Введение к работе
Актуальность темы
Построение комплексных дисков и семейств комплексных дисков с предписанным граничным поведением является одним из мощных и широко используемых инструментов многомерного комплексного анализа, применение которого нередко позволяет свести многомерные задачи к одномерным задачам на построенных дисках. Классическим примером использования комплексных дисков в многомерных задачах является "Kontinuitatssatz" Ф. Хартогса, которое описывает в терминах комплексных дисков оболочки голоморфности областей комплексного пространства, так что феномен принудительного аналитического продолжения во всей полноте может быть изложен на языке семейств голоморфных дисков. Комплексные диски используются при решении граничных задач, изучении CR-многообразий, исследовании инвариантных метрик, анализе граничных свойств голоморфных отображений, в симплектической геометрии и в других областях комплексного анализа и геометрии.
В диссертации семейства комплексных дисков возникают в двух контекстах.
Один из них - это аналитические диски с краем на предписанной (чаще всего, двумерной) поверхности. Нередко семейство таких дисков образует Леви-плоскую поверхность. Эта задача в различных постановках рассматривалась Э. Бедфордом, Б. Гаво, В. Клингенбергом, Я. Элиашбергом, Н. В. Щербиной, Дж. Томас-сини, Б. Стенсонес, 3. Слодковским, Л. Лемпертом и другими авторами. Широко известен результат М. Громова 1 о существовании комплексного диска с границей на лагранжевом торе, ставший одним из первых указаний на глубокие связи многомерного комплексного анализа и симплектической геометрии. Результаты, полученные в этом направлении важны для описания полиномиальных оболочек и оболочек голоморфности, для понимания топологии псевдовыпуклых областей и многообразий Штейна, в симплектической и контактной геометрии.
М. Gromov, Invent. Math., 82 (1985), 301-347
К настоящему времени наиболее хорошо изучен случай вещественной сферы, вложенной в границу строго псевдовыпуклой области, первые результаты для которого были получены Э. Бедфордом и Б. Гаво 2.
Вторая ситуация - это диски, подклеиваемые к CR-подмно-гообразию комплексного пространства. Систематическое изложение этой конструкции было проведено в классической работе Э. Бишопа 3, и с тех пор такие диски стали одним из основных технических средств при работе с CR-подмногообразиями, анализе их геометрии и изучении свойств CR-отображений таких многообразий, использовавшимся М. Бауэнди и Л. Ротшильд, А.Тумановым, Ж.-М. Трепро, А. Боггесом, Б. Йорике и другими авторами. Исследование свойств таких дисков остается актуальным для CR-геометрии.
CR-отображения и CR-многообразия возникают как аппарат также в разделах диссертации, посвященных исследованию голоморфных отображений и классификации комплексных областей и многообразий, на которых действуют вещественные группы Ли большой размерности. Примерами таких областей являются области Рейнхарта и трубчатые области, относящиеся к фундаментальным областям комплексного анализа. Области Рейнхарта были введены К. Рейнхартом как естественные области сходимости многомерных рядов Лорана, а интерес к трубчатым областям, по-видимому, берет начало с работ С. Бохнера конца 1930х гг. , связанных с его исследованиями по гармоническому анализу. С тех пор такие области рассматривались огромным числом авторов либо как объекты, естественно возникающие в тех или иных задачах, либо как относительно широкие классы модельных многомерных областей простой геометрической структуры.
Первые результаты по отображениям и, в частности, автоморфизмам этих областей были получены в классических работах К. Рейнхарта 5 по определению групп биголоморфных автоморфизмов (двумерных) шара и полидиска. Важные результаты в двумерном случае были доказаны П. Тулленом в 1930 гг. Начиная с 1960х гг. этими вопросами занимались И. Наруки,
2Е. Bedford, В. Gaveau, Amer. J. of Math., 105 (1983), 975-1009 3Е. Bishop, Duke. Math. J., 32 (1965), 193-216 4S. Bochner, Ann. of Math., 39 (1938), 14-19 5K. Reinhardt, Math. Ann., 83 (1921), 211
Т. Сунада, Д. Барретт, Э. Бедфорд, Дж. Дэдок, П. Янг, С. Шими-зу, С. Пинчук, Ф. Вертело, М. Ландуччи и другие авторы.
Как хорошо известно, в отличие от одномерного случая, задача о биголоморфной классификации многомерных областей комплексного пространства является трансцендентно сложной. В этой связи представляют несомненный интерес результаты о биголоморфной классификации в пределах достаточно обширных семейств областей специального вида. Такого рода результаты для полных ограниченных областей Рейнхарта были установлены П. Тулленом (в размерности 2)6 и Т. Сунадой . Для трубчатых областей первые результаты этого рода были получены в 1980х гг. А. Кодамой 8 и П. Янгом 9.
Собственные отображения или конечные разветвленные накрытия являются классом отображений, вызывающих пристальный интерес специалистов по комплексному анализу. Основная часть результатов по собственным отображениям областей комплексных пространств относится к гладким областям. Области Рейнхарта здесь интересны именно тем, что в этом классе можно получать содержательные результаты, не накладывая арпиорно-го условия гладкости границы. Такого рода результаты, начиная с 1980х гг., обсуждали Д. Барретт 10, С. И. Пинчук-Ф. Вертело п, М. Ландуччи-А. Спиро 12 и другие авторы.
Основным примером комплексного многообразия с очень большой (бесконечномерной) группой голоморфных автоморфизмов является комплексное пространство Ста, п ^ 2. Вопрос о возможности характеризации Ста его группой автоморфизмов ставился рядом авторов и, в частности, С. Кранцем. Оказалось, что ответ на этот вопрос дается с помощью классификации комплексных многообразий с действием групп Un и SUn. Заметим, что действия этих групп на вещественных многообразиях уже несколько десятков лет вызывают интерес у специалистов по математической физике и геометрии.
6Р. Thullen, Math. Ann., 104 (1931), 244-255
7Т. Sunada, Math. Ann., 235 (1978), 111-128
8A. Kodama, Sci. Rep. Kanazawa Univ. 29 (1984), 91-95
9P. Yang, Amer. J. Math. 104 1982, 1005-1024
10D. Barrett, Comm. Math. Helv. 59 1984, 550-564
nF. Berteloot, S.Pinchuk, Math. Z. 219 1995, 343-356
12M. Landucci, A. Spiro, Complex Variables: Theory and Appl. 29 1996, 9-25
Цель работы
Разработка техники подклейки комплексных дисков к CR-под-многообразиям комплексных и почти комплексных пространств и применение этой техники к исследованию аналитических свойств CR-многообразий. Изучение действия вещественных групп Ли голоморфных автоморфизмов областей комплексного пространства и CR-орбит этих действий, использование полученных результатов для анализа биголоморфных и собственных отображений областей.
Научная новизна
Основными результатами диссертации являются следующие:
Теорема 1.1 о существовании Леви-плоской гиперповерхности с краем на двумерной сфере общего положения, вложенной в границу строго псевдовыпуклой области в С2.
Теорема 1.3 о псевдоголоморфных дисках, лежащих в CR-ги-перповерхности с нулевой формой Леви в почти комплексном многообразии.
Теорема 2.3 о связи между голоморфной и аффинной эквивалентностью произвольных двумерных трубчатых областей.
Теорема 2.7, описывающая группы биголоморфных автоморфизмов тг-мерных гиперболических областей Рейнхарта.
Критерий эквивалентности гиперболических областей Рейнхарта (предложение 2.1) и критерий существования собственных отображений между ограниченными двумерными областями Рейнхарта (следствие 3.1 из теоремы 3.1), сводящие эти вопросы к аффинной эквивалентности логарифмических диаграмм областей.
Теорема 4.1 о характеризации пространства С2 своей группой биголоморфных автоморфизмов.
Все эти результаты являются новыми. Они приведены в диссертации с полными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в ряде разделов многомерного комплексного анализа и геометрической теории функций.
Методы исследования
В диссертации используются методы комплексного анализа и теории групп Ли.
Апробация работы
Результаты работы докладывались и обсуждались в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на семинаре А. Г. Витушкина по многомерному комплексному анализу, в Математическом институте РАН на Общеинститутском семинаре по математике и ее приложениям и на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А. А. Гончара, члена-корреспондента РАН Е. М. Чирки и проф. А. И. Аптекарева, на семинаре кафедры анализа факультета математики университета Рура в Бохуме под руководством проф. А. Хаклберри, института математики университета Гумбольдта в Берлине, центра математики Австралийского национального университета в Канберре, на семинаре по геометрическому анализу Лаборатории П. Пенлеве университета Лилля, на семинаре Института Миттаг-Леффлера (Стокгольм) в рамках семестра многомерного комплексного анализа и на ряде других семинаров, а также на международных конференциях, в том числе
Международная конференция "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004),
Международная конференция по многомерному комплексному анализу и теории особенностей памяти Б.В. Шабата (Красноярск, 2007),
— Международная конференция "Актуальные вопросы ком
плексного анализа" (Хорезм, 2008), — Международная конферен
ция "Комплексный анализ и его приложения" (Краснодар, 2005)
- Международная конференция SCV2004 (Пекин, 2004),
— Международная конференция по комплексному анализу
NORDAN 2008 (Аландские о-ва, 2008).
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 242 страницы. Список литературы содержит 94 наименования.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[9], список которых приводится в конце автореферата.
