определяющего с-ядро, оно часто бывает пустым. В случае его пустоты не ясно, каким образом игроки должны себя вести. Однако из пустоты с -ядра не следует невозможность кооперации всех игроков Nx.
Тем не менее, при непустом с-ядре, рациональные игроки должны образовывать максимальную коалицию, поскольку только коалиция Nx может дать им доход, недоминируемый никакой другой коалицией. С точки зрения слияния фирм - работодателей в картельные соглашения такое поведение важно, поскольку только в этом случае объединение можно представить как единую систему, деятельность которой направлена на достижение одной цели. Этой целью является максимизация суммарной прибыли фирм.
Динамическая устойчивость ситуации равновесия по Нэшу в модели рынка труда в форме бескоалиционной игры
В предыдущем параграфе нами были построены следующие многошаговые задачи оптимального управления без фазовых ограничений (которые при выполнении условий теорем 3.1 и 3.2 являются эквивалентными к исходным динамическим моделям (3.1.1)-(3.1.6) и (3.1.7)-(3.1.12) фирм - работодателей и индивидов - наемных работников на рынке труда):\
Тогда, очевидно -г 1 ф л (/ + 1)є , к = 1,...,1. Следовательно, любой элемент множества Ф\ принадлежит шару радиуса г/ =max-s _1,(/ + l)s с центром в начале координат, а это означает, что множество допустимых управлений Ф\ ограничено. По построению множество Ф\ замкнуто и непусто. Из компактности непустых множеств Ф], / = 1,...,71 следует компактность и непустота декартова произведения Ф)х...хФ].
Так как начальное состояние (3.2.2) фиксировано, а все остальные состояния и),...,и] можно выразить через управления ф],...,ф;г, то функционал качества (3.2.4) можно представить как РиЩ, ф),...,фП. Функция / непрерывна на множестве R1 в виду ее линейности по и[Гх и ф . Функции прибыли также непрерывны на множестве R1 как линейные комбинации непрерывных функций. Тогда полученный функционал качества РхАи0,, ф),...,фП есть непрерывная функция / переменных на множестве ф) х...хФ;г. Поскольку множество Ф) х...хф[ непустой компакт, то согласно известной из анализа теоремы Вейерштрасса существует набор управлений ф) ,...,ф[ , доставляющий наибольшее возможное значение функционалу качества (3.2.4). Теорема доказана.
Теорема 3.4. Пусть в задаче у-го индивида (3.1.7)-(3.1.12) выполнено условие В .=(р , c j)-(p , 6;}-a;7 a;.maxz;, / = 0,1,...,7, функции потребления hj, / = 1,..., п непрерывны по v j и р , тогда задача оптимального управления (3.2.5)-(3.2.8) разрешима.
Доказательство. Аналогично доказательству компактности множества Ф\ в теореме 3.3 можно показать, что для любого / = 1,...,7 и jsN множества допустимых управлений Ч . непустой компакт, если выполнено условие В О maxzj.
Из компактности непустых множеств 4 ., t = 1,..., Г следует компактность и непустота декартова произведения Ч .х...хЧ . Так как начальное состояние (3.2.6) фиксировано, все остальные состояния v .,...,vj можно выразить через управления, то подставляя найденные выражения для vj,...,vj в (3.2.8), получаем функционал качества P2j(v% V/ )) (см.(3.2.8)), зависящий только от управления и начального состояния Ду, ц/ ,...,\/П. Так как функции /гу непрерывны на множестве R1 по условию теоремы, то функции прибыли Pyiy], \/ ,...,ц/П также непрерывны на множестве Ч . х...хЧ как линейные комбинации непрерывных функций. Поскольку множество Ч х. хЧ непустой компакт, то существует набор управлений ф) ,...,ф[ , доставляющий наибольшее возможное значение функционалу качества (3.2.8). Теорема доказана. Бескоалиционную игру (3.2.9)-(3.2.12) обозначим символом Г(Ч\Т)=(Ї{Ц\Т),№Х::,{РХ:), О.2.ІЗ) где (г,Г) - символическое обозначение системы (3.2.9)-(3.2.10). Процесс функционирования во времени рынка труда с помощью игровой модели (3.2.9)-(3.2.12) представляется следующим образом. Каждый участник рынка независимо от других выбирает свою стратегию ,() = {1»-»«! }» &tseWs t = l - T (s = \,...,n + m). В результате складывается ситуация () = (со, (),..., оэ„+т(-)}, которая порождает в силу (3.2.9)-(3.2.10) п + т траекторий так что состояние рынка труда в момент времени t характеризуется вектором л = {лі,-Х+4 Траектории л( ) = {Лі(0 —»Л„+«( )} (или процессу (T(-),CD(-))) соответствуют п + т чисел, равных прибылям участников рынка труда, получаемым вдоль этой траектории л(0 на всем отрезке времени [0,Г]: Р. ЫМ-)) = Ps ( ,03,(.),..,0), 0) = PS (л(0) = Р, (л,0,-, л„+гаО) =
Для изучения конкуренции отдельно между фирмами - работодателями, а также между индивидами - наемными работниками можно определить две подигр Г,(и0,Г) и Г2(у,Т) игры Г(г\,Т).
Бескоалиционная игра п лиц Г,(и0,Г) (между фирмами) описывается следующими соотношениями: /=о L =i
Для описания эффективного поведения участников рынка труда в динамической модели Г(ц,Т) мы, как и в статическом случае (см. 3 главы I), будем применять принцип равновесия по Нэшу, который имеет достаточно содержательную экономическую трактовку - как правило оптимального поведения участников рынка труда. При формализации взаимодействия участников рынка труда в форме кооперативных игр подобными характеристиками обладают такие принципы оптимальности как принцип недоминируемости дележей (с-ядро), аксиоматическое определение оптимальности поведения (вектор Шепли), примененные нами в статических моделях главы II.
Для изучения динамических свойств, присущих всем принципам оптимального поведения в разных моделях функционирования рынка труда во времени, их мы обозначим одним символом Q. Решение соответствующей задачи, порождаемое этим принципом оптимальности Q, будем обозначать Q(r\,T). В зависимости от содержательного смысла принципа оптимальности, природа множества Q(r\,T) может быть различной. Например, в модели Г(г),Г) это есть множеств равновесных по
Нэшу траекторий, в моделях (3.1.1)-(3.1.12) это есть множество равновесных по Вальрасу траекторий, в рассматриваемых в 3 кооперативных вариантах игры - множество недоминируемых дележей (с-ядро) или вектор Шепли и т.д. После того как изучены вопросы существования таких решений (непустоты множества Q(r\,Т)) в динамических моделях возникает вопрос об их реализуемости вдоль порожденных принципом оптимальности Q траекторий.
Как известно [4] в классических задачах оптимального управления условие реализуемости оптимальной траектории обеспечивается принципом оптимальности Р. Беллмана, на основе которого был разработан метод динамического программирования. В более общих (не классических) задачах конфликтного управления этот принцип не применим (см., например [39]). В 1976 г. Л.А. Петросяном [38] был предложен принцип динамической устойчивости в качестве аналога упомянутого принципа Р. Беллмана в кооперативных дифференциальных играх, который может рассматриваться как механизм реализуемости (состоятельности во времени) решения игры вдоль оптимальной траектории.
