Введение к работе
Актуальность теми исследования. 3 диссертация изучается класс римановых метрик, который инвариантно присоединяется к многомерной три-ткани, а такке связанные с этими метриками почти комплексные, почтя эрмитовы и почти симплектические структури.
Геометрия тканей возникла на рубеже 'гО-х. - ЗО-х годов нашего столетия в работах немецкого геометра В.Бляшке, его сотрудников и учеников. В этих работах изучались ткани, образованное семействами кривых на плоскости и в трехмерном пространотве. Обзор этих работ имеется в монографии Б. Бляшке и Г.Боля 113] , а таклсе в книгах [Ш , [.12 ] . В частности, в книге [111 Бляшке рассмотрел ркманову метрику, присоединенную к двумерной три-тканл, относительно которой эта ткань становится равноугольной. 3 реферируемой диссертации это построение обобщается на многомерный случаи.
Первой работой по теории многомерных три-тканей была статья Г.Боля [141 , написанная в 1935 году. В ней изучается три-ткани двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве. В 1936 году появилась работа Черна [1оЗ , в которой строится геометрия мне— гоыерных три-тканей, образованных тремя семействами 1 -мерных поверхностей в %1 -мерном пространстве.
С середины 50-х годов активно развивается алгебраическая теория тканей. Обзор результатов по алгебраической теории три--тканей и подробная библиография имеется в работе З.Д.Белоусова а В.В.Рыжкова Wl ,
Начиная с работ [11 , iZ\ , опубликованных в 1958 году, систематическим изучением многомерных три-тканей на дифференцируемом многообразии занимаются Ы.А.Акнвис и его ученики.
Основы совреЕенной теории многомерных три-тканей изложены в книге У.А.Акиваса, А..М.Шолохова 171 , а достаточно полный обзор результатов по этой теории и подробная библиография имеются в работах .'/..А.Акиваса Г51 , М.А.Акивиса и С.А.Герасименко С61 .
Многообразие М , несущее три-ткань VV43.J?.?), имеет размерность Иг . Поэтому возникает вопрос о аозмоаности инвариантного присоединения к три-тк.-ши дкрорс-нпиалъно-гоометричес-ках структур, допусканих свое существование лиаь на четномерных у.нзг:>об;и:глл>:, іак в рагютах :.Ї.Л.Акивиоз 13} , L41 к три-ткани lijiMj.!-.I'-i-iij i:jnco>v,i!t!.ic-TCH nchz.i -комплексная структура, а в
статьях В.Ф.Кириченко f93 , [10] - почти антикватернионные структуры. В связи с этим возникает вопрос о присоединении к три-ткани с римановой метрикой почти эрмитовой и почти симплек-тичеокой структур.
Таким образом, изучение римановых метрик, присоединенных к три-ткани, и связанных с ними дифференциально-геометрических структур.представляет несомненный интерес. Все выше сказанное подтверждает актуальность темы, исследуемой в данной работе.
Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии многомерных три-тканей с присоединенными к ним римановыми метриками. Основными задачами данного, исследования являются следующие:
-
Построить класс римановых метрик, инвариантно присоединенных к три-ткани, изучить эти метрики, а также связанные с ними почти симплектичаские и почти эрмитовы структуры.
-
Выделить и изучить некоторые типы три-тканей, обладающих специальными свойствами относительно присоединенных римановых метрик.
-
Построить примеры выделенных специальных типов три-тканей с помощью групповых три-тканей, тканей Муфанг, Боля и грассмано-вых три-тканей.
Научная, новизна диссертации заключается в обобщении равноугольной метрики Бляшке, которая рассматривалась ранее лишь для три-тканей кривых на плоскости, на случай многомерных три-тканей на дифференцируемом многообразии размерности 2 г , Такая метрика инвариантным образом порождает на многообразии, несущем три--ткань, почти эрмитову и почти симплектическую структуры. В данной диссертации изучаются эти структуры в их связи с геометрией тканей. Все полученные в работе результаты являются новыми.
Метод исследования. Работа выполнена методом внешних форм Э.Картана. Все рассмотрения носят локальный характер. Многообразия, изучаемые в работе, предполагаются достаточно гладкими.
Теоретическое и практическое значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях, посвященных дифференциально-геометрическим структурам на многообразиях, а тачже при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где ведется работа по близкой тематике, например, в Московском педагогическом государст-
венном университете им. В.И.Ленина, Тверском государственном университете, Московском институте стаяи и сплавов и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 27-й Научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. П.Лумумбы (1931 г.), на заседании Всесоюзной школы--семлнара по геометрии тканей я квазигрупп, проводимой на базе Куйбышевского государственного педагогического института (19ЭО г.), а также на геометрических семинарах под руководством профессора М.А.Акивисі в Московском институте стали и сплавов (1990 г.) и под руководством процесора В.Ф.Кириченко в Московском педагогическом государственном университете им. В.Л.Ленина (1992 г.).
рубликгшлл. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях 1173 - 120j , которые выполнены без соавторов.
Структура и рбьег.;. работы, диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного текста, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы из 53 наименований. Объем работы составляет 104 стрчниш машинописного текста.
ОьоОР СОдьР&АІШ дИССЕРТАІЩ
Зо введен.г»! излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и приводится ее краткое содержание.
В цервой гл,арв "Равноугольная римаяова метрика на многомерной три-ткани" изучаются свойства равноугольной римановой метрики, присоединенной к три-ткани, а также выделяются некоторые классы тра-тканей с такой метрикой.
Основные необходимые определения и результаты из теории многомерных три-ткзшей приводятся в 1.
В .і на многообразии И размерности 2 г , несущем тря-ткшь \W3. 2,r) , рассматривается римаиова метрика ds* , определяемая симметричным невыр08денньм тензором . ;i,j,k= 1,...,1 г по отношешш к которой подпространства Ты(х) ;«,р,/~ і, 2 , .3 , карательные н олота трп-ікани, проходящим через точку X М , нпляятся n^ni.ho изокллшшмп и образуют мехду собой углы QOt/3 . И .j:u';.;( о п-г: )<. :..:'-1 , ирнао-здишншул к трд-тканя, будем
называть равноугольной римановой метрикой на три-тканя.
.Далее доказывается, что квадратичная форма dss может быть представлена в виде
ds23 del*d&\ dsx= ds\ rfsVds*
причем каждая из квадратичных форти ds , c/s. ;(/3), (2,5),(3,15 , определяет на многообразии М , несущем три-тканъ, риманову метрику. В касательном пространстве Тя (М) любой точки X Є М все римановы метрики o/S2 , ds2 и ds1 имеют в качестве изотропных одни и те же трансверсальные 2-плоскости три-ткани. Они образуют конус Кт изотропных трансвереальних 2-плоскостей, лежащий на конусе. Сегро С(2,7) , определяемом в Тх (М) подпространствами. Ты (х ) , касательными к слоям ткани, проходящим через точку X G М ,
В 3 устанавливается связь между аффинными связностями v ,; инвариантно порождаемые три-тканьа, и римановыми связностями
V , порождаемыми метриками d$* . для связностей V спра
ведлива _
Теорема 1.7. Слои 3^ и J. три-ткани, проходяще через некоторую точку х 6 М , являются вполне геодезическая подмногообразиями многообразия И , несущего эту ткань, относительно римановой связности V ,
Затем выделяются три класса три-ткакей с равноугольной римановой метрикой, которые характеризуются тем, что все слои три--ткани являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия М относительно одной из рймановых связностей V. . Теорема 1.8 дает необходимые и достаточние условия принадлежности три-ткани с равноугольной римановой метрикой к одному из этих классов.
Три-ткань с метрикой dss , принадлежащая всем тром'щде-. лонкнм классам, обладает тем свойством, что все слог атой трз- ' -ткани являются вполне геодезическими подмногообразиями шіогооб-разня М относительно каждой из рймановых связностей V . Для таксой тканп тлеет иесто
Теорема 1.9. Бее слои три-ткани Wf5,2,tj будут
вполне геодезическима подмногообразиями.многообразия И относи
тельно каадой из рймановых связностей V тогда и только тогда,
когда тензор qL. ковариантно постоянен в средней связности V
три-ткани. .''.
.-7-
Три-ткань с равноугольной метрикой, удовлетворяющая теореме 1.9, с необходимостью является шестиугольной (теорема,1.11). Для случая ? = 2 ( c(.Lm М =4 ) справедлива
Теорема 1.12. Если все слон три-ткани W(i,0,2) с равноугольной римановои метрикой являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия М относительно каждой из связ-ностей J7 , то эта ткань параллелизуема, а многообразие М локально евклидово.
Во второй главе "дифференциально-геометрические структури, порождаемые равноугольной римановои метрикой на три-ткани" рассматриваются дифференциально-геометрические структури, инвариантным образом" определяемые три-тканью с равноугольной римановои метрикой на многообразий И , несущем эту ткань.
1 посвящен изучению почти комплексной структури J , ин
вариантно присоединяемой к три-ткани. Такая структура рассматри
валась !/..А.Акив;ісом в работах ГУ] и 14 ] , В диссертации получены
некоторые новые результаты, касающиеся почти комплексной струк
туры J . Например, доказано, что аршинные связности V ' ,
Ф , инвариантно определяемые тканью, являются почти комплекс
ной относительно структуры J , присоединенной к три-ткани
(теорема 2.1). Jto свойство связности V дает возможность вы
числить тензор НейенхоС.са W почти комплексной структуры J .
Его компоненты ( MJ(1. );i,r,k-l ,St , относительно адапти
рованных три-ткани репоров выражаются через тензор кручения С?.1',
этой ткани следующим образом (теорема 2.2)
Отсюда, в частности, вытекает, что почти комплексная структура
J , присоединенная к трл-ткани, будет комплексной тогда и только тогда, когда эта ткань не имеет кручения.
а 2 рассматривается почти эрмитова структура, инвариантно определяемая ріпноугольной" римановои метрикой на многообразии И . несущем три-ткань. Имеет место
Г о о р о м а 2.3. Равноугольная риманова метрика di1 на мноГ';і.а:[:.чс;і три-ткани яьллотсн эрмитовой относительно почти ком— а.іг:ксний структуры 1 , присоединенной к этой три-ткани.
і. \л--.-. iSI почті! эрмитовой
структури ( J, ds ). Затем доказывается, что трансверсально--гводезические поверхности три-ткани W (3,2,1.) являются инвариантными подмногообразиями многообразия И , несущего эту ткань, относительно почти комплексной структуры J . Иэоклинные подмногообразия три-ткани W(3>Q.l) являются антиинвариантнымк it-мерными подмногообразиями многообразия М относительно почти эрмитовой структуры ( 3", dss ).
В.Ф.Кириченко в работах [9] и [10] определил антикватерни-онные структуры (X , « ) , инвариантно порождаемые три--тканыо. Бри этом операторы X-I *К задают на многообразии И , несущем три-ткань, почти комплексные структуры. Имеет место t
Теорема 2.6. 1) Каждая пара (К , ds2) определяет на многообразии М , несущем три-ткань W(3,3,t ) с равноугольной метрикой ds1 , почти параэрмитову структуру, а каждая пара ^. ^1^ - почти эрдитову структуру. Здесь (<*,.*) = (1,2,3), (2,3,1),(5,1,2).
іпадают с фундаменталь-
-
Операторы J , J связаны соотношением
-
Двумерные трансверсальные направления три-ткани W(3,a,t) являются инвариантными направлениями для каждого из операторов I , К и J
-
Фундаментальные формы структур С К . (SfsJJ и ( J .db1) с точностью до постоянного коэффициента со ной формой S2 структуры (Jjds2) .
3 посвящен изучению почти симплектической структуры 52 , инвариантным образом определяемой тензором CJt-- нз многообразий М , несущем три-ткань с равноугольной рлмзновой метрикой. Форма І7 лишьлюстоянным коэффициентом отличается от фундаментальной формы Si почти эрмитовой структуры (J , d S2 ), присоединенной it три-ткани. Поэтому симплектичноеть структуры SZ равносильна келеровосіи равноугольной римаиовой метрики ds2 огносительно почти комплексной структуры j . Теорема 2.9 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы ({.орла П опреде-г ляла симплектическую структуру на многообразии М .
Изоклинные подмногообразия три-ткани являются лагранжевт.га подмногообразиями многообразия М относительно симплектической структуры 5? . В частности, лагранжевыми подмногообразиями являются слои, образующие три-ткакь. Поэтому три-ткань \{/(3,2,г) ,
на которой Форма 57. определяет симплектическуя структуру, будем называть лагранжевой три-тканью.
далее рассмотрены необходимые и достаточные условия лагран-жевости нзоклинной три-ткани с равноугольной римаїпг -,Л метрикой. Эта ткань выделяется тем, что чер^эз каждую ее точку .-роходит од-нопараметрическое смейство изоклинных подмногообразий, которые являются лагранжевыми относительно симплектнческой структуры SI . Если все слои нзоклинной тр;і-ткаші являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия .М в каждой из римано-вых связностей У , то эта три-ткань лагранжева.
Каждые два слоения лагранжевой три-ткани образуют лагранже- ву два-ткань. С.Л.Табачников, изучая лагранжевы два-ткани в работе П63 , рассматривал симплектические связности, сохраняющие эти ткани, то есть связности, относительно которых слоя два--ткани являются вполне геодезическими подмногообразиями. Для лагранжевой три-ткани справедлива
Теорема 2.12, Риманоза связность V лагранжевой три-ткани является симплвктической связностью, сохраняющей лаг--ранжеву два-ткань, образованную слоениями Лл и Л* .
' В третьей главе "Примеры многомерных три-тканей о равноугольной риманопой метрикой" изучаются примеры три-тканей ({"метрикой, относящихся к спешпльным классам, выделенным в первой и второй главах.
В 1 в качестве такого примера рассмотрена грассманова1три--ткань GW(3,2,t) , порожденная гиперповерхностями X , У , Z проективного пространства Р , причем предполагается, что X - тангенциально невырожденная гиперповерхность. Асимптотический тензор j jj тангенциально невырожденной гиперповерхности X определяет равноугольную ричаиову метрику ds1 на грассма-новой три-ткани. Грассманова ткань с такой равноугольной метрикой является лагранжевой трл-тканьд (теорема 3.1). С точки зрения геометрии почти эрмитовых структур грассм?дово многообразие (?(4,г+ і) , несушее лагрзнжеву грассманову гри-ткань GvV(3,2,n ) , является почти келеровнм многообразием с почти келеровой структурой ( J , ds ). Имеет место
Теорема 3.3. Черэз катдуя нрямуя р проективного пространства Р , пркнаїугечглщуч? лагранжевой три-ткани (?KV(S,1,X ) , преходит (г-і)-параметрическое семейство дву-
мерных инвариантных и однопарамотрическое семейство г-мерных .
антиинварнаатних подмногооораэий почти келоровой структури
(Т. dSa ). Этими гюдмногоооразиямп являются соответственно
- а глі
плоские поля прямых пространства г , носители которых есть
двумерные плоскости, проходящие через р , и связки прямых пространства Р с центрами на р .
В 2 вводится понятие трансверсально-изотропмых поверхностей три-ткани с равноугольной ркмановой метрикой и трансворсаль-но-изотрогпшх три-тканей. Показано, что грассманова трл-гкань GW(i,2,t) с равноугольной римановой метрикой, определяемой асимптотическим тензором f;> тангенциально невырожденной гиперповерхности X , будет трансвероальца-изотронной ткань.о тогда и только тогда, когда X является гиперквадрикой (теорема 3.4). В качестве пр.мера трансверсалыю-изотрошюЙ грассмановой три-ткани рассмотрена ткань (7W(3,2,2) , порождаемая невырожденной линекчатоіі ішадрико.'і X и дьумирньыи плоскостями У и 2 ' проективного пространства Р * .
а 3 на средней три-ткани Болі! рассмотрена р.ишоугольная . рлмановн метрика, определяемая тонзором (J:.-- 0„; Q*. , в предположении, что ото г тензор невырожден. „оказано, что все слон этой три-ткани явля-утсн вполне геодезическими подмногообразиями Несущего ее иногоойр «ид И относительно римшовой связности V . Аналогичные результаты справедливы для левой и правой три-тканей Боля.
В 4 в качестве следу .ицого трн-тканеі; с равноуголь-ной римановой метрикой р осмотрена групповая гри-ткань, порох-Денная полупростой группой Jti'. G . Равноугольная метрика на этой три-ткаїш определяется метрикой Кїишнг.і группы Ли G . Все слои групповой трп-тканл, порожденной полупростои группой Ли G , являются вполне геодезическими подмногообразиями многообразия С " G , несущего оту ткань, относительно каждой из ри-мановых связностей V .
В о рассматривайте» три-ткали і.'.уіаиг с нышроаданныы тензором Q;;~-ii ^к,- и равноугольная риканоьа метрика, определяемая- этим тензором, для этих тканой так-ite доказано, что все их слои являются вполне геодезическими подїіногоозразия.и.і ыногоро'ра-зия Н относительно каждой из римановых сьязноотей V . в качестве примера негрупповых три-тканей Myjaur, тензор п. -Сі^іЛ*. которых невырозден, рассмотрены ткани t/.урінг, определяемые нолие-
вшли простили алгебрами. Мальцева.
