Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Статическая модель рынка труда
1. Оптимизационные модели участников рынка труда и их содержательный анализ 17
2. Статическая модель рынка труда и его равновесное состояние 28
3. Теорема существования равновесного состояния на рынке 94. 33
4. Оптимальное поведение работодателей для производственной функции Кобба-Дугласа 37
5. Оптимальное поведение индивидов с квадратической функцией полезности 44
6. Пример существования равновесия на рынке труда 49
Глава II. Предельный анализ и формирование равновесных цен
1. Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели фирмы. 53
2. Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели индивида 64
3. Формирование равновесных цен на рынке труда 77
4. Алгоритм нахождения равновесного состояния на рынке ЯІ 87
Глава III. Динамическая модель рынка труда. Существование и признаки оптимальных траекторий
1. Построение динамической модели рынка труда 94
2. Формализация понятия равновесия на рынке M[0J] 101
3. Изучение структуры фазовых ограничений 107
4. Упрощение фазовых ограничений в задачах участников рынка 116
5. Условие существования и признаки оптимальных траекторий в задачах участников рынка 120
Глава IV. Вычисление оптимальных и равновесных во времени траекторий для динамической модели рынка труда
1. Вычисление оптимальных траекторий в задаче фирмы в классе синтезирующих управлений. Алгоритм 126
2. Вычисление оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. Алгоритм 134
3. Равновесные траектории рынка труда. Существование и устойчивость во времени 143
4. Динамически устойчивая регуляризация Є -равновесной траектории. Алгоритм 155
5. Исследование рынка труда в рамках угольных предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО СУЭК 165
Литература 177
- Оптимальное поведение работодателей для производственной функции Кобба-Дугласа
- Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели индивида
- Упрощение фазовых ограничений в задачах участников рынка
- Вычисление оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. Алгоритм
Введение к работе
Большую роль в математических моделях рынка, как сферы столкновения интересов его участников, играет понятие экономического равновесия, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно указывает контуры идеального функционирования экономического организма, обеспечивающего эффективное распределение ресурсов между экономическими агентами при децентрализованном принятии решений. Концепция равновесия в значительной степени вобрала в себя мировой опыт развития рыночной системы и может быть полезна на практике для поиска путей развития и упрочения рыночных отношений в различных сегментах экономики. К последним, относится и рынок труда, который в данное время характеризуется нестабильностью и слабой эффективностью. Этим и объясняется актуальность выбранной темы диссертационной работы.
В диссертационной работе изучается концепция равновесия на рынке труда с помощью математических методов. Ее целью является разработка математических моделей развития рынка труда, позволяющих обосновать существование и найти необходимые и достаточные признаки равновесного состояния рынка труда, а также изучить условия его устойчивого функционирования.
Новизна диссертационного исследования заключается в разработке новой методологии исследования рынка труда и объясняется отсутствием в научной литературе как таковых математических моделей рынка труда, как в статическом, так и в динамическом аспектах и вытекающей отсюда новизной всех полученных результатов.
Прежде чем изложить содержание глав работы, приведем краткий обзор основных результатов, касающихся темы данного диссертационного исследования. Вопросы регулирования рынка труда до недавнего времени преимущественно исследовались зарубежными авторами [46-66], причем модели предложения и спроса на труд рассматривались автономно.
Базовая статическая модель предложения труда была разработана Л. Роббинсом [63]. Согласно этой модели, индивид располагает фиксированным начальным запасом свободного времени, часть которого должна быть использована на оплачиваемый труд, при этом он максимизирует функцию полезности, аргументами которой являются объем благ и время досуга. Бюджетные ограничения уравнивают стоимость потребляемого объема благ и сумму заработной платы и нетрудового дохода. Основным результатом, полученным с помощью данной модели, является то, что максимизирующее индивидуальную полезность количество часов работы соответствует точке, в которой предельная норма замещения досуга благами равна заработной плате, предлагаемой рынком труда. Исследования в данном направлении продолжили Келли М.С., Килингсворт М. Р., Моффит Р., Пенсавел Дж.
Существует ряд моделей предложения труда, учитывающих различия между отдыхом и производством внутри домохозяйства [48,52,53,57]. К последним относится модель Р. Гронау в которой индивид стремится максимизировать полезность от досуга и благ, произведенных в домашнем хозяйстве и приобретенных на средства, получаемые за услуги труда на рынке, согласно этой модели домохозяйство максимизирует производство благ в точке, где норма замещения товаров временем равна рыночной заработной плате; модель оптимального распределения времени Г. Беккера, в которой предполагается, что индивид получает полезность от потребления базовых благ, или видов деятельности, которые в качестве фактора включают не только товары, но и время, в результате, целевая функция индивида максимизируется когда отношение предельных полезностей от различных базовых благ, равно отношению издержек, связанных с их получением. Вопросы, посвященные изуче 6
нию подобных моделей, освещены также в работах Лейарда Р., Митчелл О., Филдса Г. С. и др.
Известны, так называемые, семейные модели предложения труда [58,62]. Из них можно выделить "шовинистическую модель", в которой доминирующий член семьи независимо принимает решение о предложении труда, а остальные члены семьи принимают свои решения, рассматривая его заработную плату как часть нетрудового дохода; модели, предполагающие максимизацию общей семейной функции полезности или индивидуальной полезности при наличии семейных бюджетных ограничений.
Кроме этого, необходимо отметить модели компенсационных различий в заработной плате [64, 65], которые основываются на предпосылке о том, что при выборе рабочего места, работник максимизирует свою полезность от занятости на этом рабочем месте с учетом всех его характеристик, а не только дохода (см. напр. модель Франка [49]).
Динамика в моделях предложения труда, в основном, рассматривается с точки зрения воспроизводства человеческого капитала в течение жизненного цикла [47, 59].
Широко известной моделью спроса на рынке труда является неоклассическая модель [46, 49, 51]. В ней принимается допущение о том, что фирмы используют в производстве два разнородных фактора труд и капитал. Выбирая уровень производства, определяющий спрос фирмы на труд и капитал, фирмы стремятся максимизировать прибыль. В результате анализа этой модели, получено, что объем нанимаемого труда в зависимости от заработной платы определяется через предельный продукт труда. Исследования спроса в рамках данной модели поводились Бишепом Дж., Брауном Ч., Мин-сером Я., Смитом Р. С, Хамермешем Д. и д.р.
Существуют модели описательного типа [46, 50,54, 55, 66]: модель выбора между численностью работников и временем работы, модель, учиты 7
вающая оплату за сверхурочную работу, модель влияния на спрос инвестиций в рабочую силу.
До перехода к рыночной экономике в нашей стране математические исследования отдельных вопросов экономики труда проводились для плановой экономики. Тем не менее, в последние десятилетия в отечественной научной литературе появились работы охватывающие элементы рынка труда [2, 4, 7, 8, 10-13,16, 17, 19,22,23, 26, 31,39, 41,42, 45].
Несмотря на расширение круга исследований, практически отсутствуют работы математического характера, а проводимый анализ спроса и предложения на рынке труда большей частью имеет вербальный характер. Рынок труда преимущественно понимается на содержательном уровне, исследуется с применением графических построений, некоторых формул вычислительного или описательного характера, т.е. не строится строгая математическая модель рынка труда как такового.
Для исследования сугубо рыночных проблем, связанных с понятием равновесия, необходимо построение математических моделей, адекватных реальным условиям и позволяющих изучить (исследовать) различные вопросы, связанные с рынком труда (существование состояния равновесия, вопросы его реализуемости и т. д.)
Диссертационные исследования проводились с использованием методологии математической экономики (подход Вальраса), известных из анализа теорем Вейерштрасса, Брауэра, Куна-Таккера, Коши-Пеано и др., теории оптимального управления и динамического программирования. Кроме этого, в работе применялась новая концепция моделирования временного равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости, впервые предложенного Л. А. Петросяном в работе [33], и получившая развитие во многих областях прикладной математики.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, формулируются следующим образом:
s
- разработанная статическая модель рынка труда представлена в виде взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников рынка, что позволяет формализовать понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия, доказать существование равновесного состояния, а также найти условия полной занятости;
- разработанный метод вычисления равновесного состояния рынка труда, основанный на сходящемся процессе формирования цен труда, обеспечивает нахождение такой системы цен, при которой спрос равен предложению с любой заданной точностью;
- динамическая модель рынка труда формализована в виде совокупности задач оптимального управления участников рынка и позволяет установить существование оптимального управления участников рынка труда, а также найти необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка;
- принцип динамической устойчивости позволяет исследовать вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда и находить траекторию цен труда, обеспечивающую его динамически устойчивое є -равновесное функционирование.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 184 страницы машинописного текста
В первой главе рассматривается статическая математическая модель рынка труда с т фирмами, п индивидами, / видами труда и г типами товаров, формализованы понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия на этом рынке. Найдены необходимые условия существования состояния полной занятости, а также доказана теорема о существовании равновесного состояния на рынке. Изучено оптимальное поведение работодателей и индивидов для конкретных классов целевых функций.
В § 1 описывается задача фирмы и индивида на рынке труда. Задача фирмы отличается от известных моделей тем, что в ней учтено существова 9
ниє многих категории труда и имеются ограничения затрат на факторы про-изводства. На основе гедонистической теории заработной платы строится новая модель индивида на рынке, согласно которой индивид максимизирует полезность от занятости на рабочем месте при условии, что его доход, частью которого является заработок, превышает стоимость выбранного уровня благосостояния. При этом все время, имеющееся в распоряжении индивида, делится на труд и досуг.
В § 2 описывается статическая модель рынка труда, как совокупность взаимосвязанных общими (эндогенными) параметрами задач всех фирм и индивидов. Вводится понятие полной занятости, отражающее ситуацию в которой все индивиды находятся на некотором допустимом уровне благосостояния, а функционирование фирм осуществляется при приемлемых условиях, причем все вакансии заняты и вместе с тем каждый индивид востребован в производстве. Доказывается, что "рациональный" выбор приемлемого уровня благосостояния всеми индивидами и превышение величины суммарного (по всем фирмам) фонда заработной платы над суммарным (по всем индивидам) необходимым трудовым доходом являются необходимыми условиями существования состояния полной занятости.
В результате анализа состояния полной занятости устанавливается его нестабильность и необходимость введения понятия равновесия, как состояния, отклонение от которого не выгодно ни одному из участников рынка. Для каждой фирмы и индивида формализованы соответственно понятия спроса и предложения на труд. Введенное в этом параграфе понятие равновесия для рынка труда соответствует известной концепции равновесия по Вальрасу для рынка товаров потребления [1], когда экономическое равновесие определяется посредством совокупного спроса и предложения на товары.
В § 3 исследуется вопрос существования равновесного состояния рынка труда. Доказывается, что существуют оптимальные решения в задачах фирм и индивидов (в случае, если производственные функции фирм и функции по 10
лезности индивидов непрерывны по своим аргументам, а стоимость приемлемого уровня благосостояния не больше суммы "нетрудового" дохода и заработка, который индивид может получить, работая на самой высокооплачиваемой работе все имеющееся в его распоряжении время). Далее с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке доказывается, что найдется такой вектор цен, при котором равны совокупный спрос и предложение (определяемые посредством оптимальных решений задач участников рынка).
В § 4 изучается оптимальное поведение работодателей в том случае, когда производство описывается функцией Кобба-Дугласа. Найдено условие, с помощью которого можно оценить рентабельность производства при заданной системе цен. В случае, когда производство неубыточно спрос фирмы на определенный вид труда прямо пропорционален эластичности этого вида труда и обратно пропорционален его цене.
В § 5 изучается оптимальное поведение индивидов с квадратичной функцией полезности. Приводится способ вычисления предложения труда индивида, в случае, когда известны все параметры рынка.
В § 6 приводится пример существования равновесного состояния на рынке труда Используя результаты, полученные в §§ 4,5, для конкретного рынка найдено и проверено необходимое и достаточное условие равновесия.
Вторая глава посвящена исследованию взаимовлияния основных факторов рынка в моделях участников рынка. Изучен процесс формирования цен труда и доказана теорема о сходимости этого процесса к вектору равновесных цен. Разработан алгоритм нахождения равновесного состояния на статическом рынке труда.
В § 1-2 с помощью методов предельного анализа исследуется реакция спроса на труд по отношению к изменениям цены труда, цены продукции и изменению фонда затрат на факторы производства в модели фирмы; проводится анализ влияния изменения цен труда, цен товаров, общего количества времени и уровня благосостояния индивидов на предложение труда. В § 3 описывается процесс изменения заработной платы на рынке труда в терминах дифференциальных уравнений, согласно которому заработная плата по некоторому виду труда растет, если рыночный спрос на этот вид труда превышает предложение, если же предложение превышает спрос на некоторый вид труда, то его цена падает. Доказывается сходимость этого процесса к вектору равновесных цен, при условии, что избыточный спрос на определенный вид труда увеличивается, если заработная плата по нему неизменна, а цены других видов труда возросли. Условие теоремы найдено с помощью предельных величин, полученных в двух предыдущих параграфах. В терминах разностных уравнений строится аналог динамики процесса регулирования цен труда в случае дискретного времени.
В § 4 построен численный метод, позволяющий найти такой вектор цен труда, при котором отклонение от равновесного состояния не превосходит заданной величины. Сначала решаются оптимизационные задачи всех участников с заданным начальным вектором цен труда. Проверяется условие равенства рыночного спроса и предложения, если оно нарушено, то используется дискретный аналог процесса формирования равновесных цен, с помощью которого вектор цен труда корректируется. Пересчитывается оптимальное решение задач участников с обновленным вектором цен труда. Продолжение такой процедуры и позволяет найти такие цены труда, при которых равновесное состояние достигается с любой заданной точностью. Работоспособность метода проверяется на примере.
Третья глава посвящена построению и исследованию динамической модели рынка труда с дискретным временем, исследованию вопросов существования, необходимых и достаточных признаков оптимальности траекторий развития рынка труда
В § 1 описываются динамические модели фирм и индивидов и соответствующая динамическая модель рынка труда. В § 2 формализуются понятия спроса и предложения в текущем состоянии как для фирм, так и для индивидов. На множестве допустимых траекторий динамической модели рынка труда определяются понятия слабой и сильной равновесных траекторий, а также є -равновесной траектории.
В § 3 изучается структура фазовых ограничений задач оптимального управления фирм и индивидов с целью их упрощения.
В § 4 получена теорема об условиях, при которых исходные задачи с фазовыми ограничениями эквивалентны задачам без фазовых ограничений. Оказывается, что если у фирмы существует неотрицательный фонд оплаты труда, а трудовой доход, необходимый для достижения определенного уровня благосостояния, не превосходит максимально возможного заработка индивидов, то задачи участников рынка сводятся к более простым задача оптимального управлении без фазовых ограничений. Для доказательства этого факта установлена справедливость ряда вспомогательных утверждений, сформулированных в виде лемм.
В § 5 доказано (при выполнении некоторых, достаточнбо несложных условий) существование оптимального управления в задачах фирм и индивидов, а также найдены необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий, имеющие содержательную экономическую интерпретацию.
В четвертой главе исследуются вопросы вычисления оптимальных траекторий участников рынка труда. Проводится анализ равновесных траекторий рынка с точки зрения их состоятельности во времени.- Разработан алгоритм динамически устойчивой регуляризации є-равновесной траектории рынка труда.
В § 1 приводится процедура, которая позволяет поэтапно, за конечное число итераций построить оптимальные синтезирующие управления и соответствующую им оптимальную траекторию в задаче фирмы с любой заданной точностью. В пространстве состояний фирмы строится сетка допустимых узлов для каждого момента времени /, аналогичная сетка строится в про 13
странстве допустимых управлений. Для нахождения оптимальных синтезирующих управлений применяется метод динамического программирования с использованием необходимых и достаточных условий оптимальности траекторий в задаче фирмы, найденных в предыдущей главе.
В § 2 описывается алгоритм вычисления оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. С помощью специальных построений, определяется дискретное множество допустимых состояний индивида и допустимых управлений в текущем состоянии для каждого момента времени t. Используя необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий в задаче индивида, находятся оптимальные управления и соответствующие им оптимальные траектории.
В § 3 в качестве механизма реализации слабой, сильной и є-равновесной траекторий предлагается концепция динамической устойчивости. Приводится формальное определение принципа динамической устойчивости и ее обоснование для рассматриваемой модели рынка труда Общая идея динамической устойчивости заключается в том, что траектория, построенная в начальный момент времени на весь период как равновесная на всем интервале времени, должна удовлетворять тому же принципу оптимальности в каждый момент времени вплоть до конечного. Формально это означает, что, если траектория, как последовательность оптимальных решений задач участников, вычисленных при определенной последовательности цен труда, равновесна на интервале [0,Г], то ее сужение на любом промежутке [/, Т] (/ = 1,..., Г) также является равновесной траекторией. Доказаны теоремы о существовании слабо, сильно и є -равновесной траекторий. Доказан ряд теорем о динамической устойчивости равновесных траекторий.
В § 4 исследуется понятие є -равновесия, как наиболее адекватное к динамическому процессу функционирования рынка труда. Предлагается метод динамически устойчивой регуляризации s-равновесной траектории рынка труда. Под такой регуляризацией понимаются преобразования, проводимые в момент нарушения свойства динамической устойчивости є -равновесной траектории с целью восстановления этого свойства. Метод основывается на изменении спроса и предложения в момент нарушения динамической устойчивости є -равновесной траектории, путем корректировки последовательности векторов цен труда. Приводится алгоритм регуляризации, использующий алгоритмы вычисления оптимальных траекторий в задачах фирм и индивидов и алгоритм нахождения равновесного состояния на статическом рынке труда,
В §5 с помощью разработанной методологии исследуется рынок труда шахтеров в рамках угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании": шахт им. СМ. Кирова, им. 7 Ноября, «Комсомолец», «Полысаевская», «Октябрьская», «Красноярская», «Егозовская», «Колмогоровская». При условном разделении всех работников шахт на четыре группы (машинисты, проходчики, слесари, горнорабочие) вычислен вектор равновесных цен труда для статического случая. Проанализированы основные показатели шахт и уровень месячного трудового дохода работников при равновесном векторе цен труда. Исследовано динамическое функционирование рынка труда на интервале времени [0,4j, где временной лаг равен одному году. С помощью алгоритма регуляризации найдена последовательность цен труда обеспечивающая динамически устойчивое равновесное развитие рынка труда шахтеров угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО СУЭК.
Таким образом, основные результаты работы состоят в следующем: 1. Построена новая математическая модель поведения индивида - участника рынка труда, и на ее основе изучен вопрос рационального распределения времени на досуг и трудовую деятельность согласно с индивидуальными предпочтениями относительно видов труда. Разработана статическая модель рынка труда, как совокупность взаимосвязанных общими (эндогенными) параметрами задач всех фирм и индивидов, формализованы понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия. 2. Установлено, что "рациональный" выбор приемлемого уровня благосостояния всеми индивидами и превышение величины суммарного (по всем фирмам) фонда заработной платы над суммарным (по всем индивидам) необходимым трудовым доходом являются необходимыми условиями полной занятости. Доказано, что выполнение условий полной занятости, непрерывность целевых функций участников рынка по всем аргументам, а также непрерывность спроса и предложения труда (определяемые посредством оптимальных решений задач участников рынка) относительно его цены является достаточным условием существования системы цен труда, обеспечивающей равновесное состояние рынка труда
3. Изучено влияние основных факторов рынка на спрос и предложение труда; получены матричные уравнения для фирм и индивидов, с помощью которых можно оценить реакцию рынка труда на колебания заработной платы, цен продукции и других экзогенных параметров.
4. Формализован процесс регулирования заработной платы как основного фактора равновесия на рынке труда, согласно которому заработная плата по некоторому виду труда растет, если рыночный спрос на этот вид труда превышает предложение; если же предложение превышает спрос на некоторый вид труда, то его цена падает. Доказана сходимость этого процесса к вектору равновесных цен, при некоторых, легко проверяемых условиях, означающих, что избыточный спрос на определенный вид труда увеличивается, если заработная плата по нему неизменна, а цены других видов труда возросли. Разработан алгоритм, позволяющий, за конечное число шагов, найти такой вектор цен труда, при котором отклонение от равновесного состояния не превосходит заданной величины.
5. Построена и исследована динамическая модель рынка труда на конечном временном интервале, в которой установлено существование оптимального управления в задачах участников рынка труда; найдены необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка; с применением метода динамического программирования разработана схема вычисления оптимальных траекторий участников рынка для заданной системы цен труда.
6. С помощью принципа динамической устойчивости исследован вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий и разработан алгоритм динамически устойчивой регуляризации Б -равновесной траектории развития рынка труда, который основывается на изменении спроса и предложения в момент нарушения динамической устойчивости, путем корректировки последовательности векторов цен труда.
7. Разработанная методика использована для оценки рынка труда в рамках угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании". При условном разделении всех работников шахт на четыре группы (машинисты, проходчики, слесари, горнорабочие) и некоторых предположениях относительно структуры рынка труда вычислен вектор равновесных цен труда для статического случая, равный w = (81,79 65,23 5,4 42,48), где компоненты измеряются в рублях в час. Проанализированы основные показатели шахт и уровень месячного трудового дохода работников при равновесном векторе цен труда. Исследовано динамическое функционирование рынка труда на интервале времени [0,4J, где временной лаг равен одному году. С помощью алгоритма регуляризации найдена последовательность цен труда w = {и °, wl , w2 , w3 , w4 ), где
w° =(81,79 65,23 53,4 42,48), w1 =(82,9 66,17 53,51 42,5),
w2 =(86,72 69,74 59,3 46,88), w3 = (92,81 73,92 61,22 45,08),
w4 =(95,12 75,6 63,91 50,43),
обеспечивающая динамически устойчивое равновесное развитие рынка труда
шахтеров угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО
"Сибирской угольной энергетической компании".
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [79-90].
Оптимальное поведение работодателей для производственной функции Кобба-Дугласа
Обозначим задачу /-го индивида (1.1.4)-(1.1.6) — символом Р . Из постановки задачи Ч видно, что целью индивида является максимизация полезности от распределения труда. Условие (1.1.5) говорит о том, что доход индивида, складывающийся из его заработка, средств от продажи начального запаса товаров и доли от прибыли фирм, должен быть не меньше суммы необходимой для достижения им определенного уровня благосостояния. Согласно неравенству (1.1.6) суммарное время работы не превышает общего времени, имеющегося в распоряжении индивида.
Вектор S =( ,...,5/1] является допустимым решением задачи Ч при заданных значениях параметров w, р, Ъ1, у , с , 7", если для него выполняются условия (1.1.5)-(1.1.6). Допустимое решение также будем называть допустимым состоянием индивида Решение задачи индивида зависит от всех параметров, входящих в задачу и в частности от ставки заработной платы S =S (w) . Допустимое решение S (w) = (S{ ( ),...,5/ (w)), доставляющее максимум функции (1.1.4), будем называть оптимальным решением задачи Ч". Вектор S(w) = \Sl(w),...,S"(w)J, составленный из допустимых решений задач F , / = 1,...,/2, будем называть допустимым состоянием индивидов. Прежде чем формализовать собственно рынок труда, обоснуем адекватность моделей Q и f к условиям функционирования реального рынка труда и проведем оценку параметров этих моделей. Согласно (1.1.1) фирма стремится максимизировать прибыль. Несмотря на то, что существуют другие подходы к определению цели фирмы [14, 18, 34], более общей считается максимизация прибыли от реализации своей продукции [40, 46], поскольку остальные модели можно получить модифицируя последнюю. Производственная функция в соотношении (1.1.2) зависит от капитала и труда, так как они являются главными факторами при рассмотрении рынка труда [34, 40, 46]. Поскольку существуют многие категории труда (квалифицированный и не квалифицированный, тяжелый, интеллектуальный и т.д.), в построенных микромоделях учитывается зависимость производственной функции фирмы от различных видов труда. В реальных условиях, ресурсы производства ограничены и производитель должен распределить средства на оплату труда и капитала Этому положению соответствует ограничение (1.1.3).
В экономической теории труда считается [46, 52, 60], что спектр решений, связанных с поведением индивида на рынке труда, делится на две основные части. Первая часть включает в себя принципиальные решения о выходе на работу и решения о продолжительности рабочего времени. Вторая часть принимается индивидом, который уже решился на поиски оплачиваемой работы: его занимают вопросы определения конкретного рабочего места или сферы деятельности [46 ,51, 52]. Поэтому в работах, посвященных моделированию предложения на рынке труда, часто отдельно рассматриваются две задачи: по поводу выбора решения труд/досуг и о выборе рода деятельности [40, 46, 57 и др.]. В задаче (1.1.4)-(1.1.6) объединены оба подхода к моделированию поведения индивида на рынке и учтены основные аспекты, влияющие на предложение труда. Согласно теории принятия решений о работе по найму [48], индивид распределяет свое предпочтение между досугом и денежным доходом, однако, существует гедонистический подход к анализу поведения индивидов [64], предполагающий, что главной мотивацией к труду является максимизация полезности. Делая допущение о том, что индивид стремится максимизировать полезность от распределения труда, мы учитываем его заинтересованность как в денежном, так и в неденежном аспекте своей работы, предпочтения к виду труда, влияние положительных и отрицательных характеристик работы на решение о предложении рабочей силы (конкретные виды функций полезности будут рассмотрены в 4). Таким образом, выбор функции полезности (в качестве критерия оптимальности) представляется вполне обоснованным и адекватным мотивации индивида на реальном рынке труда
Поскольку анализ побудительных мотивов к труду невозможно провести вне контекста спроса на товары, то следующей предпосылкой модели является существование приемлемого уровня благосостояния для каждого индивида. Вводя в ограничения задачи Ч? неравенство (1.1.5) мы ограничиваем снизу суммарный доход, состоящий из заработка и "нетрудового" дохода, с тем, чтобы индивид мог достичь уровня благосостояния не ниже, чем им же определенный.
Согласно условию (1.1.6) суммарное время работы ограничено совокупным временем, в рамках которого реализуется предложение труда. Далее проведем оценку параметров моделей участников рынка труда. В задаче фирмы (1.1.1)-(1.1.3) параметры w, р и v являются эндогенными, a Z — экзогенным параметром, определяющимся самой фирмой. Естественно предположить, что существует ненулевой фонд оплаты труда, поскольку без затрат труда невозможно производство, то есть Для задачи индивида (1.1.4)-( 1.1.6) эндогенными являются параметры w, р, Ь , у , а с и V относятся к экзогенным параметрам. Последние определяются индивидом, исходя из конъюнктуры рынка, предпочтения к досугу, величины нетрудового дохода и начальных запасов в определенных рамках. Обозначим cmin є Rr - законодательно определенную потребительскую корзину, то есть минимальный набор продуктов питания, непродовольственных товаров и услуг, необходимых для сохранения здоровья человека и обеспечения его жизнедеятельности. Стоимость приемлемого уровня благосостояния для каждого индивида должна быть не меньше стоимости потребительской корзины Вместе с тем, стоимость приемлемого уровня благосостояния определяется индивидом самостоятельно. С точки зрения существования оптимального решения задачи индивида, целесообразно, чтобы величина (p,cl) была не больше суммы "нетрудового" дохода и заработка, который индивид может получить, работая на самой высокооплачиваемой работе все имеющееся в его распоряжении время.
Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели индивида
До перехода к рыночной экономике в нашей стране математические исследования отдельных вопросов экономики труда проводились для плановой экономики. Тем не менее, в последние десятилетия в отечественной научной литературе появились работы охватывающие элементы рынка труда [2, 4, 7, 8, 10-13,16, 17, 19,22,23, 26, 31,39, 41,42, 45].
Несмотря на расширение круга исследований, практически отсутствуют работы математического характера, а проводимый анализ спроса и предложения на рынке труда большей частью имеет вербальный характер. Рынок труда преимущественно понимается на содержательном уровне, исследуется с применением графических построений, некоторых формул вычислительного или описательного характера, т.е. не строится строгая математическая модель рынка труда как такового.
Для исследования сугубо рыночных проблем, связанных с понятием равновесия, необходимо построение математических моделей, адекватных реальным условиям и позволяющих изучить (исследовать) различные вопросы, связанные с рынком труда (существование состояния равновесия, вопросы его реализуемости и т. д.)
Диссертационные исследования проводились с использованием методологии математической экономики (подход Вальраса), известных из анализа теорем Вейерштрасса, Брауэра, Куна-Таккера, Коши-Пеано и др., теории оптимального управления и динамического программирования. Кроме этого, в работе применялась новая концепция моделирования временного равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости, впервые предложенного Л. А. Петросяном в работе [33], и получившая развитие во многих областях прикладной математики.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, формулируются следующим образом: - разработанная статическая модель рынка труда представлена в виде взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников рынка, что позволяет формализовать понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия, доказать существование равновесного состояния, а также найти условия полной занятости; - разработанный метод вычисления равновесного состояния рынка труда, основанный на сходящемся процессе формирования цен труда, обеспечивает нахождение такой системы цен, при которой спрос равен предложению с любой заданной точностью; - динамическая модель рынка труда формализована в виде совокупности задач оптимального управления участников рынка и позволяет установить существование оптимального управления участников рынка труда, а также найти необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка; - принцип динамической устойчивости позволяет исследовать вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда и находить траекторию цен труда, обеспечивающую его динамически устой чивое є -равновесное функционирование. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 184 страницы машинописного текста В первой главе рассматривается статическая математическая модель рынка труда с т фирмами, п индивидами, / видами труда и г типами товаров, формализованы понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия на этом рынке. Найдены необходимые условия существования состояния полной занятости, а также доказана теорема о существовании равновесного состояния на рынке. Изучено оптимальное поведение работодателей и индивидов для конкретных классов целевых функций. В 1 описывается задача фирмы и индивида на рынке труда. Задача фирмы отличается от известных моделей тем, что в ней учтено существованиє многих категории труда и имеются ограничения затрат на факторы про-изводства. На основе гедонистической теории заработной платы строится новая модель индивида на рынке, согласно которой индивид максимизирует полезность от занятости на рабочем месте при условии, что его доход, частью которого является заработок, превышает стоимость выбранного уровня благосостояния. При этом все время, имеющееся в распоряжении индивида, делится на труд и досуг. В 2 описывается статическая модель рынка труда, как совокупность взаимосвязанных общими (эндогенными) параметрами задач всех фирм и индивидов. Вводится понятие полной занятости, отражающее ситуацию в которой все индивиды находятся на некотором допустимом уровне благосостояния, а функционирование фирм осуществляется при приемлемых условиях, причем все вакансии заняты и вместе с тем каждый индивид востребован в производстве. Доказывается, что "рациональный" выбор приемлемого уровня благосостояния всеми индивидами и превышение величины суммарного (по всем фирмам) фонда заработной платы над суммарным (по всем индивидам) необходимым трудовым доходом являются необходимыми условиями существования состояния полной занятости.
В результате анализа состояния полной занятости устанавливается его нестабильность и необходимость введения понятия равновесия, как состояния, отклонение от которого не выгодно ни одному из участников рынка. Для каждой фирмы и индивида формализованы соответственно понятия спроса и предложения на труд. Введенное в этом параграфе понятие равновесия для рынка труда соответствует известной концепции равновесия по Вальрасу для рынка товаров потребления [1], когда экономическое равновесие определяется посредством совокупного спроса и предложения на товары.
Упрощение фазовых ограничений в задачах участников рынка
В 2 описывается алгоритм вычисления оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. С помощью специальных построений, определяется дискретное множество допустимых состояний индивида и допустимых управлений в текущем состоянии для каждого момента времени t. Используя необходимые и достаточные условия оптимальности траекторий в задаче индивида, находятся оптимальные управления и соответствующие им оптимальные траектории.
В 3 в качестве механизма реализации слабой, сильной и є-равновесной траекторий предлагается концепция динамической устойчивости. Приводится формальное определение принципа динамической устойчивости и ее обоснование для рассматриваемой модели рынка труда Общая идея динамической устойчивости заключается в том, что траектория, построенная в начальный момент времени на весь период как равновесная на всем интервале времени, должна удовлетворять тому же принципу оптимальности в каждый момент времени вплоть до конечного. Формально это означает, что, если траектория, как последовательность оптимальных решений задач участников, вычисленных при определенной последовательности цен труда, равновесна на интервале [0,Г], то ее сужение на любом промежутке [/, Т] (/ = 1,..., Г) также является равновесной траекторией. Доказаны теоремы о существовании слабо, сильно и є -равновесной траекторий. Доказан ряд теорем о динамической устойчивости равновесных траекторий.
В 4 исследуется понятие є -равновесия, как наиболее адекватное к динамическому процессу функционирования рынка труда. Предлагается метод динамически устойчивой регуляризации s-равновесной траектории рынка труда. Под такой регуляризацией понимаются преобразования, проводимые в момент нарушения свойства динамической устойчивости є -равновесной траектории с целью восстановления этого свойства. Метод основывается на изменении спроса и предложения в момент нарушения динамической устойчивости є -равновесной траектории, путем корректировки последовательности векторов цен труда. Приводится алгоритм регуляризации, использующий алгоритмы вычисления оптимальных траекторий в задачах фирм и индивидов и алгоритм нахождения равновесного состояния на статическом рынке труда,
В 5 с помощью разработанной методологии исследуется рынок труда шахтеров в рамках угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании": шахт им. СМ. Кирова, им. 7 Ноября, «Комсомолец», «Полысаевская», «Октябрьская», «Красноярская», «Егозовская», «Колмогоровская». При условном разделении всех работников шахт на четыре группы (машинисты, проходчики, слесари, горнорабочие) вычислен вектор равновесных цен труда для статического случая. Проанализированы основные показатели шахт и уровень месячного трудового дохода работников при равновесном векторе цен труда. Исследовано динамическое функционирование рынка труда на интервале времени [0,4j, где временной лаг равен одному году. С помощью алгоритма регуляризации найдена последовательность цен труда обеспечивающая динамически устойчивое равновесное развитие рынка труда шахтеров угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО СУЭК.
Таким образом, основные результаты работы состоят в следующем: 1. Построена новая математическая модель поведения индивида - участника рынка труда, и на ее основе изучен вопрос рационального распределения времени на досуг и трудовую деятельность согласно с индивидуальными предпочтениями относительно видов труда. Разработана статическая модель рынка труда, как совокупность взаимосвязанных общими (эндогенными) параметрами задач всех фирм и индивидов, формализованы понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия.
2. Установлено, что "рациональный" выбор приемлемого уровня благосостояния всеми индивидами и превышение величины суммарного (по всем фирмам) фонда заработной платы над суммарным (по всем индивидам) необходимым трудовым доходом являются необходимыми условиями полной занятости. Доказано, что выполнение условий полной занятости, непрерывность целевых функций участников рынка по всем аргументам, а также непрерывность спроса и предложения труда (определяемые посредством оптимальных решений задач участников рынка) относительно его цены является достаточным условием существования системы цен труда, обеспечивающей равновесное состояние рынка труда 3. Изучено влияние основных факторов рынка на спрос и предложение труда; получены матричные уравнения для фирм и индивидов, с помощью которых можно оценить реакцию рынка труда на колебания заработной платы, цен продукции и других экзогенных параметров. 4. Формализован процесс регулирования заработной платы как основного фактора равновесия на рынке труда, согласно которому заработная плата по некоторому виду труда растет, если рыночный спрос на этот вид труда превышает предложение; если же предложение превышает спрос на некоторый вид труда, то его цена падает. Доказана сходимость этого процесса к вектору равновесных цен, при некоторых, легко проверяемых условиях, означающих, что избыточный спрос на определенный вид труда увеличивается, если заработная плата по нему неизменна, а цены других видов труда возросли. Разработан алгоритм, позволяющий, за конечное число шагов, найти такой вектор цен труда, при котором отклонение от равновесного состояния не превосходит заданной величины. 5. Построена и исследована динамическая модель рынка труда на конечном временном интервале, в которой установлено существование оптимального управления в задачах участников рынка труда; найдены необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка; с применением метода динамического программирования разработана схема вычисления оптимальных траекторий участников рынка для заданной системы цен труда. 6. С помощью принципа динамической устойчивости исследован вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий и разработан алгоритм динамически устойчивой регуляризации Б -равновесной траектории развития рынка труда, который основывается на изменении спроса и предложения в момент нарушения динамической устойчивости, путем корректировки последовательности векторов цен труда.
Вычисление оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. Алгоритм
Для определения цели индивида на рынке труда необходимо изучить его поведение, с точки зрения рационального распределения времени на досуг и трудовую деятельность на основе его индивидуальных предпочтений относительно видов труда.
Пространством трудовых ресурсов назовем неотрицательный ортант Rl+ I мерного пространства, каждая точка 5 = (5 ...,5/), которого представляет собой определенный набор затрат времени на трудовую деятельность по / видам труда. Величина 5, здесь показывает количество времени работы по j -му виду труда. Пусть X dR{ — множество, на котором определены интересы индивида, так что поведение индивида формально выражается выбором некоторой точки из множества X.
Если исходить из того, что при устройстве на работу индивид руководствуется не только величиной заработной платы, но и другими, неденежными характеристиками рабочего места (такими как условия труда, профессиональный риск, различные виды пособий, льгот и др.), а также личной предрасположенностью к тому или иному роду деятельности, то естественно предположить, что индивид сравнивает любые два вектора S,S єХ с точки зрения этих признаков. Поэтому будем считать, что на множестве X задано бинарное отношение у, называемое отношением предпочтения данного индивида. Естественно потребовать выполнения следующих аксиом: 1) отношение х рефлексивно, т. е. 5 5 для каждого 5 є X, 2) отношение : транзитивно, т. е. из 5xS и 5x5 для S,S,S єХ следует 5 -5, 3) для любой пары S,S єХ либо S S, либо S S. Если S S, но S S не имеет место, то набор 5 строго предпочтительнее набора 5 \5V5j; если 5xS и S S, то наборы 5 и 5 безразличны (5 5j. Отношение индуцирует разбиение X на классы безразличия. Помимо основных аксиом 1)-3) на отношение предпочтения будем накладывать два других ограничения: непрерывность - если множество {р,5):5 -5}, является открытым подмножеством декартова произведения ХхХ; выпуклость - если для любых S,SGX отношение 5xS влечет а5 + (1-сг)5У5,где 0 «г 1. Заметим, что для отношения предпочтения, определенного в пространстве трудовых ресурсов, в отличие от пространства товаров потребления [14], свойство ненасыщаемости, вообще говоря, не выполняется. Это означает, что из того, что 5 5 не следует S S, так как для индивида скорее предпочтительно сокращение рабочего времени, чем его увеличение (при прочих равных условиях). Также нельзя утверждать, что из StS следует S zS, поскольку индивид может руководствоваться различными мотивами, связанными с его материальным и духовным состоянием. Таким образом, в X существует наиболее предпочтительный элемент который будем называть точкой удовлетворения (аналог точки насьицения [21]). Любую функцию u (S), определенную на множестве X, будем называть функцией полезности индивида / , соответствующей его отношению предпочтения , если u(S) u(S) тогда и только тогда, когда SyS. Дебре (см., напр., [21]) доказал, что для любого отношения предпочтения определенного и непрерывного в R+, можно построить представляющую его непрерывную функцию полезности Целью каждого индивида ищущего работу является максимизация полезности от распределения своего труда. Задачу /-го индивида, с учетом введенных допущений, можно моделировать следующим образом: Здесь S = 9/,...,5/J — вектор распределения труда / -го индивида, причем Sj 0, если /-и индивид владеет достаточной квалификацией дляу -го вида труда, Sj =0, если і-й индивид не владеету -м видом труда; и = и (5 ) — функция полезности от распределения труда /-го индивида; у к - доля прибыли -ой фирмы, которую получает /-й индивид, у к 0; Ь =щ,...,Ь г) — вектор начальных запасов товаров /-го индивида; с = (c[,...,cj.) — вектор, оценивающий приемлемый для индивида / уровень благосостояния, где clq -минимальное допустимое количество товара (7-го вида, необходимое /-му индивиду; Г — суммарный ресурс времени, имеющийся в распоряжении индивида. Обозначим задачу /-го индивида (1.1.4)-(1.1.6) — символом Р . Из постановки задачи Ч видно, что целью индивида является максимизация полезности от распределения труда. Условие (1.1.5) говорит о том, что доход индивида, складывающийся из его заработка, средств от продажи начального запаса товаров и доли от прибыли фирм, должен быть не меньше суммы необходимой для достижения им определенного уровня благосостояния. Со гласно неравенству (1.1.6) суммарное время работы не превышает общего времени, имеющегося в распоряжении индивида. Вектор S =( ,...,5/1] является допустимым решением задачи Ч при заданных значениях параметров w, р, Ъ1, у , с , 7", если для него выполняются условия (1.1.5)-(1.1.6). Допустимое решение также будем называть допустимым состоянием индивида Решение задачи индивида зависит от всех параметров, входящих в задачу и в частности от ставки заработной платы . Допустимое решение S (w) = (S{ ( ),...,5/ (w)), доставляющее максимум функции (1.1.4), будем называть оптимальным решением задачи Ч". Вектор S(w) = \Sl(w),...,S"(w)J, составленный из допустимых решений задач F , / = 1,...,/2, будем называть допустимым состоянием индивидов. Прежде чем формализовать собственно рынок труда, обоснуем адекватность моделей Q и f к условиям функционирования реального рынка труда и проведем оценку параметров этих моделей. Согласно (1.1.1) фирма стремится максимизировать прибыль. Несмотря на то, что существуют другие подходы к определению цели фирмы [14, 18, 34], более общей считается максимизация прибыли от реализации своей продукции [40, 46], поскольку остальные модели можно получить модифицируя последнюю.
