Содержание к диссертации
Введение
2 Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел 11
2.1 Относительно минимальные рациональные поверхности надК 11
2.2 Разложение бирациональных отображений между минимальными рациональными R-поверхностями на элементарные линки 20
2.3 Соотношения между элементарными линками 31
3 Категории лог-терминальных пар и автоморфизмы поверхностей . 40
3.1 Категории частных. Жесткость. Z^o-Упорядоченные категории 40
3.2 Z^o-Упорядоченные категории Qp р-лог-терминальных пар 47
3.3 Подкатегории Rp# в категориях Qp# и их свойства. Неособые подкатегории 55
3.4 Морфизмы в категориях Qp и Rp и особенности объектов этих категорий 62
3.5 Функторы разрешения особенностей и минимизации. Теорема о замкнутости 70
3.6 Определение кривых Fx{V, С), их классификация и инвариантность относительно функтора разрешения особенностей . 77
3.7 Категории R^1 и R^N. Разложение морфизмов на элементарные
- Разложение бирациональных отображений между минимальными рациональными R-поверхностями на элементарные линки
- Z^o-Упорядоченные категории Qp р-лог-терминальных пар
- Морфизмы в категориях Qp и Rp и особенности объектов этих категорий
- Определение кривых Fx{V, С), их классификация и инвариантность относительно функтора разрешения особенностей
Введение к работе
Одной из основных в бирацональной геометрии являеся проблема факторизация бирацональных отображений алгебраических многообразий, то есть разложение этих отображений на элементарные. Еще в конце 19 века М.Нетером была доказана теорема о разложении бирациональных автоморфизмов проективной плоскости на квадратичные преобразования. С тех пор в этой науке произошел существенный прогресс. В настоящее
время наиболее перспективным в решении задачи факторизации бирацо-нальых отображний принято считать подход, основанный на их разложении на элементарные отображения, называемые линками. При этом под линками подразумеваются бирациональные отображения 7, такие что j и 7-1 стягивают не более одного неприводимого дивизора.
При решении задачи факторизации, естественным образом возникает задача поиска полной системы соотношений между линками, поскольку имея решения этих задач мы получаем полное описание классов бира-циональной эквивалентности и отображений между элементами каждого класса.
Для расслоений Мори размерности два и три с терминальными Q-факториальными особенностями, а также двумерных лог-терминальных пар, являющихся расслоениями Мори в [16] и [29] доказана теорема о существовании разложения бирациональных отображений на элементарные линки над полем комплексных чисел. Построение алгоритма указанного разложения сводится к исследованию структуры рассматриваемых многообразий. Случай раслоений Мори размерности два полностью изучен, то есть, в этом случае построен алгоритм разложения и найдена полная система соотношений между линками.
Задача факторизацизации отображений рациональных поверхностей решалась также и над незамкнутыми полями. Так в [7], [10] и [12] над совершенным полем к была решена задача об описании группы бирациональных автоморфизмов неособых, рациональных расслоений Мори размерности два, а в [13] был построен алгоритм разложения бирациональных отображений между такими поверхностями на элементарные линки и найдена полная система соотношений. Отметим, что решение задачи о разложении на линки и поиске полной системы соотношений ранее не было получено ни для одного из конкретных полей. Для поля R это сделано во второй части диссертации.
Основным методом решения задачи факторизации для расслоений Мори является метод максимальных особенностей, опирающийся на неравенство Нетера-Фано.
Одним из применений проблемы факторизации бирациональных отображений может служить задача описания группы бирегулярных автоморфизмов неособой (или с допустимыми особенностями) комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактификаций. Отметим, что в данном случае приходится иметь дело с поверхностями, не являющимися расслоениями Мори
и имеющими большой ранг группы Пикара, в следствии чего, применение метода максимальных особенностей мало осмысленно и нужно придумывать другие способы решения задачи. Решению задачи факторизации для данного случая посвящена третья часть диссертации.
Текст диссертации написан на основании следующих двух работ автора: "Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел" и "Категории лог-терминальных пар и автоморфизы поверхностей". Первая из работ опубликована в журнале "Фундаментальная и прикладная математика" [1], а вторая депонирована в ВИНИТИ. По результатам второй из работ опубликованы две заметки в журнале "Успехи математических наук": "Категории Ра и Sd двумерных d-лог-терминальных пар" [2] и "Дальнейшие свойства категорий Р& и SJ1 [3]. В соответствии с написанным выше, текст диссертации разбит на введение (первая часть) и еще две части, посвященные изложению результатов упомянутых выше основных работ, а каждая из частей разбита на главы.
Приступим теперь к краткому изложению содержания диссертации. Начнем со второй части. Напомним некоторые используемые понятия и определения.
Многообразие X над полем к называется рациональным, если многообразие X к бирационально эквивалентно проективному пространству Р над к, где к - произвольное поле, к - его алгебраическое замыкание, а п = dimX. Всюду далее /^-многообразием мы будем называть алгебраическое многообразие над к, а /г-отображением будет называться отображение между ^-многообразиями, определенное над к.
Неособая проективная рациональньная fc-поверхность F, рассматриваемыми вместе с к - морфизмом я-: F —> S на неособое проективное к -многообразие S, dimS < 2 называется относительно минимальной (или двумерным расслоением Мори), если антиканонический дивизор (—kF) -7г-обилен и p{F/S) = 1.
Согласно полученной в [9] классификации неособых, проективных, рациональных, относительно минимальных поверхностей над произвольным совершенным полем к, любая поверхность F рассматриваемого класса с морфизмом 7г: F —> S, в зависимости от размерности S, является либо поверхностью дель Пеццо (то есть (—кр) - обилен) с rkPicF = 1, либо расслоеним на коники над неособой проективной кривой S рода нуль; для каждого из этих двух типов имеется подробная классификация (см. 2.1.2).
Используя упомянутую выше классификацию, известные факты из геометрии над незамкнутым полем (см. 2.1.3) и исследуя действие группы Галуа G = Gal(C/R) на группе Пикара поверхности F, мы получаем описание всех вещественных поверхностей рассматриваемого класса.
Изучаются бирациональные R - отображения между относительно минимальными рациональными вещественными поверхностями, расклассифицированными выше. Посредством метода максимальных особенностей доказывается теорема о разложении бирациональных R - отображений между рассматриваемыми поверхностями на элементарные бирациональные R - отображения, называемые линками. Для получения такого разложения вводится понятие степени бирационального отбораже-ния, определяются элементарные линки, доказывается теорема о существовании линков, понижающих степень отображения, а также об обрыве разложения. Изложение ведется в терминах работы [15], где вводится предельная группа циклов Z*(F) = PicF + Z(F), а также пенистое пространство E(F), элементы Z(F) и E(F) мы подразумеваем замкнутыми относительно действия группы Галуа.
В завершении, используя методы работ [10], [11] и [12], находится пол
ная система соотношений между элементарными линками, определенны
ми выше, где под соотношениями подразумеваются такие цепочки линков
ап...аі, что их композиция имеет смысл и бирациональное R - отобра
жение ап...а\. F > F' является R - изоморфизмом, сохраняющим
структуру поверхности F, как относительно минимальной поверхности.
Приступим теперь к изложению третьей части. Основным ее результатом является построение на базе двумерной лог-теории Мори математического аппарата, значительно упрощающего предложенный ранее Гизатуллиным и Даниловым в [20]—[26] подход к описанию группы бире-гулярных автоморфизмов произвольной неособой комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактификаций.
Этот подход состоит в следующем. Пусть U — неособая квазипроективная поверхность, Aut(U) — группа ее бирегулярных автоморфизмов, р : U <-» V — ее пополнение, такое, что поверхность V неособа, проективна и кривая С = V\p(U) имеет простые нормальные пересечения. Тогда любому бирегулярному автоморфизму д Є Aut(U), заданному вместе с компактификациями р : U *-> V, р' : U <-» V взаимооднозначно соответствует бирациональное отображение 7 = р' 9 Р-1 : V —> V. В случае д = idu, отображение 7 называется отображением пополнений. Очевид-
но, что точки неопределенности этого отображения, как и обратного к нему лежат в С. Бирациональные отображения с такими свойствами будем называть отображениями пар (V,C), компактифицирующих поверхность U. Категория пар получается из категории пополнений функтором забвения пополнения р. Ввиду того, того, что минимальные пары имеют большие группы бирегулярных автоморфизмов естественно рассматривать отображения между минимальными парами.
Таким образом, задача об описании группы бирегулярных автоморфизмов U посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компакти-фикаций сводится, грубо говоря, к задаче о разложении бирацональных отображений между минимальными парами, компактифицирующими U на элементарные. Уточним некоторые детали.
Внутри С определяется инвариантная относительно отображений пар кривая F, состоящая из неприводимых (очевидно рациональных) компонент, для каждой из которых существует отображение, переводящее ее в точку. Очевидно, при F = О, Aut(U) — Aut(V, С). Поскольку точки неопределенностей отображений пар лежат в данных кривых, то для решения поставленной задачи достаточно ограничится рассмотрением случая, когда С = F. Производится классификация таких кривых, в результате которой устанавливается, что кривая F может быть либо колесом, либо объединением непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, либо зигзагом, то есть, цепью (см. [22]). В случае, когда F — колесо, авторами не получен алгоритм разложения отображений компактификаций на элементарные и, вряд ли он мог бы оказатся полезен для описания группы Aut(U), хотя легко доказать, что связная компонента единицы этой группы совпадает со связной компонентой единицы группы бирегулярных автоморфизмов любой ее компактификаций (это следует из 3.6.7). Случай объединения непересекающихся кривых не рассматривался, поскольку алгоритм разложения там элементарен. Зато подробно изучен случай пополнения зигзагом.
Устанавливается, что любая (за одним исключением) поверхность [/, пополняемая зигзагом, имеет минимальное пополнение называемое стандартным. Доказана теорема о том, что граф стандартных пополнений Дц-, построенный по элементарным отображениям, является деревом. Эта теорема равносильна доказательству существования отбра-жений между стандартными парами на элементарные и доказательству отсутствия соотношений между этими отображениями. Заметим, что доказательство связности графа стандартных пополнений (соответству-
ющее теореме о разложении на элементарные) весьма трудоемко. Условием д(р) = д о р определяется действие группы Aut(U) на этом графе и, ввиду того что граф является деревом, согласно классическому результату Серра [30], группа Aut(U) изоморфна фундаментальной группе графа групп, построенного по факторграфу графа Ац по действию Aut{U). Отметим, что этот факторграф изоморфен графу стандартных пар, то есть, получается из Ац, забвением отображений компактификаций.
Таким образом, Гизатуллиным и Даниловым получено описание группы бирегулярных автоморфизмов неособой комплексной квазипроективной поверхности, пополняемой зигзагом, посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее неособых компактификаций.
Для нас представляло интерес применить лог-теорию Мори к решению данной задачи, упростить громоздкие доказательства этих авторов и получить конкретный алгоритм (а не теорему существования) разложения на настоящие линки.
В логике рассуждений мы в значительной мере придерживаемся описанной выше конструкции, а именно определяем аналогичную инвариантную кривую и строим разложение отображений на элементарные. При этом мы не строим описание групп бирегулярных автоморфизмов, поскольку при наличии алгоритма факторизации эта задача решается стандартным образом. Основное отличие нашего подхода от подхода Гизатуллина и Данилова состоит в использовании лог-теории Мори и рассмотрении особых (а именно лог-терминальных) компактификаций, а также особых поверхностей U. Заметим, что применение лог-теории Мори значительно упрощает решение задачи, поскольку доказательство алгоритма разложения на элементарные при рассмотрении особых компактификаций становится тривиальным. По ходу исследования нам удается получить новые результаты, представляющие отдельный интерес. Возможно, что в большей размерности использование этой теории при решении сходных задач будет также иметь смысл.
Наш подход основан на рассмотрении связанного с лог-теорией Мори и зависящего от рационального параметра р, где 0 < р < 1, семейства категорий пар Rp, а также предельных категорий при стремлении этого параметра к определенному значению. Категории Rp рассматриваются как подкатегории в категории пар R, объектами которой являются пары (V,C), такие что V - проективная поверхность с Q-факториальными особенностями, С - приведенная кривая на V, а морфизмами — бира-циональные морфизмы <р : V —> V, такие что С = <р*(С) и ip стягивает
компоненты кривой С. Объектами категорий Rp являются (V, С) Є Ob R, такие, что пара (V,pC) лог-терминальна, а морфизмами — последовательности стягиваний Ку + рС-экстремальных лучей дивизориального типа, где Ку - канононический дивизор на V. Мы также используем категорию неособых пар RN — полную подкатегорией в R, множество объектов которой состоит из пар (V,C), таких, что V — неособа, а С — кривая с простыми нормальными пересечениями (Это именно та категория, с которой работали Гизатуллин и Данилов). Если X — полная подкатегория в R, и в X выполнено левое правило Оре (таковы Rp, при р < 1 и RN), то морфизмам категории частных X категории X, при фиксации пополнений соответствуют бирегулярные автоморфизмы квазипроективных поверхностей V \ С.
Основанием для применения категорного подхода к лог-теории Мори послужили некорректности, найденные автором в некоторых работах (см. например [28]), состоящие в неучете таких понятий, как выполнение правила Оре и полнота в категории R. Категорный подход к лог-теории Мори интересен и сам по себе, поскольку приводит к новым результатам и делает теорию более прозрачной. Мотивировкой рассмотрения семейства категорий, зависящих от параметра, служит недопустимость категории і?і в указанном выше смысле - она не является полной подкатегорией в R и в ней не выполнено правило Оре. Ввиду того, что хороший алгоритм факторизации связан с рассмотрением R\, это приводит к необходимости введения предельных категорий и искусственному определению подобия категории частных для R\.
В начале исследуются общие свойства категорий Rp. Установлена выполненность левого правила Оре в категории X, где X — одна из категорий R, Rp при р < 1 или предельная категория. В категория Ri это правило не выполнено. Отсюда следует, что хорошо определена категория частных X категории X. Доказано, что любой объект категории X имеет единственное минимальное разрешение особенностей с точностью до изоморфизма, а также, что любой морфизм категории частных X по модулю изоморфизмов имеет единственное минимальное разрешение, то есть минимальное частичное разрешение, как бирацональное отображение. Установлено, что категории X и X являются полными подкатегориями вйиЛ соответственно.
Далее изучаются более тонкие свойства категорий Rp. Производится классификация особенностей объектов этих категорий и элементарных морфизмов, соответствующих стягиваемым в данных категориях экстре-
мальным лучам. Получены следующие результаты:
Категория Яр! является полной подкатегорией в категории Rp2 при | < рх < р2 < 1 и обе они являются полными подкатегориями в категории Ri_. Категория Rp_ ~ Rp является полной подкатегорией в категории Rp+ при | < р < 1, где Rp_ и Rp+ — соответственно левые и правые предельные категории. Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.
Категория Rpx является полной подкатегорией в категории Rp2 при О < р2 < Pi < | и обе они являются полными подкатегориями Ri_. Категория Rp+ ~ Rp является полной подкатегорией в категории Rp_ при 0 < р < \. Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.
Obi?i_ =ОЬДг.
Далеее, ввиду единственности изоморфизмов минимальных разрешений особенностей, определяется функтор разрешения особенностей J\fx' X -> RN и индуцируемый им функтор категорий частных А/*: X —> RN, где X — одна из категорий Rp, при р < 1 или предельная категория. Доказывается, что при | < р < 1 любой минимальный объект категории RN имеет единственную с точностью до изоморфизма минимизацию в категории Rp, то есть, морфизм на минимальный в Rp объект. Заметим, что при р < | минимизация может быть не единственна. Поэтому можно определить функтор минимизации Mrp: Rnm —> R^f, где RNM и Щ? — полные подкатегории в RN и Rp, множества объектов которых являются множествами минимальных объектов соответствующих категорий. Функтор минимизации является квазиобратным к ограничению функтора разрешения особенностей на соответствующие подкатегории. Отметим, что не для любого минимального объекта категории Rp его разрешение особенностей будет минимальным объектом категории RN. Нами доказана следующая очень важная теорема о замкнутости: Пусть {V, С), {Vі, С) Є ОЬЯ* при | < р < 1 и их разрешения особенностей минимальны в RN, пусть далее у: (V,C) —> (Vі, С), у Є МогR^f и <р : (W,CW) -> {V,C), у1 : (W,CW) -> (V',C) — минимальное разрешение 7, тогда для любого (р" : (W, Cw) —» (V", С"), такого что ір Є Мог Rp, (V",C") Є ObR^, разрешение особенностей пары (V",C") также будет минимальным объектом категории RN.
Для пар (V,C), являющихся объектами категории X, где X — одна из категорий RN, Rp или предельная категория, по аналогии с [22]
определяется эффективная кривая Fx(V, С) С С, как кривая, состоящая из всех неприводимых компонент Fi кривой С, для которых существуют мофизмы <р : (W,CW) -> (V,C), <р{ : {W,CW) -> (Vі,0і), такие, что ірі стягивает 4>Zo&{Fi)- Эта кривая, в случае выполнения в X левого правила Оре, инвариантна относительно морфизмов категории частных. Если (V,C),(V',C) Є ObMX, где через ObMX обозначается множество минимальных объектов категории X, ц> : (W,CW) —У (V,C), ip' : (W, Cw) —У (V, С) и не существует морфизмов р, ф, ф' Є МогХ, таких, что (р = ф о р, (р' = ф' о р, то точки неопределенности (р~1 лежат в Fx(Y, С), а точки неопределенности <р'-1 лежат в Fx(V, С).
Произведена классификация таких кривых и получен конструктивный способ их нахождения (последнее не было сделано в [22] для категории RN), в частности, доказано, что любая связная компонента кривой Fx {V, С) при (V, С) Є ОЬм X содержит неприводимую компоненту с неотрицательным индексом самопересечения. Доказана инвариантность Fx(y,C) относительно функтора разрешения особенностей, при X ф R\ (в R\ и Rp при р < | эти утверждения не верны), поэтому классификация Fx{V,C) в данном случае сводится к их классификации в RN, полученной в [22]. Отметим, что классификация кривых Fx(V,C) произведена нами без использования доказательства их инвариантности относительно функтора разрешения особенностей, которое само опирается на эту классификацию. Для доказательства инвариантности Fx{V,C) относительно данного функтора особенностей оказывается необходимым ввести некоторое множество "элементарных" морфизмов категории RNM, практически совпадающие с определенными в [26]. Эти морфизмы также используются для приведения пары к стандартному виду, (наше определение стандартности несколько шире, чем у Гизатуллина и Данилова).
Опишем классификацию кривых Frx{V,C). Пусть (V,C) Є ObMR\_ и N'r1_ (V, С) Є ObM RN. Тогда любая связная компонента F = Frx(V, С) неприводима, неособа и либо F — объединение непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, не проходящих через особенности V, либо F состоит из одной компоненты, проходящей не более чем через две особые точки поверхности V типа Ап. Последний случай в точности соответствует нашим стандартным парам.
Перейдем теперь к построению категории Щ1, как полной подкатегории в категории R\_, и алгоритма разложения морфизмов категории R^ на элементарные. Для этого нам понадобится следующяя конструкция: Пусть Q — дерево и G' — подграф в G, тогда Q' мы будем называть
внешним, если G\Q' — дерево. Определим замыкание подграфа G" в Q — G"Q, как минимальное поддерево в Q, содержащее Q". Аналогичным образом определяется замыкание подграфа в объединении деревьев.
Пусть Q{D) — граф, ассоциированный с кривой D. Тогда доказано, что если (У,С) Є ОЬЯі_, F С Я С G С С, (G,C - G) = О, где Q(G) — дерево, кривая Н стягиваема в категории Ri_ и G(F) — внешний подграф в G(G), тогда кривая F стягиваема в категории R\. Это утверждение имеет очень важные следствия, а именно:
1) Пусть (V,C) Є ОЪм Ri_ и кривая FRl(V,C) непуста, тогда
FRl(V,C) = FRl_(V,C).
Можно определить полную подкатегорию R в категории Rf1, объектами которой являются пары (V, С) такие, что FRl (V, С) ф 0.
Пусть 7 Є МогЩ*_, tp:{W,Cw) -> (V,С), ф (W,CW) -> {V',C) — минимальное разрешение 7, F — FRl_ (V, С), F' — FRl_ (V, С) kG(F) — объединение конечного числа деревьев, тогда:
Fw = FRl_ (W, Cw) =
Очевидно что, если (V,C) и (V',C) Є OhR^1, то граф кривой Fw является объединением цепей F, первой вершине каждой из которых соответствует собственный праобраз соответствующей связной компо-неты кривой F, а последней — компоненты кривой F'.
Исходя из этого, мы немедленно получаем разложение морфизма 7 на элементарные морфизмы т/> где 1 < і < п, 1 < j < ті — 1, n — число связных компонент кривой Fw, г, ті — количество вершин г-той компоненты. Граф кривой Fwi на минимальном разрешении морфизмы 7j представляет из себя п — 1 изолированную вершину и две вершины, соединенные отрезком, являющиеся образами j и j + 1-ой вершин г-той связной компоненты кривой Fw'. Между мофизмами, соответствующими одной связной компоненте, отсутствуют соотношения. Морфизмы относящиеся к разным компонентам коммутируют.
Если минмальные разрешения особенностей пар (V, С) и (V, С") являются минимальными объектами категории RN, то из теоремы о замкнутости следует, что таковыми же будут и все промежуточные объекты разложения. Применив функтор разрешения особенностей к данному разложению, мы получим, что построенным нами элементарным мор-физмам соответствуют элементарные морфизмы категории RNM, упомянутые выше.
Автор выражает глубокую благодарность профессору Василию Алек-
сеевичу Псковских за постановку задач и полезные советы.
2 Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел
Разложение бирациональных отображений между минимальными рациональными R-поверхностями на элементарные линки
Пусть xt и х\ - замкнутые точки E(F) и E(F ), f и / - классы геометрических слоев морфизмов k F - канонические дивизоры на F и F . Рассмотрим коммутативную диаграмму (1). Выберем подвижную без неподвижных компонент и базисных точек линейную систему Ы = —m kpi + a f , Ы PicF , а 0. Из теоремы 2.1.2 и утверждения 2.1.3 5) следует, что т Є {\Ъ} U {Z}, а! Є Ъ. Пусть hG = p? (h ) = -m (p (kFi) +aip (f) Є Рг сС? - праобраз /г на G и h = 7-1 (/і ) = 95(/10) = —ткр + af — Е» гс(я»)2» где m Є {{Z} U {{Z}, а, П(ХІ) Є Z, П(ХІ) -1 кратность точки І Є E(F) в линейной системе \ h Так как а 0, то равенство в (3) достигается тогда и только тогда, когда P {IG) содержится в слое морфизма 7г , то есть, когда существует морфизм х S — S". С другой стороны, из (2) и (3) мы также получаем неравенство (4): Так как в этом случае существует к - морфизм х : S — S , то либо F/S и F /S одновременно принадлежат к семейству {С(к)} и тогда х - к - изоморфизм (поскольку слои 7г и я7 неприводимы над &(), где Є (5 fc), либо F /5" Є { (&)}. Во втором случае из (5) немедленно следует, что 7 и X - к - изоморфны (так как / = о, то морфизм (р нє может стягивать ничего, кроме p/-1(j)) то есть { р-1(а\-)} С { -1(#i)} ).Тогда, возведя равенство (5) в квадрат, получим, что a = 0, п(х{) = 0 и (р должен стягивать р-1(а:і) для всех г). Это доказывает утверждение а). Докажем утверждение Ь). Заметим, что, если а О и для всех г : П(ХІ) га, то, положив в (2) п = т и заменив в предыдущих рассуждениях IQ на l G, получим: Следовательно, т т\ то есть т = т . Допустим,что 7 не является к - изоморфизмом. Тогда из а) вытекает, что F/S и F /S Є {С(к)}. Поскольку 7 не изоморфизм, то существует точка х к 6 E(F ), такая что (р х{х к) не стягивается к - морфизмом (р. Тогда для любой точки х\, такой что х к является бесконечно близкой к х\, р 1(х\) не стягивается (р и можно выбрать х\ Є F . Тогда из того, что p(F/S) = 1 и из свойств индексов пересечения следует, что р должен стянуть дивизор degx itp (f) — р 1(х\) в точку ХІ Є E(F). Теперь из равенства коэффициентов при -1(а ) в формуле (5) получаем, что п(а ) = 2га, что противоречит условию П{ХІ) га.
Таким образом, теорема доказана. 2.2.3. Лемма. В обозначениях 2.2.1 имеют место следующие утверждения: a) Если х\,..., хг - все точки с П(ХІ) га 0иа 0,то i=i degxi d, где d = кр. b) Если Xj ХІ (то есть, если Xj является бесконечно близкой к ХІ), то П(ХІ) Tl(Xj) 0. c) Если F/S Є {С(к)}, d= кр 0 и а 0 , то F - поверхность дель Пеццо. d) Пусть F/S Є {С(к)} и существует замкнутая точка х Є F, такая что п(х) га. Тогда х удовлетворяет условию є из определения 2.1.7 Доказательство, а) Воспользуемся формой пересечения на Z (F) (см.[10]): (1) - fi(ft) = (а/ -kF) + md-Y, 1едх{щ = -Sl(h ) 0. Поскольку а 0, (f kp) 0, то утверждение а) немедленно следует из (1). b) утверждение следует из того, что h эффективный элемент z {f), то есть h є z (f) (см. [13], гл. v, j 2). c) воспользуемся численным критерием обильности. пусть x pf — qkp, p,q є z - произвольная неприводимая кривая на f. тогда (х /) 0 и, следовательно, g 0. предположим, что (х —fcp) 0 .тогда (х-— кр) = 2p + qd 0 {x-af — ткр) = 2ag + m(2p+gd) 0, так как а 0. но это не возможно, поскольку a/ — rafcp не имеет неподвижных компонент. d) допустим противное. пусть (х к) — {xi,..., хс}, xj є f к, г є {1,..., с}, где с = degx. тогда возможны два случая: 1) существуют i,j є {1,..., с}, такие что хі и xj лежат в одном геометрическом слоє /тг(хі) = /tt(xj) морфизма 7г. 2) существует точка х , і є {1,...,с}, лежащая в вырожденном слое лг(1л). тогда из 2.1.2 следует, что либо: 2а) хі является точкой пересечения исключительных прямых, из которых состоит слой /ж(хі), либо: 2ъ) существует s є gal[k/k) и j є {1,..., с}, что xj = s(xi) и f n) — /іг(х,). то есть выполнен одновременно и 1) случай. из 2.1.3 2) вытекает, что для всех j є {1,..., с} точки xj. расположены в вырожденных слоях fv(xj) таким же образом, как и хі. положим д = / — х в случае 1)и д = с/ — х -в случае 2а). тогда д є z\{f) (см. [13], гл.у, j2). поскольку h є z\{f) и h \ не имеет неподвижных компонент, то (д h) о, . но в случае 1), так как ((/ — х) х) = с, имеем . таким образом, мы пришли к противоречию. лемма доказана. 2.2.4. лемма-определение пусть fk/sk, fk+i/sk+i принадлежат се мейству {M(R)}, 7rfc : Fk - Sk, 7Tfc+i : Fk+i - Sk+i - R - морфизмы и «fc+i : Fk У Fk+i - бирациональное R - отоображение, Д и Д+і - классы слоев морфизмов тхк и тгк+і, крк и крк+1 - канонические дивизоры на Fk и Fk+i. И пусть hk = -тккрк + akfk J2in( k,i)xk,i Є Z (Ffc), /ijb+i = afc+i(/ifc) = -mk+1kFk+1 + ак+і}к+і - І"(4+І,І)4+І,І Є Z (Fk+\), где xti и x+1 І - замкнутые точки степени с Є {1,2} на E(Fk) и E(Fk+i), соответственно, a n(xki) и n(xk+li) - их кратности в \hk\ и /ifc+i . Найдем рекуррентные формулы для коэффициентов (гпк,ак,п(хкі)) для множества 1) - 9) наборов Fk, Fk+\ с к+і- Бирациональные Е. - отоображения: с 7?8»7?6»1?8» ПРИ d = 2fc 8, pd при d = 2,4,8 и rfi, определенные в 1) - 9), мы будем называть ЭЛЕМЕНТАР НЫМИ ЛИНКАМИ. Множество линков будет обозначаться через L. 1) Fk = Pjjj, Fk+і = Fi, где Fi - стандартная линейчатая поверхность, ttfc+i — iR- раздутие точки х\ на Р, тогда
Z^o-Упорядоченные категории Qp р-лог-терминальных пар
Ob М := {нормальные проективные многообразия над С, имеющие Q-факториальные особенности, то есть, такие, что любой дивизор Вейля является Q-дивизором Картье.} МогМ := {доминантные морфизмы со связными слоями.} Ob Md := {V Є Ob M, такие что dim V = d.} Очевидно, если (р Є MorMd, то р — бирациональный морфизм. 2) Пусть V Є Ob М. Определим канонический дивизор Вейля Ку на V как продолжение канонического дивизора .KV\smgv как дивизора Вейля, с неособой части V \ Sing V многообразия V на все V. Существование и единственность такого продолжения очевидны. 3) Пусть (V,7n,.,7Tfc) є ObJBfc(M), к Є Z, k 0. Через (7, ,.,) мы будем обозначать группу циклов размерности j, лежащих в слоях морфизмов 7ri,.,7Tfc, где 0 j d, d = dimV. Поскольку V Q-факториально, определено естественное спаривание: Через = будут обозначаться отношения численной эквивалентности на ZA.1{V)mZx{y u. k). Введем следующие понятия и обозначения: Очевидно, что определенное выше спаривание, индуцирует естественное спаривание: Пусть, далее: р(У,7гь.,7гА) :=dimNl(V, Ki,.,nk), NE(V,7Ti,.,TTk) — конус в Ni(V,714,.,71 ), состоящий из линейных комбинаций эффективных кривых, лежащих в слоях всех морфизмов щ, с коэффициентами в R+, NE(V, 7Гі,., 7Tjb) — его замыкание, 1)-) )/3 0 := {z Є ЛГЕ(У,7ГІ,.,7ГА;) (D, Z) 0)}, где D Є Nd-i(V). Подконус R в NE(V,714,.,71) называется экстремальным, если существует численно эффективный класс Н Є Nd-i (V) такой, что: R = Н1 П ТЩу, тгі,., щ), где Ях := {К Є JVi(V, тгь., тг ) (ДГ, Я) = 0}. Лучом в ЛГ?(У,7Гі,., 7Tfc) будет называться одномерный подконус. D-экстремальным подконусом в NE(V,iri, .,7Г ), где D Є iVd_i(V% называется экстремальный подконус R такой, что (К, D) 0 для любого К Є R\0. Стягиванием подконуса R Є NE(V,iri,.,iVk) называется морфизм соїгід Є Мог М, соїк-д: V — Z такой, что условие соін.д(.В) = pt для кривой В равносильно условию [В] Є R, где [В] — класс В по модулю численной эквивалентности, apt — точка. Очевидно, что морфизм соМд индуцирует естественно определямый морфизм COntfl." (V,щ,.,щ) — (Z,pi,-,pk), согп-д е UovBk{M). 4) Пусть ер Є МотМ, р: V -Л V. Поскольку V и V (Q-факториальны, определено отображение полного прообраза: Если (р Є MorMfc, то через р д и у?» будут обозначаться стандартные отображения собственного прообраза и прямого образа 3.2.2. Замечания. 1) Очевидно, если V" Є ОЬМг, то определены естес твенные скалярные произведения ( , ) на Zi(V) 0 Q и N\(V). 2) Пусть ір Є MorM2, p:F — У, тогда исключительная подсхема морфизма (р, Ех( р), является объединением конечного числа неприводи мых -исключительных кривых и отображение (р удолетворяет следу ющему соотношению: Е) = О, и если p{V, р) = 1, то: 3) Пусть (р Є MorMfc, р: V - V, тогда Я = /? (.KV) 3.2.3. Утверждения. 1) Пусть V Є ОЪМ2, тогда на V не может су ществовать двух численно неэквивалентных нулю Q-дивизоров D\ и D2 со свойствами: {Dxf О, (D2)2 О, (A, D2) = 0. 2) Пусть V МогМ2, ф-.V -) V, ЕІ7 г Є {1,..., га}, — все неприводимые -исключительные кривые. Тогда квадратичная форма, определяемая матрицей пересечения ((",-, Ej)ij), отрицательно определена на подпространстве пространства Zi(V) 0Q, порожденном векторами 1%. 3) Пусть ip и Е(, і {1,...,ті}, — такие, как выше, F = \Щ — кривая на V.
Тогда квадратичная форма, определяемая матрицей пересечения ((F-,Fj)itj), отрицательно (неположительно) определена на подпространстве пространства Zi(V) g Q, порожденном векторами F-, тогда и только тогда, когда квадратичная форма, заданная матрицей пересечения ((FuFj) ), где Я = уъ( ) при і Є {1,...,га}, F{ = Е т при і Є {га + 1,...,тп + ті} отрицательно (неположительно) определена на подпространстве в Zi(V) Q, порожденном векторами i -. 4) Пусть V Є ОЪМ2, Dx, D2 — эффективные Q-дивизоры на V, такие что (Di)2 О, (Di,D2) ф 0, тогда существует а Є Q, такое что {D\ + aD2)2 0. 5) Пусть V Є0ЬМ2, D\,D2 — эффективные Q-дивизоры на V, такие что (A)2 = (D2)2 = (Di,D2) = 0. Тогда дивизоры Di и D2 численно пропорциональны. Доказательство. Пусть ip.W - V — разрешение особенностей поверхности V, DY = 4 {DX), f = v {D2), тогда (DY)2 = (DJ2 0, (DY)2 = (D2f 0, (DY,Df) = (DUD2) = 0. Индекс пересечения задает на векторном пространстве Ni(W) квадратичную форму, которая, согласно теореме Ходжа об индексе, имеет тип (1, р— 1), где р = dimiVi(W). Если указанные в лемме дивизоры существуют, то классы [DY] И [DY] являются ненулевыми элементами в Ni(W). Элементы [DY] и [DY] не пропорциональны, так как, в противном случае найдутся отличные от нуля числа щ и п2 такие, что дивизор Dw = niDY + n2DY численно эквивалентен нулю, но, тогда (DY,DW) = ni(DY)2 — 0 и пі = 0. Непропорциональность [DY] И [DY] противоречит теореме об индексе. Утверждение 1) доказано. Докажем утверждение 2). Пусть D = "=1 ЩЕІ, Н — очень обильный дивизор на V, Я = (ф) (Н ) и а,- — произвольные рациональные числа. Очевидно, можно считать, что Н не содержит точек множества (Ех( )). Предположим, что (D)2 0, тогда: Получаем противоречие с утверждением 1). Утверждение 2) доказано. Утверждение 3) очевидным образом следует из утверждения 2), поскольку для любого D = Lt" QiFi Є Zi(V) Q имеем: Для доказательсва утверждения 4) достаточно заметить, что кривая, определяемая уравнением: y=(D1 + xD2)2 = (D,)2 + 2x{Du D2) + x2(D2)2 обязательно пересекается с верхней полуплоскостью. Докажем утверждение 5). Допустим противное. Согласно утверждению 4), для произвольного эффективного дивизора С, такого что (C,Di) О существует а Є Q, такое что (С + aD\)2 0. Из утверждения 1) следует, что (C,D2) = (С + aDi,D2) ф 0. Поэтому существует Ь Є Q, такое что (С, Dx + bD2) = 0. Тогда: (A + bD2)2 = 0, (С + aDx)2 0n(C + aD1,Dl + bD2) = 0. Это противоречит утверждению 1), поскольку дивизоры С + aD\ и D\ + bD2 численно неэквивалентны 0. Утверждение доказано. 3.2.4. Следствия. Пусть р Є MorM2, (p:V - V, p(V,ip) = 1, Е — (р- исключительная кривая, D — эффективный Q-дивизор на V, D = p rf(D ), К и К — Q-дивизоры наКи V, такие что К = р (К), (К, Е) 0. Тогда: 1) (D)2 (D )2 и (D )2 = (D)2 тогда и только тогда, когда (D, Е) = 0. В этом случае для любого Q-дивизора F на V имеем: (F, D) = ((p (F), D ). 2)(K ,D ) (K,D). 3) Класс кривой [Е] порождает экстремальный луч R в NE(V). (Действительно, R=LL, где L = [Н — (Н, Е)Е], а Н — обильный дивизор.) 3.2.5. Определение. Определим категорию двумерных пар Q, как кате горию, объектами которой являются пары (V, С) такие, что V Є ОЪМ2, С = "=і С») где СІ — попарно различные неприводимые кривые на V, а морфизмами p:(V, С) — (V, С") — морфизмы ip:V —у V, р Є МогМ такие, что (р (С) = С. Мы будем также предполагать, что множест во ObQ содержит ровно по одному объекту в классе изоморфных. Вве дем структуру 2 о-упорядоченной категории на категории Q условиями: VQ(V, С) := p(V), где p(V) — число Пикара. 3.2.6. Замечания. 1) Мы всегда будем подразумевать, что на кате гориях Bk(Q,X,О,), где X — подкатегория в Q, О, С ObQ, структура о-упорядоченных категорий определена, в соответствии с 3.1.6 2)г). 2) В определении множества объектов категории Q можно было бы опустить условия на классы изоморфных объектов (очевидно, что полу ченные при этом категории были бы эквивалентны исходным), однако данное определение понадобится нам в конце работы.
Морфизмы в категориях Qp и Rp и особенности объектов этих категорий
Определение. Пусть V Є ОЬМг, F,G — связные кривые на V, F С G, F = Г=і » гДе ft — попарно различные неприводимые кривые на V. И пусть пересечения кривых Fj, как и их пересечения с G — F являются простыми нормальными пересечениями. Определим граф Q(F,G) следующим образом: пусть U — малая окрестность кривой F, тогда невыделенным вершинам Q(F,G) соответствуют кривые Fi, і Є {1,...,га}, выделенным — компоненты кривой G—F\(u). Вершины соединяются таким количеством ребер, с какой кратностью соответствующие им кривые пересекаются в U с учетом самопересечений. Пусть, далее: aj(F,G) — число невыделенных вершин графа Q{F, G) степени инцидентности равной j, k(F, G) — максимальное j такое, что a,j(F,G) ф 0 и m(F,G) — число выделенных вершин Q(F,F) (очевидно, степень инцидентности последних всегда равна единице). Определим также граф G(F), как Q{F) — Q(F,F) 3.4.2. Определение. Пусть (V,C) Є Ob Л, ((W,Cw),a) Є NR(V,C), F С С — связная кривая на V, Fw = J F = a 1(F), где F — различные попарно неприводимые кривые на ИЛ Тогда очевидно, что имеет простые нормальные пересечения и можно ввести следующие понятия: 1) Мы будем говорить, что кривая F имеет тип rfn,m fe и развернутый тип f в {V, С), если pa{FF) = 0 для любого г, d = d{Fw) := pa(Fw), aj = 0 ( , ), m = m(Fw,Cw) и к = k(Fw,Cw). 2) Пусть x — точка на V. Мы будем говорить, что пара (V, С) неособа в точке х, если поверхность V неособа в я и кривая С и имеет простые нормальные пересечения в а;, а также что пара (V, С) имеет особенность типа dn,m,k и развернутого типа (%? к в точке х, если кривая о 1(х) имеет тип dn;m,k и развернутый тип dm, в (У»0 3.4.3. Замечания и определения. 1) В предположениях предыдущего пункта очевидно, что кривая F имеет тип 0„im)fc в (V, С) тогда и только тогда, когда граф Q{FW, Cw) является деревом и pa(FY) = 0 для любого і (см. [[16]], гл V, задача 1.З.). 2) Пусть А; 2. Тогда очевидно, что развернутый тип кривой F пол ностью определяется ее типом, а также, что d l, т 2ига = 0 при d=l. Всюду далее мы будем предполагать, что для кривой F с к 2, компоненты кривой Fw = Y i Y занумерованы описанным ниже способом:
Очевидно, что кривая Fw имеет две нумерации описанного выше вида в случае pa(Fw) = 0 и 2га таких нумераций в случае pa(Fw) — 1. Кривая F с к 2 будет называться минимальной, если Fw не содержит (—1)-кривых. 3) С каждой кривой F типа 0П)т в (V, С), где к 2, с выбранной нумерацией на кривой Fw = Z)f=1 F свяжем последовательность целых чисел Д0, Ai,..., Ап условием: Заметим, что определенные выше числа Aj при і Є {0,..., п—2} удовлетворяют следующему соотношению: А,- = — (Fj)2Ai+i — ДІ+2- Отсюда легко вывести, что НОД(ДІ, ДІ+І) = 1 при і п. 4) Пусть F — кривая типа rfn,m,A, где к 2, тогда мы будем говорить, что кривая F имеет численный тип dnrofc[aj,Oj,...,o{], если (F = аг, (FY? = ,...,( )2 = а1 и {F -2 при р ф i,j,.., I. 3.4.4. Теорема-определение. Пусть (V, С) Є Ob QpnB — приведенная кривая на V. Тогда существует естественно определяемый эффективный Q-дивизор Вейля DifFn на В, называемый дифферентой, такой, что: Доказательство следует из теоремы о лог-присоединении для лог-терминальных пар с Q-факториальными особенностями (см. [18]). 3.4.5. Замечание. Утверждение теоремы 3.4.4 остается верным в условиях замечания 3.2.15. 3.4.6. Следствия. 1) Пусть (V, С) Є OhQp и В — приведенная кривая на V такая, что (Kv + рС, В) О, В2 0. Тогда ра(В) - 0. 2) Любой морфизм в категории Qp, а также Rp является стягиванием конечного числа деревьев, состоящих из неприводимых кривых арифметического рода ноль. 3) Пусть (V, С) Є Ob Qp = Ob Rp и x — точка на V, тогда либо х — неособая точка пары (V, С), либо (V, С) имеет особенность типа 0ПгГП к в точке х. Доказательство. Утверждение 1) следует из того, что, согласно теореме 3.4.4: 2ра(В) - 2 deg{KB + DiffB) = (Kv + В,В) (Kv + рС, В) 0. Утверждения 2) и 3) вытекают из утверждения 1), разложимости соответствующих категорий и замечания 3.4.3 1). Следствия доказаны. 3.4.7. Лемма. Пусть (V,C) Є ObR = ObQ, F — неприводимая кривая типа 0n;m)jt в (V, С), где т 1 и к 2, содержащая не более одной особой точки пары (V,C) (которая, очевидно существует при п 1 и имеет тип Оц-ід ) и такая, что (F)2 = —/ 0 и, если т = 1, то F П (С — F) і Sing(!0. Пусть, далее ((W,Cw),a) Є NR(V,C), Fw = "=i = ip- F), F = ip- (F), bi = -(F )2 и ДІ — определители из 3.4.3 3), соответствующие кривой Fw. Тогда: Доказательство. Заметим прежде всего, что Л0 — гаДі = 0 тогда и только тогда, когда F — (—1)- кривая и т = 1. Очевидно, можно считать, что пара (V, С) не имеет особенностей вне F. Для доказательства всех утверждений проведем индукцию по п. При п = 1 До = Ъ\, Ді = 1 и утверждения 1) и 2) очевидны: Тогда p(F) = (Ьі — 2)/(Ьі — m), при &і ф т ф 1, и p(F) = —оо, при Ьх = т = 1. Из теоремы о стягивании и замечания 3.2.15 следует, что кривая F стягиваема в категории R и J((p) = (p(F), 1]Q П [0, 1]Q. ТО, что легко проверяется. Таким образом, в случае п = 1 утверждения 1), 2) и 3) доказаны. Пусть при п к выполнены все утверждения леммы, докажем что они выполнены при п = к + 1. Из предположения индукции следует, что определено следующее разложение морфизма а = о\ о о тк, где ас. (V , 0і) — (7,-1,Cl_1) — стягивание последней г -й компоненты F/ кривой Fi = (af+i),Fi+1 = FL ОІ Є МОГ1 Я; F\ = ( ri+1),Fj+1 при j г, (W,CW) = {Vk,Ck), (V,C) = (V,C) и: /i:=-(F21)2 = A1/A2, (ffy + F, F) = (tfw + JFf, F) + (Дх - 1)/AL Очевидно, что это доказывает утверждение 2), а также что: / = Ьі - і//1 = h - Д2/Д1 = (ЬіДі - Д2)/Ді = Д0/Д1. Таким образом, утверждение 1) доказано. Докажем утверждение 3). Из утверждений 1) и 2), замечания 3.2.15 и теоремы о стягивании следует, что ір Є Мог R и для интервала J(cp) получаются границы, указанные в формулировке леммы. Мы также имеем:
Определение кривых Fx{V, С), их классификация и инвариантность относительно функтора разрешения особенностей
Определение. Пусть V Є ОЬМг, F,G — связные кривые на V, F С G, F = Г=і » гДе ft — попарно различные неприводимые кривые на V. И пусть пересечения кривых Fj, как и их пересечения с G — F являются простыми нормальными пересечениями. Определим граф Q(F,G) следующим образом: пусть U — малая окрестность кривой F, тогда невыделенным вершинам Q(F,G) соответствуют кривые Fi, і Є {1,...,га}, выделенным — компоненты кривой G—F\(u). Вершины соединяются таким количеством ребер, с какой кратностью соответствующие им кривые пересекаются в U с учетом самопересечений. Пусть, далее: aj(F,G) — число невыделенных вершин графа Q{F, G) степени инцидентности равной j, k(F, G) — максимальное j такое, что a,j(F,G) ф 0 и m(F,G) — число выделенных вершин Q(F,F) (очевидно, степень инцидентности последних всегда равна единице). Определим также граф G(F), как Q{F) — Q(F,F) 3.4.2. Определение. Пусть (V,C) Є Ob Л, ((W,Cw),a) Є NR(V,C), F С С — связная кривая на V, Fw = J F = a 1(F), где F — различные попарно неприводимые кривые на ИЛ Тогда очевидно, что имеет простые нормальные пересечения и можно ввести следующие понятия: 1) Мы будем говорить, что кривая F имеет тип rfn,m fe и развернутый тип f в {V, С), если pa{FF) = 0 для любого г, d = d{Fw) := pa(Fw), aj = 0 ( , ), m = m(Fw,Cw) и к = k(Fw,Cw). 2) Пусть x — точка на V. Мы будем говорить, что пара (V, С) неособа в точке х, если поверхность V неособа в я и кривая С и имеет простые нормальные пересечения в а;, а также что пара (V, С) имеет особенность типа dn,m,k и развернутого типа (%? к в точке х, если кривая о 1(х) имеет тип dn;m,k и развернутый тип dm, в (У»0 3.4.3. Замечания и определения. 1) В предположениях предыдущего пункта очевидно, что кривая F имеет тип 0„im)fc в (V, С) тогда и только тогда, когда граф Q{FW, Cw) является деревом и pa(FY) = 0 для любого і (см. [[16]], гл V, задача 1.З.). 2) Пусть А; 2. Тогда очевидно, что развернутый тип кривой F пол ностью определяется ее типом, а также, что d l, т 2ига = 0 при d=l. Всюду далее мы будем предполагать, что для кривой F с к 2, компоненты кривой Fw = Y i Y занумерованы описанным ниже способом:
Очевидно, что кривая Fw имеет две нумерации описанного выше вида в случае pa(Fw) = 0 и 2га таких нумераций в случае pa(Fw) — 1. Кривая F с к 2 будет называться минимальной, если Fw не содержит (—1)-кривых. 3) С каждой кривой F типа 0П)т в (V, С), где к 2, с выбранной нумерацией на кривой Fw = Z)f=1 F свяжем последовательность целых чисел Д0, Ai,..., Ап условием: Заметим, что определенные выше числа Aj при і Є {0,..., п—2} удовлетворяют следующему соотношению: А,- = — (Fj)2Ai+i — ДІ+2- Отсюда легко вывести, что НОД(ДІ, ДІ+І) = 1 при і п. 4) Пусть F — кривая типа rfn,m,A, где к 2, тогда мы будем говорить, что кривая F имеет численный тип dnrofc[aj,Oj,...,o{], если (F = аг, (FY? = ,...,( )2 = а1 и {F -2 при р ф i,j,.., I. 3.4.4. Теорема-определение. Пусть (V, С) Є Ob QpnB — приведенная кривая на V. Тогда существует естественно определяемый эффективный Q-дивизор Вейля DifFn на В, называемый дифферентой, такой, что: Доказательство следует из теоремы о лог-присоединении для лог-терминальных пар с Q-факториальными особенностями (см. [18]). 3.4.5. Замечание. Утверждение теоремы 3.4.4 остается верным в условиях замечания 3.2.15. 3.4.6. Следствия. 1) Пусть (V, С) Є OhQp и В — приведенная кривая на V такая, что (Kv + рС, В) О, В2 0. Тогда ра(В) - 0. 2) Любой морфизм в категории Qp, а также Rp является стягиванием конечного числа деревьев, состоящих из неприводимых кривых арифметического рода ноль. 3) Пусть (V, С) Є Ob Qp = Ob Rp и x — точка на V, тогда либо х — неособая точка пары (V, С), либо (V, С) имеет особенность типа 0ПгГП к в точке х. Доказательство. Утверждение 1) следует из того, что, согласно теореме 3.4.4: 2ра(В) - 2 deg{KB + DiffB) = (Kv + В,В) (Kv + рС, В) 0. Утверждения 2) и 3) вытекают из утверждения 1), разложимости соответствующих категорий и замечания 3.4.3 1). Следствия доказаны. 3.4.7. Лемма. Пусть (V,C) Є ObR = ObQ, F — неприводимая кривая типа 0n;m)jt в (V, С), где т 1 и к 2, содержащая не более одной особой точки пары (V,C) (которая, очевидно существует при п 1 и имеет тип Оц-ід ) и такая, что (F)2 = —/ 0 и, если т = 1, то F П (С — F) і Sing(!0. Пусть, далее ((W,Cw),a) Є NR(V,C), Fw = "=i = ip- F), F = ip- (F), bi = -(F )2 и ДІ — определители из 3.4.3 3), соответствующие кривой Fw. Тогда: Доказательство. Заметим прежде всего, что Л0 — гаДі = 0 тогда и только тогда, когда F — (—1)- кривая и т = 1. Очевидно, можно считать, что пара (V, С) не имеет особенностей вне F. Для доказательства всех утверждений проведем индукцию по п. При п = 1 До = Ъ\, Ді = 1 и утверждения 1) и 2) очевидны: Тогда p(F) = (Ьі — 2)/(Ьі — m), при &і ф т ф 1, и p(F) = —оо, при Ьх = т = 1. Из теоремы о стягивании и замечания 3.2.15 следует, что кривая F стягиваема в категории R и J((p) = (p(F), 1]Q П [0, 1]Q. ТО, что легко проверяется. Таким образом, в случае п = 1 утверждения 1), 2) и 3) доказаны. Пусть при п к выполнены все утверждения леммы, докажем что они выполнены при п = к + 1. Из предположения индукции следует, что определено следующее разложение морфизма а = о\ о о тк, где ас. (V , 0і) — (7,-1,Cl_1) — стягивание последней г -й компоненты F/ кривой Fi = (af+i),Fi+1 = FL ОІ Є МОГ1 Я; F\ = ( ri+1),Fj+1 при j г, (W,CW) = {Vk,Ck), (V,C) = (V,C) и: /i:=-(F21)2 = A1/A2, (ffy + F, F) = (tfw + JFf, F) + (Дх - 1)/AL Очевидно, что это доказывает утверждение 2), а также что: / = Ьі - і//1 = h - Д2/Д1 = (ЬіДі - Д2)/Ді = Д0/Д1. Таким образом, утверждение 1) доказано. Докажем утверждение 3). Из утверждений 1) и 2), замечания 3.2.15 и теоремы о стягивании следует, что ір Є Мог R и для интервала J(cp) получаются границы, указанные в формулировке леммы. Мы также имеем: