Введение к работе
— 1 —
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению симплектических многообразий, т.е. гладких многообразий М2п для которых имеется замкнутая, невырожденная, дифференциальная 2-форма ш Є Q2(M'2n). На таких многообразиях рассматривается уровнения типа і = sgrad/f, где sgradif обозначает косой градиент функции названной гамильтонианом, а само уравнение гамильтоновым1.
В 1966-69 гг. в работах В. И. Арнольда2 было введено понятие уравнений Эйлера на двойсвенных пространствах алгебр Ли, естественным образом обобщающих классические уравнения Эйлера динамики твердово тела. В этих же работах были изучены некоторые свойства таких уравнений; вчастности, показана их гамильтоновость на орбитах копрнсоединенного представления групп Ли, относительно канонической симплектической структуры - формы Кириллова.
Позже, начиная со второй половины 70-х годов потаился большой цикл работ различных авторов, в которых были изучены серии уравнений Эйлера, являющихся аналогами уравнений классической механики и обладающих значительным запасом первых интегралов, в ряде случаев была доказана полная интегрируемость по Лнувиллю. При этом семейства первых интегралов в инволюции были получены каким-либо возмущением инвариантов копрнсоединенного представления, либо самой алгебры Ли, на двойственном пространстве которой задан гамильтонов поток, либо некоторой большой объемющей алгебры. Одним из примеров "возмущений" такого рода является метод сдвига ар-
'В.В.Трофимов,А.Т.Фоменко Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд. Факториал. 1995
2Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердово тела в иде-алькой жидкости. УМН -1969-т.24-с.225-226.
Arnold V. Sur la geometrie differentieJIe des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications a I'hydrodynamiques des fluides pur faits Ann. Inst. Fourier -1966-V. 16, N 1- P. 319-361
— 2 —
гумента, предложенный А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко3 обобщающий конструкцию С. В. Манакова для алгебры so(n).
Определение: Алгебра Ли G называется интегрируемой^ если на G существует линейное подпространство Н С C{G*) в котором можно выделить аддитивный базис функционально независимых функции /і, ,/}, q = dim if таких что они находятся б инволюции на G' относительно скобки Пуассона, причем q — | (dim G -f- ind G).
He смотря на то что все известные примеры алгебр это интегрируемые алгебры, пока не доказанная гипотеза А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко об интегрируемости произвольных алгебр Ли.
Определение. Инволютивная система функционально независимых функции /[, -,/„ на снмплектическом многообразии А/2" называется канонически сопряженной с инволютивной функционально независимой системой функции Дь , дп, если {/,-, gj} = 5,j.
Одной из целей настоящей работы - явное построение канонических координат на орбитах копрпсоеднненного представления групп Ли.
Вторая тема настоящей диссертации касается обобщенных классов Маслова-Арнольда -Трофимова. В работе В. П. Маслова было открыто, что для построения глобального асимтотического решения вида:
f(x,\) = {ехр[>/=ЇА5(:«:)]Ш>/=ЇА)-*&(:г),
;=о
где S, фі -неизвестные функции, уравнения
aa{x){\-yDxTf{x) = О
|о|=0
3В.В.Трофимов.А.Т.Фоменко Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд. Факториал. 1995
Маслов В.П. Теория возмущений и ассимптотические методы -М.;Изд.МГУ 1965
— з —
имеется фундаментальное препятствие, которое в настоящее время известно, как индекс Маслова. Это же препятствие возникает в задаче построения трансверсальных лагранжевых под-расслоений в симплектических векторных расслоениях.
Индекс Маслова, это некоторый элемент целочисленных кого-молопш. В. II. Арнольд5 дал новое определение для этого класса. В. В. Трофимов6 использовал группы голономнн симплектических связности для определения новых характеристических классов лагранжевых расслоений7.
В предлагаемой диссертации обобщается понятие характерн-стиеских классов Маслова-Арнольда-Трофимова на случай некоторых ЗЇ -многообразий.
Цель Работы. Изучение некоторых гампльтоновых систем, возникающих на симплектических слоях пуассоновых многообразий и построенее новых характеристических классов типа Мас-лова-Арнольда-Трофимова для случая некоторых 3 -действий группы Ли G на многообразии М.
Общая методика работы. В диссертации используется методы симплектнческой геометрии и топологии, а также техника групп и алгебр Ли, методы элементарной теории инвариантов.
Научная и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории симплектических многообразий, теории характеристических классов и в гамильтоновой механике.
5Арнольд В.И. О характеристическом классе входящем в условие квантования. Функцион. анализ и его приложения-1967-т.1. с.1-14.
6Trofimov V.V. Connection on Manifolds and Nev characteristic classes. Acta Appli-candae Mathematicae т.2'2 p.283-312
Трофимов В.В. Группа голоноиии и обобщенные классы Маслова подмногообразий в пространствах аффинной связности. Мат .заметки том 49 вып.2, 1991
7см. пред. сноску
— 4 —
Апробация работы. Основные результаты диссертации до-клдывалнсь на научных семинарах механико -математического факультета МГУ "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика РАН, проф. А. Т. Фоменко, доц. доктора фпзикоматематических наук В. В. Трофимова.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) Построение гамильтоновой системы на орбитах общего положения группы Ли
/ Х\ Х-2 X;i
К = \ 0 1 Хі \х^0 0 0 1
l\
найдены полуинварианты коприсоединенного представлення этой группы, построены бифуркационные диаграммы для отображения момента и изучены перестройки поверхности уровния отображения момента.
-
Дана полная классификация орбит (ко)присоединенного действия группы S.3 -верхнетреугольных невырожденных матриц на (ко)алгебре Ли (Г3*)Тз. Найдены стабилизаторы типичных элементов. Построены гамильтоновые системы на некоторых орбитах коприсоединенного предтавления группы Ли Зз- Построены соответствующие отображения моментов и их бифуркационные диаграммы. Изучены перестройки поверхностей уровня отображения момента.
-
Определены новые характеристические классы типа Маслова-Арнольда-Трофимова для случая некоторых 9Ї многообразий и они применяются в целях изучения гамильтоновых систем на снмплектических многообразиях.
-
Рассмотриваются канонические симплектические структуры на орбитах коприсоединенного действия группы Ли Э4 ~
— 5 —
верхнетреугольных невырожденных матриц порядка 4 н вещественной борелевской подгруппы в классической простой группе G2 и находится глобальные канонические координаты для формы Кириллова.
5) Рассматривается лагранжевый грассманиан, т.е. однородное пространство Л„ = U(n)/0(n). В диссертации в явном виде найдены мультипликативные образующие кольца когомоло-гии де Рама лагранжевого грассманиана Лп.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссерртации 90 станиц включая 3 страници с рисунками. Список литературы насчитывает 55.
