Содержание к диссертации
Введение
1. Геометрические исследования деформации стержня двоякой кривизны с приложением к изучению пространственных конфигураций молекул ДНК 17
1.1. Основные соотношения 17
1.2. Уравнения оси стержня 25
1.3. Геометрическое представление упругой линии 29
1.4. Вспомогательные утверждения 30
1.5. Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы ДНК 36
1.6. Случай прямолинейного свободного состояния 51
1.7. Выводы 54
2. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня с равными жёсткостями на изгиб 56
2.1. Первые интегралы уравнений Кирхгофа — Джанелидзе 58
2.2. Построение аналога решения Лагранжа для естественно закрученного стержня 62
2.3. Анализ обобщённых зависимостей 65
2.4. Условия замкнутости сверхспирализованной молекулы ДНК для обобщённого решения Лагранжа 66
2.5. Выводы 69
3. Построение и анализ основных соотношений теории упругих стержней с моментным взаимодействием частиц 70
3.1. Исходные соотношения несимметричной теории упругости 73
3.2. Построение асимптотической модели 75
3.3. Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трёхмерной задачи к одномерной 75
3.4. Исследование общих соотношений одномерной теории стержней 82
3.5. Аналитическая форма условий замкнутости оси молекулы ДНК и оценка влияния параметров моментных взаимодействий 85
3.6. Выводы 86
4. Программной поиск нулей полинома без ограничений на вид коэффициентов и его приложение к определению условий замкнутости молекулы ДНК 88
4.1. Описание метода и комплекса программ вычисления нулей полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида. 88
4.2. Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней 110
4.3. Исследование зависимости вида замкнутых конфигураций стержня от значений параметров математических моделей 121
4.3.1. Случай винтовой линии 122
4.3.2. Случай прямолинейного исходного состояния стержня 130
4.3.3. Случай естественно закрученного стержня 135
4.4. Выводы 144
Заключение 145
Литература 147
- Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы ДНК
- Построение аналога решения Лагранжа для естественно закрученного стержня
- Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трёхмерной задачи к одномерной
- Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес как с точки зрения теории упругости, так и с точки зрения описания с их помощью поведения реальных физических объектов. Среди причин, объясняющих значительный интерес к задачам деформации гибких стержней, можно выделить следующие. Гибкие стержни, прямолинейные и криволинейные, являются конструктивными элементами многих механизмов и приборов, выполняя, как правило, функции гасителей, либо накопителей энергии колебания недеформируемых частей. Другой важной областью применения гибких стержней служат системы пассивной стабилизации искусственных спутников, учитывающие неоднородность гравитационного поля. В' этих системах стержни используются в качестве удерживающей связи. Довольно часто деформируемость упругих стержней является причиной, вызывающей колебания абсолютно твёрдых элементов. В силу значительной податливости, тонкие стержни в процессе эксплуатации могут существенно изменять свою форму. Хотя упругие элементы по своей геометрии достаточно просты [14], тем не менее, для определения их оптимальных рабочих характеристик не всегда существуют удовлетворительные теоретические подходы. Использование линейных теорий во многих случаях приводит к значительным погрешностям. В то же время, высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение гибких элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного > анализа этого поведения.
Следует также упомянуть об известной кинетической аналогии Кирхгофа между задачами деформации гибкого стержня и движения твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Исторически эта аналогиі послужила основой для взаимодополнения результатов теории гибких
5 стержней и аналитической динамики. Таким образом, построение новых
математических моделей деформации стержней и их последующий анализ
представляет интерес и с точки зрения интерпретации этих моделей в
динамике твёрдого тела.
Математическая модель одномерного упругого континуума используется
для исследования не только собственно стержневых систем, но и при расчёте
объектов более сложной конфигурации, при этом, одним из современных
направлений применения таких моделей является изучение
пространственной конфигурации молекул биологических полимеров, и,
прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и
рибонуклеиновой кислоты (РНК). Это, в свою очередь, расширяет область
приложения результатов, полученных в теории гибких стержней.
Математическое моделирование пространственной структуры биологических
макромолекул, таких как ДНК и белки, является в настоящее время одной из
интенсивно развивающихся ветвей молекулярной биологии.
Фундаментальность этой проблемы определяется тем, что основные
процессы жизнедеятельности клетки во многом зависят от
пространственных конфигураций упомянутых макромолекул [63 - 65, 70]. В
частности, основная биологическая функция молекулы ДНК состоит в
хранении и передаче генетической информации, записанной в виде
последовательности нуклеотидов в двойной спирали. Связанное с этим
основное требование к структуре ДНК - стабильность и сохранность генов -
должно вполне определённым образом сочетаться с изменениями её
пространственной конфигурации, например, в процессах взаимодействия с
белками [73, 77]. Механические модели совместно с другими подходами
позволили установить, что биологически функциональной является
кольцевая форма ДНК, в рамках которой подразделяют два уровня топологии
ДНК: с узлами и без узлов. Кроме того, каждая из комплементарных цепей
должна быть замкнута на себя, что в математическом смысле означает
зацепление высокого порядка. Количественной характеристикой
заузленности является порядок зацепления Lk (linking number), который является топологическим инвариантом, не изменяющимся ни при каких деформациях и потому непосредственно связанный со свойствами молекулы. В свою очередь, этот инвариант вполне определённым образом связан с геометрией оси молекулы - её пространственной формой. Этой проблеме посвящены работы учёных из Массачусетского Технологического института, института молекулярной генетики РАН, института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и ряда других. Данные исследования позволили установить взаимосвязь сверхспирализации и структуры ДНК, определить, при каких воздействиях и структурных переходах возможны кроме регулярной J3- формы, также Z и Н— формы и некоторые другие. Данный структурный анализ привёл к выводу о важности решения обратной задачи -определения формы оси молекулы, а по ней сделать выводы о структуре * молекулы ДНК. В лаборатории Ю.С. Лазуркина (Институт молекулярной генетики АН СССР) проводились работы по выяснению влияния сверхспирализации на структуру ДНК. В связи с генной инженерией появились возможности по созданию молекул ДНК со специально синтезированными последовательностями нуклеотидов.
Кроме того, в последнее время в фармакологической промышленности интенсивно развивается метод создания лекарственных препаратов на основе ДНК и РНК-содержащих соединений [80 - 82]. Он основан на том, что даже сравнительно короткие молекулы ДНК (РНК) (около 100 нуклеотидов) обладают гигантским количеством пространственных форм. Такое разнообразие в принципе позволяет подобрать подходящую по форме молекулу ДНК, закрывающую активные центры патогенного соединения (белка или фермента) и препятствующую его разрушительной работе. Основная проблема здесь — поиск экономически эффективного метода определения пространственной структуры короткой молекулы ДНК (РНК) по её нуклеотидному составу (первичной структуре). Наиболее перспективным для решения этой проблемы считается метод математического
7 моделирования. В зарубежных работах это направление получило название
драг-дизайна: его суть заключается в предварительном создании с помощью
ЭВМ трёхмерной модели молекулы потенциального препарата [80].
Здесь возникает проблема выбора наиболее адекватной изучаемому
объекту математической модели, которая, с одной стороны, позволяла бы
наиболее точно и полно описать максимальное количество присущих ему
свойств, с другой стороны не была бы сложной. На этом пути возникло
несколько подходов [53], которые можно объединить в два основных
направления [53]:
первое заключается в представлении молекулы в виде полимерной цепочки с фиксированными валентными углами между составляющими её компонентами, что позволяет, несмотря на малые размеры, рассматривать молекулу ДНК в качестве континуального объекта; '-
второе направление предполагает представление молекулы в качестве полимерной цепочки с заторможенным вращением компонентов.
В рамках первого направления, основоположниками которого являются Дж. Уотсон и Ф. Крик, рядом отечественных и зарубежных исследователей (Е.Л. Старостин, Е.И. Кугушев, Н.Н. Козлов, Т. М. Энеев, Дж. Мэддокс, К. Бенхем, Дж. Уайт, и др.) в последнее время предпринимались попытки использовать в качестве модели механическую стержневую модель Кирхгофа - Клебша с целью исследования как механических, так и геометрических свойств ДНК, а также с целью объяснения ряда экспериментальных данных. Можно констатировать, что в направлении исследования механических свойств ДНК в работах Е.Л. Старостина, Е.И. Кугушева, Н.Н. Козлова, Т.М. Энеева достигнуты определённые успехи [23, 25, 53], в то же время вопросы, связанные с исследованием геометрии молекул, остаются сравнительно мало изученными. Последнее связано с тем, что до недавнего времени не существовало эффективных методов, позволяющих определить пространственную конфигурацию молекулы ДНК исходя из её физических параметров, а также параметров физико-химического воздействия со
8 стороны активных компонентов среды, таких как белки или ферменты.
Причина трудностей, возникавших при определении пространственной
конфигурации молекулы в рамках нелинейной стержневой модели,
заключалась во внутренних трудностях, возникающих в самой нелинейной
теории стержней в процессе качественного анализа геометрии
деформированного стержня. Суть проблемы состоит в том,, что исходная
система дифференциальных уравнений Кирхгофа содержит интегральные
силовые характеристики (компоненты вектора-момента и равнодействующих
внутренних сил) и локальные геометрические параметры оси стержня
(компоненты вектора Дарбу). В случае малых изменений кривизны и
кручения стержня перемещение его точек определяется интегрированием
линейных дифференциальных уравнений Клебша. В нелинейной постановке
при вычислении перемещений необходимо проинтегрировать
кинематические уравнения Эйлера, что представляет собой отдельную
проблему, сопоставимую по трудности с основной задачей интегрирования
уравнений Эйлера - Кирхгофа. Проблема построения общих уравнений оси
деформированного стержня без привлечения дополнительных ограничений
была успешно решена в работах А.А. Илюхина [17,18].
В то же время наблюдается отсутствие каких-либо механических моделей, соответствующих второму направлению. В качестве одной из основных причин здесь представляется отсутствие соответствующего теоретического аппарата в самой теории стержней. Для построения модели, учитывающей вращение компонентов, или, другими словами, нецентральные взаимодействия частиц среды, возникает необходимость получить основные соотношения одномерной микрополярной теории стержней.
Одним из основных направлений данной работы является исследование условий, при которых рассматриваемые математические модели описывают замкнутые конфигурации стержневых систем. Интерес к замкнутым конфигурациям стержней вызван с одной стороны, тем, что в упоминавшихся выше задачах гравитационной стабилизации искусственных спутников Земли
замкнутые конфигурации стержневых элементов являются переходными к
критическому случаю самопересекающихся стержневых элементов. В силу кинетической аналогии Кирхгофа, в динамике твёрдого тела замкнутость конфигурации стержня можно интерпретировать как одно из условии существования периодических движений твёрдого тела. С другой стороны, интерес к замкнутым конфигурациям возникает при исследовании геометрии молекул ДНК, поскольку именно замкнутые конфигурации ДНК играют существенную роль в процессах блокирования активных центров патогенных соединений и клеток при лечении различных заболеваний [72, 73, 77], и, кроме того, замкнутые конфигурации, согласно биологическим исследованиям, являются наиболее благоприятными для передачи генетической информации с наименьшим количеством потерь и нарушений [50]. Результаты экспериментов показывают, что многие физиологически важные регуляторные события напрямую зависят от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК [83, 84, 87]. К таким событиям относятся: инициация транскрипции и репликации, транспозиция, интегративная рекомбинация и присоединение гомологичных однотяжевых цепей, распознавание и связывание с некоторыми типами регулятивных ферментов. Эксперименты по рассеиванию рентгеновских лучей под малым углом подтверждают, что одной из наиболее вероятных равновесных конформаций молекулы ДНК в естественной для неё водно-биологической среде являются замкнутые конформаций. Следует также отметить, что наряду с естественными внутриклеточными физико-химическими процессами, влияющими на пространственную конфигурацию ДНК, в последние годы проводятся эксперименты по синтезу ДНК заданной конфигурации при помощи силового воздействия на свободные молекулы.
Из сказанного вытекает актуальность исследования условий замкнутости гибких стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.
10 Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании
математических моделей деформации упругих стержней путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, - к нахождению условиГ, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.
Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.
В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.
Проинтегрировать систему уравнений Эйлера - Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.
Разработать алгоритмы и программы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их
основе.
Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.
Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, детально иллюстрируется результатами численного анализа и экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным объектам.
Внедрение и использование результатов работы. Полученные в
работе результаты приняты к использованию в процессе преподавания
курсов «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы
математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики», на
физико-математическом факультете ГОУВПО «Таганрогский
государственный педагогический институт». Внедрение подтверждено соответствующими актами об использовании.
Научная новизна заключается в следующем:
Предложена и исследована математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между различными механическими характеристиками стержня. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирализации.
Построена и проанализирована математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество. Модель отличается от известных аналогов тем, что позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия
12 компонент весьма значительны.
3. В рамках математической модели деформации криволинейного
стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального
геометрического метода исследования конфигурации деформированного
стержня доказано существование замкнутых конфигураций, и получены
аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия
отличаются от известных аналогов тем, что дают численные значения
параметров решений системы уравнений деформации, при которых
конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять
допустимые для осуществления замкнутости механические параметры
стержня и характеристики внешних воздействий.
Для рассмотренных в работе математических моделей получены точные решения системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, обобщающие решение Лагранжа на соответствующие случаи. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оценить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении конкретной математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условии замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений.
С учётом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых элементов, и проведён численный эксперимент. Установлено качественное совпадение наблюдаемых экспериментально замкнутых конфигураций молекул с полученными в результате численного эксперимента. Экспериментально установлено соответствие значений параметров и конфигураций замыкания для случаев криволинейного, прямолинейного и естественно закрученного в исходном состоянии стержня.
13 Основные положения, выносимые на защиту:
Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня.
Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.
Точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.
Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.
Алгоритмы численного определения механических параметре^ замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику исследуемых моделей.
Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV Региональной конференции «Молодёжь XXI века - будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.); VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006 г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.); XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.); Международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина», 2007 г.); Международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.); Международной конференции «Проблемы механики сплошной средьо
14 (Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007г.); Международной . конференции
«Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано
12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.
Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования, ставятся основные задач* і исследования.
В первой главе приводится описание общего метода исследование пространственной геометрии одномерного деформируемого объекта (тонкого стержня) в случае, когда известно точное решение системы уравнений равновесия Кирхгофа - Клебша. В рамках стержневой модели, основанной на классической теории Кирхгофа, на примере двух точных решениях системы уравнений Эйлера — Кирхгофа исследуются условия, при которых стержни могут образовывать замкнутые конфигурации. Выбранные решения получены при близких предположениях относительно механических свойств деформируемого объекта, однако описывают различные исходные состояния.
Во второй главе осуществляется построение математической модели деформации стержня, учитывающей его первоначальную (естественную) закрученность - модель естественно закрученного стержня. Отличие такой модели от модели, основанной на классической теории Кирхгофа, заключается в ином характере связи между различными видами деформации, что выражается в изменении замыкающих соотношений системы уравнений
15 Эйлера - Кирхгофа. Необходимость построения такой модели следует из
того факта, что использование замыкающих соотношений системы
уравнений Эйлера - Кирхгофа в форме, полученной в классической теории,
приводило к заметным погрешностям в исследовании деформаций
естественно закрученных стержней. Сказанное в полной мере относится и
молекулам нуклеиновых кислот, которые обладают очень высокой степенью
закрученности (спирализации).
В третьей главе на основе несимметричной теории упругости построена стержневая модель, учитывающая моментные взаимодействия микрочастиц материала, из которого состоит стержень. Получены явные зависимости для коэффициентов в соотношениях связи между силовыми и геометрическими величинами. В аспекте моделирования поведения молекулы в качестве микрочастиц выступают четыре типа нуклеотидных оснований. Такая модель позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий компонентов двойной спирали ДНК как на её способность образовывать замкнутые конфигурации, так и на возможные формы равновесия вообще, при одинаковых, по сравнению с ранее рассмотренными моделями, воздействиях внешней среды. С другой стороны, построение такой модели важно с точки зрения самой теории стержней поскольку появляется возможность анализа поведения известных общих и частных решений системы уравнений Кирхгофа и получения новых с учётом изменения взаимосвязей между силовыми и геометрическими характеристиками деформированного стержня.
В четвёртой главе разработан алгоритм численного определения механических параметров стержневого объекта, а также параметров внешних воздействий, при которых возможно образование его замкнутых конфигураций, и представлена программная реализация предложенного алгоритма. Данный алгоритм разработан на основе метода локализации и вычисления нулей полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида с помощью сортировки. Необходимость в разработке указанного
алгоритма диктуется тем, что одной из ключевых особенностей структуры предложенных и исследованных в работе математических моделей является необходимость на определённом этапе для определения условий замкнутости стержня и характера его пространственной конфигурации прибегать к процедуре вычисления нулей полиномов специального вида. Последнее обусловлено нетривиальной связью между переменной исследуемых решений системы уравнений Эйлера — Кирхгофа и дуговой координатой. С помощью разработанных программ проведён численные эксперименты, результаты которых интерпретированы в задаче определения условий существования замкнутых конфигураций молекул ДНК.
Автор выражает признательность научному руководителю профессору А.А. Илюхину за постановку задач и внимание к работе, а также благодарит профессора Я.Е. Ромма за содержательные консультации и поддержку.
Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы ДНК
Возвращаясь к объекту исследования, а именно: к двухцепочечной молекуле ДНК, примем на основании [65], следующие допущения: молекулу будем считать тонким однородным упругим симметричным стержнем, а процесс воздействия на неё какого-либо активного фермента или белка -эквивалентным деформации молекулы под действием концевых сил. При этом равновесные состояния деформированной молекулы описываются системой уравнений (1.19) - (1.20), которую в дальнейшем будем называть системой уравнений трансформаций Исследуем в рамках описанной выше модели Кирхгофа - Клебша условия, при которых молекула в результате деформаций концевыми нагрузками образует замкнутые конфигурации.
Выбор для исследования решения (1.47) определялся тем, что оно получено в случае, с механической точки зрения наиболее полно отражающем одно из возможных естественных свободных состояний молекулы в виде винтовой линии. Трёхмерные тела подобной формы называют также псевдоцилиндрами [57]. В решении (1.47). переменная х выступает в качестве независимой. Зависимость её от дуговой координаты s устанавливается обращением эллиптического интеграла получаемого интегрированием первого уравнения системы (1.19) — (1.20) . Соотношение (1.48) определяет периодический характер изменения промежуточной переменной х. Основное ограничение на область допустимых значений переменной х состоит в том, чтобы правая часть в выражении для z2{x) была неотрицательна. Это выражение представляет собой полином четвёртой степени относительно х, у которого коэффициент при х отрицателен, поэтому неотрицательные значения он может принимать только в промежутках, ограниченных своими действительными корнями. Эти промежутки и являются областью, в которой исследуемое решение будет действительным. Учитывая приведённые ограничения на область изменения промежуточной переменной и монотонность дуговой координаты, приходим к выводу, что для сохранения монотонности дуговой координаты переменнал х должна изменяться периодически в пределах промежутка, ограниченного корнями полинома z2(x).
Решение (1.47) является частным решением системы (1.19) — (1.20), его аналог получен в динамике твёрдого тела А. И. Докшевичем [9].
Поскольку в дальнейшем мы рассматриваем представление проекций а(р) и д(р) в декартовых координатах, замкнутость кривой будет пониматься в более широком смысле: кривую, изображающую проекцию а(р), будем считать замкнутой, если а(р) имеет за один или несколько периодов вспомогательной переменной приращение, равное нулю или кратное 2л, а полярный радиус - приращение, равное нулю за то же количество периодов.
Величина полярного радиуса р может принять исходное значение только за чётное число периодов вспомогательной переменной х (поскольку р - монотонная функция х). Поэтому в случаях, когда а принимает исходное значение за нечётное число периодов вспомогательной переменной или внутри промежутка, соответствующего одному периоду, кривая в целом может быть замкнута за удвоенное число периодов. Таким образом, замкнутыми будем считать даже проекции, которые графически замкнутыми не являются, но удовлетворяют приведённым соображениям. В случае отсутствия замкнутости в традиционном смысле, с помощью лемм 1 и 2 можно получить представление о виде кривой а(р) в целом. Поэтому в данном случае интеграл в (1.53) принимает конечные значения (не возникает бесконечности при к2 - і). На основании сказанного можно сделать вывод, что в области (1.55) осуществляется замкнутость меридиана д{р), если параметры решения связаны соотношением (1.55).
Утверждение 1.1. С учётом замкнутости проекции а(р), условия (1.55) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы решение (1.49) системы уравнений (1.19) —(1.20) описывало однопараметрическое семейство замкнутых конфигураций криволинейного стержня для значений параметров а и ах, лежащих на кривой ах = ах (а).
Построение аналога решения Лагранжа для естественно закрученного стержня
Четырёх интегралов (2.2), (2.6) — (2.8), согласно теории последнего множителя Якоби, оказывается достаточно для интегрирования системы (1.19) — (1.20) с замыкающими соотношениями (2.1) в конечном виде, то есть, для нахождения девяти неизвестных величин М,, со, и у, как функций дуговой координаты. С этой целью воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1.10), а также соотношениями 7!=cosi9, y2=sm.3sm(p, /3 -s n$cosФ (2-9) Введём безразмерные величины (H-B{cof)/2P = h, Cx/ftPB2=b, кЦіРВ2=(3, Bxcoxjp.PB2 = co,jB2/2P =п, (ІР-Т)/П = І, В2/ВХ=ЬХ, Bxrcox/P = b2, гщ{іР-Т)/П = Ь2. (2.10) Преобразуем интегралы (2.6) и (2.7), воспользовавшись представлением (1.10) основных переменных через углы Эйлера и равенствами (2.10). В результате получим уравнение для величины ух: "№)2 =/(У) = Ы"2 -b2\+v\\-S)-(h-pvf, (2.11) где введены обозначения =cos = v, S = h + b2 -р2. Интегрирование уравнения (2.11) позволяет найти ух в виде эллиптической функции дуговой координаты s. Так как левая часть уравнения (2.11) неотрицательна, то возникает необходимость определить те значения v, при которых выполнено условие /(v) 0. В силу свойств системы дифференциальных. уравнений (1.10) и (1.19) - (1.20) её решение определено при любых начальных значениях i9i=0 = ,90 (при этом необходимо иметь в виду соответствующие начальным значениям переменных значения безразмерных параметров). Поэтому можно считать выполненным неравенство /(v0) = /(cos.90) 0, v0 l.
Из уравнений (1.10) и соотношений (2.17) - (2.19) оставшиеся семь неизвестных величин (М(, а 2, соъ, у2, /3) находятся в виде квадратур от эллиптических функций дуговой координаты s. Полученное таким образом решение является обобщением решения Лагранжа системы уравнений Кирхгофа (1.19) - (1.20), рассмотренного в предыдущей главе, на случай естественно закрученного стержня.
Следует отметить, что запись первых интегралов системы (1.19) - (1.20) з форме (2.6) - (2.8) отражает влияние первоначальной закрученности на постоянные интегрирования. В самом деле, при выборе в качестве независимых величин начальных условий для функций yt, Ф, (/ = 1..3), зависимой относительно г величиной будет не только Мх=Си но также и постоянные Ник интегралов энергии и площадей соответственно, поскольку наряду с начальными условиями, они определяются ещё и конструктивными параметрами исходной системы уравнений, одним из которых является параметр г.
Соотношение (2.20) отражает связь между поворотом поперечного сечения при деформации (кручением при деформации) и растяжением. На данной траектории (решении) системы дифференциальных уравнений (1.19) - (1.20) величина С, (а, следовательно, и Cj ++гВ:) сохраняет своё значение. Тогда при изменении величины щ величина є также должна изменяться (и наоборот) для сохранения значения С, на данной траектории. Таким образом, в рассматриваемом случае, в отличие от случая Лагранжа в теории Кирхгофа, сох и є могут быть функциями дуговой координаты и их изменение будет регулироваться соотношением (10). Одним из проявлений такой связи будет изменение удлинения в результате изменения закрученности. Последний факт в теории Кирхгофа не учитывался.
Взаимосвязь кручения при деформации и удлинения можно использовать как одно из возможных теоретических обоснований явления сверхспирализации, наблюдаемого в молекулах ДНК, а именно: высокая степень закрученности уменьшает длину молекулы, что способствует упаковке длинных молекул в небольшом объёме.
Соотношение (2.8) позволяет сделать важный вывод о поведении закрученности стержня (молекулы) в процессе деформации. В самом деле: (2.8) определяет линейную зависимость закрученности щ от v в процессе деформации. Однако, величина v в силу соотношений (2.9) изменяется в промежутке [-1;1], поэтому закрученность сох при деформации также будет величиной ограниченной. Последнее может накладывать определённые ограничения на способность молекулы к сверхспирализации.
Заметим, что несмотря на существенную зависимость первых интегралов (2.6) — (2.8) от естественной закрученности, в выражения дп компонент полученного решения величина г явно не входит.
Интегралы в выражениях (2.26) и (2.27), имеют устранимые особенности на концах промежутка интегрирования. Устранение этих особенностей можно осуществить, как и в предыдущем случае, с помощью преобразования (1.90).
Соотношения (2.30) и (2.31) обобщают условия (1.91), (1.92) на случай присутствия естественной закрученности. 2.5. Выводы 1. С помощью обобщения замыкающих соотношений системы уравнений Эйлера - Кирхгофа построена математическая модель деформации естественно закрученного стержня. 2. Для построенной модели найдено точное решение системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, обобщающее решение Лагранжа на случай естественно закрученного стержня. 3. Выявлены и проанализированы новые механические эффекты, описываемые найденным решением, такие как ограничение на величину закрученности и изменение длины в процессе деформации. Найденные эффекты интерпретированы к поведению молекул ДНК. 4. Для нового решения получены условия замкнутости стержневого объекта. 5. Установлено, что полученные условия замкнутости являются общим случаем условий замкнутости для решения Лагранжа.
Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трёхмерной задачи к одномерной
В случае нулевого приближения для коэффициентов разложения основных переменных задачи имеем следующую систему уравнений и граничных условий.
Как показано в [19], решение системы уравнений нулевого приближения должны удовлетворять дополнительным соотношениям, вытекающим из интегральных условий разрешимости задачи первого приближения.
Таким образом, показано, что величины В23 и В3] в соотношениях (3.23) обращаются в нуль без каких-либо дополнительных ограничений на характер деформаций или свойства деформируемого объекта. Последнее означает, что учет моментных напряжений не приводит к изменению структуры замыкающих соотношений системы уравнений Кирхгофа посредством появления величин, зависящих от силовых напряжений. Таким образом, при отсутствии моментных напряжений (Д =0) замыкающие соотношения (3.23) переходят в соотношения, соответствующие классической теории Кирхгофа. Проанализируем величины А,. Коэффициент Ах является величиной неотрицательной, таким образом, учёт моментных напряжений приводит к увеличению сопротивления материала стержня деформации растяжения (увеличению суммарной жёсткости) и, как следствие, к увеличению растягивающего момента М,.
Последнее соотношение носит общий характер, поскольку получено без каких-либо дополнительных ограничений на систему уравнений (3.17) трёхмерной задачи. Компоненты М, вектора-момента, найденные по формулам (3.23), представляют собой замыкающие соотношения для системы уравнений Кирхгофа. С учётом произведённого анализа эти соотношения принимают вид: Мх = Вх(ох + Ахсох, М2 - В2со2 + А2о)3, М3 = В3о)3 + А3со2. (3.26) Соотношения (3.26) совместно с системой уравнений Кирхгофа представляют собой замкнутую систему, описывающую деформации стержня под действием концевых нагрузок с учётом моментных напряжений, возникающих в процессе деформации между частицами, из которых состоит материал стержня.
Так как левая часть уравнения (3.33) неотрицательна, то как и предыдущих случаях возникает необходимость определить те значения v, при которых выполнено условие /(v) 0. В силу свойств системы дифференциальных уравнений (1.10) и (3.27) её решение определено при любых начальных значениях S\s=0 = «90 (при этом необходимо иметь в виду соответствующие начальным значениям переменных значения безразмерных параметров). Поэтому можно считать выполненным неравенство /(v0) = /(cos,90) 0, v0 l. Заметим далее, что /(-«) 0, Д-і) 0, /(l) 0.
Отсюда следует, что уравнение /(v) = 0 имеет три действительных корня. Один корень принадлежит полуоси v -l, а два других находятся ч интервале (-l;l). Соотношения (3.35), (3.36) описывают поверхности в пространстве параметров а, а2, п, И, р. При этом, на пересечении указанных поверхностей (то есть при удовлетворении параметров сразу двум соотношениям) осуществляется одновременная замкнутость обеих проекций. Ограничения (3.37), (3.38) можно интерпретировать в том смысле, что учёт взаимодействий структурных компонентов молекулы приводит к ограничениям на физические параметры молекулы, а также, что не менее важно, на возможность образования замкнутых конфигураций.
Следует отметить, что при отсутствии учёта моментных взаимодействий соотношения (3.35), (3.36) переходят в соотношения, описывающие множество замкнутых конфигураций для случая прямолинейного исходного состояния с равными жёсткостями на изгиб, полученные в первой главе. Последнее показывает преемственность построенной модели по отношению к классической теории Кирхгофа. 3.6. Выводы
1. Выполнена редукция от трёхмерной задачи Сен-Венана в случае несимметричной теории упругости к системе двумерной и одномерной задач несимметричной теории упругости.
2. В рамках двумерной задачи получены выражения для коэффициентов в замыкающих соотношениях системы уравнений Эйлера -Кирхгофа.
3. В рамках одномерной задачи построена математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц образующего его материала.. 4. Найдены замыкающие соотношения системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, проанализирован вид входящих в них коэффициентов.
5. Получено точное решение системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, для случая равных жёсткостей стержня на изгиб. Для найденного решения получены условия замкнутости стержня.
Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней
Применительно к решаемой в диссертационной работе задаче необходимость использования описанного выше метода локализации и вычисления нулей полинома диктуется, как уже было сказано, спецификой исследуемых моделей. Специфика представленных ранее , моделей заключается в периодической зависимости между дуговой координатой и аргументом исследованных точных решений системы уравнений Кирхгофа, описываемая соотношением (1.39), а также в структуре уравнений (1.36), (1.37), описывающих поведение проекций оси деформированного стержня (упругой линии) в цилиндрической системе координат. Все перечисленные уравнения содержат в качестве составляющей полином третьей или четвёртой степени, при этом в процессе интегрирования уравнений (1.36), (1.37) оказывается, что величины полярного угла и осевой координаты ка функций дуговой координаты содержат эллиптические интегралы. С точки зрения качественного исследования свойств проекций упругой линии такая зависимость удобна, поскольку поведение указанных проекций полностью описывается леммами 1 и 2. Однако для определения ограничений на параметры решения, обеспечивающих существование замкнутых конфигураций, такая зависимость между переменными неудобна ввиду невозможности представить её в явном виде. Помимо этого, особенностью получаемых интегралов является то обстоятельство, что пределами интегрирования, служат корни полинома с коэффициентами, зависящими от параметров задачи.
Данная специфика представления входного полинома практически исключает наличие априорной информации об области нахождения нулей, о качестве их отделённости друг от друга, о характере коэффициентов полинома.
Именно эти обстоятельства диктуют применение изложенного выше метода определения нулей полинома на основе сортировки.
Следует ещё учесть, что при построении условий существования замкнутых конфигураций и определения их количественных характеристик алгоритм нахождения нулей фактически совмещён с процедурой интегрирования в виде единой программы.
Для полинома, входящего в соотношения (1.36), (1.37), (1.39), коэффициенты определяются структурой исследуемого точного решения системы уравнений Кирхгофа. Поэтому при отыскании значений параметров решения, соответствующих замкнутой конфигурации упругой линии, представленная выше программа нахождения нулей полинома сделана частью программного комплекса, исследующего замкнутость соответствующей проекции упругой линии. Программа используется в виде процедуры с именем sort, на вход которой и подаются текущие значения коэффициентов заданного полинома, определяемые из области, в которой исследуемое решение является действительным. Подача на вход процедуры конкретных значений параметров позволяет построить области действительности исследуемого решения в виде промежутков, концами которых служат найденные корни (в том случае, если они действительны).
В случае, если корни окажутся комплексными, то само исследуемое решение становится комплексным, поэтому процедура вычисления интегралов, описывающих приращения величин а(р) и %{р) за период вспомогательной переменной, не производится. В этом случае программа переходит к следующим значениям параметров решения. Таким образок, осуществляется циклический перебор значений параметров в наперёд заданных промежутках с последующим выводом значений, соответствующих замкнутости проекции упругой линии на плоскость, перпендикулярную концевой силе. Аналогично определяются значения параметров, соответствующих замкнутости меридиана поверхности вращения. Одной из особенностей используемых критериев замкнутости проекций является тот факт, что пределами интегрирования служат корни полинома с параметрическими коэффициентами, который посредством соотношения (1.39) определяет связь между дуговой координатой и аргументом исследуемого точного решения. При этом в силу структуры исследуемых аналитических критериев замкнутости (на примере соотношений (1.61), (1.63)) фигурирующий в соотношении (1.39) полином оказывается в знаменателе исследуемого подынтегрального выражения. Как следствие, пределы интегрирования, одновременно являясь корнями полинома в знаменателе подынтегральной функции, порождают на концах промежутка интегрирования особенности, делая интеграл несобственным. .
Указанные особенности, в силу структуры подынтегральных функций в критериях замкнутости, (наличие иррациональности вида /f(x)) являются устранимыми. Устранение этих особенностей осуществляется посредством преобразования (3.34), которое применимо в случае как третьей, так и четвёртой степени полинома в знаменателе подынтегральной функции и позволяет не только устранить особенности, но и заменить промежуток интегрирования, определяемый корнями полинома из (1.39), на конечный интервал с фиксированными пределами, в котором у нового полинома нет нулей. Поведение нулей за пределами нового промежутка не представляет интереса, поскольку за пределами промежутка исследуемые решения системы уравнений Кирхгофа не являются действительными. Возможность устранения особенностей позволяет избежать процедуры отступа от концов промежутка интегрирования в процессе вычисления интегральных сумм, обычно применяемой в подобных случаях, что повышает точность результата численного интегрирования, а также снимает вопрос о сходимости первоначально несобственного интеграла. Кроме того, программа позволяет определить такой показатель, как минимальное число периодов вспомогательной переменной, за которое осуществляется замкнутость, что характеризует длину молекулы.
Важное замечание к приведённому выше описанию алгоритма состоит в том, что для определения числовых ограничений на параметры исследуемых моделей, обеспечивающих замкнутость, необходимо проводить сравнение результатов работы двух программ, где первая определяет замкнутость проекции упругой линии на плоскость, перпендикулярную концевой силе, а вторая — меридиана поверхности вращения, для одинаковых промежутков изменения параметров, поскольку замкнутость оси молекулы возможна только при одновременной замкнутости обеих её проекций.
Для реализации предложенного подхода, рассмотрим структуру программы определения условий замкнутости на примере математической модели, исследованной в первой главе. Она позволяет провести численный анализ уравнений оси деформированного стержня, имеющих наиболее сложную аналитическую структуру и использовать полученные результаты для определения условий замкнутости молекулы ДНК. Для моделей деформации естественно закрученного стержня и стержня с вращательным взаимодействием частиц рассматриваемая ниже программа упрощается за счёт более низкой степени полинома, входящего в уравнения упругой линии. Отличия между программами, соответствующими разным математическим моделям, связаны также с различным числом параметров, входящих в исследуемые уравнения. При этом алгоритм, на основе которого построена описываемая ниже программа, сохраняется для всех изученных в работе математических моделей.
