Введение к работе
Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представлення". В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централизаторные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терия централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдрнальда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория супемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [16], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда-Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга-Юциса-Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [4] проективных аналогов симметризаторов Юнга. В работе [13] проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиана супералгебр Ли серии q.
Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от конечного числа векторов и ковекторов, т.е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [1], [2], [6], [7]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей
теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вейля и описание централизаторных алгебр. Централизаторные алгебры и дуальные пары Хау классических супералгебр Ли изучались в работах А. Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи, X. Ванг, С. Ченг и В. Ванг и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно централизаторными легко следует из супераналога классической теории инвариантов.
Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах [8] и [9]. Эти работы послужили началом ситематического исследования квантовых интегрирыемых систем с точки зрения суперал-герб Ли и наоборот, использованию методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических супералгебр Ли. Впервые предельные случаи таких аналогов (суперфункции Шура) появились в работах А. Вершика и С. Керова по асимтотической теории представлений симметрической группы и в более общем виде (суперполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькова и Г. Ольшанского. Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [8] и [9], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суперполиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Весе-лова, М. Фейгина и О.Чалых под названием деформированных квантовых систем Калоджеро-Мозера. Аналогично, в работе [10] классические проективные функции Шура были интерпретированы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.
Следующим естестванным шагом было построение общей теории квантовых интегрируемых систем связанных с системами корней простых супералгебр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Сергановой под названием обобщенной системы корней. В работе [11] было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интегралов был предложен в работах [12], [15]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро-Мозера
типа А (включая и разностный аналог) может быть получена как ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это последнее кольцо было описано в работе [14] (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [3]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Гротевдика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естественнй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгебр Ли.
Актуальность темы. В работе изучаются современные вопросы теории инвариантов и представлений супералгебр Ли, а также их связи с квантовыми интегрируемыми системами. Построен аналог классической теории инвариантов для неисключительных классических простых супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов. Для образующих типа скалярных произведений, приводится описание соотношений. Развивается общая теория базисов Гель-фанда-Цетлина и на ее основе, с помощиью метода Вершика-Окунькова строится полунормальная и ортогональная формы Юнга для проективных представлений симметрической группы. Строятся также проективные аналоги симметризаторов Юнга, отличные от симметризаторов построенных М. Назаровым. Доказана гипотеза Г. Ольшанского о центра-лизаторной конструкции Янгиана для суиералгебр Ли серии q.
Показано, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керовым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским при значениях параметра 1,1/2 могут быть интерпретированы как сферические функции на некоторых симметрических суперпространствах. Кроме того доказано, что сами полиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на некоторых симметрических суперпространствах. Построена алгебра дифференциальных операторов для которых эти фунции являются общими собственными. В частности, это дает есстественную интерпретация результатов полученных ранее Р. Стембриджем в контексте алгебр Гекке связанных с определенными парами Гельфанда.
Описаны кольца конечномерных представлений классических супералгебр Ли. В качестве следствия, приводится еще одно доказательство теоремы описывающей инвариантные полиномы на простых конечномерных классических супералгебрах Ли. По каждой обобщенной системе корней построен деформированный аналог оператора Калоджеро-Мозе-ра, что является обобщением соответствующего результата М. Ольша-нецкого и А. Переломова для полупростых алгебр Ли. Показано, что
деформированные операторы Калоджеро-Мозера для систем корней типа А могут быть получены, как ограничения бесконечномерных классических систем того же типа. Это обстоятельство позволяет доказать еще одним способом интегрируемость соответствующей деформированной системы и получить все основные формулы для соответствующих собственных функций. В случае общего значения параметра получено описание идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно алгебры интегралов задачи Калоджеро-Мозера-Сазерленда.
Цель работы состоит в развитии теории представлений и теории инвариантов супеалгебр Ли и разработке связей этой теории с классическими задачами теории представлений и математической физики.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Построен аналог классической теории инвариантов для классических неисключительных супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов и соотношений между ними.
Разработано обобщение классической теории базисов Гельфанда-Цетлина на случай цепочки конечномерных полупростых Z2 - градуированных алгебр. В качесстве приложения, на основе метода Вершика-Окунькова, строится теория проективных представлений симметрических групп. Построены аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп.
Проведена централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли серии q.
Дана интерпретация деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда как радиальных частей операторов Лапласа на некоторых симметрических суперпространствах.
Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на определенных симметрических суперпространствах.
Описаны кольца Гротендика категории конечномерных представлений классических супералгебр Ли. Показано, что описание может быть задано в терминах инвариантов некоторого конечного группоида, который естественно считать аналогом группы Вейля в случае полупростых конечномерных алгебр Ли.
Предложена общая теория деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда на основе понятия обобщенной системы корней. В случае классических серий приводится доказательство их интегрируемости.
Построены бесконечномерные аналоги систем Калоджеро-Мозера типа А. Показано, что деформированные системы типа А(п,т) могут быть получены как ограничения соответствующих бесконечномерных.
Достоверность полученных результатов обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств, апробацией результатов работы на многочисленных конференциях и семинарах, проверкой части результатов работы в работах других авторов.
Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты применимы в теории представлений, теории интегрируемых систем, теории специальных функций, математической физике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Математическом Инститите Стокгольмского Университета (Швеция), Математическом Институте Ньютона в Кэмбридже (Англия), Университете Манчестера (Англия), Университете Глазго (Англия), Университете Лавборо (Англия), на семинаре Э. Винберга в Московском Государственном Университете, на семинаре A.M. Вершика в ПОМИ, на семинаре Дж. Фелдера (Цюрих);
на международных конференциях:
Теоретико-групповые методы в физике (Дубна,1999)
Специальные функции 2000 (Аризона, 2000)
Некоммутативные структуры в математике и физике (Киев, 2000)
Полиномы Джека, Холла-Литтлвуда и Макдональда (Эдинбург, 2003)
Квантовые симметрии и суперсимметрии (Дубна, 2005)
Алгебраические аспекты интегрируемых систем (Глазго, 2007) Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ. Структура и объем диссертации. Дисертация состоит из введения,
пяти глав, разбитых на секции и списка литературы. Работа занимает 252 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 175 наименований.
