Содержание к диссертации
Введение 3
1 Классификационные теоремы 7
Классификация четырехмерных алгебр Ли 7
Классификация левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур 11
Ассоциированные и приводимые почти комплексные структуры 16
Вывод основных вычислительных формул 24
2 Случай прямого произведения 28
Группа SO(3) х S1 28
Группа SL(2,R) х R 36
Группа #з х R 41
Группа E(l) х R2 47
Группа Е(1) х Е{\) 51
3 Случай полупрямого произведения 57
Группа Gx 57
Группа G2 64
Группа Gz 70
Группа G4 75
Группа G5 80
Группа <36 86
Группа G7 91
Группа G& 97
Группа G9 102
Группа Gw 108
Группа Gn 113
Группа Gn 118
4 Другие ассоциированные почти комплексные структуры и связанные с ними
метрики 122
Общие конструкции 122
Случай прямого произведения 125
Случай полупрямого произведения 133
5 Приложение 146
5.а Вычисление компонент тензора Нейенхейса 146
5.Ь Вычисление компонент связности Леви-Чивитты левоинвариантной метрики . . . 146 5.с Вычисление компонент тензора Риччи и скалярной кривизны левоинвариантной
метрики 147
5.d Вычисление базисных секционных кривизн левоинвариантной метрики 147
Введение к работе
Работа посвящена изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоинвариантных метрик. Наряду с хорошо известным классом ортогональных почти комплексных структур вводятся ещё три новых класса почти комплексных структур. Первые два класса (приводимые и антиприводимые структуры) естественным образом возникают из геометрических соображений, а третий класс возникает при переносе понятия приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие некоторую симплектическую форму и описанные в [9]. Впервые почти комплексная структура, инвариантно действующая на паре заданных двумерных распределений, была построена в работе П. Годушона [15] при рассмотрении расслоения Хопфа S3 х S1. Обобщение такой структуры на произвольные четномерные группы Ли приводит к понятию приводимых и антиприводимых почти комплексных структур. Вопрос об интегрируемости приводимых почти комплексных структур на связных односвязных группах Ли размерности 4 исследован в [13]. Можно также отметить, что обобщенное понятие почти комплексной структуры - гиперкомплексная структура на группах Ли размерности 4 рассматривается в
М-
В работе также получены некоторые общие теоретические результаты. В частности, получена классификация ортогональных почти комплексных структур относительно заданной метрики в зависимости от ее сигнатуры и теорема об интегрируемости почти приводимой комплексной структуры на группе Ли размерности 4 А;, содержащей центр размерности 2 к. Попутно исследуется вопрос о существовании на четырехмерных группах Ли левоинвариантных симплектических структур и левоинвариантных кэлеровых метрик.
Основными результатами работы являются: полное описание двух известных и двух новых классов левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли размерности 4, доказательство классификационной теоремы для ортогональных левоинвариантных почти комплексных структур в случае размерности 4, построение новых классов левоинвариантных римановых и псевдоримановых метрик с различными и иногда даже уникальными свойствами, вычисление различных характеристик этих метрик и описание их связи со структурой алгебры Ли группы Ли размерности 4. Важнейшим результатом является то.
группах Ли размерности 4". Отдельные части работы публиковались в журнале "Вестник Кемеровского государственного университета"в 2006 году и в электронном издании "Сибирские электронные математические известия"в 2007 году. А также в тезисах научных конференций Томского государственного университета (2003 год), института математики СО РАН (2004 год) и Кемеровского государственного университета (2005 год). Различные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:
Конференция, посвященная 120-летию Томского государственного университета, Томск, сентябрь 2003 года.
Школа-конференция, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск, август - сентябрь 2004 года.
Ежегодная научная конференция студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета, Кемерово, апрель 2005 года.
Семинар профессора Е. Д. Родионова, Барнаул, октябрь 2006 года.
Семинар по геометрии и анализу института математики СО РАН, Новосибирск, октябрь 2006 года.
Семинар по геометрии и топологии института математики СО РАН, Новосибирск, декабрь 2006 года.
В последнее время активно развивается изучение левоинвариантных симплектических и контактных структур, а также левоинвариантных кэлеровых и локально конформно кэле-ровых метрик на группах Ли. В связи с этим встает вопрос о классификации левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли. Известно, что множество всех левоинвариантных почти комплексных структур на группе Ли размерности 2п можно отождествить с пространством GL(2n,R)/GL(n,C). Однако описать всё множество левоинвариантных почти комплексных структур, даже на группе Ли размерности 4, практически невозможно, поскольку в общем случае эта задача сводится к решению системы нелинейных уравнений с большим числом неизвестных. Поэтому, как правило, рассматриваются почти комплексные структуры либо сохраняющие некоторую метрику, либо сохраняющие некоторую симплектическую форму. В работе предлагается другой подход к построению почти комплексных структур, не требующий задания метрики или симплектической формы. Однако показывается, что таким структурам можно сопоставить метрику и внешнюю 2-форму, которые инвариантны относительно этих структур. Для каждого класса почти комплексных структур, представленных в работе, исследуется вопрос об интегрируемости, а для каждого класса ассоциированных метрик исследуются свойства их кривизн. Так как неизоморфных алгебр Ли всего 17, то представляется возможным изучить введенные классы почти комплексных структур и ассоциированных с ними метрик на всех группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли. Более того, с помощью комплексных структур рассматриваемых типов на некоторых группах удается получить левоинвариантные эйнштейновы,
кэлеровы и локально конформно кэлеровы метрики.
В первой главе сначала даётся классификация четырехмерных групп Ли по их алгебрам Ли. Также доказывается классификационная теорема для ортогональных почти комплексных структур, которая описывает множества этих структур в зависимости от сигнатуры метрики. Затем вводится понятие приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры, описывается вид этих структур в выбранном базисе и предъявляются левоинвари-антные метрики, ассоциированные с этими структурами. В заключение главы 1 выводятся необходимые вычислительные формулы.
В главе 2 изучаются четырехмерные прямые произведения групп Ли. Для каждой группы дается критерий интегрируемости ортогональных, приводимых и антиприводимых почти комплексных структур и находится оценка нормы их тензора Нейенхейса. На группах S0(3) х 51 и SL(2,R) х R при помощи формы Киллинга-Картана вводится биинвариантная метрика. На всех группах из главы 1 вводится семейство ассоциированных с приводимыми почти комплексными структурами метрик и исследуются свойства их кривизн.
В главе 3 рассматриваются те же вопросы и методы, что и в главе 2, но уже на четырехмерных полупрямых произведениях групп Ли. В некоторых случаях удается получить однопараметрическое семейство групп Ли, снабженных целым семейством левоинвариант-ных комплексных структур и кэлеровых метрик.
![Двумерная спектроскопия ЯМР NOESY в изучении пространственной структуры мономерных и димерных производных каликс[4]аренов в растворах](/i/i/4433/297326.png "Двумерная спектроскопия ЯМР NOESY в изучении пространственной структуры мономерных и димерных производных каликс[4]аренов в растворах Гадиев Тимур Артурович")