Содержание к диссертации
Введение
1. Продолжение действий счетных абелевых групп 17
1.1. Существование и число корней из сохраняющего меру преобразования 17
1.2. Подход, основанный на «динамической альтернативе» . 27
1.3. Число корней из типичного преобразования 33
1.4. Евклидовы решетки 44
1.5. Действия с чисто точечным спектром 49
2. Задача о продолжении в классе локально компактных абелевых и неабелевых групп 53
2.1. Число потоков, включающих типичное преобразование 53
2.2. Обзор траєкторного подхода к задаче продолжения 67
2.3. Продолжение действия с нормальной подгруппы 73
2.4. Использование спектрального подхода 78
Список литературы
- Подход, основанный на «динамической альтернативе» .
- Евклидовы решетки
- Обзор траєкторного подхода к задаче продолжения
- Использование спектрального подхода
Введение к работе
Актуальность темы. Локально компактная группа G с инвариант
ной мерой тс действует на пространстве с мерой (X, fi), если опре-
ф делено измеримое отображение S^: (G X X,ulg х /z) —5- (X, п.),
(g, х) ^ Sgx,
такое что S\G = id {1q — единица группы G, id — тождественное преобразование) и
для элементов х Є X из множества полной меры, не зависящего от ді,д%-
Действие Sсохраняет меру, если для всех д Є G и любого измеримого
множества Л С X
/x(Sff-U) = /і(Л)
^ (по поводу определений см. также [Ю]). Всюду далее принимается,
что (X, ft) — пространство Лебега, а все действия подразумеваются сохраняющими меру. Не ограничивая общности можно считать, что X — [0; 1), ц — стандартная мера Лебега на прямой.
Классическими объектами эргодической теории являются действия группы S, т.е. собственно сохраняющие меру преобразования, и потоки — действия группы Ш. В общей ситуации одним из способов получить информацию о действии So может быть изучение ограничения Sg на подгруппы Н С G. Естественно спросить, какие в принципе действия Н могут возникнуть таким образом, иными словами, какие действия Н могут быть продолжены до действия объемлющей группы G.
Определение 0.1. Пусть Н подгруппа в группе G. Будем говорить, что действие Sg продолжает действие Тн, если Th = 5/, V/i Є Н. Обозначение: SD Т#.
. В задаче о продолжении можно выделить естественные подзадачи,
которые несколько неформально перечислены ниже:
Когда существует продолжение данного действия?
Является ли свойство иметь продолжение типичным в пространстве всех действий группы Н?
Для данной пары Н С G привести примеры действий Т#, имеющих и не имеющих продолжения.
Сколько неизоморфных продолжений может существовать у данного действия и какое число продолжений реализуется в типичной ситуации?
В вопросе о существовании продолжения Sq Э Т#, как правило, подразумевается, что действие Sg должно быть свободным, т. е. для каждого g G множество неподвижных точек преобразования Sg имеет меру нуль.
Типичность того или иного свойства понимается в смысле слабой топологии в пространстве Aut(X, ц) (если речь идет о преобразованиях) или, более общо, во множестве представлений данной локально компактной группы преобразованиями из Aut(X, їх). При этом существенно, что слабая топология метризуема и соответствующее метрическое пространство полно.
Определение 0.2. Говорят, что некоторое свойство типично, если множество обладающих им действий Sg является массивным, т. е. дополнение к нему в пространстве всех G-действий представляет собой множество первой категории (= объединение счетного набора нигде не плотных множеств).
Классическими вариантами общей задачи о продолжении являются проблемы извлечения корня из преобразования (G = X, Н = пЩ и включения преобразования в поток (G = R, Н = Ъ).
Корнем данной степени г, г Є N, г > 2, из Т Є Aut(X, ц) называется такое сохраняющее меру обратимое преобразование S, что Sr = Т.
Совокупность всех корней данной степени будем обозначать уТ. Необходимое и достаточное условие существования корня из эргодического преобразовния с чисто точечным спектром было найдено П. Р. Халмо-шем в работе [34], Эта публикация (см. также [33]) поставила вопрос о существовании преобразований с непрерывным спектром, не имеющих корней. Конструкция таких преобразований была предложена A.M. Сте-пиным в [14] (анонсирована на Международном конгрессе математиков 1966 г.), а также Р. Чековом [26]. Примеры, доставляемые конструкцией из [14] и ее обобщениями, являются групповыми расширениями и обладают несчетным централизатором, см. также [29]. Пример перемешивающего преобразования То без корней предложил Д. Орнстейн [43]. В конструкции Орнстейна То обладает минимальным централизатором: C(Tq) = {Tq-: п Є Щ. Другие примеры можно найти в работах [45], [35]. В [14] показано, что число спектрально неэквивалентных корней простой степени р из преобразования Т с однократным спектром равно рп для некоторого п = 0,1,2,..., если, разумеется, множество конечно.
В статье Халмоша [34] упоминается вопрос о включении данного преобразования Т в поток, т.е. о существовании такого потока {Ft, і Є К}, что і*і = Т. Множество всех потоков, включающих данное Т, обозначим Т(Т). В работе В.А. Рохлина [13] эта задача поставлена одновременно с вопросом о возможном числе элементов множества JF(T).
Решение этих проблем связано со следующим утверждением, которое получило название «динамическая альтернатива».
Теорема 0.1 (см. [30]). Пусть Г —- группа гомеоморфизмов полного сепарабелыюго метрического пространства X', имеющая плотную орбиту. Тогда всякое множество М. С X, инвариантное относительно Г и обладающее свойством Бэра (т. е. представимое в виде симметрической разности О Д М, где О — открытое множество, а М — первой категории), либо массивно, либо имеет первую категорию.
Доказательство этого предложения использует единственность регу-
лирного представления множества, обладающего свойством Бэра (т.е. такого представления в виде О Д М, где М — первой категории, а О совпадает со множеством внутренних точек своего замыкания, см. [11])-В случае X = Aut(X, и) в качестве Г естественно взять саму группу Aut(X, и), действующую на себе сопряжениями. Назовем множество М. С Aut(X, и) динамическим, если оно обладает свойством Бэра и инвариантно относительно сопряжений.
Теорема 0.1'. Всякое динамическое множество либо первой категории, либо массивно.
Ключевым моментом при использовании «динамической альтернативы» является установление свойства Бэра для множества Л4. Дж. Кинг предложил в [38] использовать для этой цели следующий фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, основанный на конструкции «решета Лузина»(см., например, [9], 39):
Теорема 0.2. Каждое аналитическое подмножество полного сепара-белыюго метрического пространства обладает свойством Бэра.
Напомним, что аналитическое множество это образ борелевского множества при непрерывном отображении.
После того как произведена редукция к динамической альтернативе, для доказательства типичности того или иного свойства достаточно показать, что множество обладающих им преобразований не является множеством первой категории. Удобное достаточное условие дает следующая лемма. Пусть А: X —> У — отображение топологических пространств. Точка х X называется точкой локальной плотности отображения А, если для любой окрестности U Э х найдется окрестность V Э А(х), такая что A(U) плотно в V. Множество точек локальной плотности данного отображения А обозначим LocDen(j4).
Лемма 0.3 (R. Dougherty). Пусть А: X ь-> у — непрерывное отображение, и X является полным сспарабельным метрическим пространством. Если LOCDen(A) плотно в X, то А(Х) не может иметь первую категорию в У.
Изложенный выше подход позволил Дж. Кингу установить, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [38]. A.M. Степин высказал гипотезу о бесконечности множества корней в типичном случае. О.Н. Агеев, опираясь на метод Кинга, доказал это утверждение в [2]. Этот результат был затем независимо уточнен О.Н. Агеевым [3] и A.M. Степипым совместно с A.M. Еременко [48]: было доказано, что типичное преобразование имеет континуум корней данной степени.
Отметим, что в [3] также анонсирован следующий общий результат о продолжении действий групп:
Теорема 0.4. Пусть G — счетная абелева группа с бесконечной циклической подгруппой Н. Тогда типичное преобразование (= действие Н) продолжается до действия G.
Доказанная в [38] теорема о существовании у типичного преобразования корней всех степеней стимулировала решение вопроса о включении преобразования в поток. Ясно, что если преобразование Т включается в поток {St', t Є Ж}, то для каждого г существует бесконечная цепочка корней {Si/rn,n Є N}:
\Si/rn) — Si/rn-i, n > 2, {Si/гУ = T,
такая что в слабой топологии Syrn —> id, n -^ со. Как отмечено в заключении к [38], доказанное там утверждение гарантирует лишь существование цепочки корней сколь угодно большой, но конечной длины. Более того, существует пример преобразования, имеющего цепочку корней любой наперед заданной конечной длины, но не имеющего бесконечной цепочки (Б. Мадор, [42]). Доказательство существования корней так же не дает контроля над поведением d(Syrn, id) с ростом n (d — метрика в Aut(X, fi), задающая слабую топологию).
Положительный ответ на вопрос о включении типичного преобразования в поток дали дела Рю и де Сэм Лазаро в [44], используя «динамическую альтернативу» и лемму 0.3.
Топологический подход в сочетании с результами настоящей работы, изложенными на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории (Кацивели, Украина, 2000 г.), Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.) и опубликованными в [48], позволил СВ. Тихонову установить многомерные аналоги упомянутых выше результатов. В частности, им доказано, что типичное действие решетки Жк вкладывается в действие группы Ш.к [19, 20].
Следует отметить еще два варианта постановки задачи о продолжении. В связи с примером Б. Мадора правомерно сформулировать следующий вопрос: если //"-действие продолжается до действия каждой собственной подгруппы в G, содержащей Л", то в каком случае оно является ограничением G-действия? Другой вариант постановки задачи о продолжении действий на (X, (л) необходимо требует расширения пространства X. Этот случай возникает, когда вместо подгруппы Н С G рассматривается полугруппа 5. Пусть, например,
G = Z, S = Z+,
тогда задача продолжения формулируется так: дано Z+-действие Т в пространстве (X, ц) и требуется построить Z-действие Т в пространстве (X',fi'), сохраняющее меру (л1, и инвариантное разбиение пространства Xі такие, что Т/ ~ Т. Эта задача, как и общая задача для пары S С G, где S — подполугруппа в G, решается с помощью конструкции естественного расширения. Без расширения пространства можно обойтись, лишь если энтропия 5-действия равна нулю.
Цель работы. Получить критерии продолжаемости действия подгруппы Н С G для определенных пар (H,G) и классов групп. Установить степень неединственности таких продолжений в типичном случае. Исследовать, какие возможности могут встречаться в общем случае, и построить явные примеры действий, реализующие эти возможности.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
Развит новый подход к установлению типичности свойств сохраняющих меру преобразований, основанный на теореме Куратовского-Улама, и с его помощью доказано, что в централизаторе типичного преобразования содержится бесконечномерный тор;
Для класса действий с точечным спектром найден критерий продолжаемости действия с подгруппы абелевой группы на всю группу. Построены примеры преобразований с однократным спектром, реализующие все возможности для числа корней из преобразования;
Получен критерий продолжения действия с подрешетки в Ък и построен пример действия, обладающего нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки.
Получен критерий существования продолжения в случае, когда Н является компактной нормальной подгруппой в локально компактной группе G.
Методы исследования. В работе используются спектральные, ап-проксимационные и топологические методы.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам по эр-годической теории и общей теории динамических систем и групп преобразований.
Апробация работы. Результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на семинарах по динамическим системам в
МГУ в 1999-2005 гг. и на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории, посвященной памяти В.М. Алексеева (Кацивели, Украина, 2000 г.).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, списка литературы и двух частей основного текста. Первая часть состоит из пяти, а вторая - из четырех параграфов. Формулы, определения и утверждения имеют номерацию вида X.Y, где X — номер части, а У — номер формулы (определения, утверждения) в этой части.
Основное содержание диссертации. В первой части диссертации рассматривается задача о продолжении сохраняющего меру действия с подгруппы счетной абелевой группы. Важным частным случаем является задача о существовании корня. В 1.1 упомянутое выше утверждение о том, какие значения может принимать card\/T, если множество \/Т конечно, обобщается сначала для случая произвольного показателя г, а затем распространяется на продолжения действий подгруппы счетной абелевой группы. В конце параграфа рассматривается проблема существования корня из неэргодического преобразования (п. 1.1.4).
В 1.2 для целей дальнейшего изложения воспроизводится схема доказательства Дж. Кинга существования корня данной степени из типичного преобразования, основанная на бэровском свойстве аналитических множеств и использовании понятия точки локальной плотности непрерывного отображения. Изложение в этом параграфе следует работе [38] с некоторыми упрощениями.
Один из основных результатов первой части сформулирован в 1.3: Теорема 0.5. Для каждого г Є N, г > 2, в централизаторе типичного
преобразования Т Є Aut(X, fi) содержится прямое произведение YI %г',
Следствие 0.6. Для типичного Т Aut(X, и) множество
спектрально неэквивалентны.
Доказательство использует дополнительно к схеме Кинга новый топологический прием, основанный на следующем аналоге теоремы Фу-бини из теории меры (см. [9] или [11]):
Теорема 0.7 (Куратовский-Улам). Пусть Х,У — полные сепара-бельные метрические пространства. Если Е массивное подмножество в X х У, то для типичного х Є X множество Ех = {у Є У: (х,у) Є Е} массивно в У.
Как уже было отмечено, утверждение следствия 0.6 независимо доказано в [3] с помощью другого подхода.
Поясним, как работает теорема 0.7, для чего введем следующие определения. Обозначим через ЪГ{Х) множество измеримых функций на X со значениями в Ът. Пусть Т Aut(X, д), f(x) Є ЪТ(Х). Косым произведением (надстройкой) с базой Т, слоем Ът и коцшлоаі f называется преобразование
Tf(x,n) = (Tx,f(x) + n) (0.1)
пространства {Y, v) = (X,fi) х (Zr,/v), где {іт — равномерная мера па Ъг. Группу косых произведений вида (0.1) обозначим SAut(Y, v). Она замкнута в Aut(Y, v) и, стало быть, является полным метрическим пространством, изометричным произведению Aut(X, fi) и пространства коциклов 1>Г(Х) (топология в ЪГ{Х) может быть задана с помощью метрики dc(gi, g2) = у>{х Є X: g\(x) ф gz(x)}).
Именно к SAut(Y, v) и будет применена теорема Куратовского-Ула-ма. В качестве сомножителей X и У будут выступать Aut(X, ц) и ЪГ{Х) соответственно, а роль Е будет играть массивное множество надстроек, обладающих корнем степени г:
Теорема 0.8. Множество
K^{Tf SAut{Y, v): 0}
массивно в SAut(Y, v).
В следующей'! утверждении используются понятия теории аппроксимаций периодическими преобразованиями; по поводу соответствующих определений см. [5].
Теорема 0.9. Пусть Т принадлежит множеству CAAut(X, р) преобразований, допускающих циклическую аппроксимацию со скоростью о(1/п) относительно некоторой последовательности разбиений {"}, стремящейся к разбиению на точки, и уТ не более чем счетно. Тогда множество Кт коциклов f, для которых у/Т? ф 0, имеет первую категорию в ЪТ{Х).
Пусть эти утверждения доказаны. Для типичного преобразования Т множество К-т массивно в пространстве коциклов благодаря теоремам 0.8 и 0.7. Множество CAAut(X, р) массивно в Aut(X, р), поэтому в силу теоремы 0.9 для типичного Т Є Aut(X, р) множество \/Т несчетно. По теореме Александрова - Хаусдорфа (см. [9], 37) всякое несчетное борелевское множество полного сепарабелыюго метрического пространства содержит подмножество, гомеоморфное канторову множеству, следовательно, имеет мощность континуума. Множество \/Т, очевидно, является борелевским, что доказывает теорему 0.5.
Доказательство теоремы 0.8 основано на изложенной выше схеме Кинга. Множество К, является образом пространства SAut(Y, v) при непрерывном отоборажеиии Рг:Ги Тг, поэтому в силу теоремы 0.2 оно обладает свойством Бэра. Кроме того, /С инвариантно относительно действия SAut(Y, v) на себе сопряжениями. Это действие обладает плотной орбитой (лемма 1,20), следовательно К либо массивно, либо первой категории. Вторая возможность исключается установлением плотности множества LOCDEN(IPr) в SAut(Y, v).
В доказательстве теоремы 0.9 анализируется связь между существованием корня из косого произведения с коциклом / и разрешимостью гомологического уравнения на /, Если для данного преобразования Т существует аппроксимация с требуемой в условии скоростью, то такую аппроксимацию можно построить и для косого произведения Т-^, где /
пробегает некоторое массивное подмножество в ЪТ{Х), В этом случае Т* обладает однократным спектром (см. [5]), следовательно, всякий корень из также является косым произведением. Отсюда следует, что / гомологично единичному коциклу над некоторым эргодическим преобразованием, но такие коциклы составляют множество первой категории в ХГ(Х) (лемма 1.25).
1,4 посвящен продолжению действий с евклидовых подрешеток, т. е. подгрупп группы Жк. Приведены примеры действий с непрерывным спектром, которые обладают нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки.
В 1.5 дается усиление теоремы Халмоша о необходимых и достаточных условиях существования квадратного корня из эргодического преобразования с чисто точечным спектром. Пусть Н — подгруппа счетной абелевой группы G и дано эргодическое действие Т# с чисто точечным спектром. Собственные значения Тя составляют подгруппу Е# в груп-пе характеров Н группы Н. Из теории двойственности известно, что Н ~ G/ АппН, где Ann Я" есть совокупность характеров группы G, тождественно равных единице на Н. Пусть р\ G —Ь Н — канонический гомоморфизм, kerp = Ann Я. Если М — подгруппа в G, такая что
МПАшіЯ = {0} (0.2)
(О — тривиальный характер), то ограничение р на М является изоморфизмом на свой образ,
Теорема 0.10. Пусть действие Т# обладает чисто точечным спектром я- Можно указать действие Sq, продолжающее Тн, если и только если я = р{М) для некоторой подгруппы М С G, удовлетворяющей условию (0.2).
Отметим, что продолжение действия абелевой группы с чисто точечным спектром автоматически принадлежит этому же классу.
Во второй части задача о продолжении рассматривается в классе локально компактных групп. Если преобразование Т с однократным спек-
тром допускает включение в поток, то либо такое включение единственно, либо множество J^(T) потоков, включающих X, бесконечно (теорема 2.1). Одним из основных результатов части 2 является
Теорема 0.11. Централизатор типичного преобразования Т Є Aut[X, р) содержит бесконечномерный тор.
Следствие 0.12. Для типичного Т Є Aut(X, р) множество F(T) потоков, включающих Т, имеет мощность континуума, причем потоки из Т(Т) спектрально неэквивалентны.
Доказательство теоремы 0.11 также основано на использовании теоремы Куратовского-Улама, но роль SAut(Y, р) теперь играет пространство SFlow(Y, и), состоящее из таких действий группы Ж, которые являются косыми произведениями со слоем 1^2 относительно проекции (х,п) н-> х. Это полное сепарабельное метрическое пространство в топологии, индуцированной из пространства всех потоков на (У, v) (последняя задается метрикой
dF{{Ft},{St})= sup d(Fu St),
(Є[0,1]
где d — соответствующая метрика на Aut(Y, и)). Сформулируем соответствующие аналоги предложений 0.8 и 0.9:
Теорема 0.8'. Мяожество
К = {Т* Є SAut(Yt v): F(Tf) ф 0}
массивно в SAut(Y, v).
Теорема 0.9'. Пусть Т принадлежит множеству преобразований, допускающих циклическую аппроксимацию со скоростью о(1/п), и Р(Т) не более чем счетно. Тогда множество Кт коциклов f, для которых !F(Tf) ф 0, имеет первую категорию в %i{X).
Доказательство теоремы 0.8' использует схему расеждений из [44], модифицированную для работы в пространстве SFlow(Y, v). В частно-
сти, устанавливается, что каждый поток из множества
-р = {{Ft} Є SFlow(Y, v): За Є R \ Q, 3^ Є SAut(Y, v)
т.ч. F1 = (pPa
является точкой локальной плотности отображения {Ft} i-4 F\. Здесь через Ра обозначено преобразование, соответствующее сдвигу
х' 1-4 х' -f a mod 1
при изоморфизме пространств (X, /л) и (Y, v) посредством отображения (х, j) ь-j- х1 = (х + j)/2. Наконец, непосредственно проверяется всюду плотность V в SFlow(Y, и).
В п. 2.1.8 с помощью теоремы 0.10 доказывается, что преобразование с чисто точечным спектром вкладывается в поток если и только если его спектр не содержит точек единичной окружности вида е тя
В параграфах 2.2- 2.4 изложены некоторые результаты, относящиеся к задаче продолжения действий неабелевых групп. 2.2 посвящен обзору траєкторного подхода к рассматриваемой задаче, предложенного в работах [25], [24]. В [25], в частности, построен пример действия Ж, которое не продолжается до действия группы Ш+ к К аффинных преобразований прямой. С помощью спектрального подхода в 2.4 показано, что эта ситуация является типичной. В 2,3 получен критерий продолжаемости действия группы Н сдвигами на своем однородном пространстве Н/Г в ситуации, когда объемлющая группа есть расширение Н с помощью группы D, т.е. точна последовательность
Получаемые утверждения можно использовать, когда, например, Я компактна, так как эргодическое действие компактной группы обладает орбитой полной меры, а стало быть, изоморфно сдвигу на однородном пространстве.
Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [47]-[50]. Статьи [48, 49] написаны в соавторстве с A.M. Степиным.
В работе [48] A.M. Степину принадлежит постановка задачи и предложение 2 (в основном тексте диссертации теорема 1.19). A.M. Еременко принадлежит теорема 1 (в диссертации теорема 2.1) и предложение 1 (в диссертации теорема 1.18). Теорема 4 (в диссертации 1.15) выводится из предложений 1 и 2 с помощью теоремы Куратовского-Улама.
В работе [49] A.M. Степину принадлежит постановка задачи и предложение 1.3 (в основном тексте диссертации теорема 2.4). A.M. Еременко принадлежит предложение 1.2 (в диссертации теорема 2,3). Основная теорема 1.3 {в диссертации теорема 2.2) выводится из предложений 1,2 и 1.3.
Другие основные результаты настоящей диссертации получены ее автором и опубликованы в [47] и [50] без соавторства.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору A.M. Степину за ценные советы и вдохновляющие обсуждения.
Подход, основанный на «динамической альтернативе» .
Пусть обозначает разбиение промежутка X на п равных полуинтервалов. Слабую топологию в пространстве Aut(X, и.) зададим с помощью со метрики d(T,S) = ±d {T,S), где m—l Sm\T,S) = \J2 А (ЭП"1СЛ5-1С). (1.11)
Заметим, что Aut(X, /І) ПОЛНО относительно эквивалентной метрики d (T,S) = d(T,S) + d{T l,S l). Неполнота Aut(X, у) относительно d имеет важную связь со спектральной теорией динамических систем [18], теорией джойнингов и соответствий [1].
Множество М = {Т Є Aut(X, fi): у/Т Ф 0} является образом полного сепарабелыюго пространства Aut(X, и) под действием непрерывного отображения и, таким образом, обладает свойством Бэра (теорема 0.2).
Очевидно, множество М инвариантно относительно сопряжений, следовательно, благодаря утверждению 0.1 Л4 либо первой категории, либо массивно. Для того чтобы исключить первую возможность, нам потребуется следующее понятие. Точка х Е X называется точкой ло колыши плотности отображения А: X —\ У, если для любой окрестности U Э х найдется окрестность V Э А(х), такая что A(U) плотно в V. Множество точек локальной плотности данного отображения А обозначим LocDEN(v4).
Лемма 1.10 (R. Dougherty). Пусть А: X \-$У — непрерывное отображение, и X является полным сепарабельным метрическим пространством. Если LOcDENf ) плотно в X, то А(Х) не может иметь первую категорию в У.
Для полноты изложения приведем доказательство леммы (см. [38]). Допустим, что А(Х) — множество первой категории, тогда его можно вложить в счетное объединение (J Qn замкнутых множеств без внутренних точек. Тогда каждое из множеств Т„ = A 1(Qn) замкнуто, а их объединение содержит все X. Пусть х Є Тп — внутренняя точка Т„. Поскольку А(х) лежит в замкнутом множестве без внутренних точек, х не может быть точкой локальной плотности отображения А. Таким образом, Тп не имеет внутренних точек, а следовательно, является множеством первой категории. Но в этом случае мы имеем противоречие с теоремой Бэра, которая утверждает, что полное еепарабельное метрическое пространство не может быть множеством первой категории.
Как отметил О.Н. Агеев в [2], заключение леммы имеет место и для всякого множества А(М), если М С X не является множеством первой категории.
Основная лемма. Занумеруем элементы разбиения слева направо числами от 0 до / — 1 и введем следующее обозначение. Перестановки из / элементов (возможно, с неподвижными точками) будем обозначать малыми греческими буквами с индексом / внизу. Соответствующая заглавная буква будет использоваться для автоморфизма пространства (X, и), реализующего эту перестановку на элементах посредством параллельного переноса. Циклическую перестановку (или, коротко, цикл) длины j назовем хорошей, если j = — 1 mod г. Множество преобразований, отвечающих всевозможным хорошим циклам, плотно в Aut(X} у).
До конца раздела j, k,l, m — натуральные числа. Запись 1\тп означает, что I делит т. Перестановки. Пусть 7Г/ — некоторая перестановка, и т кратно I (т. е. 1\т). Тогда преобразование П; в свою очередь задает перестановку 7гт элементов более мелкого разбиения т. Эту перестановку мы будем называть т-именем 7Г/, Поскольку щ и 7Гт определяют одно и то же преобразование, мы будем опускать нижний индекс у заглавных букв, когда это не приводит к путанице.
Аналогично щ может обладать к- и мен ем для к\1, если щ сохраняет более крупное разбиение fc, т. е. если (щ = п2) = (щ(т) = 7Гї(га2)), (1.12) где п — наибольшое целое, не превосходящее п у. Пример. Пусть I = 4, 7Г4 = (03)(12). 8-имя этой перестановки есть 7Tg (06)(17)(24)(35). В то же время перестановка щ сохраняет разбиение 2 и, следовательно, обладает 2-именем 7І2 = (01), но, очевидно, Щ -ф И 2.
Вычисление расстояния (в смысле метрики d) между преобразованиями такого вида сводится к сравнению fc-имен соответствующих перестановок. Точнее; Лемма 1.12 («Frequency lemma» из [38]). Пусть k\l, Кк произвольная перестановка, Хі — цикл длины I. Тогда dWpI.A D A,), ще ДГ4(АІ) = у card{0 п І - 1: тг (п) А Г)} (1.13) Иными словами, D fA;) выражает степень совпадения между к-именем перестановки 7 и «проекцией» /-имени А/ на более крупное разбиение к (вообще говоря, А; может не обладать fc-имеием).
Weave-операция. Зафиксируем натуральное к. Пусть А& = (Ао Ai ... Afc_i) — цикл длины к, Л — соответствующее преобразование пространства Aut(X, д). Зададимся целыми числами тщ,..., mr-i, О г & — 1) и рассмотрим следующий цикл длины rfc, который будем называть результатом применения Weave-операции к циклу А ;: ?гк - {гло rAmi + l rAm2 + 2 ... rXmr -\-r-l гАї гАтіФі + 1 ...) (здесь означает сложение по модулю к).
Говоря неформально, каждый элемент к разрезается на г частей, затем г -ая башня прокручивается на тп{ позиций, после чего они «сплетаются» (weave) в цикл. Результат Weave-операции с данными параметрами будем обозначать Weave
Евклидовы решетки
В этом параграфе устанавливается критерий продолжаемости действия с подгрупп решетки ! d, и строится пример действия группы (2Z)2 с непрерывным спектром, не имеющего «квадратного корня» в том смысле, что оно нс продолжается до действия объемлющей решетки Z2. До конца раздела вектора (т. е, элементы Ъй будут обозначаться строчными латинскими буквами, набранными жирным шрифтом: р, q, г....
Критерий существования продолжения. Пусть Яс - подре-шетка индекса п, и для простоты Zd/Н Zn, 1 п d. Назовем вектор г Є Ъй примитивным в ZJ, если его нельзя представить в виде iq, t Є N, і 1, q Zrf. Вектор r Є ! d примитивен тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты. Вектор р Є Н назовем опорным (относительно Н), если он является примитивным в Н и при этом р = п s, s Є Zd. Заметим, что тогда s обязан быть примитивным в Zd: действительно, если s = tu, і 1, то р = і (пи) и nu Є Я, Теорема 1.26. Пусть aj,..., ад — какой-либо базис в Н, г — опорный относительно Н вектор. Можно указать действие S%d Э Т#, если и только если существует преобразование S Є \/71, коммутирующее с образующими действия Т#: STai = TaiS, і = 1,..., d. (1.29)
Доказательство. Так как. г — примитивный в Н, то можно выбрать базис подрешетки i i, гг,..., r f с г і = г. По условию г = nq, q Zd. Вектор q — примитивный в Zd, следовательно, можно указать в Zd базис qi = q, qj,..., q z, при этом q2,..., q можно выбрать так, чтобы матрица подрешетки Н (т. е. матрица из ба зисных векторов Н, записанных «по столбцам») имела вид: (п ки ... kid\ О 1 ... k2d \ 0 ... 1/
Пусть теперь дано действие Тя, т.е. определены образующие действия Тг., г = 1,..., d, и указанное в условии теоремы преобразование S существует. Тогда можно построить действие Zd, продолжающее Тя-Положим: с _ q-hiT q _ q-k23 q-кізт ЧІ — ц2 сц ±г3,
Преобразования 5q., г 1,... ,d, попарно коммутируют и, таким образом, задают действие решетки Zd, которое по построению продолжает данное действие Тя Обратно, пусть S%d D Тя, и матрица подрешетки имеет указанный выше вид. Очевидно, в этом случае Тт = Т. Заметим, что если Тг обладает однократным спектром, то условие (1.29) выполняется автоматически.
Действие подрешетки, не допускающее продолжения. Простейший пример такого рода можно получить, если взять в качестве ТГ1 преобразование, не имеющее корней степени п. Приведем пример, когда соответствующее преобразование обладает корнем, но продолжение действия невозможно, так как нарушено условие (1.29).
Введем обозначения: для п Є N и R Є Aut(X, fi) положим Rxn = Rx.. .X Л. Если А — перестановка множества из п элементов, то через U\ обозначим преобразование, переставляющее сомножители декартового произведения XхХ.. .хХ в соответствии с А, В [35] (см. следствиеЗЬ) построено массивное множество С преобразований, обладающее следующим свойством: для R Є С централизатор преобразования Rxn состоит из преобразований вида [UQi)ub (1-30) где — некоторая перестановка п-элементного множества, a Qi Є C(R), і = 1,..., п. Для построения примера требуется небольшая модификация этой конструкции. Лемма 1.27. Если R Є С, А — перестановка из п элементов, то C(R nUx) = (tiQk(i)) Щ, (1.31) где — перестановка, А = А, Qi Є C{R), a k(i) — биекция {1,..., n} f-3, постоянная вдоль орбит A (т.е. k(\(i)) = к (і)), і = 1,... ,п. Доказательство. Непосредственно проверяется, что преобразования, стоящие в правой части (1.31), коммутируют с Т = RXnU\. Пусть теперь некоторое преобразование S перестановочно с Т, тогда оно перестано вочно и с Tn = (Rn)xn, следовательно S имеет вид (1.30). Преобразо вание Т в свою очередь перестановочно с Sn, откуда имеем условие на k(i), после чего условие А = А очевидно. П Зафиксируем R Є С и рассмотрим подрешетку Н С 1? заданную матрицей (о ) Пусть qi, q2 — базисные вектора в Z2, г\, г2 — базис в Н. Зададим действие Я парой коммутирующих преобразований ТГ1 = R 4UXl, ТГ2 = Д 4гУА2, где X, = (13)(2 4), А2 = (14)(2 3).
Если указанное действие продолжается до некоторого действия S объемлющей решетки, то 52 = ТГ1, S4lTti = TTiS4i, і = 1,2. Следовательно, S4l имеет вид Qx4U где — перестановка четырехэлемеитпого множества, a QR — RQ. Тогда 2 = Ai, однако легко видеть, что перестановки (12 3 4) и (14 3 2), являющиеся квадратными корнями из Ai, не коммутируют с А2. Следовательно, указанное действие Н не продолжается до действия Z2. Отметим, что в силу конструкции преобразование ТГ1 имеет непрерывный спектр.
Случай конечного индекса
Циклический фактор. Сказанное выше легко обобщается на случай произвольной счетной абелевой группы G, действующей с сохранением меры на пространстве (X, и,), и ее подгруппы Н, такой что GJH Ъп. Рассмотрим множество М= (J п-7г \к), (1.32) kZn (к,п)=1 где 7Г: G —У G/H — канонический гомоморфизм. Заметим, что М С Н. Если п — простое, то М = nG \ пН.
Утверждение 1.28. Пусть Тя — эргодическое действие Н на (X, //). Можно указать действие So, продолжающее Тя, если и только если найдется такой элемент b Є М, что существует преобразование S Є \/Тъ перестановочное с Тя, т, е. VA Н ST = ThS.
Доказательство. Рассмотрим произвольное b Є М С Н. Согласно (1.32) b — па для некоторого а Є G и la $ Ц для 1 I п. Тогда произвольное g Є G можно однозначно представить в виде g — ka-\rh с некоторыми к Є {0,...,71 — 1} и h Є Н.
Обзор траєкторного подхода к задаче продолжения
В цикле работ [25, 24, 28] к вопросу о продолжении действия с подгруппы применяются методы траекторной теории. Основные результа ф ты получены для следующей ситуации: дано расширение Е абелевой локально компактной группы А локально компактной группой G (вес локально компактные группы в этой главе предполагаются удовлетворяющими второй аксиоме счетности) и эргодическое действие Т несингулярными преобразованиями на пространстве с мерой (вообще говоря, бесконечной). Авторами указанных работ получены необходимые и достаточные условия продолжаемости Т до действия группы Е (т. 2.1G), а также доказано, что во множестве всевозможных расширений Ef(G, А) (см. далее), те расширения, которые допускают продолжение ф л-действия, составляют множество первой категории (т. 2,17), Кроме того, установлено, при каких условиях изоморфные действия А могут быть продолжены до изоморфных действий Е (т. 2.18). В основе доказательства названных теорем лежит понятие /f-коцикла (см. определение 2.1), исследованное в цикле работ [24, 23, 22].
Приведем необходимые для точных формулировок оределения (см. [25]). Везде далее будем считать, что группы л и С? такие как выше, и зафиксировано SQ: (д,а) н- д а — борелевское действие G на А. Бу ф дем говорить, что непрерывное отображение fiGxG—tA является (алгебраическим) 2-коциклом и писать / Є ІГ2((?, л), если f(9,e) = f(e,g) = 0, 9Z1 -1(91,92) + 1(9192,93) = І (92,9з) + /(51,5223), где д,ді Є G, і = 1,2,3. С помощью / можно снабдить Е = G X А групповой структурой: 0 (91, ai)fe, «2) := (9192, /(ffi, 52) + д 1 аі + 02), (g,a) 1 =(g 1,-f{g,g -9-а).
Построенную таким образом группу будем называть расширением группы А группой G (с помощью коцикла f) и обозначать Ef(DtH). В частности, EQ(G,A) есть полупрямое произведение G с А.
Алгебраический 2-коцикл / назовем 2-когомологичным нулю (или 2-кограничным), если существует непрерывное отображение р: G — А, р(е) = 0, такое что 1(91,92) = -921 РІ9і) + РІ9192) -РШ Если /, h Є Z2(G, А) таковы, что 2-коцикл (/ — h) 2-когомологичен нулю, то будем говорить, что коциклы / и h 2-ко гомологичны. Расширение Ef(D, Н) изоморфно расширению Eh(G, А) тогда и только тогда, когда f її h 2-когомологичиы.
Действия Макки. Рассмотрим теперь констукцию действия Мак-ки, для чего нам потребуется слегка обобщить определение косого произведения, данное на странице 11 (см. также, например, [40]). Пусть Тр — действие счетной группы Г сохраняющими меру преобразованиями измеримого пространства (X, р). Будем называть измеримым 1-коциклом ( или просто коциклом) над Тг со значениями в локально компактной группе К отображение d: X х Г — К, удовлетворяющие соотношению ф;,7П2) = d{T7lx,72)%,7i), Ъ Є Г, і = 1,2.
В случае Г = Ъ коциклы в смысле предыдущего определения находятся во взаимно однозначном соответствии с измеримыми фукциями и(х): X - К. Если дана функция и(х), то { и(х)и(Тх) и(Тп гх), п 0 и 1(Т Ч) и 1(Тпх), п 0 есть коцикл в смысле предыдущего определения, и всякий коцикл d(x, п) может быть задан таким образом, если положить и(х) = d(x, 1). Действие Т (ж, к) = (Т7ж, d(xt -у)к), {х,к)єХхК,уєГ на измеримом пространстве (X X К, fix тк) {тк мера Хаара на К) будем называть косым произведением с базой Т7 и коциклом d. Очевидным образом модифицируется и определение 1.2 кого мол огичных коциклов. Мы будем говорить, что коцикл d над Тр эргодический, если действие Тр эргодическое. Действие группы К Vh(x,k) = (я, &/Г1), hjkeK коммутирует с Тр. Обозначим через измеримое разбиение пространства X х К на эргодические компоненты действия Tf. V/t порождает на ((X х К)/, {{л х гпк)Ц) действие Макки W группы К. Оказывается, что действия Макки исчерпывают эргодические действия группы К (см. [23], [22], [32]).
Везде далее через Г будем обозначать счетную аппроксимативно конечную группу Г, действующую сохраняющими (возможно, бесконечную) меру преобразованиями {Т7}7ёг Утверждение 2.13. Яусгь TV — аменабельное эргодическое несингулярное действие локально компактной группы К. Тогда можно указать группу Г такую, как написано выше, и коцикл d над Г со значениями в К, так что действия Т% и WK изоморфны.
Поскольку все такие группы Г траєкторно эквивалентны, можно считать (это будет удобно в дальнейшем), что действие Тг есть косое произведение вида Тг, где через Г мы вновь обозначили некоторую группу из указанного класса, а с — эргодический коцикл над Тг со значениями в некоторой наперед заданной аменабельной локально компактной группе G.
Использование спектрального подхода
Действия Макки. Рассмотрим теперь констукцию действия Мак-ки, для чего нам потребуется слегка обобщить определение косого произведения, данное на странице 11 (см. также, например, [40]). Пусть Тр — действие счетной группы Г сохраняющими меру преобразованиями измеримого пространства (X, р). Будем называть измеримым 1-коциклом ( или просто коциклом) над Тг со значениями в локально компактной группе К отображение d: X х Г — К, удовлетворяющие соотношению ф;,7П2) = d{T7lx,72)%,7i), Ъ Є Г, і = 1,2. В случае Г = Ъ коциклы в смысле предыдущего определения находятся во взаимно однозначном соответствии с измеримыми фукциями и(х): X - К. Если дана функция и(х), то { и(х)и(Тх) ... и(Тп гх), п 0 и 1(Т Ч) и 1(Тпх), п 0 есть коцикл в смысле предыдущего определения, и всякий коцикл d(x, п) может быть задан таким образом, если положить и(х) = d(x, 1). Действие Т (ж, к) = (Т7ж, d(xt -у)к), {х,к)єХхК,уєГ на измеримом пространстве (X X К, fix тк) {тк мера Хаара на К) будем называть косым произведением с базой Т7 и коциклом d. Очевидным образом модифицируется и определение 1.2 кого мол огичных коциклов. Мы будем говорить, что коцикл d над Тр эргодический, если действие Тр эргодическое. Действие группы К Vh(x,k) = (я, &/Г1), hjkeK коммутирует с Тр. Обозначим через измеримое разбиение пространства X х К на эргодические компоненты действия Tf. V/t порождает на ((X х К)/, {{л х гпк)Ц) действие Макки W группы К. Оказывается, что действия Макки исчерпывают эргодические действия группы К (см. [23], [22], [32]).
Везде далее через Г будем обозначать счетную аппроксимативно конечную группу Г, действующую сохраняющими (возможно, бесконечную) меру преобразованиями {Т7}7ёг Утверждение 2.13. Яусгь TV — аменабельное эргодическое несингулярное действие локально компактной группы К. Тогда можно указать группу Г такую, как написано выше, и коцикл d над Г со значениями в К, так что действия Т% и WK изоморфны.
Поскольку все такие группы Г траєкторно эквивалентны, можно считать (это будет удобно в дальнейшем), что действие Тг есть косое произведение вида Тг, где через Г мы вновь обозначили некоторую группу из указанного класса, а с — эргодический коцикл над Тг со значениями в некоторой наперед заданной аменабельной локально компактной группе G.
Пусть теперь группы Гг- такие как в утверждении 2.13, d{ — коцикл над Тр. со значениями в К, і = 1,2. Скажем, что коциклы di и d i (или, более общо, пары (Tr di) и (Tr ck)) слабо эквивалентны, если существует изоморфизм R пространств с мерой, на которых действуют 1\-, такой что Л[Гі]і?_1 = [Г2], и коциклы di(x,ji) и й = (R%, RjiR"1) когомологичны над действием группы Гі (см. (1.27)).
Действия Макки wlA) и w2,da) изоморфны в том и только в том случае, если (Гі, ) и (Гг, ) слабо эквивалентны. Два эргодических коцикла над одним и тем же действием Тг всегда слабо эквивалентны. ії-ко циклы. Рассмотрим коцикл тг(ж,7) над действием Тр со значениями в расширении Ef(D,H). Мы можем представить 7Г как (с(х, у), а(х,-у)). Легко проверить, что с в этом случае представляет собой измеримый коцикл Тр со значениями в G, а а удовлетворяет соотношениям а(х,у2уі) = f{c{T7lx, 72), ф,7і)) + с(:с, 71)-1 а(Тъ х,у2) + а(ж,7і), (2.17) а(х,\6) = 0. (2.18)
Определение 2.1. Пусть f — алгебраический 2-коцикл со значениями в А, с — измеримый коцикл над действием Тг со значениями в локально компактной группе G. Измеримое отображение а: X хГ — А, удовлеворяющее (2.17) и (2.18), назовем Н-коциклом над Тг- Множество всех Н-коциклов над Тг со значениями в А будем обозначать Affi(X, Г). Всякий Н-коцикл S вида 6{х, у) = р{с(х,7)) + с(х, у) 1 а{Т7х) - а(х), где р: G — А, р(е) = 0 — непрерывное, а а: X — А — измеримое отображение, назовем Н-когомологичным нулю (или Н-кограничным). Утверждение 2.14. Пусть a — Н-коцикл над Тг, с и / как в определении
