Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия 25
1.1. Почти контактные метрические многообразия 25
1.2. Автодуальные и антиавтодуальные формы на почти контактных метрических многообразиях 38
1.3. Контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия 43
1.4. Контактно-полуплоские почти контактные метрические многообразия 45
Глава 2. Контактно-автодуальная геометрия квази-сасакие-вых, косимплектических и сасакиевых многообразий 47
2.1. Пятимерные квази-сасакиевы многообразия 47
2.2. Геометрия контактно-конформно-полуплоских квази-сасакие-вых многообразий 52
2.2.1. Контактно-автодуальные квази-сасакиевы многообразия 52
2.2.2. Контактно-антиавтодуальные квази-сасакиевы многообразия 53
2.3. Геометрия контактно-конформно-полуплоских косимплектиче ских многообразий 54
2.3.1. Контактно-автодуальные косимплектические многообразия 55
2.3.2. Контактно-антиавтодуальные косимплектические многообразия 58
2.4. Геометрия контактно-конформно-полуплоских сасакиевых многообразий 59
2.4.1. Контактно-автодуальные сасакиевы многообразия . 59
2.4.2. Контактно-антиавтодуальные сасакиевы многообразия . 62
2.5. Псевдо-конформно-шюские квази-сасакиевы, косимплектические и сасакиевы многообразия 64
Глава 3. Контактно jR-автодуальная геометрия квази-сасакие-вых, косимплектических и сасакиевых многообразий 67
3.1. Геометрия контактно- полу плоских квази-сасакиевых многообразий 67
3.1.1. Контактно Д-автодуальные квази-сасакиевы многообразия 67
3.1.2. Контактно і?-антиавтодуальньіе квази-сасакиевы многообразия 68
3.2. Геометрия контактно-полуплоских косимплектических многообразий 69
3.2.1. Контактно .^-автодуальные косимплектические многообразия 69
3.2.2. Контактно Д-антиавтодуальные косимплектические многообразия 70
3.3. Геометрия контактно-полу плоских сасакиевых многообразий 71
3.3.1. Контактно Д-автодуальные сасакиевы многообразия 71
3.3.2. Контактно Д-антиавтодуальные сасакиевы многообразия 72
3.4. Псевдоплоские квази-сасакиевы, косимплектические и сасакиевы многообразия 73
Глава 4. Контактно-автодуальная и контактно JR-автодуальная геометрии многообразий Кенмоцу 75
4.1. Пятимерные многообразия Кенмоцу 75
4.2. Геометрия контактно-конформно-полуплоских многообразий Кенмоцу 80
4.2.1. Контактно-автодуальные многообразия Кенмоцу . 80
4.2.2. Контактно-антиавтодуальные многообразия Кенмоцу . 83
4.3. Псевдо-конформно-плоские многообразия Кенмоцу 85
4.4. Геометрия контактио-иолуплоских многообразий Кенмоцу . 86
4.4.1. Контактно і?-автодуальньіе многообразия Кенмоцу . 86
4.4.2. Контактно Д-антиавтодуальные многообразия Кенмоцу 87
Список литературы 88
Список публикаций автора 92
- Контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия
- Геометрия контактно-конформно-полуплоских косимплектиче ских многообразий
- Геометрия контактно-полуплоских косимплектических многообразий
- Геометрия контактно-конформно-полуплоских многообразий Кенмоцу
Введение к работе
Актуальность работы. Настоящая работа, с одной стороны, посвящена 5-мерным многообразиям, снабженным почти контактной метрической структурой. Теория же структур, указанного типа, занимает видное место в ряду дифференциально-геометрических структур, изучаемых на данный момент, в силу приложений к современной математической физике (например, к классической механике, к теории геометрического квантования и др.), а также в силу богатства геометрического содержания самой этой теории и ее связей с другими разделами современной геометрии (например, с теорией гиперповерхностей римановых многообразий). Более полувека не иссякает интерес ученых и просто исследователей к теории многообразий, наделенных почти контактными (метрическими) структурами, которые являются естественным обобщением контактных (метрических) структур. В самом деле, основополагающими для данной теории явились работы С. Чженя [26], Дж. Грея [29], В. Бутби, X. Вана [23] и С. Сасаки [43], появившиеся в 50-ые годы XX века; впоследствии, исследования в этом направлении были представлены многочисленными и разнообразными (в методах, подходах и результатах) работами, которые объединяет лишь то, что изучению преимущественно подвергались исключительно некоторые классы почти контактных метрических и контактных многообразий, несмотря, например, на практически необозримую классификацию первых (обзор исследований изложен, например, в [б], [10]). Так, наиболее изученными, а также интересными (с точки зрения дальнейшего повествования) являются такие подклассы почти контактных метрических многообразий, как квази-сасакиевы, косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу.
Класс квази-сасакиевых (quasi-Sasakian) многообразий был введен в рассмотрение Д. Блэром [20], а, впоследствии, изучался с различных точек зре-
ния многими авторами (например, [49], [48], [34], [50], [28], [14]). Так, к примеру, Блэр [20] установил, что не существует квази-сасакиевой структуры четного ранга, что вектор является вектором Киллинга и что с точностью до гомотетии квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является сасакиевым (Sasakian) или косимплектическим (cosymplectic); он же нашел условия, при которых квази-сасакиево многообразие является прямым произведением сасакиева и келерова многообразий. В свою очередь, Канемаки [34], изучая квази-сасакиевы многообразия, также доказал некоторые достаточные условия по поводу того, когда квази-сасакиево многообразие имеет указанное строение локально. Позже наиболее полное описание упомянутого вопроса было дано Кириченко В.Ф. и Рустановым А.Р. [14] в терминах дополнительных свойств симметрии тензора римановои кривизны квази-сасакиевых многообразий; они же выделили несколько интересных классов квази-сасакиевых многообразий и изучили их, используя полную группу структурных уравнений квази-сасакиевых многообразий, полученную в той же работе. Подробно был исследован так называемый класс CR\ квази-сасакиевых многообразий, исчерпывающее описание локального строения которых также дали Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р., приведя к тому же полные классификации квази-сасакиевых многообразий класса CR\ постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий данного класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2г + 1)-плоскостей, что существенно обобщило известные результаты Танно [48], касающиеся классификации са-сакисвых пространственных форм, а также углубило результаты Огиуэ [39] и Исихары [32], касающиеся почти контактных метрических многообразий, в частности многообразий Сасаки, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2г + 1)-плоскостей.
Рассмотрение класса квази-сасакиевых многообразий в настоящей работе обусловлено тем, что он включает в себя два наиболее изученных класса
почти контактных метрических многообразий - класса косимплектических и класса сасакиевых многообразий, которые в эрмитовой геометрии являются контактными аналогами келеровых многообразий. При этом, известно [10], что косимплсктические и сасакиевы структуры, характеризующиеся для любых гладких векторных полей X и Y тождествами Ух(Ф)^ = 0 и Ух(Ф)У = (X,Y), — r)(Y)X (где V - риманова связность метрики д = (, ), а Ф - структурный эндоморфизм), соответственно, являются «граничными» подклассами квази-сасакиевых структур. В действительности последнее объясняется совершенно естественным образом, так как для косимплектических структур rang 77 = 1 (т.е. dr] = 0), а для сасакиевых - rang г) = 2п 4- 1 (т.е. г) Л (dr))n 7^ 0); гДе V - контактная форма на соответствующем многообразии М2п+1. Отметим еще, что квази-сасакиевы структуры, отличные от сасакиевых и косимплектических, называют собственными (их можно считать «серединным» или «центральным» подклассом квази-сасакиевых структур; к сожалению, в настоящее время они недостаточно изучены).
В 1971 году Кенмоцу [35] ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метрических структур, характеризуемых для любых гладких векторных полей X и Y тождеством Vx()Y = (ФХ, Y) — г)(У)ФХ, формально похожим на определяющее тождество сасакиевых структур, но фактически характеризующим структуры (в определенном смысле) противоположные са-сакиевым. Впоследствии, такие почти контактные метрические структуры были названы структурами Кенмоцу. В указанной работе Кенмоцу изучил замечательные свойства введенных им структур и привел их примеры. Позднее Синха и Шриваштава [45], [46] изучали многообразия Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, а Кобаяши М. [36] определил свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу. Исчерпывающее описание многообразий, наделенных структурой Кенмоцу, дал в своей работе Киричен-
ко В.Ф. [9]; он не только исследовал локальное строение указанных многообразий, тем самым приведя их изящный пример (используя теорию локально конформных преобразований), но и получил полную классификацию данных многообразий точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны, указав случай глобального постоянства этой кривизны на рассматриваемых многообразиях.
Наконец, с другой стороны, настоящая работа посвящена изучению обобщения такого понятия, как автодуальпость, определенного, в принципе, на 4-мерных ориентированных римановых многообразиях, наделенных рядом особенностей, связанных в основном с оператором Ходжа. Отметим [1], что, с точки зрения римановой геометрии, размерность 4 - первая (в сравнении с размерностями 2 и 3), в которой тензор кривизны, являющийся тензором валентности четыре, не определяется пи скалярной кривизной (как прип = 2), ни тензором Риччи (как при п < 3). К тому же, группа SO(4:M.) является единственной неполупростой группой SO(n,M) (при п > 3), что приводит нас к важнейшей особенности 4-мерного ориентированного риманова многообразия М, заключающейся в специфическом строении структурной группы главного расслоения ориентированных ортонормированных реперов над таким многообразием - группы Ли 50(4,1) = (SU(2) х SU(2))/Z<2 (с точностью до соответствующего изоморфизма) [5]. Индуцированное действие этой группы на расслоении кососимметричных 2-форм над многообразием М разлагает С(М)-модуль А.2{М) дифференциальных 2-форм на этом многообразии в прямую сумму двух 3-мерных подмодулей: Лг(М) = А+(М) @Аг{М) -подмодулей автодуальных 2-форм и антиавтодуальных 2-форм, соответственно (здесь размерность модулей сечений понимается как размерность слоев соответствующих расслоений). На этой основе, с помощью тензора Вейля конформной кривизны, рассматриваемого как симметричный автоморфизм модуля Л2(М), как известно, и строится теория конформно полуплоских мно-
гообразий [4], называемая автодуальной геометрией [2], [3].
Конформно полуплоские, т.е. автодуальные либо антиавтодуальиые, (4-мерные) многообразия играют достаточно значимую роль в современной науке в силу связи их геометрии с геометрией эйнштейновых многообразий (с которой, в свою очередь, связаны имена выдающихся геометров) [4[ и с твисторной геометрией [42] (имеющей непосредственное приложение в теории гравитации и в теории полей Янга-Миллса). Так, например, известная теорема Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера [18] утверждает, что каноническая почти комплексная структура пространства твисторов 4-мерного ориентированного римаиова многообразия интегрируема тогда и только тогда, когда это многообразие конформно полуплоско. Хитчин [30] доказал, что если к тому же указанное многообразие - компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны, то оно изометрично S4 либо СР2 со стандартными метриками. Кроме того, Хитчин [31] доказал, что 4-мерное ориентированное компактное риманово многообразие имеет келерово пространство твисторов тогда и только тогда, когда это многообразие конформно эквивалентно S4 либо СР2 с их стандартными конформными структурами. Чен [25], Бургиньон [24] и Дердзински [27] получили классификацию компактных автодуальных келеровых многообразий (интересно, что Чен, Бургиньон и Дердзински получили указанный результат независимо друг от друга, используя совершенно разные методы), а Ито [33] - классификацию автодуальных многообразий Келера-Эйнштейна и исчерпывающую характеристику компактных автодуальных келеровых многообразий. Недавние исследования Арсенье-вой О.Е. и Кириченко В.Ф. существенно обобщили и дополнили результаты Хитчина, Бургиньона, Дердзински, Чена, Ито, а также Коды [38]. А именно, Арсеньева О.Е. [2] получила полную классификацию автодуальных обобщенных келеровых многообразий (как классического, так и неисключительных келеровых многообразий гиперболического типа) постоянной скалярной кри-
визны, а также доказала, что обобщенное келерово многообразие антиавто-дуально тогда и только тогда, когда его скалярная кривизна равна нулю. Совместная же работа [3] Арсеньевой О.Е. и Кириченко В.Ф. содержит ряд красивых и неожиданных результатов, касающихся геометрии конформно полуплоских эрмитовых поверхностей (т.е. 4-мерных почти эрмитовых многообразий со знакоопределеппои метрикой и интегрируемой почти комплексной структурой) как классического, так и гиперболического типа (обобщенных эрмитовых поверхностей); там же приведена полная классификация компактных автодуальных эрмитовых ДХ-поверхностей, являющихся обобщенными многообразиями Хопфа, решающая проблему Чепа в этом классе эрмитовых многообразий.
Таким образом, приведенный обзор исследований как некоторых классов почти контактных метрических многообразий, так и конформно полуплоских многообразий, пи в коей мере не претендующий на полноту, показывает насколько эти проблемы занимали и занимают умы геометров, продолжающих их активное изучение. Однако, до настоящего времени не были подняты вопросы, связанные с возможностью обобщения на 5-мерный случай понятий автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, играющих фундаментальную роль в 4-мерной римановой геометрии. В частности, не рассматривалась возможность обобщения понятий автодуальных и антиавтодуальных многообразий на случай 5-мерных римановых многообразий, снабженных почти контактной структурой (согласованной с метрикой); также не высказывалась идея рассмотрения теории, основанной на замене тензора Вейля на тензор Римапа-Кристоффеля в рамках автодуальной геометрии, обобщенной на 5-мерный случай. К сказанному хочется добавить еще и то, что выдающийся ученый А.Л. Бессе (во введении книги [1] под его редакцией) заметил: «Когда инерция мышления подталкивает меня перейти к исследованиям в размерности 5, мой внутренний голос протестует. Я склонен с ним согласиться».
В настоящей же работе подробно исследуются указанные проблемы; а именно, в данной работе известная конструкция конформно полуплоских (4-мерных) многообразий распространяется на 5-мерные римановы многообразия, снабженные почти контактной метрической структурой, а следовательно, и 4-мерным гиперраспределением. На этой основе, с помощью тензора Вейля, вводится в рассмотрение контактный аналог конформно полу плоских многообразий. Построенная таким образом конструкция оказалась богатой геометрическим содержанием, что было продемонстрировано на примере квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий, а также на примере многообразий Кенмоцу. Более того, разработанный в работе формализм для тензора Вейля был применен к тензору Римана-Кристоффеля, что позволило получить ряд интересных результатов, касающихся указанных многообразий.
Цель диссертационной работы заключается в построении теории контактно-конформно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, называемой в дальнейшем контактно-автодуальной геометрией, и в изучении контактно-автодуальной геометрии некоторых классов 5-мерных почти контактных метрических многообразий. При этом, основными задачами исследования являются следующие:
Обобщение концепции автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также определение внутренним образом понятий контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских (т.е. контактно-автодуальных либо контактно-антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий.
Изучение контактно-автодуальной геометрии квази-сасакиевых, косимплектических, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.
Определение естественным образом понятий контактно Л-автодуаль-ных, контактно /2-антиавтодуальных и контактно-полуплоских (т.е. контактно R-автодуальных либо контактно Д-антиавтодуальных) почти контактных метрических многообразий, путем замены тензора С Вейля на тензор R Ри-мана-Кристоффеля в рамках разработанного формализма для тензора С.
Изучение контактно 7?-автодуальной геометрии квази-сасакиевых, ко-симплектических, сасакиевых многообразий, а также многообразий Кенмоцу.
Определение понятий псевдо-конформно-плоских и псевдоплоских почти контактных метрических многообразий, а также их изучение на примере квази-сасакиевых, косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.
Научная новизна. Основные результаты настоящего диссертационного исследования являются новыми. Выделим важнейшие из них.
В первой главе введено обобщение автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, а также на пространстве присоединенной G-структуры указанных многообразий подсчитаны их компоненты. Посредством последнего удалось внутренним образом определить понятия контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских почти контактных метрических многообразий. При этом, применяя построенную конструкцию к тензору Римана-Кристоффеля, естественным образом были определены понятия контактно /^-автодуальных, контактно Д-антиавтодуальных и контактно-полуплоских почти контактных метрических многообразий.
Во второй главе изучена контактно-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. А именно, установлены аналитический критерий контактной автодуальности и признак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий. С помощью указанного критерия контактной автодуальности был получен ряд результа-
тов, касающихся сасакиевых и косимплектических многообразий, важнейшими из которых являются полные классификации контактно-автодуальных сасакиевых и контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Учитывая признак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие кон-тактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что 5-мерное сасакиево многообразие коптактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = 4. Кроме того, введя в рассмотрение пссвдо-конформно-плоские многообразия, было доказано, что 5-мсрное квази-сасакиево многообразие класса CR\ псевдо-конформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско; в качестве очевидных следствий последнего факта, было получено, что 5-мерные косимплсктические и саса-киевы многообразия исевдо-конформно-плоскрі тогда и только тогда, когда они конформно плоски.
3) В третьей главе изучена контактно /^-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий. Именно, установлены аналитические критерии контактной і?-автодуальности и контактной R-антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий. С помощью критерия контактной Я-автодуальности квази-сасакиевых многообразий были получены полные классификации контактно Д-автодуальных сасакиевых и контактно і?-автодуальньіх косимплектических многообразий. С учетом же критерия контактной Л-антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием, и, что контактно Д-антиавтодуальных сасакиевых многообразий не существует. Далее, введя в рассмотрение псевдоплоские многообразия, был получен аналитический критерий псевдоплоскости квази-сасакиева мно-
гообразия, т. е. было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса CR\ с нильпотентным характеристическим гомоморфизмом В (т.е. Б2 = 0) псевдоплоско тогда и только тогда, когда оно плоско. Также доказано, что 5-мерное сасакиево многообразие не может быть псевдоплоским.
4) В четвертой главе исследованы контактно-автодуальная и контактно і?-автодуальная геометрии многообразий Кенмоцу. Получена полная классификация контактно-автодуальных многообразий Кенмоцу и доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу коптактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = —4. Установлен критерий конформной псевдо-плоскости многообразий Кенмоцу, утверждающий, что 5-мерное многообразие Кенмоцу псевдоконформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско. В заключение, было доказано, что 5-мсрное многообразие Кенмоцу не может быть ни контактно R-автодуальным, ни контактно Д-антиавтодуальным, а значит, не может быть и псевдоплоским многообразием.
Практическая и теоретическая значимости. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения контактно-автодуальной геометрии подходящих многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а также для чтения спецкурсов, для написания курсовых, дипломных и диссертационных работ в высших учебных заведениях, где проводятся исследования по сходной тематике.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциально-геометрическим структурам на многообразиях кафедры геометрии (рук. д. ф.-м. н., проф. Кириченко В.Ф.) Московского Педагогического Государственного Университета (Россия, Москва, апрель 2009 г.), на V общероссийской научной конференции «Актуальные вопросы науки и образования»
(Россия, Москва, май 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Одессе - 2009» (Украина, Одесса, май 2009 г.), на международной научной конференции «Лаптевские чтения - 2009» (Россия, Москва-Тверь, август 2009 г.), на международной конференции «Геометрия в Астрахани - 2009» (Россия, Астрахань, сентябрь 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале [А1], рекомендованным ВАК РФ, 4 работы в виде тезисов докладов научных конференций [А2, A3, А4, А5] и 3 работы, депонированные в ВИНИТИ РАН [Аб, А7, А8].
Структура и объем диссертации. Диссертационное исследование состоит из введения, 4 глав, включаюпщх 17 параграфов, списка литературы и списка публикаций автора. Работа изложена на 94 страницах машинописного текста. В настоящей работе по мере необходимости использовался метод присоединенных Сг-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля. Остановимся на рассмотрении краткого содержания диссертации.
Введение содержит исторический обзор исследований по теме диссертации, а также обоснование ее актуальности. Здесь же сформулированы цель и основные задачи настоящего исследования, новизна которого отражена в приведенных основных результатах работы. Далее, во введении указаны практическая и теоретическая значимости работы, ее апробация и публикации автора по теме исследования. Завершает введение краткое содержание данного диссертационного исследования.
Первая глава «Основные понятия» (см. гл. 1), состоящая из 4 параграфов, посвящена разработке основных понятий и аппарата теории кон-тактно-коиформно-полуплоских многообразий, которая является обобщением классической автодуальной геометрии на 5-мерный случай. В первом параграфе «Почти контактные метрические многообразия» (см. парагр. 1.1)
излагаются хорошо известные понятия и факты контактной геометрии, которые используются в настоящем исследовании по мере необходимости. Во втором параграфе «Автодуальные и антиавтодуальные формы на почти контактных метрических лтогообразиях» (см. парагр. 1.2) разработано обобщение теории автодуальных и антиавтодуальных 2-форм, на случай 5-мерных почти контактных метрических многообразий, кульминацией которого явилась лемма, уточняющая компоненты рассматриваемых форм на пространстве присоединенной (^-структуры. Именно, в условиях того, что (М, 7), , Ф, <7 =(,)) - 5-мерное почти контактное метрическое многообразие, [ = id — г) = — Ф2 - естественный проектор на 4-мерное контактное распределение = Im Ф = Кег г), Л2() = Л+() Л~() - прямая сумма двух 3-мерных подмодулей автодуальных 2-форм и антиавтодуальных 2-форм модуля Л2(), 2-форма І* (ш) Є Л2 (М) - антиувлечение 2-формы и Є Л2 () при отображении (, а \/— 1 - мнимая единица поля С комплексных чисел, было доказано, что если 2-форма и Є Л2 (), то в А-репере:
1) о; Є Л+ () тогда и только тогда, когда для любых ж, і/,гІ
(Ги)„) =
/
о о
О 0 x + z^f-i у\Г^
О -х-гл/^ї О О
О -у\ГІї О О
О 0 -y\f~i -x + zyf1!
О О
-zy[-\ О
\
/
2) и Є Л () тогда и только тогда, когда для любых x,y,z ЄШ
fn п n n \
(си,)
\
Заметим, что в рамках Введения индексы а, Ь, с, d, f, h пробегают значения от 1 до 2, где, например, а = а + 2; а индексы i,j, к, I - значения от 0 до 4, то есть 0,1, 2,1, 2. Кроме того, условимся, что индексы а, /3, 7, S пробегают значения 1, 2,1,2.
В третьем параграфе «Контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия» (см. парагр. 1.3) внутренним образом вводятся в рассмотрение контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия. Заметив, что тензор С Вейля можно рассматривать как эндоморфизм модуля Л2 (М), и что эндоморфизм С внутренним образом определяет эндоморфизм модуля Лг (), задаваемый одной из трех эквивалентных формул:
1) г = % о С о Г, 2) С(ш) = С {Ги) |, 3) С {ш)ар = Сары (Га;)*',
где г - естественное вложение С Х(М), а С (Га;) |о - сужение 2-формы С (Га;) G Л2 (М) на , были сформулированы определения контактно-автодуальных, контактно-антиавтодуальных и контактно-конформно-полуплоских почти контактных метрических многообразий. В четвертолі параграфе «Контактно-полуплоские почти контактные метрические многообразия» (см. парагр. 1.4) были определены понятия контактно і?-автодуальньіх (короче, CR-автодуальных), контактно Я-антиавтодуальных (короче, СД-апти-автодуальных) и контактно-полуплоских (короче, С-полуплоских) почти контактных метрических многообразий, путем применения формализма, разработанного для тензора Вейля, к тензору Римана-Кристоффеля.
Вторая глава «Контактно-автодуальная геометрия квази-саса-киевых, косимплектических и сасакиевых многообразий» (см. гл. 2), состоящая из 5 параграфов, посвящена изучению контактно-конформно-полуплоских многообразий указанных (в названии главы) типов. В первом параграфе «Пятимерные квази-сасакиевы многообразия» (см. парагр. 2.1) при-
водятся некоторые известные факты и определение квази-сасакиевых многообразий, а также ряд их примеров и полная группа структурных уравнений. Кроме этого, на пространстве присоединенной G-структуры указанных многообразий вычислены существенные компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и тензора Вейля, а также указана формула, по которой подсчитывается скалярная кривизна к квази-сасакиевых много-' образий. Второй параграф «Геометрия контактно-конформно-полуплоских квази-сасакиевых многообразий» (см. парагр. 2.2) состоит из двух пунктов; в первом пункте «Контактно-автодуальные квази-сасакиевы многообразия» (см. п. 2.2.1), учитывая выше указанную лемму, доказан аналитический критерий контактной автодуальности квази-сасакиевых многообразий, утверждающий, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры
А% = 2В1В1 + B%Bl + (B\Bhb - BtBl) Scd + (в%ВІ - \в{в)8^ 5«d+
+ (в?М - \в{в)б) 81 - \ (BfhBhf + j) %с,
где ( = S^6d + 8d5^, {B%} - набор компонент комплексного тензорного поля В типа (1,1) па квази-сасакиевом многообразии М, которое называется структурным тензором первого рода, а {/1с } ~ система функций, определяющая тензорное поле А типа (2,2), называемое структурным тензором второго рода или тензором голоморфной секционной кривизны квази-сасакие-ва многообразия М; во втором пункте «Контактно-антиавтодуальные квази-сасакиевы многообразия» (см. п. 2.2.2) второго параграфа доказан признак контактной антиавтодуальности квази-сасакиевых многообразий, заключающийся в том, что если 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно-антиавтодуально, то его скалярная кривизна ус на пространстве присоединенной G-структуры вычисляется по формуле вида: >с = 2ВьаВ% — 6В"В^.
Третий параграф «Геометрия контактно-конформно-полуплоских косим-плектических многообразий» (см. парагр. 2.3) начинается с того, что в первом пункте «Контактно-автодуальные косимплектические многообразия» (см. п. 2.3.1) приводится известное определение косимплектических многообразий, а также указаны формула, по которой подсчитывается скалярная кривизна я 5-мерных косимплектических многообразий, и существенные компоненты классических тензоров. В рамках этого же пункта был доказан аналитический критерий контактной автодуалыюсти косимплектических многообразий, утверждающий, что 5-мерпое косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда па пространстве Присоединенной G-СТруктурЫ Afo = — f^bc ' ГКе ^Ьс = ^Ь^с + $с(Ч-
С учетом последнего факта, выяснилось, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны; и наконец, с учетом полученных результатов и результатов работы [13], был сделан окончательный вывод, представляющий собой полную классификацию контактно-автодуальных косимплектических многообразий. Именно, 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий, снабженному канонической косимилектической структурой: 1) С2 х R; 2) СР2 х Ш; 3) С#2 х R (где С2, СР2, СН2 - комплексное евклидово, комплексное проективное и комплексное гиперболическое 2-мерные пространства, соответственно). Во втором пункте «Контактно-антиавтодуальные косимплектические многообразия» (см. п. 2.3.2) был установлен интересный критерий контактной-антиавтодуальности косимплектических многообразий: 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-антиавтоду-ально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плоским многообразием. Четвертый параграф «Геометрия контактно-конформно-полуплоских
сасакиевых многообразий» (см. парагр. 2.4) также как предыдущий состоит из двух пунктов. В первом пункте «Контактно-автодуальные сасакиевы многообразия» (см. п. 2.4.1) сначала немного рассказывается о сасакиевых многообразиях (определение, спектры классических тензоров), а затем, исследуя исключительно контактно-автодуальные многообразия указанного типа, было доказано, что 5-мерное сасакиево многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется соотношение Afc = ~'^vi^bi-> гДе &Ъс = ^ь^с+^с^б- Далее, выяснив, что контактная автодуальность 5-мерного сасакиева многообразия равносильна глобальному постоянству Ф-голоморфной секционной кривизны с этого многообразия, была получена полная классификация контактно-автодуальных сасакиевых многообразий. Именно, 5-мерное сасакиево многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий: 1) при с > —3 - 5-мерной сфере S5, снабженной канонической сасакиевой структурой или структурой, полученной из канонической преобразованием D-гомотетии; 2) при с = —3 - пространству главного Т1-расслоения над 4-мерным тором, снабженным стандартной плоской келеровой структурой, рассматриваемой как структура Ходжа; 3) при с < —3 - 5-мерной сфере S5, снабженной структурой, полученной из канонической преобразованием .D-инверсии. Во втором пункте «Контактно-антиавтодуальные сасакиевы многообразия» (см. п. 2.4.2) четвертого параграфа был установлен красивый критерий контактной антиавтодуальности сасакиевых многообразий: 5-мерное сасакиево многообразие контактно-антиавтодуалыю тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = 4. Пятый параграф «Псевдо-конформно-плос-кие квази-сасакиевы, косимплектические и сасакиевы многообразия» (см. парагр. 2.5) посвящен исследованию одновременно контактно-автодуальных и контактно-антиавтодуальных многообразий указанного типа. Так, было уста-
новлено, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса CR\ псевдо-кон-формно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско; в качестве очевидных следствий последнего факта, было доказано, что псевдо-конформ-ная плоскость 5-мерных косимплектических и сасакиевых многообразий равносильна их конформной плоскости.
Третья глава «Контактно iZ-автодуальная геометрия квази-сасакиевых, косимплектических и сасакиевых многообразий» (см. гл. 3) состоит из 4 параграфов и содержит исследования так называемых контактно-полуплоских многообразий (указанного в названии главы) типа. Первый параграф «Геометрия контактно-полуплоских квази-сасакиевых многообразий» (см. парагр. 3.1) посвящен изучению контактно Д-автодуальных и контактно Д-антиавтодуальных квази-сасакиевых многообразий. В первом пункте «Контактно Д-автодуальные квази-сасакиевы многообразия» (см. п. 3.1.1) первого параграфа был найден аналитический критерий СД-автодуальности данных многообразий: 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно 72-автодуально тогда и только тогда, когда па пространстве присоединенной G-структуры А% = IB^Bl + BadBcb + (BahB^ - B^BJT) 5% Во втором же пункте «Контактно Л-антиавтодуальные квази-сасакиевы многообразия» (см. п. 3.1.2) доказан критерий их С72-антиавтодуальности, утверждающий, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие контактно .й-антиавтодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняются соотношения: 1) АЦ = 2В^В^ + В^В^) 2) ВсаВ^ = B^Bl- Второй параграф называется «Геометрия контактно-полуплоских косимплектических многообразий» (см. парагр. 3.2). В его первом пункте «Контактно Я-автодуальные косимплектические многообразия» (см. п. 3.2.1) выясняется, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно Д-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Afc = 0. Указанное утверждение позволило устано-
вить, что контактная R-автодуальность 5-мерных косимплектических многообразий равносильна локальной плоскости этих многообразий; благодаря последнему факту было доказано, что 5-мерное косимплектическое многообразие контактно ^-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно многообразию С2 х IR, снабженному канонической косимилек-тической структурой. Во втором пункте «Контактно iZ-антиавтодуальные ко-симплектические многообразия» (см. п. 3.2.2) было доказано, что контактная і?-антиавтодуальность 5-мерного косимплектического многообразия равносильна его риччи-плоскости. Несколько неожиданными результатами явились результаты третьего параграфа «Геометрия контлктпо-полуплоских сасакиевых многообразий» (см. парагр. 3.3). В первом пункте «Контактно i^-автодуальные сасакиевы многообразия» (см. п. 3.3.1) указанного параграфа был установлен аналитический критерий СЛ-автодуальности сасакиевых многообразий, с помощью которого доказано, что 5-мерное сасакиево многообразие контактно /2-автодуалыю тогда и только тогда, когда оно является многообразием постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = —1. С учетом последнего, был сделан вывод, что 5-мерное сасакиево многообразие контактно Я-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно 5-мерной сфере S5, снабженной структурой, полученной из канонической сасакиевой структуры подходящим преобразованием JD-гомотетии. Результатом второго пункта «Контактно Л-антиавтодуальные сасакиевы многообразия» (см. п. 3.3.2) является то, что контактно і?-антиавтодуальньіх сасакиевых многообразий не существует. Заключительным параграфом третьей главы является четвертый параграф «Псевдоплоские квази-сасакиевы, косимплектические и сасакиевы многообразия» (см. парагр. 3.4). В этом параграфе был получен аналитический критерий псевдошюскости квази-сасакие-ва многообразия, т. е. было доказано, что 5-мерное квази-сасакиево многообразие класса CR\ с нильпотентным характеристическим гомоморфизмом В
псевдошюско тогда и только тогда, когда оно плоско. Естественным следствием указанного критерия явилось то, что 5-мерное косимплектическое многообразие псевдоплоско тогда и только тогда, когда оно локально плоско. В частности, здесь же было доказано, что 5-мерное сасакиево многообразие не может быть псев до плоским.
Четвертая глава «Контактно-автодуальная и контактно Д-ав-тодуальная геометрии многообразий Кенмоцу» (см. гл. 4) состоит из 4 параграфов. Первый параграф «Пятимерпыс лтогообразия Кенлюцу» (см. парагр. 4.1) содержит определение указанных многообразий, их примеры, полную группу структурных уравнений и несколько хорошо известных фактов. При этом, на пространстве присоединенной G-структуры указанных многообразий вычислены существенные компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и тензора Вейля, а также указана формула, по которой подсчитывается скалярная кривизна х 5-мерных многообразий Кенмоцу. Второй параграф «Геометрия контактно-конформно-полуплоских многообразий Кенмоцу» (см. парагр. 4.2) состоит из двух пунктов; в первом пункте «Контактно-автодуальные многообразия Кенмоцу» (см. п. 4.2.1) было доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется соотношение Ам = — —jy^d> гл-с Kd = ^b^d + ^1- ^ учетом найденного результата, удалось доказать, что контактная автодуальность 5-мерных многообразий Кенмоцу равносильна точечному постоянству Ф-голоморфной секционной кривизны данного многообразия; посредством последнего получена полная классификация контактно-автодуальных многообразий Кенмоцу. Именно, 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий, снабженному канонической косимплектической структурой: 1) С2 х R; 2) СР2 х R; 3) СЯ2 х R. Во втором пункте «Коитактно-антиавто-
дуальные многообразия Кенмоцу» (см. п. 4.2.2) доказано, что 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = —4. В третьем параграфе «Псевдо-конформно-плоские лтогообразия Кенмоцу» (см. парагр. 4.3) установлен критерий конформной псевдо-плоскости многообразий Кенмоцу, утверждающий, что 5-мерное многообразие Кенмоцу псевдоконформно-плоско тогда и только тогда, когда оно конформно плоско. Интересно, что в заключительном четвертом параграфе «Коитактио-полуплос-кие многообразия Кенмоцу» (см. парагр. 4.4) удалось доказать, что 5-мерное многообразие Кенмоцу не может быть ни контактно R-автодуальным, ни контактно Д-антиавтодуальным, а значит, не может быть и псевдоплоским многообразием.
Список литературы включает 51 наименование работ (отечественных и зарубежных авторов), используемых для написания данного диссертационного исследования.
Список публикаций автора содержит 8 опубликованных печатных работ автора по теме настоящей диссертации.
В заключение, автору хотелось бы от всей души поблагодарить своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Вадима Федоровича Кириченко за блестящую идею исследования и постоянную поддержку в ее разработке, за такт, понимание и искреннее участие, которое невозможно описать существующими словами.
Спасибо, Вадим Федорович!
Контактно-конформно-полуплоские почти контактные метрические многообразия
Хорошо известно [16], что на любом римановом многообразии внутренним образом определен тензор С — {Сг-к1} типа (3,1), называемый тензором конформной кривизны многообразия М или тензором Вейля, который в терминах своих ковариантных компонент вычисляется по формуле (при условии, что dim М = 5): 1 к Сфі = Щи + - {rikQji + rjigik - ragjk - rjkgu) + — {gugjk - 9ik9ji), (1-3.1) где {Щы} - компоненты тензора R Римана-Кристоффеля, {ry- = R jk} компоненты тензора Риччи, к = glh\j - скалярная кривизна многообразия М, Классический тензор С Вейля можно рассматривать как эндоморфизм модуля Л 2 (М). Если М - 5-мерное АС-многообразие, то эндоморфизм С внутренним образом определяет эндоморфизм модуля Л2 (). задаваемый одной из трех эквивалентных формул: 1) = г оСоГ, 2)г(и) = С(Ги)\, (1-3.2) 3)(си)пр = Сат(Ги)к1, где і - естественное вложение С Х(М) (то есть і (X) = X для X Є ), I - проектор на контактное распределение , 2-форма Г (ш) Є Л2 (М) - антиувлечение 2-формы си Є Л2 () при отображении Ї, а С (Г о;) я - сужение 2-формы С (Г ш) Є Л2 (М) на . Замечание 1.3.1. Эквивалентность формул (1.3.2.1)-(1.3.2.3) следует понимать в смысле одинаковости их действия. В самом деле, для любых гладких векторных полей X, У Є и любой 2-формы и Є Л2 (), с учетом соотношений (1.3.2), получим: 1) (w) (X, У) = г оСоГ И (X, У) = i oC (1 ш) (X, У) = С (Гы) (гХ, гУ); 2)(и) (Х,У) = С (Го;) (Х,У) = С(Гш) (гХ.гУ); 3)С(о;)ао = Caflki 0 ) индексная запись предыдущей формулы. Таким образом, на 5-мерных АС-многообразиях можно внутренним образом определить понятия контактной автодуальности и контактной антиав-тодуальности.
Определение 1.3.1. 5-мерное АС-многообразие будем называть контактно-автодуальпым (короче, С-автодуальным) многообразием, если С (о;) = 0 для любых 2-форм и) Є Л (). Определение 1.3.2. 5-мерное АС-многообразие будем называть контактно-аптиавтодуалъпым (короче, С-антиавтодуальным) многообразием, если ((w) = 0 для любых 2-форм ш Є Л+ (). Определение 1.3.3. 5-мерное АС-многообразие будем называть контактно-конформно-полуплоским (короче, С-конформно-полуплоским), если оно является контактно-автодуальным или контактно-антиавтодуальпым. 1.4. Контактно-полуплоские почти контактные метрические многообразия Известно, что тензор С Вейля обладает свойствами симметрии, аналогичными тензору R Римана-Кристоффеля. Напомним [10], что имеют место следующие свойства симметрии тензора R: 1) Rijki — —Rijik (кососимметричность по второй паре индексов), 2) Rijki = —Rjiki (кососимметричность по первой паре индексов), (1.4.1) 3) Rijki — Rkiij , 4) Rijki + Щщ + RUJk = 0 (тождество Риччи), где Rijki = {R () i) j, є І) - ковариантные компоненты тензора і? в Л-репсре. В связи с этим определенный интерес представляет применение разработанной конструкции для тензора С к тензору R (при замене тензора Вейля на тензор Римана-Кристоффеля). В самом деле, классический тензор Римана-Кристоффеля можно рассматривать как самосопряженный эндоморфизм модуля Лг (М). Если М - 5-мерное ЛС-многообразие, то эндоморфизм R внутренним образом определяет эндоморфизм УХ модуля Л2 (), задаваемый одной из трех эквивалентных формул: 1)9 = Г о Я о Г, 2)$КМ = Д(ГоО, (1.4.2) 3)V\(Lu)n/3 = Ram{l uj)kl, где г - вложение С Э(М), I - естественный проектор на контактное распределение , 2-форма Г (со) Є Лг (М) - антиувлечение 2-формы ш Є Л 2 () при отображении і, a R (l tu) - сужение 2-формы R (Геи) Є Л2 (М) на . Эквивалентность формул (1.4.2.1)-(1.4.2.3) следует понимать в смысле одинаковости их действия (см. замечание 1.3.1). Таким образом, совершенно естественным образом на 5-мерных АС-многообразиях можно определить понятия контактной і?-автодуальности и контактной Д-антиавтодуальности. Определение 1.4.1. 5-мерное ЛС-многообразие будем называть контактно R-автодуальным (короче, С R-авто дуальным) многообразием, если DK (ш) = 0 для любых 2-форм ш Є Л (). Интересно, что введенные в рассмотрение CR-автодуальные почти контактные метрические многообразия являются контактным обобщением на 5-мерный случай -мерных римановых многообразий, наделенных автодуальной связностью [4].
Определение 1.4.2. 5-мерное ЛС-многообразие будем называть контактно R-антиавтодуальным (короче, СR-антиавтодуальным) многообразием, если D\ (CJ) = 0 для любых 2-форм и Є Л+ (). Определение 1.4.3. 5-мерное АС-многообразие будем называть контактно-полуплоским (короче, С-полуплоским), если оно является контактно і?-автодуальньім или контактно Л-антиавтодуальным. Обширным классом почти контактных метрических многообразий является класс квази-сасакиевых (quasi-Sasakian) многообразий, введенный в рассмотрение Блэром [20], а, впоследствии, изучаемый многими авторами (например, [49], [34], [50], [14]). Рассмотрение класса квази-сасакиевых многообразий в настоящей работе обусловлено тем, что они в определенном смысле являются многообразиями келерова типа (см. Введение). Определение 2.1.1. [21] ЛС-структура называется нормальной структурой, если выполняется тождество 2ІУф + dr) (g = 0, где тензорное поле ІУф типа (2,1) для любых X, Y Є (-/1//) определено формулой 7УФ (X, У) = \ (Ф2 [X, У] + [ФХ, ФУ] - Ф [ФХ, Y] - Ф [X, ФУ]) и называется тензором Нейенхейса структурного эндоморфизма Ф; при этом, бинарная операция [,], сопоставляющая каждой паре гладких векторных полей X, Y Є Х(М) векторное поле [X, Y] называется комліутировани-ем, а векторное поле [X, Y] - коммутаторолі векторных полей X, Y. Многообразие, на котором фиксирована нормальная АС-структура, называется нормальным АС-многообразием. Определение 2.1.2. [20] ЛС-структура называется квази-сасакиевой (короче, QS-) структурой, если она нормальна, а ее фундаментальная фор
Геометрия контактно-конформно-полуплоских косимплектиче ских многообразий
Важным примером, как уже упоминалось, ( -структуры является ко-симплектическая (cosymplectic) структура, которая была определена Блэром в [20] и изучалась с различных точек зрения (например, см. [28], [41]). Интересно [10], что указанные структуры индуцируются, например, на вещественных вполне геодезических подмногообразиях келеровых многообразий и, будучи к тому же простейшими примерами ЛС-структур, они являются естественным контактным аналогом келеровых структур. Именно последний факт дал основание ввести в рассмотрение контактно-конформно-полуплоские косимплектические многообразия. Определение 2.3.1. [20] ЛС-структура называется косимплектической (короче, Cs-) структурой, если она нормальна, а ее контактная и фундаментальная формы замкнуты. Многообразие, на котором фиксированаCs-структура, называется косимплектическим (короче, Cs-) многообразием. Замечание 2.3.1. Известно [14], что (25-структура является косимплектической структурой тогда и только тогда, когда В% = 0. Легко проверить, что из последнего соотношения следует, что В%с = Вс = 0. Принимая во внимание замечание 2.3.1 и соотношения (2.1.8)-(2.1.10), получаем, что на пространстве присоединенной G-структуры 5-мерных Cs-многообразий ненулевыми компонентами тензора Римана-Кристоффеля являются компонентами тензора г
Риччи являются а скалярная кривизна к вычисляется по формуле: С учетом замечания 2.3.1 и соотношений (2.1.11), существенные компоненты тензора С конформной кривизны на пространстве присоединенной G-структуры 5-мерных Cs-многообразий будут иметь вид где 5 f = 8 5d — 8b8d. Остальные компоненты тензора С равны нулю или определяются его вещественностью и свойствами симметрии. С учетом предложения 2.1.1 и замечания 2.3.1, получаем справедливость следующего предложения. Предложение 2.3.1. Косимплектическое многообразие является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Далее, с учетом теоремы 2.2.1 и замечания 2.3.1, получаем справедливость следующей теоремы. Теорема 2.3.1. 5-мерное косимплектическое многообразие коитлктно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Теорема 2.3.2. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием глобально постоянной Ф -голоморфной секционной кривизны с = . Доказательство. Пусть М - произвольное С-автодуальное косимплектическое многообразие. Это равносильно, согласно теореме 2.3.1, соотноше Таким образом, A" = —уфы = — i fc гДе c = f» т0 ссть M многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. А значит, М -многообразие глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Обратно, пусть 5-мерное косимплектическое многообразие М является многообразие глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Тогда, согласно предложению 2.3.1, выполняется соотношениеА% = — f f.
В этом случае, учитывая соотношения (2.3.2) и (2.3.3), получаем, чтогаь = с, а х = 6с. Следовательно, в силу леммы 1.2.3 и соотношений (2.3.4), имеем то есть С (со) = 0 для любых 2-форм ш Є А (). Итак, М является С-автодуальиым косимплектическим многообразием. Напомним [10], что под локальной эквивалентностью двух почти контактных метрических многообразий понимается локальный (т.е. определенный в каждой точке некоторой окрестности многообразия) диффеоморфизм одного многообразия на другое, сохраняющий контактную форму, характери-стический вектор, структурный эндоморфизм и риманову структуру. Тогда, учитывая полученные выше результаты и результаты [13] заключаем: Теорема 2.3.3. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих многообразий, снабоїсеиному канонической косимплек-тической структурой: где С2, СР2, СН2 - комплексное евклидово, комплексное проективное и комплексное гиперболическое 2-мерные пространства, соответственно.
Геометрия контактно-полуплоских косимплектических многообразий
С учетом теоремы 3.1.1 и замечания 2.3.1, получаем справедливость следующей теоремы. Теорема 3.2.1. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-автодуалыю тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется тождество: А : = 0. Теорема 3.2.2. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-автодуально тогда и только тогда, когда оно (локально) плоско. Доказательство. Пусть М - CR-автодуалыгое Cs-многообразие. Это равносильно, согласно теореме 3.2.1, тому, что А% = 0. Учитывая последнее тождество и соотношения (2.3.1), замечаем, что R = 0. А значит, М -(локально) плоское многообразие. Обратно, пусть 5-мерное косимплектическое многообразие М (локально) плоско, то есть R = 0. С учетом (2.3.1), заключаем, что А — 0. В силу теоремы 3.2.1, М является CR-автодуальным Cs-многообразием. Учитывая результаты [13], наконец,, получаем: Теорема 3.2.3. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-автодуально тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно многообразию С2 х R; снабженному канонической косимплектической структурой. С учетом теоремы 3.1.2 и замечания 2.3.1, получаем справедливость следующей теоремы. Теорема 3.2.4. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-антиавто дуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется тождество: Af = 0. Пусть 5-мерное Cs-многообразие М контактно Д-антиавтодуалыго.
В этом случае, согласно теореме 3.2.4, имеем, что А = 0. А значит, учитывая (2.3.2), замечаем, что га,ь = ьс = 0- Следовательно, тензор Риччи г равен нулю, то есть г = 0. Таким образом, если 5-мерное косимплектическое многообразие М контактно Д-антиавтодуально, то оно является риччи-плос-ким. Обратно, пусть теперь 5-мерное косимплектическое многообразие М риччи-плоское, то есть г = 0. В этом случае, из предположения и соотношений (2.3.2) следует, что А% — 0. А значит, М - контактно Я-антиавтодуальное многообразие. Таким образом, доказана теорема. Теорема 3.2.5. 5-мерное косимплектическое многообразие контактно R-антиавто дуально тогда и только тогда, когда оно является риччи-плос-ким многообразием. С учетом теоремы 3.1.1 и замечания 2.4.1, получаем справедливость следующей теоремы. Теорема 3.3.1. 5-мерное сасакиево многообразие контактно R-aemody-ально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется соотношение: — bd- гое bd — bd db- u Теорема 3.3.2. 5-мерное сасакиево многообразие контактно R-автодуаль-но тогда и только тогда, когда оно является многообразием постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = —1. Доказательство. Пусть М - CR-автодуальное -многообразие. Это равносильно, согласно теореме 3.3.1, соотношению Учитывая предложение 2.4.1, получаем, что А%% = - = — t fc» где с = —1, то есть М - многообразие постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = — 1. Обратно, пусть 5-мерное сасакиево многообразие М является многообразием постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = — 1. Тогда, согласно условию и предложению 2.4.1, выполняется соотношение Аъс 2 м- В силу теоремы 3.3.1, М является СІ?-автодуальньім -многообразием. П Учитывая полученные результаты и результаты [12], заключаем:
Теорема 3.3.3. 5-мерное сасакиево многообразие контактно R-автодуаль-но тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно 5-мерной сфере W, снабженной структурой, полученной из канонической сасакиевой структуры подходящим преобразованием D-гомотетии. Пусть М - СЛ-антиавтодуальное -многообразие. Тогда, с учетом теоремы 3.1.2 и замечания 2.4.1, имеем, что АЦ = 2В%В + ВасВ1 = -5 и 5 Sf = $ 51- Свернув сначала последнее соотношение по индексам с и 6, а затем по индексам and, получаем 2 = 4, то есть противоречие. А значит, контактно .R-антиавтодуальных -многообразий не существует. Таким образом, доказана теорема. Теорема 3.3.4. Контактно R-антиавтодуальных сасакиевых многообразий не существует.
Геометрия контактно-конформно-полуплоских многообразий Кенмоцу
Пусть М - произвольное С-автодуальное многообразие Кенмоцу и пусть си Є Л- (). Тогда, согласно определению 1.3.1 и соотношениям ( 1.3.2), (w) = 0 или Сащ ІУ ) — 0- Это возможно, с учетом леммы 1.2.3, если Capcd (Ї )С = 0) то есть если Саьы, (\ ш) = 0. А значит получаем, что Следовательно, Саьы = —\ lh d + 4 - В СИЛУ соотношений (4.1.10.1), наконец, получаем: Альтернируем тождество (4.2.1) по индексам b и d: где = — (. Свернем полученное тождество по индексам d и с, учитывая соотношения (4.1.9): При этом с учетом (4.2.1) и (4.2.2), можно заключить, что где ( = (5 + ( - симметричная кронекеровская дельта 2-го порядка. Обратно, с учетом леммы 1.2.3 и соотношений (4.2.3), получаем: образом, доказана теорема. Теорема 4.2.1. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется соотношение: Теорема 4.2.2. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с = xt14 Доказательство. Пусть М - произвольное С-автодуальное многообразие Кенмоцу. Это равносильно, согласно теореме 4.2.1, соотношению: Таким образом, А = -2 = -1 где с = ±И, то есть М -многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. А значит, М - многообразие точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Обратно, пусть 5-мерное многообразие Кенмоцу М является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с. Тогда, согласно предложению 4.1.1, выполняется соотношение Afc = — . В этом случае, учитывая соотношение (4.1.9), получаем, что А — - - 5 , Аа. = —3 — Зс и х = —14 + 6с. Следовательно, в силу леммы 1.2.3 и соотношений (4.1.10), имеем то есть (си) = 0 для любых 2-форм и Є Л- (). Итак, М является С-автодуальным многообразием. Учитывая полученные результаты и результаты [9] окончательно заключаем:
Теорема 4.2.3. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий, снабоюенному канонической косимплектической структурой: где С2, СР2, СН2 - комплексное евклидово, комплексное проективное и комплексное гиперболическое 2-мерные пространства, соответственно. Пусть теперь М - произвольное С-антиавтодуальное многообразие Кенмоцу. Тогда, если и Є Л+ (), то ( (ш) = 0. Это возможно, с учетом леммы 1.2.3, когда CaPcd (Гси)Ы + 2Сат { )ы + Caf}si (1 ш)Ы = 0, то есть когда: 1) Рассмотрим Cabed(l u))cd = 0. С учетом леммы 1.2.3, это тождество можно записать в виде В силу произвола выбора х, z Є R и в силу свойств симметрии тензора С, имеем, что СаЪ = 0, то есть где 6%ь = 6ca6d — 5 д. Свертывая сначала данное тождество по индексам Ъ и d, а затем полученное соотношение по индексам а и с, приходим к тому, что УС = -20. 2) Рассмотрим Cabad (1 -0 = 0. С учетом леммы 1.2.3, это тождество можно записать в виде В силу произвола выбора у Є R, имеем, что Са&сс — 0, то есть то есть тг — з Ьс = 0- Свернув последнее тождество по индексам а и Ь, получим, что к = —20. Таким образом, доказана теорема. Теорема 4.2.4. Если 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-антиавтодуально, то его скалярная кривизна х = —20. Далее, пусть 5-мерное многообразие Кенмоцу М контактно-антиавтодуально, то есть (UJ) = 0 для любой ш Є Л+ (). Кроме того, с учетом теоремы 4.2.4, имеем, что х = —20. А значит, с учетом леммы 1.2.3 и соотношений (4.1.8), (4.1.10), получаем то есть АЦ = 0. В силу леммы 1.2.1 и соотношений (4.1.8), замечаем, что гоо = -4 = -4роо и га& = -А% - Щ = -Щ = -4раь. Следовательно, Гу = — 4ру или г = —4р.
Таким образом, если 5-мерное многообразие Кенмоцу М контактно-антиавтодуально, то оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = —4. Обратно, пусть теперь 5-мерное многообразие Кенмоцу М является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = —4, то есть г = —Ад. В этом случае из предположения и соотношений (4.1.8) следует, что Afc — 0. В частности, так как А = 0, то х = — 20. С учетом леммы 1.2.3 и соотношений (4.1.8), (4.1.10), легко видеть, что А значит, Cabcd (1 ш)с — 0. Учитывая лемму 1.2.3, замечаем, что (и) = 0 для любой UJ Є Л+ (), то есть М - контактно-антиавтодуальное многообразие. Таким образом, доказана теорема. Теорема 4.2.5. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-антиавтоду-альио тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой є = —4. Пусть 5-мерное многообразие Кенмоцу М псевдо-конформно-плоско, то есть одновременно С-автодуально и С-антиавтодуалыго. Тогда, в силу теоремы 4.2.1 и теоремы 4.2.4, имеем:
